Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi liczbowej — nigdy nie jest ujemna:
$$|a|=\begin{cases} a & \text{dla } a\ge 0 \\ -a & \text{dla } a\lt 0 \end{cases}$$
Interpretacja geometryczna
To najważniejsze narzędzie w tym dziale:
$$|a-b| = \text{odległość między liczbami } a \text{ i } b$$
Dlatego $|x-2|$ czytamy jako „odległość liczby $x$ od liczby $2$”, a samo $|x|$ jako „odległość $x$ od zera”.
Równania
Równanie $|W(x)|=a$ dla $a>0$ rozbijamy na dwa przypadki:
$$W(x)=a \quad \text{lub} \quad W(x)=-a$$
Przykład: $|x-3|=2$ daje $x-3=2$ lub $x-3=-2$, czyli $x=5$ lub $x=1$. Geometrycznie: szukamy liczb odległych o $2$ od liczby $3$.
Gdy $a\lt 0$, równanie nie ma rozwiązań — odległość nie może być ujemna. Gdy $a=0$, rozwiązanie jest jedno.
Nierówności typu „mniejsze”
$$|x|\lt a \iff -a\lt x\lt a \qquad (a>0)$$
Rozwiązaniem jest przedział — liczby blisko zera. Przykład: $|x|\lt 4$ daje $x\in(-4,\,4)$.
Nierówności typu „większe”
$$|x|\ge a \iff x\le -a \ \text{ lub } \ x\ge a$$
Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów — liczby daleko od zera. Przykład: $|x|\ge3$ daje $x\in(-\infty,\,-3\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$.
Ogólny wzorzec
$$|x-p|\lt r \iff x\in(p-r,\ p+r)$$
To przedział o środku $p$ i promieniu $r$ — bardzo wygodny sposób zapisu otoczenia punktu.
Własności
$|a|\ge 0$ oraz $|a|=0 \iff a=0$
$|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$
$|a+b|\le|a|+|b|$ (nierówność trójkąta)
$\sqrt{a^2}=|a|$ — a nie $a$
Na co uważać
Najczęstszy błąd to podanie tylko jednego rozwiązania równania — pamiętaj o obu przypadkach. Drugi to pomylenie kierunku nierówności: „mniejsze” daje jeden przedział w środku, „większe” daje dwa przedziały po bokach. Zawsze warto naszkicować oś liczbową.
∑Wzory 1
Nierówność |x| < a
$$|x|<a\iff -a<x<a\quad(a>0)$$
Rozwiązaniem jest przedział wokół zera.
Przykład: $|x-2|<3\iff -1
✍Zadania dodatkowe 45
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Zadanie nr 3
Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną znak nierówności:
Azmienia się na przeciwny
Bpozostaje bez zmian
Cznika
Dzmienia się na $=$
Mnożąc/dzieląc obie strony przez liczbę ujemną, ODWRACAMY znak.
Odpowiedź: A. zmienia się na przeciwny.
Zadanie nr 6
Ile wynosi $|-8|$?
A$-8$
B$0$
C$8$
D$16$
Wartość bezwzględna to odległość od zera — zawsze nieujemna:
$$|-8|=8$$
Odpowiedź: C. $8$.
Zadanie nr 7
Rozwiąż równanie $|x|=5$.
Liczby oddalone od zera o $5$ to $5$ i $-5$:
$$x=5 \quad\text{lub}\quad x=-5$$
Odpowiedź: $x\in\{-5,5\}$.
Zadanie nr 9
Nierówność $|x|\lt 3$ jest równoważna:
A$x\lt 3$
B$x>-3$
C$x\lt -3$ lub $x>3$
D$-3\lt x\lt 3$
$|x|\lt a$ oznacza „bliżej zera niż $a$”:
$$-3\lt x\lt 3$$
Odpowiedź: D. $-3\lt x\lt 3$.
Zadanie nr 11
Ile wynosi $|3-7|$?
A$4$
B$-4$
C$10$
D$0$
$$|3-7|=|-4|=4$$
Odpowiedź: A. $4$.
Zadanie nr 13
Rozwiąż równanie $|x-2|=3$.
Interpretacja: odległość $x$ od $2$ wynosi $3$:
$$x-2=3 \quad\text{lub}\quad x-2=-3$$
$$x=5 \quad\text{lub}\quad x=-1$$
Odpowiedź: $x\in\{-1,5\}$.
Zadanie nr 14
Największą liczbą całkowitą spełniającą $x\lt 4{,}5$ jest:
A$5$
B$4$
C$4{,}5$
D$3$
Największa całkowita mniejsza od $4{,}5$ to $4$.
Odpowiedź: B. $4$.
Zadanie nr 16
Równanie $|x|=-2$ ma:
Ajedno rozwiązanie
Bdwa rozwiązania
Cbrak rozwiązań
Dnieskończenie wiele
Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna, więc $|x|=-2$ jest niemożliwe.
Odpowiedź: C. brak rozwiązań.
Zadanie nr 17
Ile liczb całkowitych spełnia nierówność $-2\le x\lt 4$?
Krok 1 — wypisujemy liczby całkowite w przedziale $\langle-2,4)$: $-2,-1,0,1,2,3$.
Krok 2 — liczymy: jest ich $6$.
Uwaga: $-2$ należy (znak $\le$), a $4$ NIE należy (znak $\lt $).
Odpowiedź: $6$ liczb.
Zadanie nr 20
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $|x|\ge x$.
Rozpatrujemy dwa przypadki.
Przypadek 1: $x\ge0$. Wtedy $|x|=x$, więc $|x|\ge x$ (zachodzi równość).
Przypadek 2: $x\lt 0$. Wtedy $|x|=-x>0$, a $x\lt 0$, więc $|x|>0>x$, czyli $|x|>x$.
Wniosek. W obu przypadkach $|x|\ge x$, więc nierówność zachodzi dla każdego $x$. $\quad∎$
Dlaczego nie pozostałe? B — zamienione środek i promień; C — opisuje dwa ramiona poza przedziałem.
Zadanie nr PP03.5
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $|2x-1|\ge3$ jest
A$(-\infty,-1]\cup[2,\infty)$
B$[-1,2]$
C$(-\infty,-2]\cup[1,\infty)$
D$(-\infty,-1)\cup(2,\infty)$
$2x-1\ge3$ lub $2x-1\le-3$.
$x\ge2$ lub $x\le-1$, czyli $x\in(-\infty,-1]\cup[2,\infty)$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? C — przy $2x-1\le-3$ ktoś podzielił źle; najłatwiej: $|2x-1|=2\left|x-\tfrac12\right|\ge3 \Rightarrow \left|x-\tfrac12\right|\ge\tfrac32$.
Zadanie nr PP03.6
Na osi liczbowej zaznaczono zbiór:
Jest to zbiór wszystkich rozwiązań nierówności
A$|x-1|\gt 3$
B$|x+1|\gt 3$
C$|x+1|\ge3$
D$|x+1|\lt 3$
Dwa ramiona, końce otwarte → nierówność ostra typu „$\gt $”.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi $|a+b|\le|a|+|b|$. Podaj przykład, gdy zachodzi równość, i przykład, gdy nierówność jest ostra.
Krok 1 — obserwacja wyjściowa. Dla każdej liczby zachodzi $-|a|\le a\le|a|$ oraz $-|b|\le b\le|b|$.
Krok 2 — dodajemy nierówności stronami:
$$-(|a|+|b|)\le a+b\le|a|+|b|$$
Krok 3 — wniosek. Liczba $a+b$ leży między $-(|a|+|b|)$ a $|a|+|b|$, a to dokładnie oznacza:
$$|a+b|\le|a|+|b| \qquad ∎$$
Równość zachodzi, gdy $a$ i $b$ mają ten sam znak (albo któraś jest zerem). Przykład: $a=3$, $b=5$ — wtedy $|8|=8$ oraz $3+5=8$ ✔
Nierówność ostra zachodzi przy przeciwnych znakach. Przykład: $a=3$, $b=-5$ — wtedy $|-2|=2$, ale $3+5=8$, więc $2\lt 8$ ✔
Nazwa: to nierówność trójkąta — odpowiednik faktu, że w trójkącie bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych.
📄Zadania z arkuszy 45
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 1 · Matura 2025
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\left|\sqrt{5}-3\right|+\left|\sqrt{5}-1\right|\) jest równa
A\(2\sqrt{5}-4\)
B\(2\sqrt{5}+4\)
C\(2\)
D\(4\)
Ustalamy znaki wyrażeń pod wartością bezwzględną. Ponieważ \(\sqrt{5}\approx 2{,}24\), mamy:
\(\sqrt{5}-3\lt 0\), więc \(\left|\sqrt{5}-3\right|=3-\sqrt{5}\)
\(\sqrt{5}-1\gt 0\), więc \(\left|\sqrt{5}-1\right|=\sqrt{5}-1\)
Dodajemy:
\(3-\sqrt{5}+\sqrt{5}-1=2\)
Odpowiedź: C.
Zadanie nr 1 · Matura 2025
Liczby \(x_1\) i \(x_2\) są różnymi rozwiązaniami równania \(|x-6|=4\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloczyn \(x_1\cdot x_2\) jest równy
A\(4\)
B\(20\)
C\(24\)
D\(100\)
Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną:
\(|x-6|=4\iff x-6=4\) lub \(x-6=-4\)
\(x=10\) lub \(x=2\)
Obliczamy iloczyn rozwiązań:
\(10\cdot 2=20\)
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 1 · Matura 2024
Dana jest nierówność $|x-1|\ge3$. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono zbiór wszystkich rozwiązań na osi liczbowej? (A: $[-2,4]$; B: $x\le-2$ lub $x\ge4$, końce domknięte; C: $(-2,4)$; D: $x\lt -2$ lub $x>4$)
A$[-2,4]$
B$x\le-2$ lub $x\ge4$
C$(-2,4)$
D$x\lt -2$ lub $x>4$
Rozwiązanie
$|x-1|\ge3\Rightarrow x-1\ge3$ lub $x-1\le-3\Rightarrow x\ge4$ lub $x\le-2$ (końce domknięte).
Odpowiedź: B
Zadanie nr 1 · Matura 2024
Dana jest nierówność \(|x-1|\ge3\). Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?
Wyszło nam, że ta nierówność jest spełniana dla \(x\) mniejszego lub równego \(-2\), a także dla \(x\) większego lub równego \(4\), co matematycznie zapisalibyśmy jako \(x\in(-\infty;-2\rangle\cup\langle4;+\infty)\). Taka suma przedziałów znalazła się na drugim rysunku.
Zadanie nr 1 · Matura 2024
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności \(|x+1|\lt 3\) jest równa
A\(2\)
B\(3\)
C\(5\)
D\(7\)
Rozwiązujemy nierówność z wartością bezwzględną:
\(|x+1|\lt 3\iff -3\lt x+1\lt 3\)
Odejmujemy \(1\) od każdej części:
\(-4\lt x\lt 2\)
Liczby całkowite w tym przedziale to: \(-3, -2, -1, 0, 1\) — jest ich \(5\).
Odpowiedź: C.
Zadanie nr 1 · Próbny 2024
Liczby $x_{1}$ i $x_{2}$ są różnymi rozwiązaniami równania $|x+4|=7$. Suma $x_{1}+x_{2}$ jest równa
A$(-14)$
B$(-8)$
C$3$
D$8$
$|x+4|=7$ oznacza $x+4=7$ lub $x+4=-7$, czyli $x_{1}=3$, $x_{2}=-11$.
Suma: $3+(-11)=-8$.
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 2 · Matura 2023
Dana jest nierówność:
$$|x-3|\ge5$$
Na którym rysunku prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb spełniających powyższą nierówność?
A
B
C
D
Krok 1. Rozwiązanie podanej nierówności.
Dana jest nierówność z wartością bezwzględną. Aby ją rozwiązać, będziemy musieli ułożyć dwie nierówności - pierwsza będzie taka, jakby tej wartości bezwzględnej w ogóle nie było, a druga będzie identyczna, tylko ze zmienionym znakiem i liczbą przeciwną po prawej stronie. Całość będzie wyglądać następująco:
$$x-3\ge5 \quad\lor\quad x-3\le-5$$
$$x\ge8 \quad\lor\quad x\le-2$$
Krok 2. Wybór właściwego rysunku.
Rozwiązaniem tej nierówności są więc wszystkie liczby mniejsze lub równe \(-2\) lub większe lub równe \(8\), a takie przedziały zostały zaznaczone na pierwszym rysunku.
Zadanie nr 1 · Matura 2023
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów: $(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$ (końce domknięte). Zbiór ten jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
A$|x-3{,}5|\ge1{,}5$
B$|x-1{,}5|\ge3{,}5$
C$|x-3{,}5|\le1{,}5$
D$|x-1{,}5|\le3{,}5$
Rozwiązanie
Środek pominiętego przedziału $(-2,5)$ to $\tfrac{-2+5}{2}=1{,}5$, a jego „promień" to $\tfrac{5-(-2)}{2}=3{,}5$. Zaznaczono część na zewnątrz, więc $|x-1{,}5|\ge3{,}5$.
Odpowiedź: B
Zadanie nr 1 · Matura 2023
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności:
A\(|x-3,5|\ge1,5\)
B\(|x-1,5|\ge3,5\)
C\(|x-3,5|\le1,5\)
D\(|x-1,5|\le3,5\)
Najbezpieczniejszym sposobem byłoby rozwiązywanie każdej z podanych nierówności z wartością bezwzględną. Jeśli jednak mamy trochę wprawy w rozwiązywaniu takich nierówności, to nasz wzrok powinien kierować się przede wszystkim ku odpowiedziom A oraz B. Dlaczego? Wynik będący sumą przedziałów jest charakterystyczny dla nierówności w których występuje znak typu \(\ge\). Gdybyśmy mieli jeden przedział, to wtedy interesowałyby nas w pierwszej kolejności nierówności ze znakiem typu \(\le\). Spróbujmy zatem rozwiązać podane nierówności:
Odp. A.
$$|x-3,5|\ge1,5$$
$$x-3,5\ge1,5 \quad\lor\quad x-3,5\le-1,5$$
$$x\ge5 \quad\lor\quad x\le2$$
Odp. B.
$$|x-1,5|\ge3,5$$
$$x-1,5\ge3,5 \quad\lor\quad x-1,5\le-3,5$$
$$x\ge5 \quad\lor\quad x\le-2$$
Odp. C.
$$|x-3,5|\le1,5$$
$$x-3,5\le1,5 \quad\land\quad x-3,5\ge-1,5$$
$$x\le5 \quad\land\quad x\ge2$$
Odp. D.
$$|x-1,5|\le3,5$$
$$x-1,5\le3,5 \quad\land\quad x-1,5\ge-3,5$$
$$x\le5 \quad\land\quad x\ge-2$$
Interesujące nas rozwiązanie znalazło się zatem w drugiej nierówności.
Zadanie nr 1 · Matura 2023
Dana jest nierówność \(|x-5|\lt 2\).
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
AA
BB
CC
DD
Rozwiązujemy nierówność z wartością bezwzględną:
\(|x-5|\lt 2 \iff -2\lt x-5\lt 2\)
Dodajemy \(5\) do każdej części:
\(3\lt x\lt 7\)
Zbiorem rozwiązań jest przedział otwarty \((3,7)\) — na osi liczbowej zaznaczamy odcinek między \(3\) a \(7\) z pustymi kółkami na końcach.
Taki zbiór przedstawiono na rysunku D.
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 4 · Próbny 2023
Na osi liczbowej zaznaczono przedział.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
A$|x-2|\lt 5$
B$|x-2|>5$
C$|x-5|\lt 2$
D$|x-5|>2$
Zaznaczono przedział otwarty $(-3,7)$. Jego środek to $\dfrac{-3+7}{2}=2$, a promień (połowa długości) to $\dfrac{7-(-3)}{2}=5$.
Zbiór liczb odległych od $2$ o mniej niż $5$ opisuje nierówność $|x-2|\lt 5$.
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 8 · Próbny 2023
Równanie \(|x-3|=m\) z niewiadomą \(x\) ma dwa rozwiązania. Jednym z nich jest liczba \(5\). Drugim rozwiązaniem tego równania jest liczba:
A\(-5\)
B\(-2\)
C\(1\)
D\(8\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(m\).
Skoro jednym z rozwiązań tego równania jest \(x=5\), to możemy podstawić to rozwiązanie do naszego równania, co pozwoli nam dowiedzieć się jaka jest wartość \(m\), zatem:
$$|5-3|=m$$
$$|2|=m$$
$$m=2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Skoro \(m=2\), to istota zadania opiera się tak naprawdę na tym, by rozwiązać równanie z wartością bezwzględną \(|x-3|=2\). Wartość bezwzględna z \(x-3\) będzie równa \(2\) wtedy, gdy \(x-3\) będzie równe \(2\), lub też gdy \(x-3\) będzie równe \(-2\). W związku z tym możemy zapisać, że:
$$x-3=2 \quad\lor\quad x-3=-2$$
$$x=5 \quad\lor\quad x=1$$
Widzimy więc, że drugim rozwiązaniem tego równania będzie \(x=1\).
Zadanie nr 1 · Matura 2023
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność \(|x+5|\lt 15\) jest
A9
B10
C20
D21
Rozwiązujemy nierówność z wartością bezwzględną:
\(|x+5|\lt 15 \iff -15 \lt x+5 \lt 15\)
Odejmujemy \(5\) od każdej części:
\(-20 \lt x \lt 10\)
Szukamy liczb całkowitych dodatnich w tym przedziale, czyli liczb \(1, 2, 3, \ldots, 9\).
Jest ich \(9\).
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 1 · Matura 2023
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności:
A\(|x-3,5|\ge1,5\)
B\(|x-1,5|\ge3,5\)
C\(|x-3,5|\le1,5\)
D\(|x-1,5|\le3,5\)
Najbezpieczniejszym sposobem byłoby rozwiązywanie każdej z podanych nierówności z wartością bezwzględną. Jeśli jednak mamy trochę wprawy w rozwiązywaniu takich nierówności, to nasz wzrok powinien kierować się przede wszystkim ku odpowiedziom A oraz B. Dlaczego? Wynik będący sumą przedziałów jest charakterystyczny dla nierówności w których występuje znak typu \(\ge\). Gdybyśmy mieli jeden przedział, to wtedy interesowałyby nas w pierwszej kolejności nierówności ze znakiem typu \(\le\). Spróbujmy zatem rozwiązać podane nierówności:
Odp. A.
$$|x-3,5|\ge1,5$$
$$x-3,5\ge1,5 \quad\lor\quad x-3,5\le-1,5$$
$$x\ge5 \quad\lor\quad x\le2$$
Odp. B.
$$|x-1,5|\ge3,5$$
$$x-1,5\ge3,5 \quad\lor\quad x-1,5\le-3,5$$
$$x\ge5 \quad\lor\quad x\le-2$$
Odp. C.
$$|x-3,5|\le1,5$$
$$x-3,5\le1,5 \quad\land\quad x-3,5\ge-1,5$$
$$x\le5 \quad\land\quad x\ge2$$
Odp. D.
$$|x-1,5|\le3,5$$
$$x-1,5\le3,5 \quad\land\quad x-1,5\ge-3,5$$
$$x\le5 \quad\land\quad x\ge-2$$
Interesujące nas rozwiązanie znalazło się zatem w drugiej nierówności.
Zadanie nr 5 · Próbny 2020
Wartość wyrażenia \(|8-4\sqrt{5}|-(3\sqrt{5}-8)\) jest równa:
A\(\sqrt{5}\)
B\(7\sqrt{5}+16\)
C\(16\)
D\(16-7\sqrt{5}\)
Krok 1. Ustalenie w jaki sposób opuścić wartość bezwzględną.
Kluczowym problemem w tym zadaniu jest opuszczenie wartości bezwzględnej. Aby to zrobić, musimy ustalić czy pod wartością bezwzględną mamy liczbę dodatnią, czy ujemną. Wiemy, że \(\sqrt{5}\approx2,24\), więc \(4\sqrt{5}\approx8,96\). W związku z tym możemy być pewni, że \(8-4\sqrt{5}\) daje wynik ujemny.
Ujemny wynik oznacza, że opuszczając wartość bezwzględną, musimy zmienić wszystkie znaki na przeciwne.
Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Po przeanalizowaniu wartości bezwzględnej możemy zapisać, że:
$$|8-4\sqrt{5}|-(3\sqrt{5}-8)=-(8-4\sqrt{5})-(3\sqrt{5}-8)=-8+4\sqrt{5}-3\sqrt{5}+8=\sqrt{5}$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2019
Wartość bezwzględna liczby \(3\sqrt{2}-5\) jest równa:
A\(3\sqrt{2}+5\)
B\(5-3\sqrt{2}\)
C\(3\sqrt{2}-5\)
D\(-3\sqrt{2}-5\)
Krok 1. Ustalenie, czy liczba pod nawiasami bezwzględności jest dodatnia czy ujemna.
Naszym zadaniem jest obliczenie wartości \(|3\sqrt{2}-5|\). Aby opuścić nawiasy bezwzględności musimy najpierw ustalić, czy liczba z której wyznaczamy wartość bezwzględną jest dodatnia, czy też ujemna. Jeżeli wartość w nawiasie bezwzględności jest dodatnia, to opuszczając nawias nie zmieniamy znaku np \(|5|=5\). Jeżeli wartość w nawiasie jest ujemna, to opuszczając nawias wartości bezwzględnej musimy zmienić znak liczby np. \(|-5|=5\) (i na tym właśnie polega cała trudność tego zadania). Sprawdźmy zatem jaka wartość znalazła się w naszych nawiasach.
Krok 2. Obliczenie wartości bezwzględnej.
Liczba pod nawiasami bezwzględności wyszła nam ujemna, zatem opuszczając nawiasy musimy zmienić znaki na przeciwne. W związku z tym:
$$|3\sqrt{2}-5|=-(3\sqrt{2}-5)=-3\sqrt{2}+5=5-3\sqrt{2}$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2019
Zbiorem rozwiązań nierówności \(|x|\le4\) jest przedział:
A\(\langle-4,4\rangle\)
B\((-\infty,4\rangle\)
C\((-4,4)\)
D\((-\infty,-4\rangle\cup\langle4,+\infty)\)
Nierówności z wartością bezwzględną rozwiązujemy w następujący sposób:
$$|x|\le4$$
$$x\le4 \quad\land\quad x\ge-4$$
Widzimy wyraźnie, że rozwiązaniem nierówności są liczby, które jednocześnie będą mniejsze lub równe \(4\) i większe lub równe \(-4\). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(\langle-4,4\rangle\).
Zadanie nr 1 · Matura 2017
Liczba \(|9-2|-|4-7|\) jest równa:
A\(4\)
B\(10\)
C\(-10\)
D\(-4\)
Opuszczając nawiasy wartości bezwzględnej otrzymamy:
$$|9-2|-|4-7|=|7|-|-3|=7-3=4$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymany wynik możemy zapisać jako:
$$x\in(-\infty;-10,5\rangle\cup\langle1,5;+\infty)$$
Szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która jest dodatnia. Z przedziału jasno wynika, że taką liczbą będzie \(x=2\).
Zadanie nr 6 · Próbny 2014
Rozwiązaniem nierówności \(|x+4|\gt2\) jest zbiór:
A\((-\infty,-6)\cup(-2,+\infty)\)
B\((-\infty,-6)\cup(2,+\infty)\)
C\((-6,-2)\)
D\((-6, 2)\)
Zgodnie z zasadami rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną możemy zapisać, że:
$$|x+4|\gt2$$
$$x+4\gt2 \quad\lor\quad x+4\lt-2$$
$$x\gt-2 \quad\lor\quad x\lt-6$$
To oznacza, że zbiorem rozwiązań powyższej nierówności jest zbiór \((-\infty,-6)\cup(-2,+\infty)\).
Zadanie nr 13 · Próbny 2014
Zbiorem wartości funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=|x|-12\) jest zbiór:
A\(\langle0,+\infty)\)
B\(\langle-12,+\infty)\)
C\((0,+\infty)\)
D\((-12,+\infty)\)
Gdyby funkcja była określona wzorem \(f(x)=|x|\) to zbiorem wartości byłby zbiór \(\langle0;+\infty)\), bo wartość bezwzględna jest zawsze większa lub równa \(0\). My od tej naszej wartości bezwzględnej musimy jeszcze odjąć \(12\), zatem zbiór wartości tej funkcji będzie równy \(\langle-12,+\infty)\).
Zadanie nr 16 · Próbny 2014
Wartość liczby: \(a=|1,7-\sqrt{3}|\) jest równa:
A\(1,7-\sqrt{3}\)
B\(1,7+\sqrt{3}\)
C\(-1,7+\sqrt{3}\)
D\(-1,7-\sqrt{3}\)
Krok 1. Ustalenie czy liczba w nawiasie bewzględności jest dodatnia czy ujemna.
Jeżeli w nawiasie bezwzglęności liczba jest większa lub równa zero, to opuszczając nawias daną liczbę/wyrażenie po prostu przepisujemy np. \(|5|=5\). Jednak w przypadku gdy wartość w nawisie jest ujemna, to musimy zmienić znak tej liczby/wyrażenia podczas opuszczania nawiasu np. \(|-5|=-(-5)=5\). Dlatego na początku musimy ustalić, czy ta liczba pod nawiasami wartości bezwzględnej jest dodatnia, czy też ujemna.
$$\sqrt{3}\approx1,73$$
W związku z tym \(1,7=\sqrt{3}\lt0\).
Krok 2. Opuszczenie nawiasów wartości bezwzględnej.
Skoro nasza liczba pod nawiasami wartości bezwzględnej jest ujemna, to opuszczając nawiasy musimy zmienić znak:
$$a=|1,7-\sqrt{3}|$$
$$a=-(1,7-\sqrt{3})$$
$$a=-1,7+\sqrt{3}$$
Zadanie nr 1 · Matura 2014
Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(x\)?
A\(\sqrt{x^2}=x\)
B\(|-x|=x\)
C\(|x-1|=x-1\)
D\(\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|\)
Pierwiastek z kwadratu dowolnego wyrażenia jest równy wartości bezwzględnej z tego wyrażenia. Prawidłowa jest zatem odpowiedź \(D\). O tym, że pozostałe odpowiedzi są błędne możemy się przekonać podstawiając np. \(x=-3\).
Odp. A.
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{(-3)^2}=-3\)
\(\sqrt{9}=-3\)
\(3=-3\)
\(L\neq P\)
Odp. B.
\(|-x|=x\)
\(|-(-3)|=-3\)
\(|3|=-3\)
\(3=-3\)
\(L\neq P\)
Odp. C.
\(|x-1|=x-1\)
\(|-3-1|=-3-1\)
\(|-4|=-4\)
\(4=-4\)
\(L\neq P\)
Odp. D.
\(\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|\)
\(\sqrt{(-3+1)^2}=|-3+1|\)
\(\sqrt{(-2)^2}=|-2|\)
\(\sqrt{4}=2\)
\(2=2\)
\(L=P\)
Zadanie nr 9 · Matura 2014
Dla każdej liczby \(x\), spełniającej warunek \(-3\lt x\lt0\), wyrażenie \(\frac{|x+3|-x+3}{x}\) jest równe:
A\(2\)
B\(3\)
C\(-\frac{6}{x}\)
D\(\frac{6}{x}\)
Krok 1. Opuszczenie wartości bezwzględnej z licznika.
W liczniku pojawiła nam się wartość bezwzględna \(|x+3|\). Aby ją usunąć musimy się dowiedzieć, czy jej wartość będzie dodatnia, czy też ujemna. Wiemy, że nasz \(x\) jest większy od \(-3\) i mniejszy od \(0\). Jakiejkolwiek liczby z tego przedziału byśmy nie podstawili do \(|x+3|\) to wyjdzie nam wewnątrz wartość dodatnia. Przykładowo gdy \(x=-1\), to \(|-1+3|=|2|\).
Co nam ta wiedza daje? Skoro wiemy, że w nawiasach wartości bezwzględnej jest zawsze liczba dodatnia, to możemy opuścić tę wartość bez zmiany znaków. Tak więc wyrażenie z treści zadania możemy już zapisać jako \(\frac{x+3-x+3}{x}\).
Krok 2. Uproszczenie powstałego wyrażenia.
Tak naprawdę cała trudność w tym zadaniu była zawarta w pierwszym kroku. Teraz już tylko wystarczy poprawnie uprościć powstałe wyrażenie:
$$\frac{x+3-x+3}{x}=\frac{6}{x}$$
Zadanie nr 1 · Matura 2013
Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność \(|x+4|\lt5\).
Prawidłowy jest więc zbiór przedstawiony w pierwszej odpowiedzi.
Zadanie nr 6 · Matura 2012
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x+4|\le7\).
A
B
C
D
Aby wskazać poprawny rysunek musimy najpierw rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną.
$$|x+4|\le7$$
$$x+4\le7 \quad\land\quad x+4\ge-7$$
$$x\le3 \quad\land\quad x\ge-11$$
Zatem poszukiwanym przez nas przedziałem jest \(x\in\langle-11;3\rangle\), co oznacza że prawidłowy jest pierwszy rysunek.
Zadanie nr 4 · Próbny 2012
Wyrażenie \(||x|+1|\) dla \(x\lt0\) jest równe:
A\(x+1\)
B\(x-1\)
C\(-x+1\)
D\(-x-1\)
Aby rozwiązać to zadanie odpowiedzmy sobie na pytanie ile jest równa wartość bezwzględna z np. \(5\) oraz \(-5\). Oczywiście w obydwu przypadkach wynik będzie równy \(5\), ale jak to będzie wyglądać w zapisie matematycznym?
$$|5|=5$$
$$|-5|=-(-5)=5$$
A jak będą wyglądać wartości bezwzględne z \(x\) oraz \(-x\)?
$$|x|=x$$
$$|-x|=-(-x)=x$$
Z definicji wartości bezwzględnej oraz z tego naszego małego eksperymentu wynika, że wyciągając wartość bezwzględną z liczby ujemnej musimy postawić przed nią znak minusa (tak aby finalnie wyszła nam liczba dodatnia). Jeśli więc mamy liczbę \(-5\), to jej wartość bezwzględna jest równa \(-(-5)=5\).
Krok 1. Opuszczenie wewnętrznej wartości bezwzględnej.
Z treści zadania wiemy, że nasz \(x\lt0\), czyli opuszczając wewnętrzną wartość bezwzględną musimy dostawić minus przed \(x\), tak więc:
$$||x|+1|=|-x+1|$$
Krok 2. Opuszczenie drugiej wartości bezwzględnej.
Musimy teraz ustalić, czy liczba \(-x+1\) jest dodatnia czy ujemna. Gdyby była ujemna, to znowu musielibyśmy postawić przed nią znak minusa. Ta liczba jest jednak na pewno dodatnia, bo skoro \(x\) jest ujemny, to \(-x\) jest dodatni, a tym bardziej \(-x+1\) będzie dodatnia. Opuszczając więc drugą wartość bezwzględną nie musimy zmieniać znaków, stąd też:
$$|-x+1|=-x+1$$
Wskaż liczbę, która spełnia równanie \(|3x+1|=4x\).
A\(x=-1\)
B\(x=1\)
C\(x=2\)
D\(x=-2\)
Zgodnie z treścią zadania możemy podstawić każdą z liczb do równania i sprawdzić która z nich spełni to równanie. Już na wstępie możemy odrzucić liczby ujemne, bo po prawej stronie równania otrzymalibyśmy w ten sposób wynik ujemny, a wartość bezwzględna daje zawsze dodatni rezultat. Nie mniej jednak nawet jeśli tego nie dostrzeżemy, to nieprawidłowość tych równań wyjdzie nam podczas podstawiania każdej kolejnej liczby. Jedyną liczbą, która spełni to równanie będzie \(x=1\), bo otrzymamy wtedy:
$$|3\cdot1+1|=4\cdot1$$
$$|4|=4$$
$$4=4$$
$$L=P$$
Zadanie nr 8 · Matura 2011
Liczba \(|5-2|+|1-6|\) jest równa:
A\(8\)
B\(2\)
C\(3\)
D\(-2\)
$$|5-2|+|1-6|=|3|+|-5|=3+5=8$$
Zadanie nr 4 · Matura 2011
Wskaż liczbę, która spełnia równanie \(|4x-5|=x\).
A\(x=-1\)
B\(x=1\)
C\(x=2\)
D\(x=-2\)
Najprościej to zadanie rozwiążemy podstawiając poszczególne odpowiedzi do równania. Tylko w przypadku podstawienia \(x=1\) otrzymamy równanie w którym lewa i prawa strona są sobie równe:
$$|4x-5|=x$$
$$|4\cdot1-5|=1$$
$$|4-5|=1$$
$$|-1|=1$$
$$1=1$$
$$L=P$$
Jeżeli jednak chcielibyśmy to równanie rozwiązać samodzielnie to zgodnie z tym jak się rozwiązuje takie nierówności otrzymalibyśmy:
$$4x-5\ge0 \quad\lor\quad 4x-5\lt0$$
$$4x\ge5 \quad\lor\quad 4x\lt5$$
$$x\ge\frac{5}{4} \quad\lor\quad x\lt\frac{5}{4}$$
Kiedy liczba z której wyciągamy wartość bezwzględną jest dodatnia to po opuszczeniu nawiasów bezwzględności nie zmieniamy jej znaku np. \(|5|=5\). Kiedy liczba z której wyciągamy wartość bezwzględną jest ujemna, to po opuszczeniu nawiasów bezwzględności zmieniamy jej znak na przeciwny np. \(|-5|=5\). W związku z tym:
Gdy \(x\ge\frac{5}{4}\) to wartość w nawiasie jest większa lub równa zero, czyli opuszczając nawiasy bezwzględności nie zmieniamy znaku:
$$|4x-5|=x$$
$$4x-5=x$$
$$3x=5$$
$$x=\frac{5}{3}$$
Gdy \(x\lt\frac{5}{4}\) to wartość w nawiasie jest mniejsza od zera, czyli opuszczając nawiasy bezwzględności zmieniamy znak:
$$|4x-5|=x$$
$$-(4x-5)=x$$
$$-4x+5=x$$
$$-5x=-5$$
$$x=1$$
W ten oto sposób obliczyliśmy, że to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\frac{5}{3}\) lub \(x=1\) i właśnie to drugie znalazło się w jednej z proponowanych odpowiedzi.
Zadanie nr 1 · Próbny 2010
Liczba \(|5-7|-|-3+4|\) jest równa:
A\(-3\)
B\(-5\)
C\(1\)
D\(3\)
$$|5-7|-|-3+4|=|-2|-|1|=2-1=1$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2010
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x-2|\ge3\).
A
B
C
D
Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci alternatywy.
$$x-2\le-3 \quad\lor\quad x-2\ge3$$
$$x\le-1 \quad\lor\quad x\ge5$$
Krok 2. Zapisanie otrzymanych wyników w formie przedziału.
$$x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle5;+\infty)$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2010
Wybierz i zaznacz rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x-1|\lt5\).
A
B
C
D
Aby wybrać odpowiedni rysunek, to najpierw musimy rozwiązać tę nierówność, tak jak rozwiązuje się nierówności z wartością bezwzględną, czyli:
$$|x-1|\lt5$$
$$x-1\lt5 \quad\lor\quad x-1\gt-5$$
$$x\lt6 \quad\lor\quad x\gt-4$$
$$x\in(-4;6)$$
Zbiór rozwiązań tej nierówności został więc przedstawiony na drugim rysunku.
Zadanie nr 1 · Matura 2010
Liczba \(|5-7|-|-3+4|\) jest równa:
A\(-3\)
B\(-5\)
C\(1\)
D\(3\)
$$|5-7|-|-3+4|=|-2|-|1|=2-1=1$$
Zadanie nr 2 · Matura 2010
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x-2|\ge3\).
A
B
C
D
Krok 1. Rozwiązanie nierówności. Nierówność \(|x-2|\ge3\) oznacza, że odległość liczby \(x\) od \(2\) jest równa co najmniej \(3\):
Krok 2. Rysunek. Zbiór rozwiązań to \((-\infty,-1\rangle\cup\langle5,+\infty)\) — dwie półproste z zamalowanymi (należącymi do zbioru) końcami w punktach \(-1\) i \(5\). Taki zbiór przedstawia rysunek B (rysunek A pokazuje odcinek \(\langle-1,5\rangle\), czyli rozwiązanie nierówności \(|x-2|\le3\)).
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 1 · Matura 2010
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x+7|\gt5\).
A
B
C
D
Naszym zadaniem jest rozwiązanie podanej nierówności i wybór odpowiedniego rysunku, który przedstawia rozwiązanie tej nierówności.
$$|x+7|\gt5$$
$$x+7\gt5 \quad\lor\quad x+7\lt-5$$
$$x\gt-2 \quad\lor\quad x\lt-12$$
$$x\in(-\infty;-12) \cup (-2;+\infty)$$
Zbiór rozwiązań tej nierówności został przedstawiony na trzecim rysunku.
a) Uzupełnij tabelę: dla \(x=-3\), \(x=3\) oraz dla argumentu, dla którego \(f(x)=0\).
b) Narysuj wykres funkcji \(f\).
c) Podaj wszystkie liczby całkowite \(x\), spełniające nierówność \(f(x)\ge-6\).
a) Wartości funkcji.
\(f(-3)\): ponieważ \(-3\lt 2\), mamy \(f(-3)=2\cdot(-3)-3=-9\).
\(f(3)\): ponieważ \(2\le3\le4\), mamy \(f(3)=1\).
Miejsce zerowe: dla \(x\lt 2\) mamy \(2x-3=0\), czyli \(x=1{,}5\) (i rzeczywiście \(1{,}5\lt 2\)); dla \(2\le x\le4\) funkcja jest stała i równa 1, więc nie ma tam miejsc zerowych.
b) Wykres. Dla \(x\lt 2\) — półprosta o równaniu \(y=2x-3\) (bez punktu \((2,1)\), który jednak należy do drugiej części wykresu); dla \(2\le x\le4\) — poziomy odcinek \(y=1\) od \((2,1)\) do \((4,1)\). Dziedziną funkcji jest \((-\infty,4\rangle\).
c) Nierówność \(f(x)\ge-6\).
Dla \(x\lt 2\): \(2x-3\ge-6\), czyli \(2x\ge-3\), skąd \(x\ge-\dfrac32\). Otrzymujemy \(-\dfrac32\le x\lt 2\).
Dla \(2\le x\le4\): \(f(x)=1\ge-6\) — warunek spełniony dla całego przedziału.
Łącznie \(x\in\left\langle-\tfrac32,\ 4\right\rangle\), a liczby całkowite w tym przedziale to
\(-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\).
Zadanie nr 3 · Próbny 2009
Zaznacz, na którym rysunku jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x-2|\lt4\).
A
B
C
D
Aby wybrać odpowiedni rysunek, to najpierw musimy rozwiązać tę nierówność, tak jak rozwiązuje się nierówności z wartością bezwzględną, czyli:
$$|x-2|\lt4$$
$$x-2\lt4 \quad\lor\quad x-2\gt-4$$
$$x\lt6 \quad\lor\quad x\gt-2$$
$$x\in(-2;6)$$
Zbiór rozwiązań tej nierówności został więc przedstawiony na drugim rysunku.
Zadanie nr 26 · Próbny 2009
Sprowadź wyrażenie \(|x-1|+|x|-|-x+1|\) do najprostszej postaci, gdy \(x\in(0, 1)\).
Krok 1. Ustalenie, czy dana wartość jest dodatnia czy ujemna.
Aby opuścić nawiasy bezwzględności musimy najpierw ustalić, czy liczby z których wyznaczamy wartości bezwzględne są dodatnie, czy też ujemne. Jeżeli wartość w nawiasie jest dodatnia, to opuszczając nawias nie zmieniamy znaku np \(|5|=5\). Jeżeli wartość w nawiasie jest ujemna, to opuszczając nawias wartości bezwzględnej musimy zmienić znak liczby np. \(|-5|=5\) (i na tym właśnie polega cała trudność tego zadania). Sprawdźmy zatem po kolei jakie wartości znalazły się w nawiasach:
\(|x-1|\) - tutaj wartość w nawiasie jest ujemna. Przykładowo dla \(x=0,2\) mamy \(|0,2-1|\), czyli \(|-0,8|\).
\(|x|\) - tutaj wartość w nawiasie jest dodatnia. Przykładowo dla \(x=0,2\) mamy \(|0,2|\).
\(|-x+1|\) - tutaj wartość w nawiasie jest dodatnia. Przykładowo dla \(x=0,2\) mamy \(|-0,2+1|\), czyli \(|0,8|\).
Krok 2. Uproszczenie wyrażenia.
Zgodnie więc z tym co zapisaliśmy powyżej, opuszczając pierwszy nawias wartości bezwzględnej będziemy musieli zmienić znaki, natomiast pozostałe nawiasy opuścimy bez zmiany znaków. Oprócz tego musimy uważać na to, że przed trzecim nawiasem stoi minus, który wpłynie na zmianę znaków:
$$|x-1|+|x|-|-x+1|=$$
$$=-x+1+x-(-x+1)=$$
$$=-x+1+x+x-1=x$$
Zadanie nr 1 · Matura 2006
Dane są zbiory: \(A=\{x\in R:\ |x-4|\ge7\}\), \(B=\{x\in R:\ x^2>0\}\). Zaznacz na osi liczbowej:
Zatem \(A=(-\infty,-3\rangle\cup\langle11,+\infty)\).
Zbiór \(B\). Kwadrat liczby rzeczywistej jest dodatni dokładnie wtedy, gdy liczba jest różna od zera:
\(B=R\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)\).
Zbiór \(C=B\setminus A\). Z \(B\) usuwamy wszystkie elementy należące do \(A\), czyli liczby \(\le-3\) i \(\ge11\). Pozostaje przedział \((-3,11)\), z którego dodatkowo wyłączone jest zero (bo \(0\notin B\)):
\(C=(-3,0)\cup(0,11)\).
Na osi liczbowej: \(A\) — dwie półproste (domknięte) na zewnątrz punktów \(-3\) i \(11\); \(B\) — cała oś z wyjątkiem punktu \(0\); \(C\) — odcinek otwarty od \(-3\) do \(11\) z wyłączonym punktem \(0\).
Zadanie nr 9 · Matura 2006
Dane są zbiory liczb rzeczywistych: \(A=\left\{x:\ \dfrac{3}{x}\le1\right\}\) i \(B=\{x:\ |x+1|\lt 3\}\).
a) Zaznacz te zbiory na osi liczbowej.
b) Przedstaw zbiory \(A\cup B\) i \(A\setminus B\) w postaci sumy przedziałów liczbowych.
Zbiór \(A\). Zakładamy \(x\neq0\) i przekształcamy nierówność wymierną:
a) Na osi liczbowej: zbiór \(A\) to cała półprosta na lewo od \(0\) (bez \(0\)) oraz półprosta od \(3\) w prawo (z \(3\)); zbiór \(B\) to odcinek otwarty między \(-4\) a \(2\).
\(A\setminus B\): z przedziału \((-\infty,0)\) usuwamy część wspólną z \((-4,2)\), zostaje \((-\infty,-4\rangle\); przedział \(\langle3,+\infty)\) jest rozłączny z \(B\), więc pozostaje w całości:
Spośród rysunków A–D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność:
$$|x+1|\le2$$
A
B
C
D
Aby rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną, musimy ułożyć dwie nierówności liniowe bez tej wartości, z czego druga nierówność będzie mieć zmieniony znak nierówności i liczbę stojącą po prawej stronie na przeciwną:
$$x+1\le2 \quad\quad\quad\quad x+1\ge-2$$
$$x\le1 \quad\quad\quad\quad x\ge-3$$
Wyszło nam więc, że \(x\) jest większy lub równy \(-3\) oraz mniejszy lub równy \(1\), czyli \(x\in\langle-3;1\rangle\), a taka sytuacja została przedstawiona na pierwszym rysunku.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
