Działania na przedziałach

Część wspólna $A\cap B$ to elementy należące do obu zbiorów jednocześnie.

Do $A$ i do $B$ należą tylko $3$ i $4$:

$$A\cap B=\{3,4\}$$

Odpowiedź: B.

Suma $A\cup B$ to elementy należące do któregokolwiek ze zbiorów.

Wypisujemy wszystkie elementy, każdy tylko raz:

$$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$$

Uwaga: elementy $3$ i $4$ są w obu zbiorach, ale w sumie zapisujemy je pojedynczo — w zbiorze nie powtarzamy elementów.

Odpowiedź: $\{1,2,3,4,5\}$.

Różnica $A\setminus B$ to elementy należące do $A$, które nie należą do $B$.

Z $A=\{1,2,3,4\}$ usuwamy te, które są w $B$ (czyli $3$ i $4$):

$$A\setminus B=\{1,2\}$$

Uwaga na kierunek: $B\setminus A=\{5\}$ to co innego — różnica zbiorów nie jest przemienna.

Odpowiedź: $\{1,2\}$.

Symbol $\in$ oznacza „należy do” i łączy element ze zbiorem:

$$3\in A$$

Rozróżnienie symboli: $\in$ dotyczy elementu i zbioru, a $\subset$ dotyczy dwóch zbiorów (zawieranie). Zapis $3\subset A$ jest błędny, bo $3$ to element, nie zbiór.

Odpowiedź: C. $3\in A$.

Warunek $2\le x\lt 7$ zapisujemy jako przedział, dobierając nawiasy do znaków:

$$\langle 2,\,7)$$

Nawias kwadratowy (ostry) $\langle$ — koniec należy do przedziału (znak $\le$), więc $2$ należy.

Nawias okrągły $)$ — koniec nie należy (znak $\lt $), więc $7$ nie należy.

Odpowiedź: $\langle 2,\,7)$; liczba $2$ należy, liczba $7$ nie należy.

Warunek $x>5$ oznacza liczby większe od $5$, ale bez samej piątki.

$$(5,\,+\infty)$$

Zasady zapisu: przy $>$ (ostra nierówność) używamy nawiasu okrągłego, a przy nieskończoności zawsze nawias okrągły — nieskończoność nie jest liczbą i nie może „należeć” do przedziału (to eliminuje odpowiedź D).

Odpowiedź: A. $(5,\,+\infty)$.

Część wspólna to liczby należące do obu przedziałów naraz. Warto naszkicować oś liczbową.

Dolny kraniec części wspólnej to większy z lewych końców: $\max(1,\,4)=4$.

Górny kraniec to mniejszy z prawych końców: $\min(6,\,9)=6$.

$$\langle 1,\,6\rangle\cap\langle 4,\,9\rangle=\langle 4,\,6\rangle$$

Odpowiedź: $\langle 4,\,6\rangle$.

Sprawdźmy, czy przedziały się zazębiają. Pierwszy sięga do $3$, drugi zaczyna się od $0$ — nachodzą na siebie na odcinku $\langle 0,\,3)$.

Skoro razem pokrywają całą oś liczbową (od minus nieskończoności aż po plus nieskończoność), ich suma to:

$$(-\infty,\,3)\cup\langle 0,\,+\infty)=\mathbb{R}$$

Kluczowa obserwacja: ponieważ $0\lt 3$, przedziały mają część wspólną, więc suma jest „ciągła” — nie ma dziury na osi.

Odpowiedź: $\mathbb{R}$ (zbiór wszystkich liczb rzeczywistych).

Liczba wszystkich podzbiorów zbioru $n$-elementowego wynosi $2^n$.

$$2^3=8$$

Wypisanie wszystkich: zbiór pusty $\emptyset$; jednoelementowe $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$; dwuelementowe $\{a,b\}$, $\{a,c\}$, $\{b,c\}$; oraz cały zbiór $\{a,b,c\}$ — razem $8$.

Uwaga: zbiór pusty i sam zbiór też są podzbiorami — o nich najłatwiej zapomnieć.

Odpowiedź: D. $8$.

Czytamy zapis: „liczby naturalne $x$ takie, że $x\lt 6$”.

Wypisujemy liczby naturalne mniejsze od $6$:

$$A=\{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5\}$$

Uwaga: w polskiej konwencji szkolnej liczby naturalne zaczynają się od $0$. Liczba $6$ nie należy, bo warunek jest ostry ($\lt $).

Odpowiedź: $A=\{0,1,2,3,4,5\}$.

Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera — nigdy nie jest ujemna:

$$|-9|=9$$

Odpowiedź: B. $9$.

Szukamy liczb odległych od zera o $7$. Są dwie takie liczby — po obu stronach zera:

$$x=7 \quad \text{lub} \quad x=-7$$

Ogólna zasada: równanie $|x|=a$ dla $a>0$ ma zawsze dwa rozwiązania: $x=a$ oraz $x=-a$.

Częsty błąd: podanie tylko $x=7$.

Odpowiedź: $x=7$ lub $x=-7$.

Z przedziału $\langle 0,\,10\rangle$ „wycinamy” część należącą do $\langle 3,\,6\rangle$.

Zostają dwa kawałki — przed wycięciem i po nim:

$$\langle 0,\,3)\cup(6,\,10\rangle$$

Uwaga na nawiasy przy $3$ i $6$: skoro $3$ i $6$ zostały usunięte (należały do wycinanego przedziału), to w wyniku nawiasy przy nich są okrągłe.

Odpowiedź: $\langle 0,\,3)\cup(6,\,10\rangle$.

Warunek $|x|\lt 3$ oznacza „odległość od zera mniejsza niż $3$”, czyli liczby leżące blisko zera — pomiędzy $-3$ a $3$:

$$-3\lt x\lt 3$$

To pojedynczy przedział $(-3,\,3)$.

Kontrast: nierówność $|x|>3$ dałaby dwa przedziały „na zewnątrz” (odpowiedź B) — trzeba uważać na kierunek.

Odpowiedź: A. $-3\lt x\lt 3$.

Krok 1 — suma:

$$A\cup B=\{1,2,3,4,6,8\}$$

Krok 2 — część wspólna:

$$A\cap B=\{2,4\}$$

Krok 3 — od sumy odejmujemy część wspólną:

$$\{1,2,3,4,6,8\}\setminus\{2,4\}=\{1,3,6,8\}$$

Nazwa: ten zbiór to różnica symetryczna — elementy należące do dokładnie jednego ze zbiorów.

Odpowiedź: $\{1,3,6,8\}$.

Wypisujemy liczby całkowite z przedziału. Lewy koniec $-2$ jest otwarty (nie należy), prawy koniec $4$ jest domknięty (należy):

$$-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$$

Jest ich $6$.

Uwaga na końce: $-2$ pomijamy (nawias okrągły), ale $4$ dołączamy (nawias ostry). Łatwo o pomyłkę o jeden.

Odpowiedź: C. $6$.

Warunek $x\ge -2$ oznacza liczby nie mniejsze niż $-2$, łącznie z samym $-2$.

$$\langle -2,\,+\infty)$$

Nawiasy: przy $-2$ nawias ostry (bo $\ge$ dołącza tę wartość), przy nieskończoności zawsze okrągły.

Odpowiedź: $\langle -2,\,+\infty)$.

Interpretacja: szukamy liczb odległych o $3$ od liczby $4$.

Rozbijamy na dwa przypadki:

$$x-4=3 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

$$x-4=-3 \quad\Rightarrow\quad x=1$$

Sprawdzenie: $|7-4|=3$ ✔ oraz $|1-4|=|-3|=3$ ✔

Geometrycznie: liczby $1$ i $7$ leżą po obu stronach $4$, każda w odległości $3$.

Odpowiedź: $x=1$ lub $x=7$.

Warunek $|x|\ge 2$ oznacza „odległość od zera co najmniej $2$”, czyli liczby leżące daleko od zera — po obu stronach.

Rozbijamy na dwa przypadki:

$$x\le -2 \quad \text{lub} \quad x\ge 2$$

Zapisujemy jako sumę przedziałów:

$$(-\infty,\,-2\rangle\cup\langle 2,\,+\infty)$$

Nawiasy ostre przy $-2$ i $2$: nierówność jest nieostra ($\ge$), więc końce należą do zbioru.

Kontrast z zadaniem 14: „większe” daje dwa przedziały na zewnątrz, „mniejsze” — jeden przedział w środku.

Odpowiedź: $(-\infty,\,-2\rangle\cup\langle 2,\,+\infty)$.

Warto naszkicować oba przedziały na jednej osi liczbowej.

Część wspólna $A\cap B$ — od większego lewego końca do mniejszego prawego. Lewy: $\max(-3,\,2)=2$ (należy, bo w $B$ jest ostry, ale liczymy przecięcie — $2\in B$ i $2\in A$). Prawy: $\min(5,\,8)=5$ (należy, bo w $A$ domknięty):

$$A\cap B=\langle 2,\,5\rangle$$

Suma $A\cup B$ — od mniejszego lewego do większego prawego końca:

$$A\cup B=(-3,\,8)$$

Różnica $A\setminus B$ — z $A$ usuwamy część wspólną $\langle 2,\,5\rangle$. Zostaje początek $A$ aż do $2$ (bez $2$, bo $2$ było w części wspólnej):

$$A\setminus B=(-3,\,2)$$

Odpowiedź: $A\cap B=\langle 2,\,5\rangle$, $A\cup B=(-3,\,8)$, $A\setminus B=(-3,\,2)$.

1. Liczby odległe od $3$ o mniej niż $5$: $3-5\lt x\lt 3+5$, czyli $x\in(-2,8)$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to rozwiązanie nierówności „$\gt $”; C — środek $-3$; D — końce powinny być otwarte.

1. $|x+2|=|x-(-2)|$ — środek $-2$, promień $4$.
2. „$\ge$” → dwa ramiona: $x\le-6$ lub $x\ge2$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? C — środek $+2$ zamiast $-2$; D — nierówność nieostra wymaga domkniętych końców.

1. $x-4=6$ lub $x-4=-6$, czyli $x=10$ lub $x=-2$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D — pominięty przypadek ujemny; B — środek $-4$.

1. Środek przedziału: $\dfrac{-3+7}{2}=2$, promień: $\dfrac{7-(-3)}{2}=5$.
2. Końce domknięte → $|x-2|\le5$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? B — zamienione środek i promień; C — opisuje dwa ramiona poza przedziałem.

1. $2x-1\ge3$ lub $2x-1\le-3$.
2. $x\ge2$ lub $x\le-1$, czyli $x\in(-\infty,-1]\cup[2,\infty)$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — przy $2x-1\le-3$ ktoś podzielił źle; najłatwiej: $|2x-1|=2\left|x-\tfrac12\right|\ge3 \Rightarrow \left|x-\tfrac12\right|\ge\tfrac32$.

1. Dwa ramiona, końce otwarte → nierówność ostra typu „$\gt $”.
2. Środek: $\dfrac{-4+2}{2}=-1$, promień: $2-(-1)=3$ → $|x+1|\gt 3$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? C — końce na rysunku są niezamalowane, więc nierówność ostra; A — środek $+1$.

1. 1. Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, więc $|x-5|\lt 0$ nie ma rozwiązań — prawda.
2. 2. $|x|\le-1$ nie ma żadnego rozwiązania (moduł nie może być ujemny) — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. $|x-1|\lt 3 \iff -2\lt x\lt 4$.
2. Liczby całkowite z przedziału $(-2,4)$: $-1,0,1,2,3$ (jest ich $5$).

Odpowiedź: $-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3$

1. $\sqrt3\approx1{,}73$, więc $\sqrt3-2\lt 0$ i $|\sqrt3-2|=2-\sqrt3$.
2. $\sqrt3-1\gt 0$, więc $|\sqrt3-1|=\sqrt3-1$.
3. Suma: $2-\sqrt3+\sqrt3-1=1$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A — moduł „zdjęty” bez zmiany znaku przy liczbie ujemnej $\sqrt3-2$.

1. $|x-4|\lt 3 \iff 1\lt x\lt 7$, czyli $B=(1,7)$.
2. Część wspólna: liczby w obu zbiorach — $(1,5)$ (liczba $5\notin A$).
3. Suma: od $-3$ (włącznie) do $7$ (bez) — $[-3,7)$.

Odpowiedź: $A\cap B=(1,5)$, $A\cup B=[-3,7)$

Krok 1 — najpierw działania wewnątrz:

$$|3-8|=|-5|=5$$

Krok 2 — druga wartość:

$$|-2|=2$$

Krok 3 — suma:

$$5+2=7$$

Odpowiedź: $7$.

Szukamy liczb odległych od zera o $6$ jednostki — są dwie:

$$x=6 \quad\text{lub}\quad x=-6$$

Częsty błąd: podanie tylko rozwiązania dodatniego.

Odpowiedź: $x\in\{-6,\,6\}$.

Nawias kwadratowy (ostry) domyka koniec — liczba należy do przedziału. Nawias okrągły otwiera — liczba nie należy.

Tutaj $2$ należy, a $7$ nie.

Odpowiedź: C. $2\le x\lt 7$.

Suma — wszystko, co należy do któregokolwiek przedziału. Przedziały zachodzą na siebie, więc łączą się w jeden:

$$A\cup B=(1,\,8\rangle$$

Część wspólna — to, co należy do obu naraz:

$$A\cap B=\langle3,\,5)$$

Odpowiedź: $A\cup B=(1,\,8\rangle$, $A\cap B=\langle3,\,5)$.

Szukamy liczb oddalonych od zera o mniej niż $4$ — to odcinek wokół zera:

$$-4\lt x\lt 4$$

Zapamiętaj: $|x|\lt a$ daje przedział między, a $|x|>a$ — dwa przedziały na zewnątrz.

Odpowiedź: A. $x\in(-4,\,4)$.

Interpretacja: szukamy liczb odległych od $3$ o $5$ jednostek.

Przypadek 1:

$$x-3=5 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Przypadek 2:

$$x-3=-5 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Sprawdzenie: $|8-3|=5$ ✔ oraz $|-2-3|=|-5|=5$ ✔

Odpowiedź: $x\in\{-2,\,8\}$.

Szukamy liczb oddalonych od zera o co najmniej $3$ — to dwa przedziały na zewnątrz:

$$x\le-3 \quad\text{lub}\quad x\ge3$$

$$x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle3,+\infty)$$

Nawiasy domknięte, bo nierówność jest nieostra.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle3,+\infty)$.

Zapis z wartością bezwzględną:

$$|x-4|\lt 2$$

Rozwiązanie:

$$-2\lt x-4\lt 2 \quad\Rightarrow\quad 2\lt x\lt 6$$

$$x\in(2,\,6)$$

Odpowiedź: $|x-4|\lt 2$, czyli $x\in(2,\,6)$.

Szukamy liczb spełniających oba warunki jednocześnie:

$$x\lt 3 \quad\text{oraz}\quad x\ge0$$

$$0\le x\lt 3$$

Zero należy (nawias domknięty z drugiego zbioru), trójka nie należy.

Odpowiedź: B. $\langle0,\,3)$.

Krok 1 — rozpisujemy jako podwójną nierówność:

$$-4\le x-1\le4$$

Krok 2 — dodajemy $1$ do wszystkich części:

$$-3\le x\le5$$

$$x\in\langle-3,\,5\rangle$$

Interpretacja: liczby oddalone od $1$ o najwyżej $4$ jednostki.

Odpowiedź: $x\in\langle-3,\,5\rangle$.

Różnica zbiorów to elementy $A$, które nie należą do $B$. Wycinamy z $A$ środkowy fragment:

$$A\setminus B=\langle0,\,3\rangle\cup\langle6,\,10\rangle$$

Uwaga na nawiasy: liczby $3$ i $6$ nie należały do $B$ (nawiasy otwarte), więc zostają w różnicy — dlatego są domknięte.

Odpowiedź: $\langle0,\,3\rangle\cup\langle6,\,10\rangle$.

Pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, a $x$ może być ujemne:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Sprawdzenie dla $x=-3$: $\sqrt{9}=3=|-3|$ ✔ Gdyby wynikiem było $x$, dostalibyśmy $-3$ — a pierwiastek nie bywa ujemny.

Odpowiedź: C. $|x|$.

Przypadek 1:

$$2x-6=10 \quad\Rightarrow\quad 2x=16 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Przypadek 2:

$$2x-6=-10 \quad\Rightarrow\quad 2x=-4 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Sprawdzenie: $|16-6|=10$ ✔ oraz $|-4-6|=|-10|=10$ ✔

Odpowiedź: $x\in\{-2,\,8\}$.

Wypisujemy: $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$.

Liczba $-2$ nie należy (nawias otwarty), a $3$ należy (nawias domknięty).

Odpowiedź: A. $5$.

Krok 1 — dwa przypadki. Nierówność „większe niż” rozpada się na dwie oddzielne:

$$x+2>5 \quad\text{lub}\quad x+2\lt -5$$

Krok 2 — rozwiązujemy każdą:

$$x>3 \quad\text{lub}\quad x\lt -7$$

$$x\in(-\infty,-7)\cup(3,+\infty)$$

Interpretacja: liczby oddalone od $-2$ o więcej niż $5$ jednostek.

Sprawdzenie dla $x=4$: $|6|=6>5$ ✔; dla $x=-8$: $|-6|=6>5$ ✔; dla $x=0$: $|2|=2$, czyli nie spełnia — i faktycznie $0$ nie należy do rozwiązania ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-7)\cup(3,+\infty)$.

Część wspólna — musi zachodzić $x\le4$ oraz $x\ge-1$:

$$A\cap B=\langle-1,\,4\rangle$$

Suma — przedziały zachodzą na siebie, więc łączą się:

$$A\cup B=(-\infty,\,7)$$

Różnica $B\setminus A$ — elementy $B$, które nie należą do $A$, czyli te większe od $4$:

$$B\setminus A=(4,\,7)$$

Uwaga: $4$ należy do $A$, więc wypada z różnicy — stąd nawias otwarty.

Odpowiedź: $A\cap B=\langle-1,\,4\rangle$, $A\cup B=(-\infty,\,7)$, $B\setminus A=(4,\,7)$.

Krok 1 — obserwacja wyjściowa. Dla każdej liczby zachodzi $-|a|\le a\le|a|$ oraz $-|b|\le b\le|b|$.

Krok 2 — dodajemy nierówności stronami:

$$-(|a|+|b|)\le a+b\le|a|+|b|$$

Krok 3 — wniosek. Liczba $a+b$ leży między $-(|a|+|b|)$ a $|a|+|b|$, a to dokładnie oznacza:

$$|a+b|\le|a|+|b| \qquad ∎$$

Równość zachodzi, gdy $a$ i $b$ mają ten sam znak (albo któraś jest zerem). Przykład: $a=3$, $b=5$ — wtedy $|8|=8$ oraz $3+5=8$ ✔

Nierówność ostra zachodzi przy przeciwnych znakach. Przykład: $a=3$, $b=-5$ — wtedy $|-2|=2$, ale $3+5=8$, więc $2\lt 8$ ✔

Nazwa: to nierówność trójkąta — odpowiednik faktu, że w trójkącie bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych.