Klasa 1 Technikum

Do czego służy: $E_k$ — energia ruchu; $E_p$ — energia związana z położeniem w polu grawitacyjnym. Zasada zachowania energii łączy je obydwie.

Zmienne

• $E_k$ — energia kinetyczna (J)
• $m$ — masa (kg)
• $v$ — prędkość (m/s)
• $E_p$ — energia potencjalna grawitacyjna (J)
• $g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2$
• $h$ — wysokość (m) względem przyjętego poziomu odniesienia

Zasada zachowania energii mechanicznej

Gdy brak sił dyssypacyjnych (brak tarcia): $E_k + E_p = \text{const}$

$$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$$

Jak stosować

1. Ustal poziom odniesienia dla $h$ (często podłoga lub najniższy punkt)
2. Wypisz energie w punkcie A i B
3. Przyrównaj sumy (jeśli brak tarcia) lub uwzględnij straty: $W_{\text{tarcie}} = E_{kA} + E_{pA} - E_{kB} - E_{pB}$

Przykład

Kamień spada z $h = 5$ m (z $v_0 = 0$). Prędkość tuż przed ziemią?

1. $mgh = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} = 10 \text{ m/s}$

⚠️ Częsty błąd: W $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ prędkość jest w metrach na sekundę — nie wstawiaj km/h! I pamiętaj o $\frac{1}{2}$.

Funkcja odwrotna do wykładniczej; wykres przechodzi przez $(1,0)$.

Przykład: $f(x)=\log_3 x$: $f(9)=2$, $f\left(\frac{1}{3}\right)=-1$.

Dla $a>1$ rosnąca, dla $0

Przykład: $f(x)=2^x$: $f(3)=8$, $f(-1)=\frac{1}{2}$.

Do czego służy: Podstawowe prawo dynamiki — łączy siłę, masę i przyspieszenie. Jeśli na ciało działa wypadkowa sił $F$, ciało przyspiesza.

Zmienne

• $\vec{F}$ — wypadkowa siła (N = kg·m/s²)
• $m$ — masa ciała (kg) — stała
• $\vec{a}$ — przyspieszenie (m/s²) — w kierunku siły

Trzy zasady Newtona razem

• I zasada (inercji): $F = 0 \Rightarrow a = 0$ — ciało spoczywa lub porusza się jednostajnie prostoliniowo
• II zasada: $F = ma$ — wypadkowa siła powoduje przyspieszenie
• III zasada (akcja-reakcja): $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$ — siły są równe co do wartości, przeciwne co do zwrotu

Jak stosować

1. Narysuj diagram sił działających na ciało (opcjonalnie)
2. Wyznacz wypadkową: $F = F_1 + F_2 + \ldots$ (wektory!)
3. Podstaw do $a = \frac{F}{m}$

Przykład

Na ciało o masie 5 kg działa siła 20 N. Przyspieszenie?

1. $a = \frac{F}{m} = \frac{20}{5} = 4 \text{ m/s}^2$

⚠️ Częsty błąd: $F$ to wypadkowa wszystkich sił — np. siła napędowa minus tarcie. Nie wstawiaj tylko jednej siły gdy działa kilka naraz.

Do czego służy: Obliczanie okresu obiegu planety lub promienia jej orbity — bez znajomości mas, tylko z porównania z inną planetą.

Zmienne

• $T_1, T_2$ — okresy obiegu obu planet (dowolna jednostka, byle ta sama)
• $a_1, a_2$ — wielkie półosie orbit (średnie odległości od Słońca)

Jak stosować

1. Przyjmij planetę odniesienia: Ziemia ($T = 1$ rok, $a = 1$ j.a.)
2. Dla badanej planety z $a_2$ oblicz: $T_2 = T_1 \cdot \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{3/2}$
3. Lub odwrotnie: masz $T_2$ → oblicz $a_2 = a_1 \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2/3}$

Przykład

Mars ma $a = 1{,}52$ j.a. Jaki jest jego rok?

1. $T_{\text{Mars}} = 1^{\text{rok}} \cdot (1{,}52)^{3/2} = (1{,}52)^{1{,}5} \approx 1{,}87$ lat

⚠️ Częsty błąd: Wzór to $T^2 \propto a^3$, nie $T \propto a^3$. Stosunek kwadratów okresu = stosunkowi sześcianów półosi. Pomylenie potęg to częsty błąd na sprawdzianach.

Kwadrat sumy to kwadrat pierwszego, podwojony iloczyn i kwadrat drugiego wyrazu.

Przykład: $(x+3)^2=x^2+6x+9$.

Do czego służy: Pęd opisuje „ilość ruchu" ciała. Zasada zachowania pędu jest kluczem do analizy zderzeń.

Zmienne

• $\vec{p}$ — pęd (kg·m/s)
• $m$ — masa (kg)
• $\vec{v}$ — prędkość (m/s)

Zasada zachowania pędu

W układzie izolowanym (bez zewnętrznych sił): $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1^{\prime} + m_2 v_2^{\prime}$

Jak stosować

1. Wypisz pędy przed zderzeniem: $p_1 = m_1 v_1$, $p_2 = m_2 v_2$
2. Oblicz sumę: $p_{\text{przed}} = p_1 + p_2$
3. Po zderzeniu suma się zachowuje: $p_{\text{po}} = p_{\text{przed}}$
4. Zderzenie niesprężyste doskonałe: ciała łączą się → $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1+m_2)v^{\prime}$

Przykład

Wózek 2 kg ($v_1 = 4$ m/s) uderza w spoczywający wózek 3 kg i łączą się. Prędkość po?

1. $p_{\text{przed}} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 8 \text{ kg·m/s}$
2. $(2+3)v^{\prime} = 8 \Rightarrow v^{\prime} = 1{,}6 \text{ m/s}$

⚠️ Częsty błąd: Pęd to wektor — kierunki mają znaczenie! Ciało jadące w przeciwnym kierunku ma pęd ujemny. Ustal konwencję znaku.

Połowa iloczynu boku i wysokości opuszczonej na ten bok.

Przykład: Bok 10 cm, wysokość 6 cm: $P=30$ cm².

Od razu widać miejsca zerowe.

Przykład: $f(x)=2(x+1)(x-4)$ — miejsca zerowe $-1$ i $4$.

Do czego służy: Praca mierzy efektywne działanie siły — liczy się tylko składowa siły wzdłuż ruchu. Moc to szybkość wykonywania pracy.

Zmienne

• $W$ — praca (J = N·m)
• $F$ — siła (N)
• $s$ — droga (m)
• $\alpha$ — kąt między wektorem siły a wektorem przemieszczenia
• $P$ — moc (W = J/s)
• $t$ — czas (s)

Trzy ważne przypadki kąta

• $\alpha = 0°$: $\cos 0° = 1$ → $W = Fs$ (siła i ruch w tym samym kierunku)
• $\alpha = 90°$: $\cos 90° = 0$ → $W = 0$ (siła prostopadła do ruchu — zero pracy!)
• $\alpha = 180°$: $\cos 180° = -1$ → $W = -Fs$ (siła hamuje → praca ujemna)

Przykład

Ciągniemy walizkę siłą 50 N pod kątem 30° do poziomego podłoża przez 10 m. Praca?

1. $W = 50 \cdot 10 \cdot \cos 30° = 500 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 433 \text{ J}$

⚠️ Częsty błąd: Dźwig unosi ciężar pionowo (praca = $mgs$), ale jeśli ciężar jedzie poziomo na przenośniku taśmowym — grawitacja nie wykonuje pracy ($\alpha = 90°$)!

Do czego służy: Obliczanie siły grawitacyjnej przyciągania między dowolnymi dwoma masami — od atomów po planety.

Zmienne

• $F$ — siła grawitacji (N)
• $G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2/\text{kg}^2$ — stała grawitacyjna
• $m_1, m_2$ — masy obu ciał (kg)
• $r$ — odległość między ich środkami masy (m)

Kiedy używać?

Przy obliczaniu sił w układach planetarnych, prędkości kosmicznych, przyspieszenia grawitacyjnego na innej planecie. Dla codziennych ciał siła jest znikoma (małe $G$).

Jak stosować

1. Podstaw masy i odległość w jednostkach SI
2. Oblicz: $F = 6{,}674 \times 10^{-11} \cdot \frac{m_1 m_2}{r^2}$
3. Siła jest wzajemna — działa na oba ciała (III zasada Newtona)

Przykład

Ziemia ($M = 6 \times 10^{24}$ kg, $R = 6{,}4 \times 10^6$ m). Siła na człowieka 70 kg?

1. $F = 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{6\times10^{24} \cdot 70}{(6{,}4\times10^6)^2} \approx 686 \text{ N}$
2. Zgadza się: $mg = 70 \cdot 9{,}81 \approx 687 \text{ N}$ ✓

⚠️ Częsty błąd: $r$ to odległość środków mas (np. od środka Ziemi), nie od powierzchni! Dla obiektów blisko Ziemi dodaj promień Ziemi.

Do czego służy: Opisuje jak szybko ciało pokonuje odległość — podstawowy parametr każdego ruchu.

Zmienne

• $v$ — prędkość (m/s lub km/h)
• $\Delta s$ — droga pokonana (m)
• $\Delta t$ — czas ruchu (s)

Kiedy używać?

Gdy znasz całkowitą drogę i całkowity czas — niezależnie od tego, czy ciało jechało równomiernie. Pamiętaj: to prędkość średnia, nie chwilowa.

Jak stosować

1. Wypisz dane: $\Delta s$ i $\Delta t$
2. Przelicz jednostki na SI (km → m: ×1000; h → s: ×3600)
3. Oblicz $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$
4. Warianty: $\Delta s = v \cdot \Delta t$ (droga); $\Delta t = \frac{\Delta s}{v}$ (czas)

Przykład

Samochód jedzie 144 km w 1,5 h. Jaka jest prędkość średnia?

1. $\Delta s = 144\,000 \text{ m}$, $\Delta t = 5400 \text{ s}$
2. $v = \frac{144\,000}{5400} \approx 26{,}7 \text{ m/s}$
3. Lub krócej: $v = \frac{144}{1{,}5} = 96 \text{ km/h}$

⚠️ Częsty błąd: Mieszanie jednostek — km z sekundami daje bezsensowny wynik. Zawsze przelicz na SI albo konsekwentnie zostań przy km/h.

Kapitał po $n$ okresach kapitalizacji przy oprocentowaniu $p\%$ w okresie.

Przykład: 1000 zł na 5% rocznie przez 3 lata: $1000\cdot1{,}05^3=1157{,}63$ zł.

Do czego służy: Mierzy jak szybko zmienia się prędkość ciała. Przyspieszenie dodatnie = przyspieszanie; ujemne = hamowanie (opóźnienie).

Zmienne

• $a$ — przyspieszenie (m/s²)
• $\Delta v = v - v_0$ — zmiana prędkości (m/s)
• $\Delta t$ — czas zmiany (s)

Kiedy używać?

Gdy znasz prędkość początkową i końcową oraz czas — do obliczenia przyspieszenia. Lub odwrotnie: znasz $a$ i $\Delta t$, szukasz zmiany prędkości.

Jak stosować

1. Wypisz $v_0$, $v$, $\Delta t$
2. Oblicz zmianę prędkości: $\Delta v = v - v_0$
3. Podstaw: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$
4. Jeśli wynik ujemny — ciało hamuje (opóźnia się)

Przykład

Auto przyspiesza od 0 do 100 km/h w 8 s. Jakie przyspieszenie?

1. $v_0 = 0$, $v = 100 \text{ km/h} = \frac{100}{3{,}6} \approx 27{,}8 \text{ m/s}$
2. $a = \frac{27{,}8 - 0}{8} \approx 3{,}47 \text{ m/s}^2$

⚠️ Częsty błąd: Prędkość musi być w m/s — przelicz km/h dzieląc przez 3,6, a nie przez 3,6 po obliczeniu!

Do czego służy: Obliczanie przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni lub powyżej planety dowolnej masy.

Zmienne

• $g$ — przyspieszenie grawitacyjne (m/s²)
• $G = 6{,}674 \times 10^{-11}$ N·m²/kg² — stała grawitacyjna
• $M$ — masa planety (kg)
• $r$ — odległość od środka planety (m)

Na powierzchni Ziemi

$g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2$ (często zaokrąglamy do $g = 10 \text{ m/s}^2$)

Ciężar: $Q = mg$ [N] — siła z jaką Ziemia przyciąga ciało (≠ masa!)

Jak zmienia się $g$ z wysokością?

$g \propto \frac{1}{r^2}$ — podwojenie odległości od środka Ziemi → czterokrotny spadek $g$

Przykład

Na jakiej wysokości $h$ nad Ziemią $g$ spada do $g/4$?

1. $\frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{4R^2} \Rightarrow (R+h)^2 = 4R^2 \Rightarrow R+h = 2R \Rightarrow h = R$
2. Odpowiedź: na wysokości równej promieniowi Ziemi ($\approx 6400$ km)

⚠️ Częsty błąd: Masa i ciężar to różne rzeczy! Masa (kg) jest stała wszędzie. Ciężar (N) zależy od $g$ — na Księżycu ($g = 1{,}6$ m/s²) ciężar jest 6× mniejszy.

Dwa rozwiązania dla $\Delta>0$, jedno ($x=-\frac{b}{2a}$) dla $\Delta=0$, brak dla $\Delta<0$.

Przykład: $x^2-5x+6=0$: $\Delta=1$, $x_1=2$, $x_2=3$.

Do czego służy: Trzy równoważne wzory opisujące ruch z stałym przyspieszeniem $a$ — dobierz ten, który pasuje do danych zadania.

Zmienne

• $v_0$ — prędkość początkowa (m/s)
• $v$ — prędkość końcowa (m/s)
• $a$ — przyspieszenie (m/s²)
• $t$ — czas (s)
• $s$ — droga przebyta od chwili $t=0$ (m)

Który wzór wybrać?

• Masz $v_0$, $a$, $t$ → szukasz $s$: użyj $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$
• Masz $v_0$, $a$, $t$ → szukasz $v$: użyj $v = v_0 + at$
• Nie masz czasu $t$ → szukasz $v$ przez $s$: użyj $v^2 = v_0^2 + 2as$

Swobodny spadek

Wstaw $a = g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2$ (lub 10 m/s²) i $v_0 = 0$ (upuszczamy z ręki).

Przykład

Ciało spada swobodnie z $h = 20 \text{ m}$. Jaka prędkość przy zderzeniu?

1. $v_0 = 0$, $a = g = 10 \text{ m/s}^2$, $s = 20 \text{ m}$
2. $v^2 = 0 + 2 \cdot 10 \cdot 20 = 400 \Rightarrow v = 20 \text{ m/s}$

⚠️ Częsty błąd: Wzór $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ — to $\frac{1}{2}at^2$, nie $at^2$! Jedynka nad dwójką jest nieodłączna.

Do czego służy: Opisuje ruch ciała po okręgu — prędkość, przyspieszenie dośrodkowe i siłę potrzebną do utrzymania ruchu.

Zmienne

• $r$ — promień okręgu (m)
• $v$ — prędkość liniowa (m/s)
• $T$ — okres obiegu (s)
• $f = 1/T$ — częstotliwość (Hz)
• $\omega = 2\pi f$ — prędkość kątowa (rad/s)
• $a_d$ — przyspieszenie dośrodkowe (m/s²) — skierowane ku środkowi
• $F_d$ — siła dośrodkowa (N) — np. tarcie, napięcie liny, grawitacja

Jak stosować

1. Znajdź prędkość: $v = \frac{2\pi r}{T}$ lub podano
2. Oblicz przyspieszenie: $a_d = \frac{v^2}{r}$
3. Oblicz siłę: $F_d = ma_d = \frac{mv^2}{r}$
4. Identyfikuj, co dostarcza siły dośrodkowej (tarcie, lina, grawitacja...)

Przykład

Samochód 1000 kg jedzie po zakręcie $r = 50$ m z $v = 20$ m/s. Minimalne tarcie?

1. $F_d = \frac{mv^2}{r} = \frac{1000 \cdot 400}{50} = 8000 \text{ N}$

⚠️ Częsty błąd: „Siła odśrodkowa" to siła pozorna (fikcyjna) w nieinercjalnym układzie odniesienia. W zadaniach używaj siły dośrodkowej.

Do czego służy: Opisuje lot ciała wyrzuconego poziomo — rozkłada ruch na niezależne składowe: poziomą (jednostajną) i pionową (swobodny spadek).

Zmienne

• $v_0$ — prędkość pozioma (stała przez cały lot, m/s)
• $x$ — przemieszczenie poziome (m)
• $y$ — przemieszczenie pionowe (m, liczone w dół)
• $g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2$ — przyspieszenie grawitacyjne
• $t$ — czas (s)

Jak stosować — krok po kroku

1. Rozdziel ruch: poziomo $x = v_0 t$, pionowo $y = \frac{1}{2}gt^2$
2. Wyznacz czas lotu z wysokości $h$: $h = \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
3. Oblicz zasięg poziomy: $x = v_0 \cdot t$
4. Prędkość wypadkowa w dowolnej chwili: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$, gdzie $v_x = v_0$, $v_y = gt$

Przykład

Piłka wyrzucona poziomo z $v_0 = 15 \text{ m/s}$ z wysokości $h = 20 \text{ m}$. Jaki zasięg?

1. $t = \sqrt{\frac{2 \cdot 20}{10}} = \sqrt{4} = 2 \text{ s}$
2. $x = 15 \cdot 2 = 30 \text{ m}$

⚠️ Częsty błąd: W rzucie poziomym $v_x$ jest stała i równa $v_0$ przez cały lot — grawitacja nie wpływa na składową poziomą!

Do czego służy: Opisuje tor lotu ciała wyrzuconego pod kątem $\alpha$ do poziomu (np. piłki, pocisku). Rozkłada ruch na składową poziomą i pionową.

Zmienne

• $v_0$ — prędkość początkowa (m/s)
• $\alpha$ — kąt wyrzutu (od poziomu)
• $v_{0x} = v_0\cos\alpha$ — składowa pozioma (stała)
• $v_{0y} = v_0\sin\alpha$ — składowa pionowa (maleje do zera w szczycie)

Ważne wyniki

• Czas lotu: $t_{\text{lotu}} = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}$
• Zasięg: $x_{\text{max}} = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$ (max dla $\alpha = 45°$)
• Wysokość max: $h_{\text{max}} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}$

Jak stosować

1. Rozłóż $v_0$ na składowe: $v_{0x} = v_0\cos\alpha$, $v_{0y} = v_0\sin\alpha$
2. Traktuj poziomo i pionowo niezależnie
3. Poziomo: $x = v_{0x} \cdot t$ (ruch jednostajny)
4. Pionowo: $y = v_{0y} t - \frac{1}{2}gt^2$ (ruch opóźniony, potem swobodny spadek)

Przykład

Piłka wyrzucona pod $\alpha = 30°$ z $v_0 = 20$ m/s. Zasięg?

1. $x = \frac{20^2 \cdot \sin 60°}{10} = \frac{400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{10} = 20\sqrt{3} \approx 34{,}6$ m

⚠️ Częsty błąd: Nie mylić rzutu poziomego (gdzie $v_{0y} = 0$) z rzutem ukośnym (gdzie $v_{0y} = v_0\sin\alpha \neq 0$). W rzucie poziomym $\alpha = 0°$.

Do czego służy: Ocena efektywności urządzenia — jaka część dostarczonej energii jest rzeczywiście wykorzystana, a jaka zmarnowana (np. na ciepło).

Zmienne

• $\eta$ (eta) — sprawność (w ułamku lub procentach, zawsze $0 \leq \eta \leq 1$)
• $W_{\text{użyteczna}}$ — praca/energia użyteczna (J)
• $W_{\text{dostarczona}}$ — całkowita energia wejściowa (J)
• Straty: $W_{\text{straty}} = W_{\text{dostarczona}} - W_{\text{użyteczna}}$

Sprawność różnych urządzeń

• Żarówka tradycyjna: ok. 5% (reszta to ciepło)
• Silnik spalinowy: 25–40%
• Silnik elektryczny: 85–98%
• Żaden silnik nie osiąga 100% (II zasada termodynamiki)

Przykład

Dźwig pobiera 5000 J energii i unosi ciężar o $E_p = 3500$ J. Sprawność?

1. $\eta = \frac{3500}{5000} = 0{,}70 = 70\%$

⚠️ Częsty błąd: Sprawność nigdy nie może przekroczyć 100%! Jeśli wychodzi więcej niż 100% — masz błąd w obliczeniach lub przekręcone dane (licznik i mianownik odwrotnie).

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej.

Przykład: $a=6$, $b=8$: $c=\sqrt{36+64}=10$.

Rozwiązaniem jest para liczb spełniająca oba równania jednocześnie.

Przykład: $\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}\Rightarrow x=3,\ y=2$.

Do czego służy: Obliczanie okresu drgań wahadła matematycznego (np. zegar) i oscylatora sprężynowego (np. ciężarek na sprężynie).

Zmienne — wahadło matematyczne

• $T$ — okres (czas jednego pełnego wahnięcia, s)
• $l$ — długość nici (m)
• $g \approx 9{,}81$ m/s² — przyspieszenie grawitacyjne

Zmienne — sprężyna (prawo Hooke'a + drgania)

• $m$ — masa na sprężynie (kg)
• $k$ — stała sprężystości (N/m)
• Siła sprężyny: $F = -kx$ (proporcjonalna do wychylenia, skierowana ku równowadze)

Jak stosować

1. Wahadło: $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ — okres nie zależy od masy i amplitudy (przy małych wychyleniach)
2. Sprężyna: $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ — cięższy ciężarek = dłuższy okres; twardsza sprężyna = krótszy
3. Częstotliwość: $f = 1/T$

Przykład

Wahadło $l = 1$ m na Ziemi. Okres?

1. $T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}81}} = 2\pi \cdot 0{,}319 \approx 2$ s

⚠️ Częsty błąd: Okres wahadła zależy od długości nici, nie od masy! Cięższy i lżejszy wahadło tej samej długości bije tak samo.

Decyduje o liczbie miejsc zerowych: 2 ($\Delta>0$), 1 ($\Delta=0$), 0 ($\Delta<0$).

Przykład: $x^2-6x+9$: $\Delta=36-36=0$ — jedno miejsce zerowe.

$a$ — współczynnik kierunkowy, $b$ — punkt przecięcia z osią $Oy$: $(0,b)$.

Przykład: $f(x)=2x-3$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-3)$.

Związki między pierwiastkami a współczynnikami (dla $\Delta\ge0$).

Przykład: $x^2-7x+10=0$: $x_1+x_2=7$, $x_1x_2=10$, czyli $2$ i $5$.