Klasa 1 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
✍Zadania dodatkowe 71
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Zadanie nr 1
Dana jest funkcja $f(x)=3x-5$. Oblicz $f(4)$.
A$-5$
B$5$
C$7$
D$12$
Obliczenie wartości funkcji polega na wstawieniu liczby w miejsce $x$:
$$f(4)=3\cdot4-5=12-5=7$$
Pułapka: odpowiedź D to wynik po samym pomnożeniu, bez odjęcia $5$.
Odpowiedź: C. $f(4)=7$.
Zadanie nr 2
Dla funkcji $f(x)=x^2-4$ oblicz $f(0)$, $f(3)$ oraz $f(-3)$.
Podstawiamy kolejne argumenty:
$$f(0)=0^2-4=-4$$
$$f(3)=3^2-4=9-4=5$$
$$f(-3)=(-3)^2-4=9-4=5$$
Uwaga na nawias: $(-3)^2=9$, a nie $-9$ — podnosimy do kwadratu całą liczbę ujemną.
Obserwacja: $f(3)=f(-3)$, bo funkcja zależy tylko od $x^2$. Jej wykres jest symetryczny względem osi OY.
Odpowiedź: $f(0)=-4$, $f(3)=5$, $f(-3)=5$.
Zadanie nr 3
Dla funkcji $f(x)=2x+1$ wyznacz argument, dla którego wartość funkcji wynosi $9$.
Tym razem znamy wartość, a szukamy argumentu — układamy równanie $f(x)=9$:
$$2x+1=9$$
Rozwiązujemy:
$$2x=8 \quad\Rightarrow\quad x=4$$
Sprawdzenie: $f(4)=2\cdot4+1=9$ ✔
Odpowiedź: $x=4$.
Zadanie nr 4
Jaka jest dziedzina funkcji $f(x)=\frac{5}{x-3}$?
Awszystkie liczby rzeczywiste
Bwszystkie liczby rzeczywiste oprócz $3$
Cwszystkie liczby rzeczywiste oprócz $0$
Dwszystkie liczby rzeczywiste oprócz $-3$
Mianownik ułamka nie może być zerem, więc wykluczamy argumenty spełniające:
$$x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$
Zatem dziedziną jest zbiór:
$$D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$$
Pułapka ze znakiem: w mianowniku stoi $x-3$, więc wykluczamy $3$, a nie $-3$.
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 5
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\sqrt{x-2}$.
Pierwiastek kwadratowy jest określony tylko dla liczb nieujemnych, więc żądamy:
$$x-2\ge 0$$
Rozwiązujemy nierówność:
$$x\ge 2$$
Dziedzina to przedział:
$$D=\langle 2,\,+\infty)$$
Uwaga: nierówność jest nieostra, bo $\sqrt{0}=0$ jest poprawną wartością — liczba $2$ należy do dziedziny.
Odpowiedź: $D=\langle 2,\,+\infty)$.
Zadanie nr 6
Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x)=4x-12$.
Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero:
$$f(x)=0 \quad\Rightarrow\quad 4x-12=0$$
Rozwiązujemy:
$$4x=12 \quad\Rightarrow\quad x=3$$
Interpretacja geometryczna: wykres przecina oś OX w punkcie $(3,\,0)$.
Odpowiedź: miejsce zerowe to $x=3$.
Zadanie nr 7
Który z podanych przyporządkowań nie jest funkcją?
Akażdemu uczniowi przypisano jego datę urodzenia
Bkażdej liczbie przypisano jej kwadrat
Ckażdemu miastu przypisano liczbę mieszkańców
Dkażdej liczbie przypisano liczby od niej większe
Funkcja przypisuje każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość.
W przypadku D jednej liczbie odpowiada nieskończenie wiele liczb większych — na przykład liczbie $2$ odpowiadają $3$, $4$, $5$ i tak dalej. To narusza definicję funkcji.
Pozostałe przypadki są funkcjami: uczeń ma jedną datę urodzenia, liczba jeden kwadrat, a miasto jedną liczbę mieszkańców.
Uwaga: funkcja może przypisać tę samą wartość różnym argumentom — to dozwolone. Zabronione jest tylko dwie wartości dla jednego argumentu.
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 8
Funkcja $f$ ma dziedzinę $\langle -3,\,5\rangle$. Na wykresie funkcja rośnie na przedziale $\langle -3,\,1\rangle$, a maleje na $\langle 1,\,5\rangle$. Podaj argument, dla którego funkcja osiąga wartość największą, i uzasadnij.
Analiza przebiegu. Idąc od lewej krawędzi dziedziny, wartości rosną aż do $x=1$, a potem zaczynają maleć.
Punkt $x=1$ jest więc szczytem wykresu — na lewo od niego wartości są mniejsze (bo funkcja dopiero rosła), a na prawo również mniejsze (bo zaczęła maleć).
Wniosek: wartość największa jest osiągana dla $x=1$ i wynosi $f(1)$.
Gdzie jest wartość najmniejsza: na jednym z końców dziedziny — trzeba porównać $f(-3)$ z $f(5)$, bo z samej monotoniczności tego nie rozstrzygniemy.
Odpowiedź: wartość największa dla $x=1$.
Zadanie nr 9
Funkcja $f(x)=-2x+6$ jest:
Amalejąca w całej dziedzinie
Brosnąca w całej dziedzinie
Cstała
Drosnąca, a potem malejąca
O monotoniczności funkcji liniowej decyduje współczynnik kierunkowy $a$:
Krok 2 — gdzie wartości są ujemne. Parabola ma ramiona skierowane w górę ($a=1>0$), więc leży pod osią OX pomiędzy miejscami zerowymi:
$$f(x)\lt 0 \iff x\in(-3,\,3)$$
Sprawdzenie: $f(0)=-9\lt 0$ — punkt $0$ leży w tym przedziale ✔, a $f(4)=16-9=7>0$ — punkt $4$ leży poza nim ✔
Odpowiedź: miejsca zerowe $x=-3$ i $x=3$; wartości ujemne dla $x\in(-3,\,3)$.
Zadanie nr 13
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$.
Wykluczamy argumenty zerujące mianownik:
$$x^2-4=0$$
Rozkładamy na czynniki:
$$(x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-2$$
Zatem dziedziną jest:
$$D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$$
Uwaga: licznik nie ma tu żadnego znaczenia — dziedzinę ogranicza wyłącznie mianownik. Trzeba też wykluczyć obie liczby, nie tylko jedną.
Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$.
Zadanie nr 14
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=x^2+2$ jest:
A$\mathbb{R}$
B$\langle 0,\,+\infty)$
C$\langle 2,\,+\infty)$
D$(2,\,+\infty)$
Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny:
$$x^2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^2+2\ge 2$$
Najmniejsza wartość $2$ jest osiągana dla $x=0$, więc należy do zbioru wartości — dlatego przedział jest domknięty od lewej.
Różnica między C a D: odpowiedź D wyklucza liczbę $2$, a przecież $f(0)=2$.
Odpowiedź: C. $ZW=\langle 2,\,+\infty)$.
Zadanie nr 15
Sprawdź, czy punkty $A=(1,\,4)$ i $B=(-2,\,-5)$ należą do wykresu funkcji $f(x)=3x+1$.
Punkt $A=(1,\,4)$. Obliczamy wartość funkcji dla $x=1$:
$$f(1)=3\cdot1+1=4$$
Wynik zgadza się z drugą współrzędną punktu, więc $A$ należy do wykresu.
Punkt $B=(-2,\,-5)$. Obliczamy wartość dla $x=-2$:
$$f(-2)=3\cdot(-2)+1=-6+1=-5$$
Również się zgadza, więc $B$ także należy do wykresu.
Wniosek dodatkowy: oba punkty leżą na tej samej prostej — można to wykorzystać do jej narysowania, bo dwa punkty wyznaczają prostą.
Odpowiedź: oba punkty należą do wykresu.
Zadanie nr 16
Wykres funkcji przecina oś OY w punkcie o współrzędnych:
A$(0,\,f(0))$
B$(f(0),\,0)$
C$(0,\,0)$ zawsze
Dw miejscu zerowym funkcji
Na osi OY pierwsza współrzędna jest zawsze równa zeru, więc punkt przecięcia ma postać $(0,\,y)$, gdzie $y$ to wartość funkcji dla argumentu $0$:
$$y=f(0)$$
Nie mylić z miejscem zerowym — to punkt przecięcia z osią OX, gdzie $f(x)=0$. Są to dwie różne rzeczy.
Przykład: dla $f(x)=2x+6$ wykres przecina OY w $(0,\,6)$, a OX w $(-3,\,0)$.
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 17
Funkcja $f$ przyporządkowuje liczbie naturalnej resztę z dzielenia tej liczby przez $3$. Oblicz $f(7)$, $f(9)$ i $f(11)$ oraz podaj zbiór wartości tej funkcji.
Obliczamy reszty:
$$7=3\cdot2+1 \quad\Rightarrow\quad f(7)=1$$
$$9=3\cdot3+0 \quad\Rightarrow\quad f(9)=0$$
$$11=3\cdot3+2 \quad\Rightarrow\quad f(11)=2$$
Zbiór wartości. Reszta z dzielenia przez $3$ jest zawsze mniejsza od $3$ i nieujemna, więc możliwe wyniki to:
$$ZW=\{0,\,1,\,2\}$$
Ciekawostka: ta funkcja przypisuje tę samą wartość nieskończenie wielu argumentom (np. $f(3)=f(6)=f(9)=0$) — to całkowicie zgodne z definicją funkcji.
Koszt wynajmu roweru to $15$ zł opłaty stałej plus $4$ zł za każdą godzinę. Zapisz koszt jako funkcję liczby godzin, oblicz koszt wynajmu na $5$ godzin i sprawdź, na ile godzin wystarczy $51$ zł.
Krok 1 — wzór funkcji. Niech $x$ oznacza liczbę godzin:
$$K(x)=15+4x$$
Krok 2 — koszt za $5$ godzin:
$$K(5)=15+4\cdot5=15+20=35\ \text{zł}$$
Krok 3 — na ile godzin wystarczy $51$ zł. Rozwiązujemy równanie $K(x)=51$:
Uwaga na dziedzinę: liczba godzin nie może być ujemna, więc sensowna dziedzina to $x\ge 0$.
Odpowiedź: $K(x)=15+4x$; za $5$ godzin zapłacimy $35$ zł; $51$ zł wystarczy na $9$ godzin.
Zadanie nr 19
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x)=(x-2)(x+5)$ i podaj współrzędne punktu przecięcia jej wykresu z osią OY.
Krok 1 — miejsca zerowe. Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik:
$$x-2=0 \ \text{ lub } \ x+5=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-5$$
Postać iloczynowa jest tu bardzo wygodna — miejsca zerowe odczytujemy niemal wprost, pamiętając o zmianie znaku.
Krok 2 — przecięcie z osią OY. Podstawiamy $x=0$:
$$f(0)=(0-2)(0+5)=(-2)\cdot5=-10$$
Punkt przecięcia to $(0,\,-10)$.
Odpowiedź: miejsca zerowe $x=2$ i $x=-5$; wykres przecina oś OY w punkcie $(0,\,-10)$.
Zadanie nr 20
Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{x+3}{x-1}$. Wyznacz jej dziedzinę, oblicz $f(4)$ i sprawdź, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość $0$.
Krok 4 — zbiór wartości. Ramiona w górę, wierzchołek najniżej:
$$ZW=\langle-4,\ +\infty)$$
Kontrola. Wierzchołek leży w środku między miejscami zerowymi: $\frac{-1+3}{2}=1$ ✔
Odpowiedź: miejsca zerowe $-1$ i $3$, wierzchołek $(1,\ -4)$, $ZW=\langle-4,+\infty)$.
Zadanie nr 20
Wykaż, że funkcja $f(x)=x^2$ nie jest różnowartościowa, podając kontrprzykład, i wyjaśnij to na wykresie.
Krok 1 — definicja. Funkcja jest różnowartościowa, gdy różnym argumentom odpowiadają różne wartości. Aby obalić, wystarczy jeden kontrprzykład.
Krok 2 — kontrprzykład:
$$f(2)=4,\qquad f(-2)=4$$
Dwa różne argumenty ($2$ i $-2$) dają tę samą wartość ($4$), więc funkcja nie jest różnowartościowa. $\qquad ∎$
Krok 3 — interpretacja graficzna. Parabola jest symetryczna względem osi $OY$, więc pozioma prosta $y=4$ przecina wykres w dwóch punktach: $(-2,\ 4)$ i $(2,\ 4)$. To „test poziomej prostej" — jeśli jakaś pozioma prosta przecina wykres więcej niż raz, funkcja nie jest różnowartościowa.
Uwaga. Gdyby ograniczyć dziedzinę do $\langle0,+\infty)$, funkcja stałaby się różnowartościowa — różnowartościowość zależy od dziedziny.
Wniosek: $f(2)=f(-2)=4$ przy $2\neq-2$ dowodzi, że $f(x)=x^2$ nie jest różnowartościowa.
Zadanie nr PP31.1
Dana jest funkcja $f(x)=3x-1$. Wartość $f(2)$ jest równa
A$5$
B$6$
C$7$
D$2$
$f(2)=3\cdot2-1$.
$=5$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? B pomija $-1$.
Zadanie nr PP31.2
Miejscem zerowym funkcji $f(x)=2x-6$ jest
A$-3$
B$3$
C$6$
D$-6$
$2x-6=0$.
$x=3$.
Odpowiedź:B
Dlaczego nie pozostałe? A - błąd znaku.
Zadanie nr PP31.3
Dziedzina funkcji $f(x)=\sqrt{x-1}$ to
A$\mathbb{R}$
B$(1,\infty)$
C$\langle1,\infty)$
D$\langle0,\infty)$
$x-1\ge0$.
$x\ge1$, czyli $\langle1,\infty)$.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? B wyklucza $1$, ale $\sqrt0=0$ istnieje.
Zadanie nr PP31.4
Zbiór wartości funkcji $f(x)=x^2$ (dla $x\in\mathbb{R}$) to
A$\mathbb{R}$
B$(0,\infty)$
C$\langle1,\infty)$
D$\langle0,\infty)$
Kwadrat liczby jest $\ge0$.
Najmniejsza wartość $0$ (dla $x=0$).
Odpowiedź:D
Dlaczego nie pozostałe? B pomija wartość $0$.
Zadanie nr PP31.5
Dana jest funkcja $f(x)=x^2-4x$. Oblicz $f(0)$ oraz $f(2)$.
$f(0)=0-0=0$.
$f(2)=4-8=-4$.
Odpowiedź: $f(0)=0$, $f(2)=-4$.
Zadanie nr PP31.6
Miejscem zerowym funkcji $f(x)=-x+5$ jest
A$5$
B$-5$
C$0$
D$1$
$-x+5=0$.
$x=5$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? B - błąd znaku.
Zadanie nr PP31.7
Funkcja $f(x)=4$ dla każdego $x$ to funkcja
Aliniowa rosnąca
Bstała
Ckwadratowa
Dmalejąca
Wartość nie zależy od $x$ - jest zawsze $4$.
To funkcja stała.
Odpowiedź:B
Dlaczego nie pozostałe? Współczynnik przy $x$ jest zerowy.
Zadanie nr PP31.8
Dana jest $f(x)=x^2-1$. Wartość $f(-3)$ jest równa
A$-8$
B$10$
C$8$
D$5$
$f(-3)=(-3)^2-1$.
$=9-1=8$.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? A błędnie liczy $(-3)^2=-9$.
Zadanie nr PP31.9
Dla funkcji $f(x)=\dfrac{6}{x}$ wartość $f(3)$ jest równa
A$18$
B$3$
C$\dfrac12$
D$2$
$f(3)=\dfrac{6}{3}$.
$=2$.
Odpowiedź:D
Dlaczego nie pozostałe? A mnoży zamiast dzielić.
Zadanie nr PP31.10
Dana jest funkcja $f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$. Oblicz $f(3)$ i podaj dziedzinę funkcji.
Dziedzina: $x+1\ne0$, czyli $x\ne-1$.
$f(3)=\dfrac{3-2}{3+1}=\dfrac14$.
Odpowiedź: $f(3)=\dfrac14$, dziedzina $x\ne-1$.
Zadanie nr PP31.11
Dla $f(x)=2x-1$ wartość $f(3)$ jest równa
A$5$
B$6$
C$7$
D$1$
$f(3)=2\cdot3-1=5$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? B pomija $-1$.
Zadanie nr PP31.12
Miejscem zerowym funkcji $f(x)=3x-9$ jest
A$-3$
B$3$
C$9$
D$6$
$3x-9=0\Rightarrow x=3$.
Odpowiedź:B
Dlaczego nie pozostałe? A - błąd znaku.
Zadanie nr PP31.13
Dziedzina funkcji $f(x)=\sqrt{x+2}$ to
A$\langle2,\infty)$
B$\mathbb{R}$
C$\langle-2,\infty)$
D$(-2,\infty)$
$x+2\ge0\Rightarrow x\ge-2$.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? D wyklucza $-2$.
Zadanie nr PP31.14
Zbiór wartości funkcji $f(x)=x^2+1$ to
A$\mathbb{R}$
B$\langle0,\infty)$
C$(1,\infty)$
D$\langle1,\infty)$
Kwadrat $\ge0$, więc $x^2+1\ge1$.
Odpowiedź:D
Dlaczego nie pozostałe? C wyklucza wartość $1$.
Zadanie nr PP31.15
Dla funkcji $f(x)=x^2-2x$ oblicz $f(3)$.
$f(3)=9-6=3$.
Odpowiedź: $3$
Zadanie nr 1
Wykres funkcji $g(x)=f(x)+3$ powstaje z wykresu $f$ przez przesunięcie:
Ao $3$ w prawo
Bo $3$ w górę
Co $3$ w lewo
Do $3$ w dół
Dodanie liczby na zewnątrz funkcji zmienia wartości, czyli przesuwa wykres pionowo.
$$f(x)+q \ \to\ \text{przesunięcie o } q \text{ wzdłuż osi } OY$$
Odpowiedź: B. o $3$ w górę.
Zadanie nr 2
Jak powstaje wykres funkcji $g(x)=f(x-4)$ z wykresu funkcji $f$?
Liczba wewnątrz nawiasu przesuwa wykres poziomo.
$$f(x-p) \ \to\ \text{przesunięcie o } p \text{ wzdłuż osi } OX$$
Tutaj $p=4$, więc wykres przesuwa się o $4$ jednostki w prawo.
Uwaga na znak: minus w nawiasie oznacza przesunięcie w prawo — to często myli. Sprawdzian: dla $f(x)=x^2$ wierzchołek $f(x-4)=(x-4)^2$ leży w $x=4$.
Odpowiedź: przez przesunięcie o $4$ w prawo.
Zadanie nr 3
Punkt $(2,\,5)$ należy do wykresu funkcji $f$. Do wykresu jakiej funkcji należy punkt $(2,\,8)$?
Argument się nie zmienił, a wartość wzrosła o $3$:
$$g(x)=f(x)+3$$
Sprawdzenie: $g(2)=f(2)+3=5+3=8$ ✔
Odpowiedź: $g(x)=f(x)+3$.
Zadanie nr 4
Wykres funkcji $g(x)=-f(x)$ powstaje przez symetrię względem:
Aosi $OX$
Bosi $OY$
Cpoczątku układu
Dprostej $y=x$
Zmiana znaku wartości odbija wykres w poziomej osi:
$$(x,\,y)\ \to\ (x,\,-y)$$
Dla porównania: $g(x)=f(-x)$ zmienia znak argumentu i daje symetrię względem osi $OY$.
Odpowiedź: A. osi $OX$.
Zadanie nr 5
Wykres funkcji $f(x)=x^2$ przesunięto o $2$ w górę. Podaj wzór nowej funkcji i współrzędne jej wierzchołka.
Wzór:
$$g(x)=x^2+2$$
Wierzchołek. Był w $(0,\,0)$, więc po przesunięciu o $2$ w górę jest w:
$$(0,\,2)$$
Odpowiedź: $g(x)=x^2+2$, wierzchołek $(0,\,2)$.
Zadanie nr 6
Wykres funkcji $g(x)=f(x+5)$ jest przesunięty względem wykresu $f$:
Ao $5$ w górę
Bo $5$ w dół
Co $5$ w prawo
Do $5$ w lewo
Zapis $f(x+5)$ to $f(x-(-5))$, więc $p=-5$ — przesunięcie w lewo.
Sprawdzian intuicyjny: funkcja osiąga tę samą wartość o $5$ jednostek wcześniej, bo do argumentu dodano $5$.
Odpowiedź: D. o $5$ w lewo.
Zadanie nr 7
Wykres funkcji $f(x)=x^2$ przesunięto o $3$ w prawo i o $1$ w dół. Podaj wzór nowej funkcji i jej wierzchołek.
Krok 1 — przesunięcie poziome (do nawiasu wstawiamy $x-3$):
$$(x-3)^2$$
Krok 2 — przesunięcie pionowe (odejmujemy $1$ na zewnątrz):
$$g(x)=(x-3)^2-1$$
Krok 3 — wierzchołek:
$$W=(3,\,-1)$$
Reguła ogólna: $f(x)=a(x-p)^2+q$ ma wierzchołek $(p,\,q)$.
Wykres funkcji $f$ przesunięto o wektor $[-3,\,2]$. Punkt $(5,\,1)$ przeszedł na jaki punkt?
Do współrzędnych punktu dodajemy współrzędne wektora:
$$(5-3,\ 1+2)=(2,\,3)$$
Uwaga: we wzorze funkcji przesunięcie o wektor $[p,\,q]$ zapisujemy jako $g(x)=f(x-p)+q$, czyli tutaj $g(x)=f(x+3)+2$.
Odpowiedź: $(2,\,3)$.
Zadanie nr 14
Funkcja $g(x)=-x^2$ w porównaniu z $f(x)=x^2$ ma ramiona:
Askierowane w dół
Bskierowane w górę
Cprzesunięte w prawo
Dtakie same
Minus przed całą funkcją odbija wykres względem osi $OX$ — parabola „przewraca się".
Konsekwencja: wierzchołek $(0,\,0)$ pozostaje w tym samym miejscu, ale z minimum staje się maksimum.
Odpowiedź: A. skierowane w dół.
Zadanie nr 15
Podaj wzór funkcji, której wykres powstaje z $f(x)=|x|$ przez przesunięcie o $2$ w lewo i o $3$ w dół. Gdzie leży wierzchołek?
Krok 1 — przesunięcie w lewo (do środka dodajemy $2$):
$$|x+2|$$
Krok 2 — przesunięcie w dół:
$$g(x)=|x+2|-3$$
Krok 3 — wierzchołek. Wykres $|x|$ miał wierzchołek w $(0,\,0)$:
$$W=(-2,-3)$$
Sprawdzenie: $g(-2)=0-3=-3$ ✔
Odpowiedź: $g(x)=|x+2|-3$, wierzchołek $(-2,-3)$.
Zadanie nr 18
Wykres funkcji $f$ ma miejsce zerowe w punkcie $x=3$. Podaj miejsca zerowe funkcji $g(x)=f(x-2)$ oraz $h(x)=f(x)+1$, o ile istnieją.
Funkcja $g$. Przesunięcie o $2$ w prawo przesuwa też miejsce zerowe:
$$x=3+2=5$$
Sprawdzenie: $g(5)=f(5-2)=f(3)=0$ ✔
Funkcja $h$. Przesunięcie pionowe podnosi cały wykres o $1$. W punkcie $x=3$ wartość wynosi teraz $0+1=1$, a nie zero.
Wniosek: nie da się określić miejsc zerowych $h$ bez znajomości całego wykresu $f$ — mogą istnieć gdzie indziej albo wcale, jeśli cały wykres $f$ leży nad prostą $y=-1$.
Odpowiedź: $g$ ma miejsce zerowe w $x=5$; dla $h$ nie można tego ustalić z podanych danych.
Zadanie nr 19
Zapisz funkcję $f(x)=x^2-6x+11$ w postaci kanonicznej i opisz, jak jej wykres powstaje z wykresu $y=x^2$.
Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Połowa współczynnika przy $x$ to $-3$, a $(-3)^2=9$, więc rozbijamy $11=9+2$:
$$x^2-6x+11=\left(x^2-6x+9\right)+2=(x-3)^2+2$$
Krok 2 — odczyt przekształceń. Z postaci $(x-3)^2+2$ wynika:
przesunięcie o $3$ w prawo
przesunięcie o $2$ w górę
Krok 3 — wierzchołek: $W=(3,\,2)$.
Sprawdzenie: $f(3)=9-18+11=2$ ✔
Odpowiedź: $f(x)=(x-3)^2+2$; przesunięcie o wektor $[3,\,2]$.
Zadanie nr 20
Funkcja $f$ jest określona dla $x\in\langle-2,\,6\rangle$. Podaj dziedzinę funkcji $g(x)=f(x-3)$ oraz $h(x)=f(-x)$.
Funkcja $g$. Wyrażenie $x-3$ musi należeć do dziedziny $f$:
Ponieważ $\Delta \lt 0$ i współczynnik przy $m^2$ jest dodatni ($a=1>0$), trójmian $m^2+3m+4$ jest zawsze dodatni.
Nierówność $m^2+3m+4 \lt 0$ nie ma rozwiązań.
Zbiór rozwiązań: $\emptyset$ (brak rozwiązań).
Zadanie nr 11 · Matura 2025
Funkcja $f$ jest określona następująco:
$$f(x) = \begin{cases} x+5 & \text{dla } x \in [-4,-2] \\ 3 & \text{dla } x \in (-2,2] \\ -3x+9 & \text{dla } x \in (2,4) \end{cases}$$
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały:
Dziedziną funkcji $f$ jest przedział …
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział …
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział …
Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x)=3$ jest przedział …
1. Dziedzina: $[-4, 4)$ — od $-4$ do $4$ (bez 4, bo ostatni przedział to $(2,4)$ — otwarty z prawej).
2. Zbiór wartości:
Na $[-4,-2]$: $f(x)=x+5$; $f(-4)=1$, $f(-2)=3$. Wartości: $[1,3]$.
Na $(-2,2]$: $f(x)=3$. Wartości: $\{3\}$.
Na $(2,4)$: $f(x)=-3x+9$; $f(2^+)=3$, $f(4^-)=-3$. Wartości: $(-3,3)$.
Zbiór wartości: $(-3,3]$.
3. Argumenty, dla których $f(x)>0$:
Na $[-4,-2]$: $x+5>0 \Rightarrow x>-5$ — cały odcinek: $[-4,-2]$.
Na $(-2,2]$: $f(x)=3>0$ — cały odcinek: $(-2,2]$.
Na $(2,4)$: $-3x+9>0 \Rightarrow x\lt 3$ — przedział $(2,3)$.
Odpowiedź: $[-4,3)$.
4. Równanie $f(x)=3$:
Na $[-4,-2]$: $x+5=3 \Rightarrow x=-2$ — punkt $\{-2\}$.
Na $(-2,2]$: $f(x)=3$ dla całego przedziału $(-2,2]$.
Odpowiedź: $[-2,2]$.
Zadanie nr 12.1 · Matura 2025
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment paraboli — wykresu funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3, 6)$. Parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 3)$.
Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
Postać kanoniczna: $f(x) = a(x-p)^2+q$ z wierzchołkiem $(p,q)=(3,6)$:
$$f(x) = a(x-3)^2 + 6$$
Podstawiamy punkt $(0,3)$:
$$f(0) = a(0-3)^2 + 6 = 9a + 6 = 3$$
$$9a = -3 \Rightarrow a = -\frac{1}{3}$$
$$\boxed{f(x) = -\frac{1}{3}(x-3)^2 + 6}$$
Zadanie nr 12.2 · Matura 2025
Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu
A$x=3$
B$x=-3$
C$y=6$
D$y=-6$
Oś symetrii paraboli w postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ to prosta $x=p$.
Wierzchołek ma $p=3$, więc oś symetrii to $x=3$.
Zadanie nr 12.3 · Matura 2025
Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x) = f(x) - 3$. Liczby $x_1$ oraz $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $g$.
Alternatywnie: dla $g(x)=a(x-p)^2+q$ suma pierwiastków $= 2p = 2\cdot3=6$.
Zadanie nr 13 · Matura 2025
Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(3-m)x-4$. Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego dla $m$ równego
A$m=-3$
B$m=0$
C$m=3$
D$m=4$
Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ nie ma miejsca zerowego tylko gdy $a = 0$ (jest funkcją stałą różną od zera).
Warunek: $3-m=0 \Rightarrow m=3$.
Sprawdzenie: dla $m=3$: $f(x)=-4 \neq 0$ dla żadnego $x$. ✓
Zadanie nr 31 · Matura 2025
Rozważamy wszystkie prostopadłościany, w których krawędź $AE$ ma długość $4$ oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $A$ jest równa $15$.
Niech $S(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $S$. Oblicz długość krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.
Oznaczenia: krawędzie z wierzchołka $A$: $AE=4$, $AB=x$, $AD=y$.
Warunek: $4 + x + y = 15$, więc $y = 11 - x$.
Dziedzina: $x > 0$ i $y = 11-x > 0$, więc $x \in (0, 11)$.
Pole całkowite:
$$S(x) = 2(AE \cdot AB + AB \cdot AD + AE \cdot AD) = 2(4x + xy + 4y)$$
Uzupełnij poniższą tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.
9.1. Największa wartość funkcji \(f\) jest równa ..... 9.2. Miejsce zerowe funkcji \(f\) jest równe .....
A. \(1\) B. \(2\) C. \(4\) D. \(5\) E. \(6\)
AA
BB
CC
DD
EE
Część 9.1 — największa wartość. Przeglądamy drugi wiersz tabeli: \(-3, -4, 4, 1, 5, 0, 2\). Największą z tych liczb jest \(5\) (dla argumentu \(x=2\)) — odpowiedź D.
Część 9.2 — miejsce zerowe. Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi \(0\). Z tabeli: \(f(4)=0\), więc miejscem zerowym jest \(4\) — odpowiedź C.
Odpowiedź: 9.1. D, 9.2. C.
Zadanie nr 11.3 · Matura 2024
Pusta bańka na mleko o pojemności \(10\) litrów ma masę \(6{,}5\) kg. Jeden litr mleka ma masę \(1{,}03\) kg. Niech \(x\) oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a \(f(x)\) oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie \(x\in[0,10]\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
A\(f(x)=6{,}5x+1{,}03\)
B\(f(x)=1{,}03x+10\)
C\(f(x)=10x+1{,}03\)
D\(f(x)=1{,}03x+6{,}5\)
Masa zawartości: \(x\) litrów mleka o masie \(1{,}03\) kg każdy daje \(1{,}03x\) kg.
Do tego dochodzi stała masa pustej bańki, czyli \(6{,}5\) kg.
Zatem:
\(f(x)=1{,}03x+6{,}5\)
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 12 · Matura 2024
Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli:
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Funkcja \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe. 2. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) jest symetryczny względem osi \(Oy\).
P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
Stwierdzenie 1. Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi \(0\). Z tabeli odczytujemy:
\(f(-1)=0\) oraz \(f(1)=0\)
Funkcja ma dwa miejsca zerowe, więc stwierdzenie jest fałszywe (F).
Stwierdzenie 2. Symetria względem osi \(Oy\) oznaczałaby \(f(-x)=f(x)\) dla wszystkich argumentów. Sprawdzamy:
\(f(-2)=-1\), natomiast \(f(2)=3\)
Wartości są różne, więc stwierdzenie jest fałszywe (F).
Odpowiedź: F, F.
Zadanie nr 12 · Matura 2023
Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=\frac{x-k}{x^2+1}\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek \(f(1)=2\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość współczynnika \(k\) we wzorze tej funkcji jest równa
A\((-3)\)
B\(3\)
C\((-4)\)
D\(4\)
Podstawiamy \(x=1\) do wzoru funkcji:
\(f(1)=\frac{1-k}{1^2+1}=\frac{1-k}{2}\)
Z warunku \(f(1)=2\):
\(\frac{1-k}{2}=2\)
\(1-k=4\)
\(k=-3\)
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 8 · Matura 2022
Punkt \(A=(1;2)\) należy do wykresu funkcji \(f\), określonej wzorem \(f(x)=(m^2-3)x^3-m^2+m+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy:
A\(m=-4\)
B\(m=-2\)
C\(m=0\)
D\(m=4\)
Podstawiając współrzędne punktu \(A\) do wzoru funkcji, otrzymamy:
$$2=(m^2-3)\cdot1^3-m^2+m+1$$
$$2=(m^2-3)\cdot1-m^2+m+1$$
$$2=m^2-3-m^2+m+1$$
$$2=-2+m$$
$$m=4$$
Zadanie nr 10 · Próbny 2022
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\dfrac{x^2-x-3}{x^2-9}\) dla wszystkich liczb rzeczywistych różnych od \(3\) i \(-3\). Wartość funkcji \(f(-\sqrt{3})\) jest równa:
A\(-\frac{\sqrt{3}}{6}\)
B\(\frac{\sqrt{3}+2}{8}\)
C\(\frac{6-\sqrt{3}}{12}\)
D\(\frac{6+\sqrt{3}}{12}\)
Musimy obliczyć wartość \(f(-\sqrt{3})\), czyli do wzoru funkcji musimy po prostu podstawić \(-\sqrt{3}\):
$$f(-\sqrt{3})=\frac{(-\sqrt{3})^2-(-\sqrt{3})-3}{(-\sqrt{3})^2-9}$$
$$f(-\sqrt{3})=\frac{3+\sqrt{3}-3}{3-9}$$
$$f(-\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{-6}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$$
Zadanie nr 10 · Matura 2022
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{4}{x}-4\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\). Liczba \(f(2)-f(-2)\) jest równa:
A\((-8)\)
B\((-4)\)
C\(4\)
D\(0\)
Celem zadania jest obliczenie wartości \(f(2)\) oraz \(f(-2)\), a następnie obliczenie różnicy między otrzymanymi wartościami. W związku z tym:
$$f(2)=\frac{4}{2}-4$$
$$f(2)=2-4$$
$$f(2)=-2$$
To oznacza, że różnica \(f(2)-f(-2)\) będzie równa:
$$f(2)-f(-2)=-2-(-6)=-2+6=4$$
Zadanie nr 10 · Próbny 2021
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{8x-7}{2x^2+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(1\) jest równa:
A\(\frac{1}{5}\)
B\(\frac{1}{3}\)
C\(1\)
D\(2\)
Chcemy sprawdzić jaka jest wartość tej funkcji dla argumentu \(x=1\), zatem musimy podstawić właśnie \(x=1\) do wzoru tej funkcji:
$$f(1)=\frac{8\cdot1-7}{2\cdot1^2+1}$$
$$f(1)=\frac{8-7}{2+1}$$
$$f(1)=\frac{1}{3}$$
Zadanie nr 10 · Matura 2021
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^2}{2x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\). Wtedy dla argumentu \(x=\sqrt{3}-1\) wartość funkcji \(f\) jest równa:
A\(\frac{1}{\sqrt{3}-1}\)
B\(-1\)
C\(1\)
D\(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\)
Podstawiając \(x=\sqrt{3}-1\) do podanego wzoru funkcji, otrzymamy:
$$f(\sqrt{3}-1)=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2\cdot(\sqrt{3}-1)-2}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}-2-2}=$$
$$=\frac{4-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-4}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-4+2\sqrt{3}}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-(4-2\sqrt{3})}=-1$$
Zadanie nr 11 · Próbny 2020
Wartości ujemnych nie przyjmuje funkcja \(f\) określona wzorem:
A\(f(x)=-x^2+1\)
B\(f(x)=x^2-1\)
C\(f(x)=-x^2-1\)
D\(f(x)=x^2+1\)
Powinniśmy kojarzyć, że funkcja \(f(x)=x^2\) przyjmuje tylko wartości dodatnie lub równe zero. Wynika to oczywiście z tego, że każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu przyjmuje wartość dodatnią lub równą zero.
Jeżeli przyjrzymy się podanym funkcjom, to zauważymy, że każda z nich jest pewnym przekształceniem funkcji \(f(x)=x^2\). Funkcją, która nie przyjmie wartości ujemnych będzie więc na pewno \(f(x)=x^2+1\), bowiem jest to nasza standardowa funkcja \(f(x)=x^2\), która jest jeszcze podniesiona o jedną jednostkę do góry. Ta funkcja będzie więc na pewno przyjmować jedynie wartości dodatnie.
Zadanie nr 10 · Matura 2020
Funkcja \(f\) każdej liczbie naturalnej \(n\ge1\) przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez \(4\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest:
A\(\{0,1,2,3\}\)
B\(\{1,2,3,4\}\)
C\(\{0,1,2,3,4\}\)
D\(\{0,2\}\)
Dzieląc liczbę naturalną przez \(4\) możemy otrzymać resztę równą \(0\), \(1\), \(2\) lub \(3\). Przykładowo:
$$20:4=5\;r.0$$
$$21:4=5\;r.1$$
$$22:4=5\;r.2$$
$$23:4=5\;r.3$$
To oznacza, że zbiorem wartości funkcji \(f\) jest \(\{0,1,2,3\}\).
Zadanie nr 9 · Matura 2018
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+2)^{-1}(x-3)^2\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq-2\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(2\) jest równa:
A\(-8\)
B\(-\frac{1}{2}\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(8\)
Aby dowiedzieć się jaką wartość funkcja przyjmuje dla argumentu \(2\), wystarczy podstawić do wzoru funkcji \(x=2\). Otrzymamy wtedy:
$$f(x)=-2(x+2)^{-1}\cdot(x-3)^2$$
$$f(2)=-2(2+2)^{-1}\cdot(2-3)^2$$
$$f(2)=-2\cdot4^{-1}\cdot(-1)^2$$
$$f(2)=-2\cdot\frac{1}{4}\cdot1$$
$$f(2)=-\frac{2}{4}$$
$$f(2)=-\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 12 · Matura 2017
Punkt \(A=(2017,0)\) należy do wykresu funkcji \(f\) określonej wzorem:
A\(f(x)=(x+2017)^2\)
B\(f(x)=x^2-2017\)
C\(f(x)=(x+2017)(x-2017)\)
D\(f(x)=x^2+2017\)
Skoro punkt \(A=(2017;0)\) należy do naszej funkcji, to podstawiając do wzoru funkcji \(x=2017\) powinniśmy otrzymać wynik \(y=0\). Wyraźnie widać, że w funkcji z pierwszej odpowiedzi tak się nie stanie, bo podstawiając \(x=2017\) otrzymamy olbrzymi wynik wynik typu \(4034^2\). Podobnie stanie się w funkcji z odpowiedzi B, tutaj otrzymamy wartość \(2017^2-2017\) i analogicznie będzie w funkcji z odpowiedzi D gdzie będziemy mieć \(2017^2+2017\). Jedynie w funkcji z odpowiedzi C otrzymamy wartość równą \(0\), a to dlatego że w drugim nawiasie będziemy mieć \(0\), a więc tam otrzymamy \(4034\cdot0=0\).
Zadanie nr 9 · Matura 2016
Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy liczba \(f(-\sqrt{2})\) jest równa:
A\(-\frac{8}{5}\)
B\(-\frac{4\sqrt{2}}{3}\)
C\(-\frac{4\sqrt{2}}{5}\)
D\(-\frac{4}{3}\)
Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie do wzoru funkcji wartości \(x=-\sqrt{2}\) i sprawdzenie jaką wartość otrzymamy, zatem:
$$f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1}$$
$$f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-\sqrt{2})^3}{(-\sqrt{2})^4+1}$$
$$f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-2\sqrt{2})}{4+1}$$
$$f(-\sqrt{2})=\frac{-4\sqrt{2}}{5}=-\frac{4\sqrt{2}}{5}$$
Zadanie nr 12 · Matura 2016
Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:
A\(-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\)
B\(-\frac{3}{5}\)
C\(\frac{3}{5}\)
D\(\frac{\sqrt[3]{3}}{2}\)
Aby rozwiązać to zadanie musimy do wzoru podstawić \(x=-\sqrt[3]{3}\), zatem:
$$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-\sqrt[3]{3})^3}{(-\sqrt[3]{3})^6+1}$$
$$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-3)}{(-3)^2+1}$$
$$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{9+1}$$
$$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{10}$$
$$f(-\sqrt[3]{3})=-\frac{3}{5}$$
Zadanie nr 10 · Matura 2015
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-8}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\). Wówczas wartość funkcji \(f(\sqrt{2})\) jest równa:
A\(2-4\sqrt{2}\)
B\(1-2\sqrt{2}\)
C\(1+2\sqrt{2}\)
D\(2+4\sqrt{2}\)
Aby obliczyć wartość \(f(\sqrt{2})\) wystarczy tak naprawdę podstawić \(x=\sqrt{2}\), zatem:
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}$$
Nie możemy skrócić ot tak pierwiastków, bo w liczniku mamy odejmowanie. Można za to pokusić się o np. usunięcie niewymierności z mianownika:
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{8}{\sqrt{2}}$$
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}-\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot2}{2}-\frac{8\sqrt{2}}{2}$$
$$f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2014
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=\begin{cases} x^2-1\quad\text{ dla } x\in (-\infty,-2\rangle\\ -\frac{1}{3}x+1\quad\text{ dla } x\in(-2,3)\\ 2x-8\quad\text{ dla } x\in\langle3,+\infty) \end{cases}\).
Miejscem zerowym tej funkcji jest:
A\(-1\)
B\(1\)
C\(3\)
D\(4\)
Powyższa funkcja składa się tak jakby z trzech wzorów/części, które obowiązują dla trzech różnych przedziałów. Naszym zadaniem jest więc przyrównanie do zera każdej z części i sprawdzenie, czy otrzymany wynik mieści się w przedziale - jeśli tak, to będzie to miejsce zerowe funkcji.
Krok 1. Sprawdzenie pierwszej części wzoru.
$$x^2-1=0$$
$$x^2=1$$
$$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$
Wartości \(x=-1\) oraz \(x=1\) nie mieszczą się w przedziale \((-\infty,-2\rangle\), zatem nie są to miejsca zerowe naszej funkcji.
Krok 2. Sprawdzenie drugiej części wzoru.
$$-\frac{1}{3}x+1=0$$
$$-\frac{1}{3}x=-1$$
$$x=3$$
Wartość \(x=3\) nie mieści się w przedziale \((-2,3)\), zatem nie jest to miejsce zerowe naszej funkcji.
Krok 3. Sprawdzenie trzeciej części wzoru.
$$2x-8=0$$
$$2x=8$$
$$x=4$$
Wartość \(x=4\) mieści się w przedziale \(\langle3,+\infty)\), zatem jest to nasze miejsce zerowe.
Zadanie nr 2 · Próbny 2014
Ilość miejsc zerowych funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\begin{cases} 2x+4\quad \text{ dla } x\in (-\infty,-1 \rangle\\ x^2-1\quad \text{ dla } x\in (-1 ,3)\\ x+5\quad \text{ dla } x\in \langle 3,+\infty) \end{cases}\) wynosi:
A\(4\)
B\(3\)
C\(2\)
D\(1\)
Nasza funkcja składa się tak jakby z trzech wzorów, które obowiązują dla trzech różnych przedziałów. Musimy więc każdy z tych wzorów przyrównać do zera i sprawdzić, czy otrzymany wynik mieści się w przedziale - jeśli tak, to będzie to miejsce zerowe funkcji.
Krok 1. Sprawdzenie pierwszej części wzoru.
$$2x+4=0$$
$$2x=-4$$
$$x=-2$$
Ta wartosć mieści się w przedziale \((-\infty,-1\rangle\), zatem \(x=-2\) jest miejscem zerowym.
Krok 2. Sprawdzenie drugiej części wzoru.
$$x^2-1=0$$
$$x^2=1$$
$$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$
Wartość \(x=-1\) nie mieści się w przedziale \((-1,3)\), za to drugie rozwiązanie \(x=1\) się w tym przedziale mieści, czyli tylko \(x=1\) jest miejscem zerowym.
Krok 3. Sprawdzenie trzeciej części wzoru.
$$x+5=0$$
$$x=-5$$
Wartość \(x=-5\) nie mieści się w przedziale \(\langle3,+\infty)\), zatem nie jest ona miejscem zerowym.
Krok 4. Obliczenie liczby miejsc zerowych.
Z naszym obliczeń wynika zatem, że tylko \(x=-2\) oraz \(x=1\) są miejscami zerowymi, zatem ta funkcja ma dwa miejsca zerowe.
Zadanie nr 5 · Matura 2013
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x}{x-1}\) dla \(x\neq1\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(x=2\) jest równa:
A\(2\)
B\(-4\)
C\(4\)
D\(-2\)
Zgodnie z treścią zadania musimy podstawić do wzoru wartość \(x=2\). W ten sposób wyznaczymy poszukiwaną wartość funkcji.
$$f(2)=\frac{2\cdot2}{2-1}$$
$$f(2)=\frac{4}{1}$$
$$f(2)=4$$
Zadanie nr 10 · Matura 2013
Funkcja \(g\) jest określona wzorem:
A\(g(x)=f(x-1)\)
B\(g(x)=f(x)-1\)
C\(g(x)=f(x+1)\)
D\(g(x)=f(x)+1\)
Wykres funkcji \(g\) jest przesunięciem funkcji \(f\) o jedno miejsce w dół, zatem:
$$g(x)=f(x)-1$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2012
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-b}{x-9}\) dla \(x\neq9\). Ponadto wiemy, że \(f(4)=-1\). Oblicz współczynnik \(b\).
Aby obliczyć współczynnik \(b\) wystarczy poprawnie skorzystać z informacji \(f(4)=-1\). Wiemy, że funkcja dla argumentu \(x=4\) przyjmuje wartość \(-1\), więc podstawiając te dane do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(x)=\frac{2x-b}{x-9}$$
$$-1=\frac{2\cdot4-b}{4-9}$$
$$-1=\frac{8-b}{-5} \quad\bigg/\cdot(-5)$$
$$5=8-b$$
$$b=3$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2012
Miejscem zerowym funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\begin{cases} x^2-1\quad \text{ dla } x\in (-\infty,-4 \rangle\\ 5x+10\quad \text{ dla } x\in (-4 ,2)\\ x+4\quad \text{ dla } x\in \langle 2,+\infty) \end{cases}\) jest:
A\(-4\)
B\(-2\)
C\(-1\)
D\(1\)
Miejsce zerowe to taki argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Możemy sprawdzić każdą z odpowiedzi po kolei, podstawiając poszczególne liczby do wzorów funkcji (pamiętając jedynie o tym, by do dobrego wzoru podstawić poszczególne argumenty - tu musimy zobaczyć do jakiego przedziału należy nasz podstawiany \(x\)). Jeżeli tak będziemy chcieli podejść do tego zadania, to:
Dla \(x=-4\) mamy pierwszy wzór, czyli \((-4)^2-1=15\)
Dla \(x=-2\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot(-2)+10=0\)
Dla \(x=-1\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot(-1)+10=5\)
Dla \(x=1\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot1+10=15\)
W ten oto sposób obliczyliśmy, że wartość funkcji jest równa \(0\) dla argumentu \(x=-2\).
Jeżeli chcemy to miejsce zerowe wyliczyć samodzielnie, to musimy sprawdzić po kolei każdy z trzech wzorów, przyrównując każde z wyrażeń do zera.
Pierwsze wyrażenie:
\(x^2-1=0\)
\(x^2=1\)
\(x=1 \quad\lor\quad x=-1\)
Obydwa rozwiązania nie mieszczą się w przedziale \(x\in (-\infty,-4 \rangle\), zatem obydwa przypadki odrzucamy.
Drugie wyrażenie:
\(5x+10=0\)
\(5x=-10\)
\(x=-2\)
Rozwiązanie mieści się w przedziale \(x\in(-4,2)\), zatem \(x=-2\) jest miejscem zerowym funkcji.
Trzecie wyrażenie:
\(x+4=0\)
\(x=-4\)
Rozwiązanie nie mieści się w przedziale \(x\in(-4,2)\), zatem ten przypadek odrzucamy.
Zadanie nr 9 · Próbny 2009
Do wykresu funkcji \(f(x)=x^2+x-2\) należy punkt:
A\((-1,-4)\)
B\((-1,1)\)
C\((-1,-1)\)
D\((-1,-2)\)
Zadanie możemy rozwiązać podstawiając współrzędne każdego z punktów do wzoru funkcji. Pierwszą współrzędną podstawiamy w miejsce \(x\), a drugą w miejsce \(f(x)\). Punktem należącym do wykresu będzie ten, który spełni powstałą równość (czyli tak naprawdę wtedy kiedy nie wyjdzie nam równanie sprzeczne).
Można jednak to zadanie zrobić nieco sprytniej, dostrzegając że we wszystkich odpowiedziach pierwszą współrzędną punktu jest \(x=-1\). To oznacza, że nie musimy podstawiać każdego z punktów pod wzór funkcji. Wystarczy tak naprawdę obliczyć wartość \(f(-1)\), zatem:
$$f(-1)=(-1)^2+(-1)-2$$
$$f(-1)=1-1-2$$
$$f(-1)=-2$$
To oznacza, że druga współrzędna to \(y=-2\), czyli prawidłowa jest ostatnia odpowiedź \((-1;-2)\).
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
