Matematyka — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Wyrażenie $(a+b)^2$ jest równe:
Wypisz trzy wzory skróconego mnożenia i podaj przykład liczbowy do trzeciego z nich.
Oblicz $53^2-47^2$ bez podnoszenia do kwadratu.
Które wyrażenie jest zawsze nieujemne dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$?
Rozłóż na czynniki wyrażenie $x^2-25$.
Wyrażenie $x^2+6x+9$ można zapisać jako:
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $x^2+4x+5>0$.
Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi:
Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $x^2+1\ge2x$.
Wyrażenie $(a-b)^2$ jest równe:
Oblicz $102^2$, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest zawsze parzysty.
Wyrażenie $|x|\cdot|y|$ jest równe:
Wykaż, że wyrażenie $x^2-8x+20$ przyjmuje tylko wartości dodatnie, i podaj jego wartość najmniejszą.
Liczba parzysta zapisana ogólnie to:
Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych daje przy dzieleniu przez $8$ resztę $2$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ zachodzi $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$.
Wykaż, że jeśli $n$ jest liczbą całkowitą, to wyrażenie $n^2+n$ jest zawsze parzyste.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi $a^2+b^2\ge2ab$, i wyjaśnij, kiedy zachodzi równość. Podaj zastosowanie tej nierówności.
Wyróżnik (delta) funkcji $f(x)=ax^2+bx+c$ dany jest wzorem:
Oblicz deltę funkcji $f(x)=x^2-6x+5$.
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x)=x^2-6x+5$.
Ramiona paraboli $y=3x^2-x+2$ są skierowane:
Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli $f(x)=x^2-4x+1$.
Ile miejsc zerowych ma funkcja, gdy $\Delta\lt 0$?
Rozwiąż równanie $x^2-7x+12=0$.
Zapisz w postaci kanonicznej funkcję $f(x)=x^2-4x+1$.
Punkt przecięcia paraboli $f(x)=x^2-4x+1$ z osią $OY$ to:
Dla jakiego argumentu funkcja $f(x)=-2x^2+8x-3$ osiąga wartość największą i ile ona wynosi?
Postać iloczynowa funkcji o miejscach zerowych $2$ i $-3$ oraz $a=1$ to:
Rozwiąż równanie $2x^2-8=0$.
Rozwiąż równanie $x^2+5x=0$.
Osią symetrii paraboli $f(x)=x^2-4x+1$ jest prosta:
Rozwiąż nierówność $x^2-6x+5>0$.
Ile miejsc zerowych ma funkcja $f(x)=x^2-6x+9$?
Rozwiąż nierówność $-x^2+4x-3\ge0$.
Suma dwóch liczb wynosi $10$. Jaki jest największy możliwy iloczyn tych liczb?
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku $W=(1,-4)$ przechodząca przez punkt $(3,0)$.
Wykaż, że funkcja $f(x)=x^2+2x+5$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.
Funkcja $y=2x-4$ ma miejsce zerowe:
Wyznacz wartość funkcji $y=3x+1$ dla $x=2$.
Funkcja $y=-x+5$ jest:
Prosta $y=ax+3$ przechodzi przez $(1,5)$. Wyznacz $a$.
Napisz wzór prostej przechodzącej przez $(0,2)$ i $(2,8)$.
Podaj wzór prostej równoległej do $y=2x-1$ przechodzącej przez $(0,4)$.
Miejsce zerowe $y=5x-10$?
Wartość $y=2x+3$ dla $x=5$?
$y=4x-1$ jest:
Prosta $y=ax-1$ przechodzi przez $(2,5)$. Wyznacz $a$.
Wzór prostej przez $(0,3)$ i $(3,0)$?
Punkt przecięcia $y=2x+1$ z osią $OY$?
Proste $y=3x$ i $y=3x+2$ są:
Współczynnik prostej przez $(1,1)$ i $(3,7)$?
Prosta prostopadła do $y=2x$ przez $(0,1)$?
Dla jakiego $x$ funkcja $y=-2x+8$ ma wartość $0$?
Prosta $y=-3$ jest:
Punkt przecięcia $y=x$ i $y=-x+4$?
Wzór prostej o współczynniku $-2$ przez $(1,3)$?
Taksówka: opłata $8$ zł + $2$ zł/km. Napisz wzór kosztu $y$ od $x$ km i oblicz koszt $10$ km.
Koszt taksówki opisuje funkcja $K(x)=3x+8$, gdzie $x$ to liczba kilometrów. Co oznacza liczba $8$?
Dla funkcji $K(x)=3x+8$ oblicz koszt przejazdu $10$ km.
Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej wynosi $-2$. Czy funkcja rośnie, czy maleje?
Funkcja liniowa jest stała, gdy jej współczynnik kierunkowy:
Firma płaci $50$ zł za dzień plus $20$ zł za każdą przepracowaną godzinę. Zapisz wynagrodzenie jako funkcję liczby godzin $x$.
Dla wynagrodzenia $W(x)=20x+50$ oblicz, ile godzin trzeba przepracować, aby zarobić $210$ zł.
Wykres funkcji liniowej $f(x)=2x-6$ przecina oś OX w punkcie:
Zbiornik zawierał $100$ litrów wody i jest opróżniany w tempie $5$ litrów na minutę. Zapisz funkcję objętości wody po $t$ minutach i oblicz, po ilu minutach zbiornik będzie pusty.
Które dwie proste są równoległe?
Dwie firmy kurierskie: pierwsza pobiera $15$ zł plus $2$ zł za kilometr, druga $5$ zł plus $4$ zł za kilometr. Przy jakiej liczbie kilometrów koszt będzie taki sam?
Funkcja liniowa przechodzi przez punkty $(0,\,2)$ i $(1,\,5)$. Jej współczynnik kierunkowy wynosi:
Temperatura wody spada liniowo. Po $2$ minutach wynosiła $80^\circ$C, po $5$ minutach $50^\circ$C. Wyznacz wzór funkcji temperatury.
Funkcja $f(x)=ax+b$ jest rosnąca i ma dodatni wyraz wolny. Który wykres to opisuje?
Rower kosztuje $1200$ zł. Ala oszczędza $80$ zł tygodniowo i ma już $400$ zł. Po ilu tygodniach uzbiera na rower?
Dla jakiej wartości $m$ funkcja $f(x)=(m-3)x+5$ jest malejąca?
Prosta $y=-\tfrac13 x+2$ jest prostopadła do prostej o współczynniku kierunkowym:
Dwa pociągi jadą po tym samym torze. Odległość pierwszego od stacji: $d_1(t)=60t$, drugiego: $d_2(t)=40t+30$ (w km, $t$ w godzinach). Po jakim czasie pierwszy dogoni drugiego?
Wyznacz wzór funkcji liniowej, której miejscem zerowym jest $x=4$, a wartość dla $x=0$ wynosi $-8$.
Plan telefoniczny A: $30$ zł miesięcznie bez limitu. Plan B: $10$ zł plus $0{,}20$ zł za minutę. Przy ilu minutach plany kosztują tyle samo i który jest tańszy przy $150$ minutach?
Świeca ma początkowo $24$ cm i skraca się o $3$ cm na godzinę. Zapisz funkcję długości, oblicz długość po $5$ godzinach i wyznacz dziedzinę wynikającą z treści zadania.
Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x)=2x-8$.
Funkcja $f(x)=-3x+7$ jest:
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(1,2)$ i $B=(3,8)$.
W którym punkcie wykres funkcji $f(x)=5x-10$ przecina oś $OY$?
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej $y=2x+1$ i przechodzącej przez punkt $(0,3)$.
Który punkt należy do wykresu funkcji $f(x)=-x+6$?
Dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja $f(x)=(m-2)x+5$ jest funkcją stałą?
Dla jakich wartości parametru $m$ funkcja $f(x)=(m-2)x+5$ jest rosnąca?
Rozwiąż układ równań metodą podstawiania: $\begin{cases}y=2x-1 \\ 3x+y=9\end{cases}$
Układ $\begin{cases}2x+3y=5 \\ 4x+6y=12\end{cases}$ jest:
Funkcja liniowa spełnia warunki $f(1)=3$ oraz $f(-2)=-3$. Wyznacz jej wzór.
Prosta $y=-2x+6$ wraz z osiami układu współrzędnych ogranicza trójkąt. Oblicz jego pole.
Opłata za przejazd taksówką składa się z opłaty początkowej $8$ zł oraz $3$ zł za każdy kilometr. Zapisz wzór funkcji opisującej koszt przejazdu i oblicz, ile kilometrów przejechano, jeśli zapłacono $38$ zł.
Dla jakiej wartości parametru $m$ proste $y=(m+1)x-3$ oraz $y=4x+2$ są równoległe?
Miejscem zerowym funkcji $f(x)=-2x+6$ jest:
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $(0,0)$ i $(4,2)$ wynosi:
Zbiorem wartości funkcji liniowej $f(x)=ax+b$ przy $a\ne0$ jest:
Rozwiąż nierówność $3x-6>0$ i zapisz wynik w postaci przedziału.
Wyznacz równanie prostej o współczynniku kierunkowym $a=-3$ przechodzącej przez punkt $(2,5)$.
Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostych $y=2x-3$ oraz $y=-x+6$.
Funkcja liniowa ma postać:
Oblicz wartość funkcji $f(x)=2x-3$ dla $x=4$.
Współczynnik kierunkowy funkcji $y=3x+5$ wynosi:
Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x)=2x-8$.
Funkcja $y=ax+b$ jest rosnąca, gdy:
Sprawdź, czy punkt $A=(2,7)$ należy do wykresu funkcji $f(x)=3x+1$.
Wyznacz miejsce zerowe i punkt przecięcia z osią $OY$ funkcji $f(x)=-\frac12 x+3$.
Funkcja $y=5$ (stała) jest:
Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $(0,2)$ i $(1,5)$.
Dwie proste są równoległe, gdy mają:
Podaj wzór prostej równoległej do $y=2x+1$ przechodzącej przez punkt $(0,-3)$.
Proste $y=2x+1$ i $y=-\frac12 x+4$ są:
Wyznacz wzór funkcji liniowej o współczynniku kierunkowym $-2$, której miejscem zerowym jest $x=3$.
Wykresem funkcji liniowej jest zawsze:
Wyznacz wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty $(1,3)$ i $(4,12)$.
Funkcja $f(x)=-3x+7$ jest:
Taksówka pobiera $8$ zł opłaty początkowej i $3$ zł za każdy kilometr. Zapisz koszt jako funkcję liczby kilometrów i oblicz koszt przejazdu $12$ km.
Dla jakiej wartości $m$ funkcja $f(x)=(m-2)x+5$ jest stała?
Proste $y=(2m+1)x+3$ i $y=5x-4$ są równoległe. Wyznacz $m$.
Wykaż, że dla dowolnych dwóch różnych punktów $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ o różnych odciętych współczynnik kierunkowy prostej $AB$ wynosi $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
Miejsce zerowe funkcji $f(x)=x-5$ to:
Oblicz $f(3)$ dla $f(x)=2x-1$.
Dziedziną funkcji $f(x)=\tfrac{1}{x}$ jest:
Oblicz $f(-2)$ dla $f(x)=x^2+1$.
Dla $f(x)=3x-6$ podaj argumenty, dla których $f(x)>0$.
Funkcja $f(x)=-2x+4$ jest rosnąca czy malejąca?
Oblicz $f(4)$ dla $f(x)=2x-3$.
Miejsce zerowe $f(x)=3x-12$?
Dziedzina $f(x)=\tfrac{1}{x-2}$:
$f(-3)$ dla $f(x)=x^2+1$?
Dla $f(x)=2x-8$ podaj $x$, gdy $f(x)>0$.
Czy $f(x)=-x+2$ jest malejąca?
Zbiór wartości $f(x)$ odczytujemy z osi:
$f(0)$ dla $f(x)=5x-2$?
Dziedzina $f(x)=\sqrt{x-1}$?
$f(2)+f(3)$ dla $f(x)=x$?
Element dziedziny nazywamy:
Dla $f(x)=x^2-1$ podaj $x$, gdy $f(x)=0$.
Zbiór wartości $f(x)=x^2$?
Funkcja $f(x)=|x|$ — podaj dziedzinę i zbiór wartości.
Dana jest funkcja $f(x)=3x-5$. Oblicz $f(4)$.
Dla funkcji $f(x)=x^2-4$ oblicz $f(0)$, $f(3)$ oraz $f(-3)$.
Dla funkcji $f(x)=2x+1$ wyznacz argument, dla którego wartość funkcji wynosi $9$.
Jaka jest dziedzina funkcji $f(x)=\frac{5}{x-3}$?
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\sqrt{x-2}$.
Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x)=4x-12$.
Który z podanych przyporządkowań nie jest funkcją?
Funkcja $f$ ma dziedzinę $\langle -3,\,5\rangle$. Na wykresie funkcja rośnie na przedziale $\langle -3,\,1\rangle$, a maleje na $\langle 1,\,5\rangle$. Podaj argument, dla którego funkcja osiąga wartość największą, i uzasadnij.
Funkcja $f(x)=-2x+6$ jest:
Funkcja dana jest tabelką: $f(1)=3$, $f(2)=6$, $f(3)=9$, $f(4)=12$. Podaj wzór tej funkcji i oblicz $f(10)$.
Do wykresu funkcji $f(x)=x^2-1$ należy punkt:
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x)=x^2-9$ oraz podaj, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$.
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=x^2+2$ jest:
Sprawdź, czy punkty $A=(1,\,4)$ i $B=(-2,\,-5)$ należą do wykresu funkcji $f(x)=3x+1$.
Wykres funkcji przecina oś OY w punkcie o współrzędnych:
Funkcja $f$ przyporządkowuje liczbie naturalnej resztę z dzielenia tej liczby przez $3$. Oblicz $f(7)$, $f(9)$ i $f(11)$ oraz podaj zbiór wartości tej funkcji.
Koszt wynajmu roweru to $15$ zł opłaty stałej plus $4$ zł za każdą godzinę. Zapisz koszt jako funkcję liczby godzin, oblicz koszt wynajmu na $5$ godzin i sprawdź, na ile godzin wystarczy $51$ zł.
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x)=(x-2)(x+5)$ i podaj współrzędne punktu przecięcia jej wykresu z osią OY.
Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{x+3}{x-1}$. Wyznacz jej dziedzinę, oblicz $f(4)$ i sprawdź, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość $0$.
Kwantyfikator „dla każdego" oznaczamy symbolem:
Zdanie „$2+2=4$" jest:
Spójnik „i" to:
Podaj zaprzeczenie zdania „każda liczba jest dodatnia".
Czy zdanie „$3>5$" jest prawdziwe, czy fałszywe?
Symbol $\in$ oznacza jaką relację?
Kwantyfikator „istnieje" to:
Zdanie „$5\lt 3$" jest:
Podaj zaprzeczenie „wszyscy zdali".
Spójnik „lub" to:
Symbol $\subset$ oznacza?
Czy „$2$ jest liczbą pierwszą" to zdanie prawdziwe?
Implikacja to spójnik:
Kwantyfikator „dla każdego"?
Czy zdanie „$x+1=3$" jest zdaniem logicznym?
Zaprzeczenie „istnieje liczba parzysta" to?
$3\in\{1,2,3\}$ jest:
Podaj przykład zdania fałszywego z matematyki.
Koniunkcja zdań „$2>1$" i „$3>2$" jest?
Oceń prawdziwość: „dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $x^2\geq0$".
Dane są zbiory $A=\{1,2,3,4\}$ i $B=\{3,4,5\}$. Wyznacz $A\cap B$.
Dane są zbiory $A=\{1,2,3,4\}$ i $B=\{3,4,5\}$. Wyznacz $A\cup B$.
Dane są zbiory $A=\{1,2,3,4\}$ i $B=\{3,4,5\}$. Wyznacz różnicę $A\setminus B$.
Który zapis oznacza, że liczba $3$ należy do zbioru $A$?
Zapisz przedział liczb $x$ spełniających warunek $2\le x\lt 7$ i podaj, czy $2$ i $7$ do niego należą.
Który przedział opisuje warunek $x>5$?
Wyznacz część wspólną przedziałów $\langle 1,\,6\rangle$ i $\langle 4,\,9\rangle$.
Wyznacz sumę przedziałów $(-\infty,\,3)$ i $\langle 0,\,+\infty)$.
Ile podzbiorów ma zbiór $\{a,\,b,\,c\}$?
Zapisz zbiór $A=\{x\in\mathbb{N}:\ x\lt 6\}$ w postaci wypisania elementów.
Wartość bezwzględna $|-9|$ wynosi:
Rozwiąż równanie $|x|=7$.
Wyznacz różnicę przedziałów $\langle 0,\,10\rangle\setminus\langle 3,\,6\rangle$.
Nierówność $|x|\lt 3$ jest równoważna warunkowi:
Dane są zbiory $A=\{2,4,6,8\}$ i $B=\{1,2,3,4\}$. Wyznacz $(A\cup B)\setminus(A\cap B)$.
Ile liczb całkowitych należy do przedziału $(-2,\,4\rangle$?
Zapisz za pomocą przedziału zbiór rozwiązań nierówności $x\ge -2$.
Rozwiąż równanie $|x-4|=3$.
Zapisz zbiór rozwiązań nierówności $|x|\ge 2$ za pomocą sumy przedziałów.
Dane są przedziały $A=(-3,\,5\rangle$ i $B=\langle 2,\,8)$. Wyznacz $A\cap B$, $A\cup B$ oraz $A\setminus B$.
Która liczba jest liczbą pierwszą?
Rozłóż liczbę $60$ na czynniki pierwsze.
Oblicz NWD$(24,\ 36)$ i NWW$(24,\ 36)$.
Ile wynosi $\log_{10}1000$?
W skali logarytmicznej (o podstawie $10$) jaką „odległość" mają liczby $10$ i $1000$?
Ile dzielników ma liczba $12$?
Ile dzielników ma liczba $72$? Skorzystaj z rozkładu na czynniki pierwsze.
Oblicz $\log_{10}0{,}001$.
Liczba $2^{10}=1024$. Ile wynosi $\log_2 1024$?
Skala Richtera jest logarytmiczna. Trzęsienie o magnitudzie $6$ ma amplitudę $10$ razy większą niż o magnitudzie $5$. Ile razy większa jest amplituda przy magnitudzie $8$ niż $5$?
Która para liczb jest względnie pierwsza (NWD$=1$)?
Oblicz $\log_{10}100+\log_{10}10$.
Znajdź najmniejszą liczbę naturalną większą od $1$, która dzieli się przez $2$, $3$ i $5$.
Ile wynosi $\log_{10}1$?
Ile jest liczb pierwszych mniejszych od $20$? Wypisz je.
W skali logarytmicznej równe odstępy odpowiadają:
Liczba ma rozkład $N=2^4\cdot3^2\cdot5$. Ile ma dzielników i ile z nich jest parzystych?
pH roztworu to $-\log_{10}[\text{H}^+]$, gdzie $[\text{H}^+]$ to stężenie jonów wodoru. Oblicz pH roztworu o stężeniu $[\text{H}^+]=10^{-4}$.
Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze parzysty.
Wykaż, że jeśli liczba naturalna dzieli się przez $9$, to suma jej cyfr również dzieli się przez $9$ (na przykładzie liczby trzycyfrowej).
Która z liczb jest niewymierna?
Zamień $\frac{3}{8}$ na ułamek dziesiętny i określ rodzaj rozwinięcia.
Zamień $\frac{1}{3}$ oraz $\frac{5}{11}$ na ułamki dziesiętne.
Ułamek $\frac{7}{40}$ ma rozwinięcie dziesiętne:
Podaj przykład liczby niewymiernej większej od $3$ i mniejszej od $4$.
Ile wynosi $\sqrt2\cdot\sqrt8$?
Zamień ułamek okresowy $0{,}(6)$ na ułamek zwykły.
Usuń niewymierność z mianownika: $\dfrac{6}{\sqrt3}$.
Która z liczb jest wymierna?
Oszacuj $\sqrt{50}$ między dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi.
Ułamek $\frac{5}{12}$ ma rozwinięcie:
Uprość: $\sqrt{18}+\sqrt{8}$.
Zamień $0{,}(27)$ na ułamek zwykły.
Ile wynosi $\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)$?
Które z liczb $\sqrt{49}$, $\sqrt{7}$, $\frac{22}{7}$, $\pi$ są wymierne?
Pierwiastek $\sqrt{n}$ jest liczbą wymierną wtedy, gdy:
Usuń niewymierność z mianownika: $\dfrac{4}{\sqrt7-\sqrt3}$.
Zamień $2{,}1(3)$ na ułamek zwykły.
Podaj przykład dwóch liczb niewymiernych, których suma jest wymierna, oraz dwóch, których suma jest niewymierna.
Wykaż, że liczba $\sqrt2$ jest niewymierna.
Ile wynosi $2^3\cdot2^2$?
Oblicz $\sqrt{49}$.
Ile wynosi $2^{-2}$?
Oblicz $|{-7}|+|3|$.
Oblicz $(2^3)^2$.
Oblicz $\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}$.
Oblicz $\sqrt{64}$.
Oblicz $3^3$.
Liczba $\sqrt{3}$ jest:
Oblicz $2^{-3}$.
Oblicz $|{-12}|-|5|$.
Oblicz $\sqrt{50}$ w postaci $a\sqrt{b}$.
$2^5$ wynosi:
Oblicz $\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}$.
Oblicz $(3^2)^2$.
Oblicz $\log_2 4$.
Oblicz $\tfrac{2^6}{2^2}$.
Liczba $0{,}25$ to:
Oblicz $\sqrt{8}+\sqrt{2}$.
Wykaż, że $\sqrt{2}$ jest niewymierna? Podaj przybliżenie do $0{,}01$.
Liczba dzieli się przez $3$, gdy:
Sprawdź, czy liczba $4128$ dzieli się przez $4$.
Liczba $\pi$ jest liczbą:
Oblicz długość okręgu o promieniu $7$. Przyjmij $\pi\approx\frac{22}{7}$.
Które rozwinięcie dziesiętne ma liczba wymierna?
Czy liczba $2520$ dzieli się przez $9$?
Zamień ułamek okresowy $0{,}(7)$ na ułamek zwykły.
Liczba dzieli się przez $6$, gdy dzieli się jednocześnie przez:
Promień koła wynosi $5$. Oblicz długość okręgu i pole koła (z $\pi$).
Która liczba jest podzielna przez $5$, ale nie przez $2$?
Rozwinięcie dziesiętne liczby $\frac{3}{8}$ jest:
Długość okręgu wynosi $18\pi$. Oblicz jego promień i średnicę.
Zamień $0{,}(12)$ na ułamek zwykły.
Liczba dzieli się przez $10$, gdy:
Koło rowerowe ma promień $35$ cm. Ile metrów przejedzie rower po $100$ obrotach? Przyjmij $\pi\approx\frac{22}{7}$.
Ułamek $\frac{5}{6}$ ma rozwinięcie:
Znajdź największą liczbę trzycyfrową podzielną jednocześnie przez $4$ i przez $9$.
Wykaż, że $0{,}(9)=1$.
Dla jakiej cyfry $c$ liczba $\overline{4c2}$ (trzycyfrowa) dzieli się przez $3$? Podaj wszystkie możliwości.
Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $3$, korzystając z cechy podzielności lub algebry.
Oblicz $\log_2 32$.
Oblicz $\log_3 9+\log_3 27$, korzystając z własności logarytmów.
Oblicz $8^{\frac{2}{3}}$ oraz $16^{-\frac{1}{2}}$.
Uprość wyrażenie $\sqrt{50}$.
Usuń niewymierność z mianownika: $\frac{6}{\sqrt{3}}$.
Usuń niewymierność z mianownika: $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.
Oblicz $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.
Oblicz $\log_8 32$, korzystając ze wzoru na zmianę podstawy.
Która z liczb jest niewymierna: $\sqrt{16}$, $0{,}(6)$, $\sqrt{7}$, $\frac{22}{7}$? Uzasadnij.
Cena towaru wzrosła o $20\%$, a następnie spadła o $20\%$. O ile procent zmieniła się cena względem początkowej?
Ile wynosi $\log_a 1$ dla dowolnej dopuszczalnej podstawy $a$?
Oblicz $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}$ oraz $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$.
Oblicz wartość wyrażenia $\log_2 8+\log_3 \frac{1}{9}-\log_5 1$.
Zapisz w postaci jednej potęgi: $\frac{2^7\cdot 2^{-3}}{2^2}$.
Wykaż, że liczba $\sqrt{12}+\sqrt{27}$ jest równa $5\sqrt{3}$.
Rozwinięcie dziesiętne liczby $\frac{1}{3}$ to:
Kapitał $5000$ zł ulokowano na $3\%$ w skali roku. Po ilu latach przekroczy $5500$ zł? Skorzystaj z tego, że $1{,}03^3\approx1{,}0927$ oraz $1{,}03^4\approx1{,}1255$.
Oblicz $\sqrt[3]{-27}+\sqrt{81}$.
Liczba $x$ stanowi $40\%$ liczby $y$, a liczba $y$ stanowi $150\%$ liczby $z$. Jakim procentem liczby $z$ jest $x$?
Wykaż, że jeśli $\log_2 a=3$, to $\log_2(4a)=5$.
$$\log_a b=c \iff a^c=b$$
przy założeniach $a>0$, $a\ne1$, $b>0$. Logarytm odpowiada na pytanie: do której potęgi podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę.
$$\log_a1=0,\qquad \log_aa=1,\qquad a^{\log_ab}=b$$
$$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$$
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay$$
$$\log_ax^k=k\log_ax$$
Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie, dzielenie na odejmowanie, a potęgowanie na mnożenie — to czyni go głównym narzędziem przy równaniach wykładniczych.
$$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca},\qquad \log_ab=\frac{1}{\log_ba}$$
Przykład: $\log_832=\frac{\log_232}{\log_28}=\frac{5}{3}$.
$\log x$ to logarytm dziesiętny (podstawa $10$), a $\ln x$ — naturalny (podstawa $e\approx2{,}718$).
Nie istnieje wzór na $\log_a(x+y)$. W równaniach logarytmicznych zawsze zaczynaj od wyznaczenia dziedziny — argument musi być dodatni, co zwykle eliminuje część formalnie otrzymanych rozwiązań.
$$f(x)=ax+b$$
Wykresem jest prosta. Współczynnik $a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ to wyraz wolny — rzędna punktu przecięcia z osią $OY$.
$$ax+b=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{b}{a}\qquad(a\ne0)$$
Z dwóch punktów $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$:
$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad y-y_1=a(x-x_1)$$
$$l_1\parallel l_2 \iff a_1=a_2,\qquad l_1\perp l_2 \iff a_1a_2=-1$$
Interpretacja geometryczna liczby rozwiązań:
Prosta pionowa $x=c$ nie jest funkcją i nie ma współczynnika kierunkowego — nie da się jej zapisać w postaci $y=ax+b$. Warunek prostopadłości zawodzi też dla pary prosta pozioma–pionowa; ten przypadek rozpatruj osobno.
Proste równoległe przecinające ramiona kąta wyznaczają na nich odcinki proporcjonalne:
$$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|A_1B_1|}{|B_1C_1|}$$
Twierdzenie odwrotne pozwala z proporcji wnioskować o równoległości — pod warunkiem, że odcinki odkładamy od wierzchołka kąta w tym samym kierunku.
Jeśli figury są podobne w skali $k$, to:
$$\frac{\text{obwody}}{\ }=k,\qquad \frac{P_1}{P_2}=k^2,\qquad \frac{V_1}{V_2}=k^3$$
Długości rosną jak $k$, pola jak $k^2$, a objętości jak $k^3$.
W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej, więc $R=\frac{c}{2}$.
Pole nie rośnie liniowo ze skalą. Jeśli pole wzrosło $16$ razy, skala wynosi $k=4$, nie $16$. Środek okręgu opisanego może leżeć poza trójkątem (przy kącie rozwartym), a wpisanego — zawsze wewnątrz.
$A\cup B$ — suma (elementy należące do któregokolwiek), $A\cap B$ — część wspólna (do obu), $A\setminus B$ — różnica (do $A$, ale nie do $B$).
$$\langle a,b\rangle=\{x: a\le x\le b\},\qquad (a,b)=\{x: a\lt x\lt b\}$$
Nawias ostry (domknięty) oznacza, że koniec należy do zbioru; okrągły — że nie należy. Przy $\pm\infty$ zawsze stosujemy nawias okrągły.
$$|x|=\begin{cases}x & \text{dla } x\ge0\\ -x & \text{dla } x\lt 0\end{cases}$$
Interpretacja geometryczna: $|x-c|$ to odległość punktu $x$ od punktu $c$ na osi liczbowej.
$$|x|=a \iff x=a \lor x=-a\qquad(a>0)$$
$$|x|\lt a \iff -a\lt x\lt a$$
$$|x|>a \iff x\lt -a \lor x>a$$
$$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
$$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$$
$$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$
Nierówność „mniejsze” daje jeden przedział (koniunkcja), „większe” — dwa rozłączne (alternatywa). Zapisu $-a\lt x\lt a$ nie wolno używać dla nierówności „większe”. Przy układzie nierówności bierzemy część wspólną, przy alternatywie — sumę.
Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi dziedziny przypisuje dokładnie jedną wartość. Zapisujemy $f:X\to Y$, $y=f(x)$.
Funkcja jest rosnąca, gdy dla $x_1\lt x_2$ zachodzi $f(x_1)\lt f(x_2)$, a malejąca, gdy $f(x_1)>f(x_2)$.
$$y=f(x)+q\ :\ \text{przesunięcie o } q \text{ wzdłuż } OY$$
$$y=f(x-p)\ :\ \text{przesunięcie o } p \text{ wzdłuż } OX$$
$$y=-f(x)\ :\ \text{symetria względem } OX$$
$$y=f(-x)\ :\ \text{symetria względem } OY$$
Przesunięcie o wektor $[p,q]$ daje łącznie $y=f(x-p)+q$.
$$y=\frac{a}{x},\qquad x\cdot y=a$$
Wykresem jest hiperbola; osie układu są jej asymptotami.
W zapisie $f(x-p)$ znak jest mylący: $f(x-3)$ przesuwa wykres w prawo o $3$. Przy osi $OY$ jest intuicyjnie: $f(x)+2$ to przesunięcie w górę.
To dwa (lub więcej) równania rozpatrywane jednocześnie. Rozwiązaniem jest para $(x,y)$ spełniająca oba równania naraz.
Z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy do drugiego:
$$\begin{cases}y=2x-1\\3x+y=9\end{cases} \Rightarrow 3x+(2x-1)=9 \Rightarrow x=2,\ y=3$$
Wygodna, gdy któraś niewiadoma ma współczynnik $1$.
Mnożymy równania tak, by współczynniki przy jednej niewiadomej były przeciwne, a następnie dodajemy stronami:
$$\begin{cases}2x+y=7\x-y=2\end{cases} \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3,\ y=1$$
$$\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\Rightarrow\text{oznaczony — proste przecinają się}$$
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\Rightarrow\text{nieoznaczony — proste się pokrywają}$$
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\Rightarrow\text{sprzeczny — proste równoległe rozłączne}$$
Schemat: oznacz niewiadome, zapisz dwa warunki jako równania, rozwiąż układ, sprawdź wynik w treści zadania. Klasyczny przykład: suma dwóch liczb wynosi $20$, różnica $4$ — dodanie równań daje $2x=24$.
Przed porównywaniem proporcji uporządkuj oba równania do postaci $ax+by=c$. Porównywanie współczynników z równań zapisanych w różnych postaciach prowadzi do błędnych wniosków o liczbie rozwiązań.
$$f(x)=ax^2,\qquad a\ne0$$
Wykresem jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych. Dla $a>0$ ramiona skierowane są w górę, dla $a\lt 0$ — w dół. Im większe $|a|$, tym parabola węższa.
$$y=ax^2+q\ :\ \text{przesunięcie o } q \text{ wzdłuż } OY$$
$$y=a(x-p)^2\ :\ \text{przesunięcie o } p \text{ wzdłuż } OX$$
Łącznie o wektor $[p,q]$:
$$y=a(x-p)^2+q$$
Z zapisu $f(x)=a(x-p)^2+q$ odczytujemy wierzchołek $W=(p,q)$ oraz oś symetrii $x=p$. Dla $a>0$ wartość $q$ jest najmniejszą wartością funkcji, dla $a\lt 0$ — największą.
$$f(x)=ax^2+bx+c$$
Współczynnik $c$ to rzędna punktu przecięcia z osią $OY$. Przejście z kanonicznej do ogólnej polega na rozwinięciu kwadratu: $(x-1)^2-4=x^2-2x-3$.
Zależą od położenia wierzchołka i kierunku ramion. Jeśli $a>0$ i $q>0$, parabola leży w całości nad osią $OX$ — miejsc zerowych nie ma (np. $f(x)=x^2+3$).
Znak w nawiasie jest mylący: $(x-3)^2$ przesuwa wykres w prawo o $3$, a $(x+2)^2$ w lewo o $2$. Przy osi $OY$ działa intuicyjnie: $+q$ to w górę.
Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi liczbowej — nigdy nie jest ujemna:
$$|a|=\begin{cases} a & \text{dla } a\ge 0 \\ -a & \text{dla } a\lt 0 \end{cases}$$
To najważniejsze narzędzie w tym dziale:
$$|a-b| = \text{odległość między liczbami } a \text{ i } b$$
Dlatego $|x-2|$ czytamy jako „odległość liczby $x$ od liczby $2$”, a samo $|x|$ jako „odległość $x$ od zera”.
Równanie $|W(x)|=a$ dla $a>0$ rozbijamy na dwa przypadki:
$$W(x)=a \quad \text{lub} \quad W(x)=-a$$
Przykład: $|x-3|=2$ daje $x-3=2$ lub $x-3=-2$, czyli $x=5$ lub $x=1$. Geometrycznie: szukamy liczb odległych o $2$ od liczby $3$.
Gdy $a\lt 0$, równanie nie ma rozwiązań — odległość nie może być ujemna. Gdy $a=0$, rozwiązanie jest jedno.
$$|x|\lt a \iff -a\lt x\lt a \qquad (a>0)$$
Rozwiązaniem jest przedział — liczby blisko zera. Przykład: $|x|\lt 4$ daje $x\in(-4,\,4)$.
$$|x|\ge a \iff x\le -a \ \text{ lub } \ x\ge a$$
Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów — liczby daleko od zera. Przykład: $|x|\ge3$ daje $x\in(-\infty,\,-3\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$.
$$|x-p|\lt r \iff x\in(p-r,\ p+r)$$
To przedział o środku $p$ i promieniu $r$ — bardzo wygodny sposób zapisu otoczenia punktu.
Najczęstszy błąd to podanie tylko jednego rozwiązania równania — pamiętaj o obu przypadkach. Drugi to pomylenie kierunku nierówności: „mniejsze” daje jeden przedział w środku, „większe” daje dwa przedziały po bokach. Zawsze warto naszkicować oś liczbową.
Zbiór to kolekcja elementów. Zapis $a\in A$ czytamy „$a$ należy do $A$”, a $a\notin A$ — „nie należy”. Symbol $\subset$ dotyczy dwóch zbiorów: $A\subset B$ znaczy, że każdy element $A$ jest też elementem $B$.
Różnica nie jest przemienna: $A\setminus B$ to zwykle co innego niż $B\setminus A$.
$$\text{zbiór } n\text{-elementowy ma } 2^n \text{ podzbiorów}$$
Wliczamy w to zbiór pusty i cały zbiór — o nich najłatwiej zapomnieć.
$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$
naturalne, całkowite, wymierne, rzeczywiste. Liczby niewymierne (np. $\sqrt2$, $\pi$) należą do $\mathbb{R}$, ale nie do $\mathbb{Q}$.
Przy nieskończoności zawsze nawias okrągły: $\langle 3,\,+\infty)$ — nieskończoność nie jest liczbą i nie może należeć do przedziału.
Warto naszkicować oba przedziały na jednej osi liczbowej.
Przykład: $\langle 1,\,6\rangle\cap\langle 4,\,9\rangle=\langle 4,\,6\rangle$.
Nie mylić $\in$ (element i zbiór) z $\subset$ (dwa zbiory). Przy liczeniu liczb całkowitych w przedziale sprawdź uważnie, czy końce należą — najczęstszy błąd to pomyłka o jeden. Jeśli przedziały nie mają części wspólnej, ich suma zostaje zapisana z symbolem $\cup$ i nie da się jej „skleić” w jeden przedział.
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad a^0=1 \ (a\neq0)$$
Ujemny wykładnik daje ułamek, a nie liczbę ujemną: $3^{-2}=\frac19$, a nie $-9$. Dla ułamka w podstawie działa to jak odwrócenie: $\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32$.
$$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},\qquad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$
Przykłady: $16^{\frac12}=4$, $8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=4$, $\left(\frac14\right)^{-\frac12}=4^{\frac12}=2$.
Praktyczna sztuczka: zamień podstawę na potęgę liczby pierwszej. $8^{\frac23}=(2^3)^{\frac23}=2^2=4$ liczy się szybciej niż przez pierwiastek.
$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab},\qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$
Dodawanie i odejmowanie nie rozdziela się pod pierwiastkiem: $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$, ale $\sqrt{25}=5$.
Szukamy największego kwadratu ukrytego w liczbie:
$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2,\qquad \sqrt{18}=3\sqrt2,\qquad \sqrt{32}=4\sqrt2$$
Po sprowadzeniu do tego samego pierwiastka można dodawać: $5\sqrt2+3\sqrt2=8\sqrt2$.
Istnieją także dla liczb ujemnych: $\sqrt[3]{-27}=-3$, bo $(-3)^3=-27$. Pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.
Pojedynczy pierwiastek — mnożymy przez niego licznik i mianownik:
$$\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$
Suma lub różnica — mnożymy przez sprzężenie, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:
$$\frac{4}{\sqrt5-1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{5-1}=\sqrt5+1$$
Zapis $\sqrt{a^2}=|a|$, a nie $a$ — dla $a=-3$ mamy $\sqrt{9}=3$. Pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, dlatego równanie $x^2=9$ ma dwa rozwiązania, ale $\sqrt9$ oznacza tylko $3$.
Wykres jest pełnym opisem funkcji — wystarczy wiedzieć, gdzie patrzeć.
Kółko puste oznacza, że punkt nie należy do wykresu, pełne — że należy.
To argumenty, dla których $f(x)=0$ — punkty przecięcia wykresu z osią $OX$. Odczytujemy ich pierwsze współrzędne.
Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0,\,f(0))$ — to nie jest miejsce zerowe.
Funkcja jest dodatnia tam, gdzie wykres leży nad osią $OX$, a ujemna tam, gdzie leży pod nią. Odpowiedź podajemy jako przedziały argumentów.
Monotoniczność zawsze podajemy w przedziałach, nigdy jako sumę przedziałów.
Odczytujemy je z osi $OY$ — jako wartości, nie argumenty. Dla $f(x)=-x^2+4$ największa wartość to $4$, osiągana dla $x=0$.
„Dla jakich $x$ zachodzi $f(x)=2$?” — prowadzimy poziomą prostą $y=2$ i odczytujemy pierwsze współrzędne punktów przecięcia. Rozwiązań może być kilka.
Test pionowej prostej: jeśli jakakolwiek prosta pionowa przecina wykres więcej niż raz, to nie jest wykres funkcji — jednemu argumentowi odpowiadałyby dwie wartości.
Wykres symetryczny względem osi $OY$ — funkcja parzysta ($f(-x)=f(x)$). Symetryczny względem początku układu — nieparzysta ($f(-x)=-f(x)$).
Najczęstsze pomyłki to mylenie argumentu z wartością (miejsce zerowe to $x$, a wartość największa to $y$) oraz podawanie monotoniczności jako sumy przedziałów — funkcja $f(x)=\frac1x$ maleje w $(-\infty,0)$ i osobno w $(0,+\infty)$, ale nie na sumie tych zbiorów.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
Warto znać też sześciany:
$$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$$
$$a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right),\qquad a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$$
$$(a+b)^2\neq a^2+b^2$$
Brakuje środkowego wyrazu $2ab$. Łatwo to sprawdzić liczbami: $(2+3)^2=25$, ale $4+9=13$.
$$(2x-5)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot5+25=4x^2-20x+25$$
Do kwadratu podnosimy cały jednomian — również liczbę przed literą. Zapis $2x^2$ zamiast $4x^2$ to bardzo częsta pomyłka.
Od lewej do prawej — rozwijamy. Od prawej do lewej — rozkładamy na czynniki:
$$x^2-49=(x-7)(x+7),\qquad x^2-10x+25=(x-5)^2$$
Umiejętność rozpoznania wzoru w gotowym wyrażeniu jest cenniejsza niż samo mnożenie.
Najpierw wyłączamy wspólny czynnik, dopiero potem szukamy wzorów:
$$2x^3-18x=2x\left(x^2-9\right)=2x(x-3)(x+3)$$
Pominięcie pierwszego kroku daje rozkład niepełny. Wyłączamy zawsze największy wspólny czynnik — z $8x^2+12x$ wyłączamy $4x$, a nie samo $4$ czy samo $x$.
$$102^2=(100+2)^2=10\,000+400+4=10\,404$$
$$97\cdot103=(100-3)(100+3)=10\,000-9=9991$$
$$51\cdot49=2500-1=2499$$
Wzory zamieniają jedno trudne mnożenie na kilka łatwych działań.
$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$
Znając $a+b=7$ i $ab=10$, obliczymy $a^2+b^2=49-20=29$ bez wyznaczania samych liczb. To standardowy chwyt w zadaniach z sumą i iloczynem.
$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2$$
Ponieważ $(x-3)^2\ge0$, całe wyrażenie jest zawsze co najmniej równe $2$ — to standardowy sposób dowodzenia, że wyrażenie kwadratowe jest dodatnie, a przy okazji znajdujemy jego wartość najmniejszą.
Nie gub wyrazu $2ab$. Nie zapominaj o nawiasie przy odejmowaniu całego wyrażenia. I zawsze doprowadzaj rozkład do końca.
$$y=ax+b$$
Litera $a$ to współczynnik kierunkowy — mówi, o ile wzrasta $y$, gdy $x$ rośnie o jeden. Litera $b$ to wyraz wolny — wartość $y$ w punkcie przecięcia z osią $OY$.
$$a>0 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad a\lt 0 \Rightarrow \text{malejąca},\qquad a=0 \Rightarrow \text{stała}$$
Wyraz wolny nie wpływa na monotoniczność — przesuwa jedynie wykres w pionie.
$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
Mając $a$, wyznaczamy $b$ przez podstawienie współrzędnych dowolnego z punktów. Drugi punkt służy wtedy do sprawdzenia.
Przykład: dla $A=(1,5)$ i $B=(3,1)$ mamy $a=\frac{1-5}{3-1}=-2$, potem $5=-2+b$, czyli $b=7$ i ostatecznie $y=-2x+7$.
$$\text{równoległe}:\ a_1=a_2,\qquad \text{prostopadłe}:\ a_1\cdot a_2=-1$$
Warunek prostopadłości wygodnie stosuje się tak: odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Do prostej o $a=2$ prostopadła ma $a=-\frac12$; do prostej o $a=\frac13$ — $a=-3$.
Proste o równych $a$ i równych $b$ pokrywają się; równe $a$ i różne $b$ oznacza proste rozłączne.
$$Ax+By+C=0$$
Zamiana na postać kierunkową polega na wyznaczeniu $y$:
$$2x+3y-6=0 \ \Rightarrow\ y=-\tfrac23x+2$$
Postać ogólna obejmuje również proste pionowe ($B=0$), których nie da się zapisać jako $y=ax+b$.
Z osią $OY$: podstawiamy $x=0$ i otrzymujemy punkt $(0,\ b)$.
Z osią $OX$: rozwiązujemy $ax+b=0$, czyli szukamy miejsca zerowego $x=-\frac{b}{a}$.
Porównujemy prawe strony równań. Dla $y=2x-1$ i $y=-x+5$ dostajemy $3x=6$, czyli $x=2$ i $y=3$. Zawsze warto sprawdzić wynik w drugim równaniu.
Punkty leżą na jednej prostej dokładnie wtedy, gdy współczynnik kierunkowy liczony dla różnych par jest taki sam. Dla $(1,2)$, $(3,6)$ i $(5,10)$ oba wynoszą $2$, więc punkty są współliniowe, a prosta to $y=2x$.
Taksówka z opłatą $8$ zł i stawką $3$ zł za kilometr to $f(x)=3x+8$. Współczynnik kierunkowy jest tempem wzrostu kosztu, a wyraz wolny — kosztem stałym. Ten sam schemat opisuje abonamenty, rachunki za prąd czy koszt produkcji.
Nie myl $a$ z $b$ przy odczycie ze wzoru. Przy prostopadłości pamiętaj o zmianie znaku, nie tylko o odwróceniu ułamka. I sprawdzaj wynik, podstawiając punkt do równania.
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki. Każdą liczbę naturalną większą od $1$ można jednoznacznie rozłożyć na czynniki pierwsze.
Wyznaczamy je z rozkładu na czynniki. Zachodzi $\operatorname{NWD}(a,b)\cdot\operatorname{NWW}(a,b)=a\cdot b$.
Przez $2$, $5$, $10$ — z ostatniej cyfry; przez $3$ i $9$ — z sumy cyfr.
Skracanie ułamków, wspólny mianownik, zadania o okresowości.
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. Liczby wymierne to ułamki $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych, gdzie $q\neq0$.
Liczby wymierne mają rozwinięcie skończone albo nieskończone okresowe.
W zbiorze $\mathbb{Q}$ wykonalne są cztery działania (poza dzieleniem przez $0$).
Każdej liczbie wymiernej odpowiada punkt osi, lecz nie każdemu punktowi — liczba wymierna.
Liczby niewymiernej nie da się zapisać jako $\frac{p}{q}$; jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.
$\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$. Niewymierność $\sqrt{2}$ dowodzimy nie wprost.
Suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna, ale suma dwóch niewymiernych bywa wymierna, np. $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$.
Wymierne i niewymierne razem tworzą zbiór $\mathbb{R}$.
Przez $2$ (ostatnia cyfra parzysta), $5$ (cyfra $0$ lub $5$), $10$ (cyfra $0$).
Gdy suma cyfr jest podzielna przez $3$ (odpowiednio przez $9$).
Gdy liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez $4$ (odpowiednio $25$).
Ułatwia rozkład na czynniki i skracanie ułamków.
Układ to zbiór równań z tymi samymi niewiadomymi, rozwiązywany wspólnie.
Para $(x,y)$ spełniająca jednocześnie wszystkie równania.
Oznaczony (jedno rozwiązanie), sprzeczny (brak), nieoznaczony (nieskończenie wiele).
Podstawiania, przeciwnych współczynników oraz metoda graficzna.
Każde równanie liniowe $ax+by=c$ przedstawia prostą.
Rozwiązanie układu to współrzędne punktu wspólnego prostych.
Proste przecinają się (oznaczony), są równoległe różne (sprzeczny) albo pokrywają się (nieoznaczony).
Równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne oznaczają układ sprzeczny.
$y=ax+b$ opisuje stałe tempo zmian $a$ oraz wartość początkową $b$.
Koszt = opłata stała + cena za sztukę razy ilość; droga = prędkość razy czas.
$x=-\frac{b}{a}$ — argument, dla którego wielkość osiąga zero.
Dodatnie $a$ oznacza wzrost, ujemne — spadek, a $|a|$ to tempo zmian.
Kierunkowa $y=ax+b$ oraz ogólna $Ax+By+C=0$.
Proste równoległe: $a_1=a_2$. Prostopadłe: $a_1\cdot a_2=-1$.
Z dwóch punktów: $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, a $b$ z podstawienia.
$a>0$ — rosnąca, $a\lt 0$ — malejąca, $a=0$ — stała.
$L=2\pi r=\pi d$, gdzie $r$ to promień, a $d$ średnica.
$\pi=\frac{L}{d}$ — stały stosunek obwodu do średnicy; liczba niewymierna, $\pi\approx3{,}14159$.
Dla kąta środkowego $\alpha$ (w stopniach): $\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r$.
Obwody kół, długości łuków oraz miara łukowa kąta.
$\mathbb{R}$ obejmuje liczby wymierne i niewymierne — wypełniają całą oś liczbową.
Zbiory liczb zapisujemy jako przedziały, np. $\langle 2,5)$ oznacza $2\le x\lt 5$.
$|x|$ to odległość od zera; nierówność $|x|\lt a$ oznacza $-a\lt x\lt a$.
Zaokrąglenie liczby wiąże się z błędem bezwzględnym i względnym.
W każdym trójkącie kąty wewnętrzne sumują się do $180^\circ$.
Równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.
Równoboczny — kąty po $60^\circ$; prostokątny — kąty ostre sumują się do $90^\circ$.
Naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt.
Stosunek boków odpowiednich to skala podobieństwa $k$.
Pola figur podobnych są w stosunku $k^2$.
Obwody są w stosunku $k$.
Dla $k=3$ pole rośnie $9$ razy.
$y=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq0$.
$y=a(x-p)^2+q$; wierzchołek $(p,q)$.
$p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$.
Skierowane w górę dla $a>0$, w dół dla $a\lt 0$.
$p\%$ z $A$ to $\frac{p}{100}\cdot A$.
Liczba $a$ stanowi $\frac{a}{b}\cdot100\%$ liczby $b$.
Zmiana o $p\%$: nowa wartość to $A(1\pm\frac{p}{100})$.
$K_n=K_0(1+p)^n$.
$y=\frac{a}{x}$; iloczyn $x\cdot y=a$ jest stały.
Hiperbola o asymptotach $x=0$ i $y=0$.
Gdy $x$ rośnie, $y$ maleje.
Stała droga: prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne.
$y=ax^2+q$ przesuwa wykres pionowo o $q$.
$y=a(x-p)^2$ przesuwa poziomo o $p$.
$y=a(x-p)^2+q$ to przesunięcie o $[p,q]$; wierzchołek $(p,q)$.
$y=(x-2)^2+3$ ma wierzchołek $(2,3)$.
Przecięcie dwusiecznych kątów.
Przecięcie symetralnych boków.
Przecięcie środkowych; dzieli je w stosunku $2:1$.
Przecięcie wysokości trójkąta.
Przekształcamy jak równania, ale przy mnożeniu przez liczbę ujemną odwracamy znak.
Zapisujemy jako przedział, np. $x>3$ to $(3,+\infty)$.
Rozwiązaniem jest część wspólna zbiorów.
Kółko otwarte dla nierówności ostrej, domknięte dla nieostrej.
Wyznaczamy $p=-\frac{b}{2a}$ i $q$ z podstawienia.
Rozwijamy kwadrat $a(x-p)^2+q$.
$a(x-x_1)(x-x_2)$ istnieje, gdy $\Delta\ge0$.
$\Delta=b^2-4ac$ decyduje o liczbie miejsc zerowych.
Dziedzina to zbiór argumentów, zbiór wartości — przyjmowanych $y$.
Argument, dla którego $f(x)=0$.
Funkcja rosnąca, malejąca lub stała w przedziale.
Z wykresu odczytujemy wartości, znak i przedziały monotoniczności.
Wykonując te same działania po obu stronach, otrzymujemy równanie równoważne o tym samym zbiorze rozwiązań.
Wyraz przenosimy na drugą stronę, zmieniając jego znak.
$2x+3=11\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4$.
Wynik podstawiamy do równania pierwotnego.
Mnożymy równania tak, aby współczynniki przy jednej zmiennej były przeciwne, a po dodaniu równań zmienna się redukuje.
Dobierz mnożniki, dodaj równania stronami, wyznacz jedną zmienną, potem drugą.
$x+y=5$ i $x-y=1$; po dodaniu $2x=6$, więc $x=3$, $y=2$.
Trójkąty przystające mają równe odpowiednie boki i kąty; oznaczenie $\cong$.
bok-bok-bok (BBB), bok-kąt-bok (BKB), kąt-bok-kąt (KBK).
Przystawanie wykorzystujemy w dowodach równości odcinków i kątów.
Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku boków przyległych: $\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}$.
$D$ to punkt przecięcia dwusiecznej z bokiem $AB$.
Wyznaczanie długości odcinków powstałych z podziału boku.
Proste równoległe przecinające ramiona kąta wyznaczają na nich odcinki proporcjonalne.
$\frac{OA}{OB}=\frac{OA'}{OB'}$.
Proporcjonalność odcinków pozwala wnioskować o równoległości prostych.
Podział odcinka w danym stosunku, obliczanie długości.
Dwie prostopadłe osie: pozioma $OX$ i pionowa $OY$, przecinające się w początku $(0,0)$.
Punkt zapisujemy jako $(x,y)$: odcięta i rzędna.
Osie dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki.
$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
Wielokąty podobne mają równe kąty i proporcjonalne boki; stosunek boków to skala $k$.
Stosunek obwodów to $k$, a stosunek pól to $k^2$.
Przy skali $k=2$ pole rośnie czterokrotnie.
$y=ax+b$; wykresem jest prosta.
$a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ wyraz wolny (punkt przecięcia z osią $OY$).
$a>0$ rosnąca, $a\lt 0$ malejąca, $a=0$ stała.
$x_0=-\frac{b}{a}$ dla $a\neq0$.
Liczby wymierne mają rozwinięcie skończone lub nieskończone okresowe.
Mają rozwinięcie nieskończone nieokresowe, np. $\sqrt{2}$, $\pi$.
Ułamek okresowy zamieniamy na zwykły, korzystając z sumy szeregu geometrycznego.
$0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}$.
Na skali logarytmicznej równym odstępom odpowiada mnożenie przez stały czynnik.
Współrzędną wyznacza $\log_{10} x$.
Skala pH, poziom dźwięku w decybelach, skala Richtera.
Pozwala przedstawić bardzo duży zakres wartości na jednym wykresie.
Znak współczynnika $a$ decyduje o monotoniczności: $a>0$ rosnąca, $a\lt 0$ malejąca.
Z osią $OY$ w $(0,b)$, z osią $OX$ w miejscu zerowym $-\frac{b}{a}$.
Mają równe współczynniki kierunkowe.
Spełniają $a_1 a_2=-1$.
Wyznacz dziedzinę, miejsca zerowe i punkty przecięcia z osiami.
Oblicz wartości funkcji dla wybranych argumentów.
Zaznacz punkty i połącz je zgodnie z charakterem funkcji.
Sprawdź monotoniczność i znak funkcji w przedziałach.
$y=f(x-p)+q$ przesuwa wykres o wektor $[p,q]$.
$y=-f(x)$ odbija względem osi $OX$, $y=f(-x)$ względem osi $OY$.
Zaczynamy od wykresu podstawowego, potem stosujemy kolejne przekształcenia.
Dwie niewiadome opisujemy dwoma równaniami.
Wprowadź oznaczenia, zapisz równania, rozwiąż układ, zinterpretuj wynik.
Podstawianie lub przeciwne współczynniki.
Suma to $15$, różnica $3$: $x+y=15$, $x-y=3$, więc $x=9$, $y=6$.
Zdanie ma jednoznaczną wartość: prawda albo fałsz.
Koniunkcja, alternatywa, implikacja, równoważność.
„dla każdego" ($\forall$) oraz „istnieje" ($\exists$).
Zaprzeczenie „dla każdego" to „istnieje takie, że nie".
Twierdzenia o kątach: przyległych, wierzchołkowych, wpisanych i środkowych.
Twierdzenia sinusów i cosinusów, cechy przystawania i podobieństwa.
Wzory na pola i stosunek pól figur podobnych ($k^2$).
Styczna prostopadła do promienia; kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.
Dwie wielkości opisujemy dwoma warunkami — powstaje układ równań.
Zadania o wieku, mieszaninach, ruchu, cenach.
Wybieramy metodę podstawiania lub przeciwnych współczynników.
Sprawdzamy, czy wynik pasuje do treści zadania.
Rozwiązanie układu to punkt przecięcia prostych.
Jedno (proste przecinają się), brak (równoległe), nieskończenie wiele (pokrywają się).
Podstawianie, przeciwne współczynniki, metoda graficzna.
Ogólna $y=ax^2+bx+c$, kanoniczna $y=a(x-p)^2+q$, iloczynowa $y=a(x-x_1)(x-x_2)$.
$p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$.
Parabola; kierunek ramion zależy od znaku $a$.
Liczba zależy od wyróżnika $\Delta=b^2-4ac$.
Z $(a-b)^2\geq0$ wynika $a^2+b^2\geq2ab$.
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ułatwia szacowanie i rozkład.
Przekształcamy wyrażenie do postaci pełnego kwadratu.
$x^2+4x+5=(x+2)^2+1\geq1$.
Przez 2, 5 i 10 sprawdzamy ostatnią cyfrę, przez 3 i 9 — sumę cyfr, przez 4 — liczbę z dwóch ostatnich cyfr.
Przykład: $738$: suma cyfr $7+3+8=18$, więc $738$ dzieli się przez 3 i przez 9.
Logarytm to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść podstawę $a$, aby otrzymać $b$.
Przykład: $\log_2 32=5$, bo $2^5=32$; $\log_3\frac{1}{9}=-2$.
Do czego służy: $E_k$ — energia ruchu; $E_p$ — energia związana z położeniem w polu grawitacyjnym. Zasada zachowania energii łączy je obydwie.
Gdy brak sił dyssypacyjnych (brak tarcia): $E_k + E_p = \text{const}$
$$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$$
Kamień spada z $h = 5$ m (z $v_0 = 0$). Prędkość tuż przed ziemią?
⚠️ Częsty błąd: W $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ prędkość jest w metrach na sekundę — nie wstawiaj km/h! I pamiętaj o $\frac{1}{2}$.
Funkcja odwrotna do wykładniczej; wykres przechodzi przez $(1,0)$.
Przykład: $f(x)=\log_3 x$: $f(9)=2$, $f\left(\frac{1}{3}\right)=-1$.
Dla $a>1$ rosnąca, dla $0 Przykład: $f(x)=2^x$: $f(3)=8$, $f(-1)=\frac{1}{2}$.
Do czego służy: Podstawowe prawo dynamiki — łączy siłę, masę i przyspieszenie. Jeśli na ciało działa wypadkowa sił $F$, ciało przyspiesza.
Na ciało o masie 5 kg działa siła 20 N. Przyspieszenie?
⚠️ Częsty błąd: $F$ to wypadkowa wszystkich sił — np. siła napędowa minus tarcie. Nie wstawiaj tylko jednej siły gdy działa kilka naraz.
Do czego służy: Obliczanie okresu obiegu planety lub promienia jej orbity — bez znajomości mas, tylko z porównania z inną planetą.
Mars ma $a = 1{,}52$ j.a. Jaki jest jego rok?
⚠️ Częsty błąd: Wzór to $T^2 \propto a^3$, nie $T \propto a^3$. Stosunek kwadratów okresu = stosunkowi sześcianów półosi. Pomylenie potęg to częsty błąd na sprawdzianach.
Kwadrat sumy to kwadrat pierwszego, podwojony iloczyn i kwadrat drugiego wyrazu.
Przykład: $(x+3)^2=x^2+6x+9$.
Zapis przydatny w dowodach podzielności.
Przykład: Suma dwóch nieparzystych: $(2k+1)+(2m+1)=2(k+m+1)$ — parzysta.
Interpretacja geometryczna — każde równanie to prosta.
Przykład: $y=2x+1$ i $y=2x+5$ są równoległe — układ sprzeczny.
Wyznaczamy jedną niewiadomą z jednego równania i wstawiamy do drugiego.
Przykład: $y=2x$, $x+y=9\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3,\ y=6$.
Po dodaniu równań jedna niewiadoma się redukuje.
Przykład: $2x+3y=8$, $2x-3y=4$: dodajemy: $4x=12$, $x=3$, $y=\frac{2}{3}$.
Punkt przecięcia wykresu z osią $Ox$.
Przykład: $f(x)=4x-8$: $x_0=2$.
O monotoniczności decyduje znak współczynnika kierunkowego.
Przykład: $f(x)=-3x+1$ jest malejąca.
Rozwiązaniem jest przedział wokół zera.
Przykład: $|x-2|<3\iff -1
Do czego służy: Pęd opisuje „ilość ruchu" ciała. Zasada zachowania pędu jest kluczem do analizy zderzeń.
W układzie izolowanym (bez zewnętrznych sił): $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1^{\prime} + m_2 v_2^{\prime}$
Wózek 2 kg ($v_1 = 4$ m/s) uderza w spoczywający wózek 3 kg i łączą się. Prędkość po?
⚠️ Częsty błąd: Pęd to wektor — kierunki mają znaczenie! Ciało jadące w przeciwnym kierunku ma pęd ujemny. Ustal konwencję znaku.
Pierwiastki dowolnego stopnia można zapisać jako potęgi o wykładniku wymiernym.
Przykład: $\sqrt[4]{16}=2$, $\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2$.
Wynik jest zawsze nieujemny — stąd wartość bezwzględna.
Przykład: $\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$.
Połowa iloczynu boku i wysokości opuszczonej na ten bok.
Przykład: Bok 10 cm, wysokość 6 cm: $P=30$ cm².
Od razu widać miejsca zerowe.
Przykład: $f(x)=2(x+1)(x-4)$ — miejsca zerowe $-1$ i $4$.
Dla $a>0$ ramiona paraboli skierowane są do góry, dla $a<0$ — w dół.
Przykład: $f(x)=2x^2-4x+1$: $a=2$, ramiona w górę.
Do czego służy: Praca mierzy efektywne działanie siły — liczy się tylko składowa siły wzdłuż ruchu. Moc to szybkość wykonywania pracy.
Ciągniemy walizkę siłą 50 N pod kątem 30° do poziomego podłoża przez 10 m. Praca?
⚠️ Częsty błąd: Dźwig unosi ciężar pionowo (praca = $mgs$), ale jeśli ciężar jedzie poziomo na przenośniku taśmowym — grawitacja nie wykonuje pracy ($\alpha = 90°$)!
Do czego służy: Obliczanie siły grawitacyjnej przyciągania między dowolnymi dwoma masami — od atomów po planety.
Przy obliczaniu sił w układach planetarnych, prędkości kosmicznych, przyspieszenia grawitacyjnego na innej planecie. Dla codziennych ciał siła jest znikoma (małe $G$).
Ziemia ($M = 6 \times 10^{24}$ kg, $R = 6{,}4 \times 10^6$ m). Siła na człowieka 70 kg?
⚠️ Częsty błąd: $r$ to odległość środków mas (np. od środka Ziemi), nie od powierzchni! Dla obiektów blisko Ziemi dodaj promień Ziemi.
Do czego służy: Opisuje jak szybko ciało pokonuje odległość — podstawowy parametr każdego ruchu.
Gdy znasz całkowitą drogę i całkowity czas — niezależnie od tego, czy ciało jechało równomiernie. Pamiętaj: to prędkość średnia, nie chwilowa.
Samochód jedzie 144 km w 1,5 h. Jaka jest prędkość średnia?
⚠️ Częsty błąd: Mieszanie jednostek — km z sekundami daje bezsensowny wynik. Zawsze przelicz na SI albo konsekwentnie zostań przy km/h.
Kapitał po $n$ okresach kapitalizacji przy oprocentowaniu $p\%$ w okresie.
Przykład: 1000 zł na 5% rocznie przez 3 lata: $1000\cdot1{,}05^3=1157{,}63$ zł.
Wykres przesuwamy o $p$ w poziomie i o $q$ w pionie.
Przykład: $y=(x-3)^2+1$ to $y=x^2$ przesunięty o $[3,1]$.
Do czego służy: Mierzy jak szybko zmienia się prędkość ciała. Przyspieszenie dodatnie = przyspieszanie; ujemne = hamowanie (opóźnienie).
Gdy znasz prędkość początkową i końcową oraz czas — do obliczenia przyspieszenia. Lub odwrotnie: znasz $a$ i $\Delta t$, szukasz zmiany prędkości.
Auto przyspiesza od 0 do 100 km/h w 8 s. Jakie przyspieszenie?
⚠️ Częsty błąd: Prędkość musi być w m/s — przelicz km/h dzieląc przez 3,6, a nie przez 3,6 po obliczeniu!
Do czego służy: Obliczanie przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni lub powyżej planety dowolnej masy.
$g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2$ (często zaokrąglamy do $g = 10 \text{ m/s}^2$)
Ciężar: $Q = mg$ [N] — siła z jaką Ziemia przyciąga ciało (≠ masa!)
$g \propto \frac{1}{r^2}$ — podwojenie odległości od środka Ziemi → czterokrotny spadek $g$
Na jakiej wysokości $h$ nad Ziemią $g$ spada do $g/4$?
⚠️ Częsty błąd: Masa i ciężar to różne rzeczy! Masa (kg) jest stała wszędzie. Ciężar (N) zależy od $g$ — na Księżycu ($g = 1{,}6$ m/s²) ciężar jest 6× mniejszy.
Dwa rozwiązania dla $\Delta>0$, jedno ($x=-\frac{b}{2a}$) dla $\Delta=0$, brak dla $\Delta<0$.
Przykład: $x^2-5x+6=0$: $\Delta=1$, $x_1=2$, $x_2=3$.
Gdy $a=0$: brak rozwiązań ($b\neq0$) albo nieskończenie wiele ($b=0$).
Przykład: $3x-12=0\Rightarrow x=4$.
Postać wygodna, gdy znamy dwa punkty prostej.
Przykład: $A(0,1)$, $B(2,5)$: $y=2x+1$.
Do czego służy: Trzy równoważne wzory opisujące ruch z stałym przyspieszeniem $a$ — dobierz ten, który pasuje do danych zadania.
Wstaw $a = g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2$ (lub 10 m/s²) i $v_0 = 0$ (upuszczamy z ręki).
Ciało spada swobodnie z $h = 20 \text{ m}$. Jaka prędkość przy zderzeniu?
⚠️ Częsty błąd: Wzór $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ — to $\frac{1}{2}at^2$, nie $at^2$! Jedynka nad dwójką jest nieodłączna.
Do czego służy: Opisuje ruch ciała po okręgu — prędkość, przyspieszenie dośrodkowe i siłę potrzebną do utrzymania ruchu.
Samochód 1000 kg jedzie po zakręcie $r = 50$ m z $v = 20$ m/s. Minimalne tarcie?
⚠️ Częsty błąd: „Siła odśrodkowa" to siła pozorna (fikcyjna) w nieinercjalnym układzie odniesienia. W zadaniach używaj siły dośrodkowej.
Do czego służy: Opisuje lot ciała wyrzuconego poziomo — rozkłada ruch na niezależne składowe: poziomą (jednostajną) i pionową (swobodny spadek).
Piłka wyrzucona poziomo z $v_0 = 15 \text{ m/s}$ z wysokości $h = 20 \text{ m}$. Jaki zasięg?
⚠️ Częsty błąd: W rzucie poziomym $v_x$ jest stała i równa $v_0$ przez cały lot — grawitacja nie wpływa na składową poziomą!
Do czego służy: Opisuje tor lotu ciała wyrzuconego pod kątem $\alpha$ do poziomu (np. piłki, pocisku). Rozkłada ruch na składową poziomą i pionową.
Piłka wyrzucona pod $\alpha = 30°$ z $v_0 = 20$ m/s. Zasięg?
⚠️ Częsty błąd: Nie mylić rzutu poziomego (gdzie $v_{0y} = 0$) z rzutem ukośnym (gdzie $v_{0y} = v_0\sin\alpha \neq 0$). W rzucie poziomym $\alpha = 0°$.
Do czego służy: Ocena efektywności urządzenia — jaka część dostarczonej energii jest rzeczywiście wykorzystana, a jaka zmarnowana (np. na ciepło).
Dźwig pobiera 5000 J energii i unosi ciężar o $E_p = 3500$ J. Sprawność?
⚠️ Częsty błąd: Sprawność nigdy nie może przekroczyć 100%! Jeśli wychodzi więcej niż 100% — masz błąd w obliczeniach lub przekręcone dane (licznik i mianownik odwrotnie).
Suma miar kątów wewnętrznych każdego trójkąta.
Przykład: Kąty $50^\circ$ i $70^\circ$: trzeci kąt $60^\circ$.
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej.
Przykład: $a=6$, $b=8$: $c=\sqrt{36+64}=10$.
Stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały; $R$ — promień okręgu opisanego.
Przykład: $a=10$, $\alpha=30^\circ$: $2R=20$, więc $R=10$.
Rozwiązaniem jest para liczb spełniająca oba równania jednocześnie.
Przykład: $\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}\Rightarrow x=3,\ y=2$.
Do czego służy: Obliczanie okresu drgań wahadła matematycznego (np. zegar) i oscylatora sprężynowego (np. ciężarek na sprężynie).
Wahadło $l = 1$ m na Ziemi. Okres?
⚠️ Częsty błąd: Okres wahadła zależy od długości nici, nie od masy! Cięższy i lżejszy wahadło tej samej długości bije tak samo.
Rozkładamy liczbę podpierwiastkową na iloczyn kwadratu i reszty.
Przykład: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.
Decyduje o liczbie miejsc zerowych: 2 ($\Delta>0$), 1 ($\Delta=0$), 0 ($\Delta<0$).
Przykład: $x^2-6x+9$: $\Delta=36-36=0$ — jedno miejsce zerowe.
$a$ — współczynnik kierunkowy, $b$ — punkt przecięcia z osią $Oy$: $(0,b)$.
Przykład: $f(x)=2x-3$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-3)$.
Związki między pierwiastkami a współczynnikami (dla $\Delta\ge0$).
Przykład: $x^2-7x+10=0$: $x_1+x_2=7$, $x_1x_2=10$, czyli $2$ i $5$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.