Klasa 1 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 49
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 6 · Matura 2026
Wartość wyrażenia $x^2+10x+25$ dla $x=\sqrt2-5$ jest równa
A$2$
B$\sqrt2$
C$2-20\sqrt2$
D$62-10\sqrt2$
Rozwiązanie
$x^2+10x+25=(x+5)^2$. Dla $x=\sqrt2-5$: $x+5=\sqrt2$, więc $(x+5)^2=(\sqrt2)^2=2$.
Odpowiedź: A
Zadanie nr 6 · Matura 2026
Wartość wyrażenia \(x^2+10x+25\) dla \(x=\sqrt{2}-5\) jest równa:
A\(2\)
B\(\sqrt{2}\)
C\(2-20\sqrt{2}\)
D\(62-10\sqrt{2}\)
Oczywiście możemy podstawić \(x=\sqrt{2}-5\) bezpośrednio do naszego wyrażenia (pamiętając oczywiście o tym by później poprawnie wykonać to potęgowanie), ale obliczenia staną się znacznie prostsze, gdy dostrzeżemy, że podane wyrażenie można zwinąć za pomocą wzoru na kwadrat sumy:
$$x^2+10x+25=(x+5)^2$$
I jeśli teraz podstawimy \(x=\sqrt{2}-5\) do uproszczonego wyrażenia, to otrzymamy:
$$(\sqrt{2}-5+5)^2=(\sqrt{2})^2=2$$
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((3x+2)^2-(2x-3)^2\) jest równa wartości wyrażenia:
A\(5x^2-5\)
B\(5x^2+13\)
C\(5x^2+24x-5\)
D\(5x^2+24x-13\)
W tym zadaniu musimy skorzystać z dwóch wzorów skróconego mnożenia, czyli \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całe wyrażenie możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$(3x+2)^2-(2x-3)^2=9x^2+12x+4-(4x^2-12x+9)=$$
$$=9x^2+12x+4-4x^2+12x-9=5x^2+24x-5$$
Zadanie nr 6 · Matura 2025
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) wartość wyrażenia \((3x+y)^2-(3x-y)^2\) jest równa wartości wyrażenia
A\(12xy\)
B\((-12xy)\)
C\(2y^2\)
D\(4y^2\)
Sposób I — rozwinięcie kwadratów.
\((3x+y)^2=9x^2+6xy+y^2\)
\((3x-y)^2=9x^2-6xy+y^2\)
\((3x+y)^2-(3x-y)^2=12xy\)
Sposób II — wzór na różnicę kwadratów.
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) dla \(a=3x+y\), \(b=3x-y\):
Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$ wartość wyrażenia $(2a+b)^2-(2a-b)^2$ jest równa
A$8a^2$
B$8ab$
C$-8ab$
D$2b^2$
Rozwiązanie
Ze wzoru $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $[(2a+b)-(2a-b)][(2a+b)+(2a-b)]=(2b)(4a)=8ab$.
Odpowiedź: B
Zadanie nr 5 · Matura 2024
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) wartość wyrażenia \((2a+b)^2-(2a-b)^2\) jest równa wartości wyrażenia:
A\(8a^2\)
B\(8ab\)
C\(-8ab\)
D\(2b^2\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(2a+b)^2-(2a-b)^2=4a^2+4ab+b^2-(4a^2-4ab+b^2)=$$
$$=4a^2+4ab+b^2-4a^2+4ab-b^2=8ab$$
Zadanie nr 3 · Matura 2024
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\left(2\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)^2\) jest równa
A\(22\)
B\(42\)
C\(42+4\sqrt{5}\)
D\(42+8\sqrt{5}\)
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):
Krok 1. Zapisanie równania kwadratowego.
Aby rozwiązać tego typu równanie czwartego stopnia, musimy zapisać, że \(t=(x-1)^2\). Dzięki temu będziemy mogli zapisać równanie z treści zadania jako równanie kwadratowe:
$$(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0$$
$$((x-1)^2)^2-5(x-1)^2+6=0$$
$$t^2-5t+6=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$
Krok 3. Rozwiązanie równania.
W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że \(t=(x-1)^2\). Wiemy już, że \(t=2\) lub \(t=3\), a skoro tak, to:
$$(x-1)^2=2 \quad\lor\quad (x-1)^2=3$$
Otrzymaliśmy dwa równania kwadratowe, w których po prawej stronie nie mamy zera (nie możemy więc przyrównać wartości w nawiasach do zera). Możemy je oczywiście przekształcić do postaci ogólnej i całość obliczyć za pomocą delty, jednak będzie to dość czasochłonne. Tego typu równania najprościej będzie rozwiązać korzystając z wartości bezwzględnej. Pierwiastkując obydwie strony równań, możemy zapisać, że:
$$|x-1|=\sqrt{2} \quad\lor\quad |x-1|=\sqrt{3}$$
$$x-1=\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=\sqrt{3} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{3}$$
$$x=\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=\sqrt{3}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{3}+1$$
Zadanie nr 5 · Matura 2023
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe:
A\(-24a\)
B\(0\)
C\(18\)
D\(16a^2-24a\)
Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tymi wzorami, całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$(2a-3)^2-(2a+3)^2=4a^2-12a+9-(4a^2+12a+9)=$$
$$=4a^2-12a+9-4a^2-12a-9=-24a$$
Zadanie nr 6 · Matura 2023
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia \(\left(2-\sqrt{3}\right)^2-\left(\sqrt{3}-2\right)^2\) jest równa
Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) wyrażenie \((2a-3b)^2-(3a+2b)^2\) jest równe:
A\(-5a^2-13b^2\)
B\(-5a^2+5b^2\)
C\(-5a^2-24ab+5b^2\)
D\(-5a^2+24ab+5b^2\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia, czyli \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Nasze wyrażenie z treści zadania możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$(2a-3b)^2-(3a+2b)^2=4a^2-12ab+9b^2-(9a^2+12ab+4b^2)=$$
$$=4a^2-12ab+9b^2-9a^2-12ab-4b^2=-5a^2-24ab+5b^2$$
Zadanie nr 6 · Matura 2023
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\left(1+\sqrt{5}\right)^2-\left(1-\sqrt{5}\right)^2\) jest równa
A\(0\)
B\((-10)\)
C\(4\sqrt{5}\)
D\(2+2\sqrt{5}\)
Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), przyjmując \(a = 1+\sqrt{5}\), \(b = 1-\sqrt{5}\).
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe:
A\(-24a\)
B\(0\)
C\(18\)
D\(16a^2-24a\)
Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tymi wzorami, całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$(2a-3)^2-(2a+3)^2=4a^2-12a+9-(4a^2+12a+9)=$$
$$=4a^2-12a+9-4a^2-12a-9=-24a$$
Zadanie nr 4 · Matura 2023
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe:
A\(-24a\)
B\(0\)
C\(18\)
D\(16a^2-24a\)
Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tymi wzorami, całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$(2a-3)^2-(2a+3)^2=4a^2-12a+9-(4a^2+12a+9)=$$
$$=4a^2-12a+9-4a^2-12a-9=-24a$$
Zadanie nr 6 · Próbny 2022
Dla dowolnych liczb \(x\) i \(y\) wyrażenie \((2x-y)^2-(x+2y)^2\) jest równe:
A\(4x^2+4y^2\)
B\(3x^2-3y^2\)
C\(3x^2-8xy-3y^2\)
D\(4x^2-8xy+4y^2\)
Musimy uprościć nasze wyrażenie, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Pamiętając o tym, że \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz że \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) wyjdzie nam wtedy:
$$(2x-y)^2-(x+2y)^2=$$
$$=(4x^2-4xy+y^2)-(x^2+4xy+4y^2)=$$
$$=4x^2-4xy+y^2-x^2-4xy-4y^2=$$
$$=3x^2-8xy-3y^2$$
Zadanie nr 6 · Próbny 2022
Rozwiąż równanie
$$3x^3-6x^2-27x+54=0$$
Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania:
$$3x^3-6x^2-27x+54=0$$
$$x^2(3x-6)-9(3x-6)=0$$
$$(x^2-9)\cdot(3x-6)=0$$
Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-9=0 \quad\lor\quad 3x-6=0$$
$$x^2=9 \quad\lor\quad 3x=6$$
$$x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=2$$
Zadanie nr 7 · Próbny 2022
Równanie \(\dfrac{(x^2+x)(x+3)(x-1)}{x^2-1}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:
Ajedno rozwiązanie: \(x=-3\)
Bdwa rozwiązania: \(x=-3, x=0\)
Ctrzy rozwiązania: \(x=-3, x=-1, x=0\)
Dcztery rozwiązania: \(x=-3, x=-1, x=0, x=1\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Jest to równanie wymierne, w którym mamy niewiadomą \(x\) w mianowniku. Wiedząc, że na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, musimy zapisać odpowiednie założenia, tak aby nasz mianownik nie był równy zero, zatem:
$$x^2-1\neq0$$
$$x^2\neq1$$
$$x\neq1 \quad\lor\quad x\neq-1$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając zapisane założenia, możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Aby lewa strona była równa \(0\), to wartość przynajmniej jednego z nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2+x=0 \quad\lor\quad x+3=0 \quad\lor\quad x-1=0$$
$$x(x+1)=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1$$
$$x=0 \quad\lor\quad x+1=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy aż cztery różne rozwiązania, ale wyniki \(x=-1\) oraz \(x=1\) musimy odrzucić ze względu na założenia. To oznacza, że nasze równanie ma tylko dwa rozwiązania i są to \(x=-3\) oraz \(x=0\).
Zadanie nr 5 · Matura 2022
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \(5-(4+2a)(4-2a)\) jest równe:
A\(-4a^2-16a-11\)
B\(4a^2-11\)
C\(-4a^2-11\)
D\(4a^2+16a-11\)
Celem zadania jest poprawne uproszczenie podanego wyrażenia. Zwróć uwagę, że mnożąc nawiasy możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$5-(4+2a)(4-2a)=5-(4^2-(2a)^2)=$$
$$=5-(16-4a^2)=5-16+4a^2=$$
$$=4a^2-11$$
Zadanie nr 9 · Matura 2022
Równanie \((x^2-27)(x^2+16)=0\) ma dokładnie:
Ajedno rozwiązanie rzeczywiste
Bdwa rozwiązania rzeczywiste
Ctrzy rozwiązania rzeczywiste
Dcztery rozwiązania rzeczywiste
Aby wyrażenie \((x^2-27)(x^2+16)\) było równe \(0\), to albo pierwszy nawias musi być równy \(0\), albo drugi. Postępujemy więc tak jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x^2-27=0 \quad\lor\quad x^2+16=0$$
$$x^2=27 \quad\lor\quad x^2=-16$$
Z równania \(x^2=27\) otrzymamy dwa rozwiązania:
$$x=\sqrt{27} \quad\lor\quad x=-\sqrt{27}$$
Z równania \(x^2=-16\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik ujemny.
Z tego też względu całe równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 4 · Matura 2021
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\) wyrażenie \((3x+8y)^2\) jest równe:
A\(9x^2+48xy+64y^2\)
B\(9x^2+64y^2\)
C\(3x^2+48xy+8y^2\)
D\(3x^2+8y^2\)
Zadanie polega jedynie na skorzystaniu ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Trzeba tutaj pamiętać, że przykładowo \((3x)^2\) to \(9x^2\) i to jest chyba największa trudność tego zadania. Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$(3x+8y)^2=9x^2+48xy+64y^2$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2021
Najmniejsza wartość wyrażenia \((x-y)(x+y)\) dla \(x,y\in\{2,3,4\}\) jest równa:
A\(-12\)
B\(0\)
C\(2\)
D\(24\)
Ze wzorów skróconego mnożenia wynika, że:
$$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$
Powinniśmy dostrzec, że aby wartość tego wyrażenia była jak najmniejsza, to wartość \(x\) musi być jak najmniejsza, natomiast wartość \(y\) jak największa (bo wtedy dużo odejmiemy). Skoro tak, to najmniejszą wartość osiągniemy dla \(x=2\) oraz \(y=4\), a będzie ona równa:
$$2^2-4^2=4-16=-12$$
Zadanie nr 5 · Matura 2021
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((x-1)^2-(2-x)^2\) jest równe:
A\(2x-3\)
B\(2x^2-6x-3\)
C\((2x-3)^2\)
D\(9\)
W tym zadaniu nie chodzi o żadne podstawianie liczb, czy też rozwiązanie równania kwadratowego (bo to nie jest w ogóle równanie, gdyż nie mamy znaku "równa się"). Naszym celem jest po prostu uproszczenie podanego wyrażenia. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
$$(x-1)^2-(2-x)^2=x^2-2x+1-(4-4x+x^2)=$$
$$=x^2-2x+1-4+4x-x^2=2x-3$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2020
Liczba \((2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2\) jest równa:
A\(9\)
B\(3\)
C\(2809\)
D\(28-20\sqrt{7}\)
Można byłoby wykonać potęgowanie jednego i drugiego nawiasu, a potem pomnożyć te wartości między sobą, ale to zadanie da się zrobić znacznie prościej. Wystarczy zauważyć, że:
$$(2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2=\left((2\sqrt{7}-5)\cdot(2\sqrt{7}+5)\right)^2=\left((2\sqrt{7})^2-5^2\right)^2=(28-25)^2=3^2=9$$
Zadanie nr 1 · Matura 2020
Wartość wyrażenia \(x^2-6x+9\) dla \(x=\sqrt{3}+3\) jest równa:
A\(1\)
B\(3\)
C\(1+2\sqrt{3}\)
D\(1-2\sqrt{3}\)
Aby obliczyć wartość tego wyrażenia wystarczy podstawić w miejsce \(x\) liczbę \(\sqrt{3}+3\). W tym zadaniu skorzystamy przy okazji ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
Równanie \(x(x-2)=(x-2)^2\) w zbiorze liczb rzeczywistych:
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=2\)
Cma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\)
Dma dwa różne rozwiązania: \(x=1\) i \(x=2\)
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) po prawej stronie równania możemy zapisać, że:
$$x(x-2)=(x-2)^2$$
$$x^2-2x=x^2-4x+4$$
$$-2x=-4x+4$$
$$2x=4$$
$$x=2$$
Równanie ma zatem jedno rozwiązanie i jest to \(x=2\).
Zadanie nr 6 · Próbny 2019
Wyrażenie \((3x-y)^2-(x-3y)^2\) jest równe wyrażeniu:
A\(8x^2-8y^2\)
B\(-12xy+8x^2-8y^2\)
C\(8y^2-8x^2\)
D\(-12xy+8x^2+10y^2\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(3x-y)^2-(x-3y)^2=9x^2-6xy+y^2-(x^2-6xy+9y^2)=$$
$$=9x^2-6xy+y^2-x^2+6xy-9y^2=8x^2-8y^2$$
Zadanie nr 11 · Matura 2019
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)\) jest po uproszczeniu równe:
A\(5x^2-12x-5\)
B\(5x^2-13\)
C\(5x^2-12x+13\)
D\(5x^2+5\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)=$$
$$=9x^2-12x+4-(4x^2-9)=$$
$$=9x^2-12x+4-4x^2+9=$$
$$=5x^2-12x+13$$
Zadanie nr 5 · Matura 2018
Równość \((a+2\sqrt{3})^2=13+4\sqrt{3}\) jest prawdziwa dla:
A\(a=\sqrt{13}\)
B\(a=1\)
C\(a=0\)
D\(a=\sqrt{13}+1\)
I sposób - podstawiając poszczególne odpowiedzi do równania.
Możemy podstawiać po kolei do równania poszczególne odpowiedzi, sprawdzając kiedy lewa strona będzie równa prawej. Rozwiązując to zadanie w ten sposób otrzymamy:
Odp. A. Dla \(a=\sqrt{13}\)
$$(\sqrt{13}+2\sqrt{3})^2=13+2\cdot\sqrt{13}\cdot2\sqrt{3}+4\cdot3=13+4\sqrt{39}+12=25+4\sqrt{39}$$
W tym przypadku nie udało nam się otrzymać wyniku \(13+4\sqrt{3}\).
Odp. B. Dla \(a=1\)
$$(1+2\sqrt{3})^2=1+4\sqrt{3}+4\cdot3=1+4\sqrt{3}+12=13+4\sqrt{3}$$
Otrzymaliśmy dokładnie \(13+4\sqrt{3}\), zatem możemy zaznaczyć, że poszukiwaną liczba jest \(a=1\) i nie musimy już obliczać kolejnych odpowiedzi.
II sposób - przekształcając lewą i prawą stronę równania.
Jeżeli chcemy podejść do zadania nieco bardziej matematycznie, to możemy całość rozwiązać w następujący sposób:
Lewa strona równania:
$$(a+2\sqrt{3})^2=a^2+4\sqrt{3}a+12$$
Prawa strona równania:
$$13+4\sqrt{3}=1+4\sqrt{3}+12$$
Porównując teraz zapisy lewej i prawej strony widzimy wyraźnie, że aby były one sobie równe, to \(a=1\).
Zadanie nr 1 · Matura 2018
Dla \(x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1\) oraz \(y=\sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \(x^2-2xy+y^2\) jest równa:
A\(4\)
B\(1\)
C\(\sqrt{2}\)
D\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Krok 1. Uproszczenie liczby \(x\) oraz całości wyrażenia.
Oczywiście możemy to zadanie rozwiązać w taki sposób, że od razu podstawimy do wyrażenia wartości \(x\) oraz \(y\), ale można też podejść do tego nieco sprytniej i zauważyć, że:
$$x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1$$
$$x=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}+1$$
$$x=\frac{2\sqrt{2}}{2}+1$$
$$x=\sqrt{2}+1$$
Uprościć możemy też nasze wyrażenie, wyraźnie widać że jest to po prostu wzór skróconego mnożenia:
$$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$$
Krok 2. Podstawienie liczb do wyrażenia.
Teraz możemy podstawić iksa i igreka do naszego wyrażenia:
$$(x-y)^2=\left(\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1)\right)^2=(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1)^2=(1+1)^2=2^2=4$$
Zadanie nr 5 · Matura 2017
Liczba \((2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2\) jest równa:
A\(9\)
B\(3\)
C\(2809\)
D\(28-20\sqrt{7}\)
Można byłoby wykonać potęgowanie jednego i drugiego nawiasu, a potem pomnożyć te wartości między sobą, ale to zadanie da się zrobić znacznie prościej. Wystarczy zauważyć, że:
$$(2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2=\left((2\sqrt{7}-5)\cdot(2\sqrt{7}+5)\right)^2=\left((2\sqrt{7})^2-5^2\right)^2=(28-25)^2=3^2=9$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2017
Jeśli \(x+\frac{1}{x}=6\), to:
A\(x^2+\frac{1}{x^2}=2\sqrt{6}\)
B\(x^2+\frac{1}{x^2}=\sqrt{6}\)
C\(x^2+\frac{1}{x^2}=36\)
D\(x^2+\frac{1}{x^2}=34\)
Widzimy po odpowiedziach, że będziemy musieli przekształcić to nasze wyrażenie w taki sposób, by pojawiły się kwadraty przy iksach, zatem korzystając ze wzorów skróconego mnożenia spróbujmy przekształcić to nasze równanie do poszukiwanej postaci:
$$x+\frac{1}{x}=6 \quad\bigg/^2$$
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=6^2$$
$$x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1^2}{x^2}=36$$
$$x^2+2+\frac{1}{x^2}=36$$
$$x^2+\frac{1}{x^2}=34$$
Zadanie nr 5 · Matura 2017
Równość \((x\sqrt{2}-2)^2=(2+\sqrt{2})^2\) jest:
Aprawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\)
Bprawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\)
Cprawdziwa dla \(x=-1\)
Dfałszywa dla każdej liczby \(x\)
Zadanie jest dość podchwytliwe i wcale nie takim najgorszym pomysłem byłoby po prostu podstawienie wartości z odpowiedzi \(A\), \(B\), \(C\) do tej równości i sprawdzenie (nawet na kalkulatorze stosując przybliżenia) kiedy ta równość będzie prawdziwa. Gdyby żadna nie była prawidłowa to wtedy zaznaczylibyśmy odpowiedź \(D\).
W tym zadaniu chodziło jednak o dostrzeżenie tego, że jeżeli mamy jakąś równość w postaci \(a^2=b^2\) to aby ta równość była prawdziwa to albo \(a=b\), albo \(a=-b\).
Przykładowo: \(5^2=(-5)^2\), czyli w tym przypadku \(a=-b\).
Dzięki temu będziemy mogli pozbyć się potęg i zapisać, że:
$$\color{orange}{(x\sqrt{2}-2)}^2=\color{green}{(2+\sqrt{2})}^2$$
$$\color{orange}{x\sqrt{2}-2}=\color{green}{2+\sqrt{2}} \quad\lor\quad \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=-\color{green}{(2+\sqrt{2})}$$
$$x\sqrt{2}=4+\sqrt{2} \quad\lor\quad x\sqrt{2}-2=-2-\sqrt{2}$$
$$x=\frac{4}{\sqrt{2}}+1 \quad\lor\quad x\sqrt{2}=-\sqrt{2}$$
$$x=\frac{4\sqrt{2}}{2}+1 \quad\lor\quad x=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$
$$x=2\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-1$$
No i właśnie to drugie rozwiązanie było tym, które znalazło się w odpowiedzi \(C\).
Zadanie nr 4 · Matura 2016
Różnica \(50001^2-49999^2\) jest równa:
A\(2\;000\;000\)
B\(200\;000\)
C\(20\;000\)
D\(4\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:
$$a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)$$
$$50001^2-49999^2=(50001+49999)\cdot(50001-49999)$$
$$50001^2-49999^2=100\;000\cdot2$$
$$50001^2-49999^2=200\;000$$
Zadanie nr 5 · Matura 2016
Najmniejsza wartość wyrażenia \((x-y)(x+y)\) dla \(x,y\in\{2,3,4\}\) jest równa:
A\(2\)
B\(-24\)
C\(0\)
D\(-12\)
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że:
$$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$
Powyższe wyrażenie będzie więc tym mniejsze im \(x\) będzie mniejszy oraz tym mniejsze im \(y\) będzie większy. Zatem pod iksa musimy podstawić jak najmniejszą wartość, czyli \(x=2\), natomiast pod igreka jak najwyższą, czyli \(y=4\). Wartość tego wyrażenia będzie zatem równa:
$$2^2-4^2=4-16=-12$$
Zadanie nr 4 · Matura 2016
Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla:
A\(a=3\)
B\(a=1\)
C\(a=-2\)
D\(a=-3\)
Najprościej to zadanie rozwiążemy podstawiając pod \(a\) poszczególne odpowiedzi. Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Prawidłową odpowiedzią będzie oczywiście ta, która spełni nasze równanie. W naszym przypadku tylko \(a=3\) da prawidłowy wynik, bo:
$$(2\sqrt{2}-3)^2=17-12\sqrt{2}$$
$$8-12\sqrt{2}+9=17-12\sqrt{2}$$
$$17-12\sqrt{2}=17-12\sqrt{2}$$
$$L=P$$
Gdyby jednak to zadanie było w części otwartej (bez proponowanych odpowiedzi), to wtedy najlepszym wyjściem byłoby rozbicie liczby \(17\) na sumę \(8+9\), dzięki czemu otrzymalibyśmy:
$$(2\sqrt{2}-a)^2=8-12\sqrt{2}+9$$
$$(2\sqrt{2}-a)^2=(2\sqrt{2}-3)^2$$
$$a=3$$
Zadanie nr 6 · Matura 2015
Wartość wyrażenia \((a+5)^2\) jest większa od wartości wyrażenia \((a^2+10a)\) o:
A\(50\)
B\(10\)
C\(5\)
D\(25\)
Skorzystamy tutaj ze wzorów skróconego mnożenia:
$$(a+5)^2=a^2+2\cdot a\cdot5+5^2=a^2+10a+25$$
Porównując to do wyrażenia \(a^2+10a\) widzimy wyraźnie, że kwadrat obliczonej przed chwilą sumy jest większy o \(25\).
Zadanie nr 6 · Matura 2015
Wyrażenie \(9-(y-3)^2\) jest równe:
A\(-y^2+18\)
B\(-y^2+6y\)
C\(-y^2\)
D\(-y^2+6y+18\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że:
$$9-(y-3)^2=9-(y^2-6y+9)=9-y^2+6y-9=-y^2+6y$$
Zadanie nr 4 · Matura 2015
Wyrażenie \(3a^2-12ab+12b^2\) może być przekształcone do postaci:
A\(3(a^2-b^2)^2\)
B\(3(a-2b^2)^2\)
C\(3(a-2b)^2\)
D\(3(a+2b)^2\)
Z całego wyrażenia możemy wyłączyć przed nawias trójkę, a powstałą wartość znajdującą się w nawiasie zapiszemy w postaci wzoru skróconego mnożenia. Całość obliczeń wygląda następująco:
$$3a^2-12ab+12b^2=3\cdot(a^2-4ab+4b^2)=3\cdot(a-2b)^2$$
Zadanie nr 6 · Próbny 2014
Wyrażenie \((3x+1+y)^2\) jest równe:
A\(3x^2+y^2+1\)
B\(9x^2+6x+y^2+1\)
C\(3x^2+y^2+6xy+6x+1\)
D\(9x^2+y^2+6xy+6x+2y+1\)
Wbrew pozorom w tym zadaniu nie chodzi o użycie wzorów skróconego mnożenia, bo tradycyjne wzory związane są z dwoma wyrazami, a tutaj w nawiasie mamy aż trzy wyrazy. Najprościej będzie to po prostu wymnożyć na piechotę, porządkując na koniec cały zapis:
$$(3x+1+y)^2=(3x+1+y)\cdot(3x+1+y)=$$
$$=9x^2+3x+3xy+3x+1+y+3xy+y+y^2=$$
$$=9x^2+y^2+6xy+6x+2y+1$$
Zadanie nr 7 · Matura 2013
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\), wyrażenie \(4x^2-12x+9\) jest równe:
A\((4x+3)(x+3)\)
B\((2x-3)(2x+3)\)
C\((2x-3)(2x-3)\)
D\((x-3)(4x-3)\)
Musimy sprawdzić które z wyrażeń przedstawionych w odpowiedziach \(ABCD\) da nam tą samą wartość co wyrażenie z treści zadania. Jeśli dość sprawnie posługujemy się wzorami skróconego mnożenia, to z pewnością zauważymy że \((2x-3)^2=4x^2-12x+9\), więc od razu można byłoby zaznaczyć trzecią odpowiedź. Jeśli jednak nie dostrzegamy tej zależności lub jeśli nie pamiętamy o tych wzorach, to najprościej będzie wymnożyć poszczególne wyrażenia:
A. \((4x+3)(x+3)=4x^2+12x+3x+9=4x^2+15x+9\)
B. \((2x-3)(2x+3)=4x^2+6x-6x-9=4x^2-9\)
C. \((2x-3)(2x-3)=4x^2-6x-6x+9=4x^2-12x+9\)
D. \((x-3)(4x-3)=4x^2-3x-12x+9=4x^2-15x+9\)
To zadanie można rozwiązać dość szybko korzystając z następującego wzoru skróconego mnożenia:
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Patrząc na ten wzór i na prawą część naszego równania z treści zadania możemy zauważyć, że środkowy wyraz, czyli \(28\sqrt{2}\) to wartość \(2ab\) z naszego wzoru skróconego mnożenia, gdzie \(b=2\sqrt{2}\), bo \(b^2=8\). To z kolei bardzo szybko pozwoli nam odnaleźć prawidłową odpowiedź:
$$2ab=28\sqrt{2}$$
$$ab=14\sqrt{2}$$
$$a\cdot2\sqrt{2}=14\sqrt{2}$$
$$a=7$$
Jeśli jednak tego nie dostrzegliśmy (a nie było to zbyt łatwe do dostrzeżenia), to albo musimy podstawiać do równania po kolei każdą z odpowiedzi, albo po prostu rozwiązać równanie w takiej postaci jaka jest przedstawiona w zadaniu. Jest to rozwiązanie nieco bardziej czasochłonne, ale także doprowadzi nas do poprawnego wyniku:
$$\require{cancel}
(a+2\sqrt{2})^2=a^2+28\sqrt{2}+8$$
$$a^2+2\cdot a\cdot2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2=a^2+28\sqrt{2}+8$$
$$\cancel{a^2}+4\sqrt{2}a+\cancel{8}=\cancel{a^2}+28\sqrt{2}+\cancel{8}$$
$$4\sqrt{2}a=28\sqrt{2} \quad\bigg/:4\sqrt{2}$$
$$a=\frac{28\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$$
$$a=7$$
Zadanie nr 7 · Matura 2011
Dla pewnych liczb \(a\) i \(b\) zachodzą równości: \(a^2-b^2=200\) i \(a+b=8\). Dla tych liczb \(a\) i \(b\) wartość wyrażenia \(a-b\) jest równa:
A\(25\)
B\(16\)
C\(10\)
D\(2\)
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że:
$$a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b)$$
Wiemy, że \(a^2-b^2=200\). Wiemy też, że \(a+b=8\). Podstawiając teraz do powyższego wzoru te dane wyznaczymy wartość wyrażenia \(a-b\), zatem:
$$200=(a-b)\cdot8$$
$$a-b=200:8$$
$$a-b=25$$
Zadanie nr 6 · Próbny 2009
Wyrażenie \(27x^3+y^3\) jest równe iloczynowi:
A\((3x+y)(9x^2-3xy+y^2)\)
B\((3x+y)(9x^2+3xy+y^2)\)
C\((3x-y)(9x^2+3xy+y^2)\)
D\((3x-y)(9x^2-3xy+y^2)\)
Możemy wymnożyć wyrazy w każdej z poszczególnych odpowiedzi i sprawdzić który wynik będzie równy iloczynowi z treści zadania. My jednak skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia, a dokładniej to ze wzoru na sumę sześcianów:
$$\color{orange}{a^3}+\color{green}{b^3}=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$\color{orange}{27x^3}+\color{green}{y^3}=...$$
Ustalmy sobie co jest naszym wyrazem \(a\) oraz \(b\) w tym wzorze. Na pewno \(b=y\). Ale ile jest równe \(a\)? I tu klasyczna pułapka przy stosowaniu tego wzoru, bowiem \(a\neq27x\). Dlaczego? Ponieważ \((27x)^3=19683x^3\). W naszym przypadku \(a=3x\), bo \((3x)^3=27x^3\). Zatem:
$$27x^3+y^3=(3x+y)((3x)^2-3xy+y^2)$$
$$27x^3+y^3=(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)$$
Zadanie nr 6 · Matura
Wyrażenie \(16-(3x+1)^2\) jest równe:
A\((3-3x)\cdot(5+3x)\)
B\((15-3x)^2\)
C\((5-3x)\cdot(5+3x)\)
D\(15-9x^2\)
Krok 1. Zapisanie podanego wyrażenia w postaci \(a^2-b^2\).
Wbrew pozorom nie jest najlepszym pomysłem wykonanie potęgowania \((3x+1)^2\). Najprościej jest rozwiązać to zadanie zapisując \(16\) jako \(4^2\), otrzymamy wtedy: \(4^2-(3x+1)^2\).
Jeśli teraz zauważymy, że \(a=4\) oraz \(b=3x+1\), to możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
Równanie \(\dfrac{(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-1,5)(x+6)}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych:
Adokładnie jedno rozwiązanie: \(x=2\)
Bdokładnie dwa rozwiązania: \(x=1,5, x=2\)
Cdokładnie trzy rozwiązania: \(x=-6, x=0, x=2\)
Ddokładnie cztery rozwiązania: \(x=-6, x=0, x=1,5, x=2\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do równania. Na matematyce dzielenie przez zero nie istnieje, więc i wartość mianownika musi być różna od zera. W mianowniku mamy równanie zapisane w postaci iloczynowej, zatem wystarczy przyrównać każdy z czynników do zera, czyli:
$$2x\neq0 \quad\land\quad x-1,5\neq0 \quad\land\quad x+6\neq0$$
$$x\neq0 \quad\land\quad x\neq1,5 \quad\land\quad x\neq-6$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość w mianowniku, otrzymamy:
$$\frac{(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-1,5)(x+6)}=0 \quad\bigg/\cdot 2x(x-1,5)(x+6)$$
$$(4x-6)(x-2)^2=0$$
$$4x-6=0 \quad\lor\quad x-2=0$$
$$4x=6 \quad\lor\quad x=2$$
$$x=1,5 \quad\lor\quad x=2$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z naszymi założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=1,5\) musimy odrzucić, bo dla tej wartości otrzymamy zero w mianowniku. To oznacza, że jedynym rozwiązaniem będzie \(x=2\).
Zadanie nr 9 · Matura
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Wyrażenie \(2x^2-1\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \((1-x\sqrt{2})(x\sqrt{2}-1)\). Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((2+x)^3-x^2(x+6)-12x\) jest równa \(8\).
Wyrażenie \(2x^2-1\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \((1-x\sqrt{2})(x\sqrt{2}-1)\).
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((2+x)^3-x^2(x+6)-12x\) jest równa \(8\).
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Możemy oczywiście wymnożyć podane nawiasy i sprawdzić jaki wynik otrzymamy:
$$(1-x\sqrt{2})(x\sqrt{2}-1)=x\sqrt{2}-1-2x^2+x\sqrt{2}=2x^2+2\sqrt{2}x-1$$
Ewentualnie moglibyśmy dostrzec, że to zadanie opiera się na wzorach skróconego mnożenia, a konkretnie chodzi tu o wzór \((a^2-b^2)=(a+b)(a-b)\). W naszym przypadku \(a=x\sqrt{2}\) oraz \(b=1\), więc:
$$2x^2-1=(x\sqrt{2}+1)(x\sqrt{2}-1)$$
Otrzymany wynik nie jest tożsamy z podanym wyrażeniem, więc zdanie jest fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\), otrzymamy:
$$2^3+3\cdot2^2\cdot x+3\cdot2\cdot x^2+x^3-x^3-6x^2-12x=$$
$$=8+12x+6x^2-6x^2-12x=8$$
Brakuje środkowego wyrazu $2ab$. Łatwo to sprawdzić liczbami: $(2+3)^2=25$, ale $4+9=13$.
Uwaga na współczynniki
$$(2x-5)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot5+25=4x^2-20x+25$$
Do kwadratu podnosimy cały jednomian — również liczbę przed literą. Zapis $2x^2$ zamiast $4x^2$ to bardzo częsta pomyłka.
Wzory czyta się w obie strony
Od lewej do prawej — rozwijamy. Od prawej do lewej — rozkładamy na czynniki:
$$x^2-49=(x-7)(x+7),\qquad x^2-10x+25=(x-5)^2$$
Umiejętność rozpoznania wzoru w gotowym wyrażeniu jest cenniejsza niż samo mnożenie.
Kolejność przy rozkładzie
Najpierw wyłączamy wspólny czynnik, dopiero potem szukamy wzorów:
$$2x^3-18x=2x\left(x^2-9\right)=2x(x-3)(x+3)$$
Pominięcie pierwszego kroku daje rozkład niepełny. Wyłączamy zawsze największy wspólny czynnik — z $8x^2+12x$ wyłączamy $4x$, a nie samo $4$ czy samo $x$.
Sprytne rachunki
$$102^2=(100+2)^2=10\,000+400+4=10\,404$$
$$97\cdot103=(100-3)(100+3)=10\,000-9=9991$$
$$51\cdot49=2500-1=2499$$
Wzory zamieniają jedno trudne mnożenie na kilka łatwych działań.
Przekształcanie warunków
$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$
Znając $a+b=7$ i $ab=10$, obliczymy $a^2+b^2=49-20=29$ bez wyznaczania samych liczb. To standardowy chwyt w zadaniach z sumą i iloczynem.
Uzupełnianie do kwadratu
$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2$$
Ponieważ $(x-3)^2\ge0$, całe wyrażenie jest zawsze co najmniej równe $2$ — to standardowy sposób dowodzenia, że wyrażenie kwadratowe jest dodatnie, a przy okazji znajdujemy jego wartość najmniejszą.
Na co uważać
Nie gub wyrazu $2ab$. Nie zapominaj o nawiasie przy odejmowaniu całego wyrażenia. I zawsze doprowadzaj rozkład do końca.
∑Wzory 2
Kwadrat różnicy
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Jak kwadrat sumy, ale środkowy wyraz ze znakiem minus.
Uwaga: kwadrat dotyczy całego $2x$, więc $(2x)^2=4x^2$.
Odpowiedź: $4x^2+12x+9$.
Zadanie nr 10
Rozłóż na czynniki $9x^2-25$.
To różnica kwadratów: $9x^2=(3x)^2$, $25=5^2$:
$$9x^2-25=(3x-5)(3x+5)$$
Odpowiedź: $(3x-5)(3x+5)$.
Zadanie nr 11
Ile wynosi $(a-b)^2$?
A$a^2-b^2$
B$a^2+b^2$
C$a^2+2ab+b^2$
D$a^2-2ab+b^2$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 12
Uprość wyrażenie $(x+2)^2-(x-2)^2$.
Krok 1 — rozwijamy oba kwadraty:
$$(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)$$
Krok 2 — redukujemy:
$$=x^2+4x+4-x^2+4x-4=8x$$
Odpowiedź: $8x$.
Zadanie nr 13
Oblicz $37^2-27^2$ bez potęgowania.
Krok 1 — różnica kwadratów:
$$37^2-27^2=(37-27)(37+27)$$
Krok 2 — liczymy:
$$=10\cdot64=640$$
Odpowiedź: $640$.
Zadanie nr 14
Wyrażenie $x^2-6x+9$ to:
A$(x-3)^2$
B$(x+3)^2$
C$(x-9)^2$
D$(x-3)(x+3)$
Kwadrat różnicy: $9=3^2$, $6x=2\cdot x\cdot3$:
$$x^2-6x+9=(x-3)^2$$
Odpowiedź: A. $(x-3)^2$.
Zadanie nr 15
Wiedząc, że $a+b=7$ i $ab=10$, oblicz $a^2+b^2$.
Krok 1 — wzór na kwadrat sumy:
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Krok 2 — wyznaczamy $a^2+b^2$:
$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$
Krok 3 — podstawiamy:
$$=7^2-2\cdot10=49-20=29$$
Odpowiedź: $a^2+b^2=29$.
Zadanie nr 16
Rozłóż $x^3-x$ na czynniki.
A$x(x^2+1)$
B$x(x-1)(x+1)$
C$(x-1)^3$
D$x^2(x-1)$
Krok 1 — wyłączamy $x$: $x^3-x=x(x^2-1)$.
Krok 2 — różnica kwadratów: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
$$x^3-x=x(x-1)(x+1)$$
Odpowiedź: B. $x(x-1)(x+1)$.
Zadanie nr 17
Doprowadź do najprostszej postaci $(a+b)^2+(a-b)^2$.
Krok 1 — rozwijamy oba kwadraty:
$$(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)$$
Krok 2 — redukujemy (składniki $2ab$ się znoszą):
$$=2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)$$
Odpowiedź: $2(a^2+b^2)$.
Zadanie nr 18
Wykaż, że $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$.
Krok 1 — rozwijamy oba kwadraty:
$$(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)$$
Krok 2 — usuwamy nawias i redukujemy:
$$=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab \qquad ∎$$
Sprawdzenie dla $a=3$, $b=2$: lewa $5^2-1^2=24$; prawa $4\cdot6=24$ ✔
Zadanie nr 19
Uzasadnij, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest zawsze liczbą nieparzystą.
Krok 1 — oznaczenia. Kolejne liczby to $n$ i $n+1$.
Krok 2 — różnica kwadratów:
$$(n+1)^2-n^2=(n^2+2n+1)-n^2=2n+1$$
Krok 3 — wniosek. $2n+1$ jest z definicji liczbą nieparzystą dla dowolnej całkowitej $n$. $\quad∎$
Sprawdzenie: $5^2-4^2=25-16=9$ (nieparzysta) ✔
Zadanie nr 20
Wykaż, że wyrażenie $x^2-4x+7$ przyjmuje wartości nie mniejsze niż $3$.
Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Bierzemy $x^2-4x$ i dodajemy oraz odejmujemy $4$ (kwadrat połowy współczynnika przy $x$):
$$x^2-4x+7=(x^2-4x+4)+3=(x-2)^2+3$$
Krok 2 — szacujemy. Ponieważ $(x-2)^2\ge0$ dla każdego $x$:
$$(x-2)^2+3\ge3 \qquad ∎$$
Wniosek. Najmniejszą wartość $3$ wyrażenie osiąga dla $x=2$ (wtedy kwadrat jest zerem).
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.