Brakuje środkowego wyrazu $2ab$. Łatwo to sprawdzić liczbami: $(2+3)^2=25$, ale $4+9=13$.
Uwaga na współczynniki
$$(2x-5)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot5+25=4x^2-20x+25$$
Do kwadratu podnosimy cały jednomian — również liczbę przed literą. Zapis $2x^2$ zamiast $4x^2$ to bardzo częsta pomyłka.
Wzory czyta się w obie strony
Od lewej do prawej — rozwijamy. Od prawej do lewej — rozkładamy na czynniki:
$$x^2-49=(x-7)(x+7),\qquad x^2-10x+25=(x-5)^2$$
Umiejętność rozpoznania wzoru w gotowym wyrażeniu jest cenniejsza niż samo mnożenie.
Kolejność przy rozkładzie
Najpierw wyłączamy wspólny czynnik, dopiero potem szukamy wzorów:
$$2x^3-18x=2x\left(x^2-9\right)=2x(x-3)(x+3)$$
Pominięcie pierwszego kroku daje rozkład niepełny. Wyłączamy zawsze największy wspólny czynnik — z $8x^2+12x$ wyłączamy $4x$, a nie samo $4$ czy samo $x$.
Sprytne rachunki
$$102^2=(100+2)^2=10\,000+400+4=10\,404$$
$$97\cdot103=(100-3)(100+3)=10\,000-9=9991$$
$$51\cdot49=2500-1=2499$$
Wzory zamieniają jedno trudne mnożenie na kilka łatwych działań.
Przekształcanie warunków
$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$
Znając $a+b=7$ i $ab=10$, obliczymy $a^2+b^2=49-20=29$ bez wyznaczania samych liczb. To standardowy chwyt w zadaniach z sumą i iloczynem.
Uzupełnianie do kwadratu
$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2$$
Ponieważ $(x-3)^2\ge0$, całe wyrażenie jest zawsze co najmniej równe $2$ — to standardowy sposób dowodzenia, że wyrażenie kwadratowe jest dodatnie, a przy okazji znajdujemy jego wartość najmniejszą.
Na co uważać
Nie gub wyrazu $2ab$. Nie zapominaj o nawiasie przy odejmowaniu całego wyrażenia. I zawsze doprowadzaj rozkład do końca.
Wzory skróconego mnożenia w dowodach (klasa 1 LO)
Podstawa
Z $(a-b)^2\geq0$ wynika $a^2+b^2\geq2ab$.
Różnica kwadratów
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ułatwia szacowanie i rozkład.
Technika
Przekształcamy wyrażenie do postaci pełnego kwadratu.
Przykład
$x^2+4x+5=(x+2)^2+1\geq1$.
∑Wzory 2
Kwadrat różnicy
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Jak kwadrat sumy, ale środkowy wyraz ze znakiem minus.
Uwaga: kwadrat dotyczy całego $2x$, więc $(2x)^2=4x^2$.
Odpowiedź: $4x^2+12x+9$.
Zadanie nr 10
Rozłóż na czynniki $9x^2-25$.
To różnica kwadratów: $9x^2=(3x)^2$, $25=5^2$:
$$9x^2-25=(3x-5)(3x+5)$$
Odpowiedź: $(3x-5)(3x+5)$.
Zadanie nr 11
Ile wynosi $(a-b)^2$?
A$a^2-b^2$
B$a^2+b^2$
C$a^2+2ab+b^2$
D$a^2-2ab+b^2$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 12
Uprość wyrażenie $(x+2)^2-(x-2)^2$.
Krok 1 — rozwijamy oba kwadraty:
$$(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)$$
Krok 2 — redukujemy:
$$=x^2+4x+4-x^2+4x-4=8x$$
Odpowiedź: $8x$.
Zadanie nr 13
Oblicz $37^2-27^2$ bez potęgowania.
Krok 1 — różnica kwadratów:
$$37^2-27^2=(37-27)(37+27)$$
Krok 2 — liczymy:
$$=10\cdot64=640$$
Odpowiedź: $640$.
Zadanie nr 14
Wyrażenie $x^2-6x+9$ to:
A$(x-3)^2$
B$(x+3)^2$
C$(x-9)^2$
D$(x-3)(x+3)$
Kwadrat różnicy: $9=3^2$, $6x=2\cdot x\cdot3$:
$$x^2-6x+9=(x-3)^2$$
Odpowiedź: A. $(x-3)^2$.
Zadanie nr 15
Wiedząc, że $a+b=7$ i $ab=10$, oblicz $a^2+b^2$.
Krok 1 — wzór na kwadrat sumy:
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Krok 2 — wyznaczamy $a^2+b^2$:
$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$
Krok 3 — podstawiamy:
$$=7^2-2\cdot10=49-20=29$$
Odpowiedź: $a^2+b^2=29$.
Zadanie nr 16
Rozłóż $x^3-x$ na czynniki.
A$x(x^2+1)$
B$x(x-1)(x+1)$
C$(x-1)^3$
D$x^2(x-1)$
Krok 1 — wyłączamy $x$: $x^3-x=x(x^2-1)$.
Krok 2 — różnica kwadratów: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
$$x^3-x=x(x-1)(x+1)$$
Odpowiedź: B. $x(x-1)(x+1)$.
Zadanie nr 17
Doprowadź do najprostszej postaci $(a+b)^2+(a-b)^2$.
Krok 1 — rozwijamy oba kwadraty:
$$(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)$$
Krok 2 — redukujemy (składniki $2ab$ się znoszą):
$$=2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)$$
Odpowiedź: $2(a^2+b^2)$.
Zadanie nr 18
Wykaż, że $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$.
Krok 1 — rozwijamy oba kwadraty:
$$(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)$$
Krok 2 — usuwamy nawias i redukujemy:
$$=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab \qquad ∎$$
Sprawdzenie dla $a=3$, $b=2$: lewa $5^2-1^2=24$; prawa $4\cdot6=24$ ✔
Zadanie nr 19
Uzasadnij, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest zawsze liczbą nieparzystą.
Krok 1 — oznaczenia. Kolejne liczby to $n$ i $n+1$.
Krok 2 — różnica kwadratów:
$$(n+1)^2-n^2=(n^2+2n+1)-n^2=2n+1$$
Krok 3 — wniosek. $2n+1$ jest z definicji liczbą nieparzystą dla dowolnej całkowitej $n$. $\quad∎$
Sprawdzenie: $5^2-4^2=25-16=9$ (nieparzysta) ✔
Zadanie nr 20
Wykaż, że wyrażenie $x^2-4x+7$ przyjmuje wartości nie mniejsze niż $3$.
Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Bierzemy $x^2-4x$ i dodajemy oraz odejmujemy $4$ (kwadrat połowy współczynnika przy $x$):
$$x^2-4x+7=(x^2-4x+4)+3=(x-2)^2+3$$
Krok 2 — szacujemy. Ponieważ $(x-2)^2\ge0$ dla każdego $x$:
$$(x-2)^2+3\ge3 \qquad ∎$$
Wniosek. Najmniejszą wartość $3$ wyrażenie osiąga dla $x=2$ (wtedy kwadrat jest zerem).
📄Zadania z arkuszy 81
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 6 · Matura 2026
Wartość wyrażenia $x^2+10x+25$ dla $x=\sqrt2-5$ jest równa
A$2$
B$\sqrt2$
C$2-20\sqrt2$
D$62-10\sqrt2$
Rozwiązanie
$x^2+10x+25=(x+5)^2$. Dla $x=\sqrt2-5$: $x+5=\sqrt2$, więc $(x+5)^2=(\sqrt2)^2=2$.
Odpowiedź: A
Zadanie nr 7 · Matura 2026
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2+21n$ jest podzielna przez $14$.
Rozwiązanie
$7n^2+21n=7n(n+3)$.
Wśród dwóch liczb $n$ oraz $n+3$ (różniących się o 3) jedna jest parzysta, więc iloczyn $n(n+3)$ jest liczbą parzystą, tzn. $n(n+3)=2k$ dla pewnej liczby całkowitej $k$.
Zatem $7n(n+3)=7\cdot2k=14k$ — liczba podzielna przez $14$. $\blacksquare$
Zadanie nr 6 · Matura 2026
Wartość wyrażenia \(x^2+10x+25\) dla \(x=\sqrt{2}-5\) jest równa:
A\(2\)
B\(\sqrt{2}\)
C\(2-20\sqrt{2}\)
D\(62-10\sqrt{2}\)
Oczywiście możemy podstawić \(x=\sqrt{2}-5\) bezpośrednio do naszego wyrażenia (pamiętając oczywiście o tym by później poprawnie wykonać to potęgowanie), ale obliczenia staną się znacznie prostsze, gdy dostrzeżemy, że podane wyrażenie można zwinąć za pomocą wzoru na kwadrat sumy:
$$x^2+10x+25=(x+5)^2$$
I jeśli teraz podstawimy \(x=\sqrt{2}-5\) do uproszczonego wyrażenia, to otrzymamy:
$$(\sqrt{2}-5+5)^2=(\sqrt{2})^2=2$$
Zadanie nr 4 · Matura 2025
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((3x+2)^2-(2x-3)^2\) jest równa wartości wyrażenia:
A\(5x^2-5\)
B\(5x^2+13\)
C\(5x^2+24x-5\)
D\(5x^2+24x-13\)
W tym zadaniu musimy skorzystać z dwóch wzorów skróconego mnożenia, czyli \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całe wyrażenie możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$(3x+2)^2-(2x-3)^2=9x^2+12x+4-(4x^2-12x+9)=$$
$$=9x^2+12x+4-4x^2+12x-9=5x^2+24x-5$$
Zadanie nr 3 · Matura 2024
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$ liczba $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.
Rozwiązanie
$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=3n^2+6n+5=3(n^2+2n+1)+2=3(n+1)^2+2$. Składnik $3(n+1)^2$ jest podzielny przez $3$, więc reszta z dzielenia całości przez $3$ wynosi $2$. $\blacksquare$
Zadanie nr 5 · Matura 2024
Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$ wartość wyrażenia $(2a+b)^2-(2a-b)^2$ jest równa
A$8a^2$
B$8ab$
C$-8ab$
D$2b^2$
Rozwiązanie
Ze wzoru $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $[(2a+b)-(2a-b)][(2a+b)+(2a-b)]=(2b)(4a)=8ab$.
Odpowiedź: B
Zadanie nr 5 · Matura 2024
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) wartość wyrażenia \((2a+b)^2-(2a-b)^2\) jest równa wartości wyrażenia:
A\(8a^2\)
B\(8ab\)
C\(-8ab\)
D\(2b^2\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(2a+b)^2-(2a-b)^2=4a^2+4ab+b^2-(4a^2-4ab+b^2)=$$
$$=4a^2+4ab+b^2-4a^2+4ab-b^2=8ab$$
Zadanie nr 13 · Matura 2023
Rozwiąż równanie \((x-1)^4-5(x-1)^2+6=0\)
Krok 1. Zapisanie równania kwadratowego.
Aby rozwiązać tego typu równanie czwartego stopnia, musimy zapisać, że \(t=(x-1)^2\). Dzięki temu będziemy mogli zapisać równanie z treści zadania jako równanie kwadratowe:
$$(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0$$
$$((x-1)^2)^2-5(x-1)^2+6=0$$
$$t^2-5t+6=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$
Krok 3. Rozwiązanie równania.
W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że \(t=(x-1)^2\). Wiemy już, że \(t=2\) lub \(t=3\), a skoro tak, to:
$$(x-1)^2=2 \quad\lor\quad (x-1)^2=3$$
Otrzymaliśmy dwa równania kwadratowe, w których po prawej stronie nie mamy zera (nie możemy więc przyrównać wartości w nawiasach do zera). Możemy je oczywiście przekształcić do postaci ogólnej i całość obliczyć za pomocą delty, jednak będzie to dość czasochłonne. Tego typu równania najprościej będzie rozwiązać korzystając z wartości bezwzględnej. Pierwiastkując obydwie strony równań, możemy zapisać, że:
$$|x-1|=\sqrt{2} \quad\lor\quad |x-1|=\sqrt{3}$$
$$x-1=\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=\sqrt{3} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{3}$$
$$x=\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=\sqrt{3}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{3}+1$$
Zadanie nr 5 · Matura 2023
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe:
A\(-24a\)
B\(0\)
C\(18\)
D\(16a^2-24a\)
Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tymi wzorami, całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$(2a-3)^2-(2a+3)^2=4a^2-12a+9-(4a^2+12a+9)=$$
$$=4a^2-12a+9-4a^2-12a-9=-24a$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2023
Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) wyrażenie \((2a-3b)^2-(3a+2b)^2\) jest równe:
A\(-5a^2-13b^2\)
B\(-5a^2+5b^2\)
C\(-5a^2-24ab+5b^2\)
D\(-5a^2+24ab+5b^2\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia, czyli \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Nasze wyrażenie z treści zadania możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$(2a-3b)^2-(3a+2b)^2=4a^2-12ab+9b^2-(9a^2+12ab+4b^2)=$$
$$=4a^2-12ab+9b^2-9a^2-12ab-4b^2=-5a^2-24ab+5b^2$$
Zadanie nr 5 · Matura 2023
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe:
A\(-24a\)
B\(0\)
C\(18\)
D\(16a^2-24a\)
Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tymi wzorami, całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$(2a-3)^2-(2a+3)^2=4a^2-12a+9-(4a^2+12a+9)=$$
$$=4a^2-12a+9-4a^2-12a-9=-24a$$
Zadanie nr 4 · Matura 2023
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe:
A\(-24a\)
B\(0\)
C\(18\)
D\(16a^2-24a\)
Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tymi wzorami, całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$(2a-3)^2-(2a+3)^2=4a^2-12a+9-(4a^2+12a+9)=$$
$$=4a^2-12a+9-4a^2-12a-9=-24a$$
Zadanie nr 32 · Matura 2023
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność:
$$x^2+y^2+5\gt2x+4y$$
Krok 1. Przekształcenie podanej nierówności.
Przenosząc wyrazy z prawej strony na lewą oraz dokonując pewnych przekształceń, otrzymamy taką oto postać:
$$x^2+y^2+5\gt2x+4y$$
$$x^2+y^2+5-2x-4y\gt0$$
$$x^2+y^2+1+4-2x-4y\gt0$$
$$x^2-2x+1+y^2-4y+4\gt0$$
Teraz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy "zwinąć" wyrażenie \(x^2-2x+1\) do postaci \((x-1)^2\) oraz wyrażenie \(y^2-4y+4\) do postaci \((y-2)^2\). Otrzymamy zatem taką oto nierówność:
$$(x-1)^2+(y-2)^2\gt0$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(x\neq1\), a to oznacza, że wartość \(x-1\) jest różna od zera. Jakakolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje dodatni wynik, stąd też na pewno \((x-1)^2\) jest większe od zera.
Spójrzmy teraz na składnik \((y-2)^2\). Analogicznie moglibyśmy powiedzieć, że to wyrażenie jest na pewno dodatnie lub ewentualnie równe \(0\) (wtedy, gdy \(y=2\)). Możemy więc powiedzieć, że \((y-2)^2\) jest liczbą nieujemną.
Mamy więc sytuację, w której do dodatniej liczby \((x-1)^2\) dodajemy nieujemną liczbę \((y-2)^2\). Suma takich liczb jest na pewno większa od zera, co należało udowodnić.
Zadanie nr 31 · Matura 2022
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \(2a^2-4ab+5b^2\gt0\).
Aby móc wykonać to zadanie, musimy w pewien sprytny sposób przekształcić podaną nierówność, tak aby móc później zwinąć całość lub część zapisu przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Przykładowo, moglibyśmy rozbić \(2a^2\) na \(a^2+a^2\) oraz \(5b^2\) na \(4b^2+b^2\), co sprawi, iż otrzymamy następującą sytuację:
$$2a^2-4ab+5b^2\gt0$$
$$a^2+a^2-4ab+4b^2+b^2\gt0$$
$$a^2-4ab+4b^2+a^2+b^2\gt0$$
$$(a-2b)^2+a^2+b^2\gt0$$
Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny (czyli dodatni lub równy zero). Wartość \((a-2b)^2\) jest więc na pewno nieujemna. Zostaje nam jeszcze \(a^2\), który jest na pewno dodatni (bo \(a\) jest różne od zera) i \(b^2\), który jest także dodatni (bo \(b\) jest także różne od zera). To oznacza, że lewa strona jest na pewno większa od zera, co należało udowodnić.
Ewentualnie moglibyśmy dokonać jeszcze takiego rozbicia:
$$2a^2-4ab+5b^2\gt0$$
$$2(a^2-2ab+b^2)+3b^2\gt0$$
$$2(a-b)^2+3b^2\gt0$$
I tu uzasadnienie jest bardzo podobne - wartość \(2(a-b)^2\) jest na pewno nieujemna, a \(3b^2\) jest na pewno dodatnie, więc lewa strona nierówności jest większa od zera.
Zadanie nr 6 · Próbny 2022
Dla dowolnych liczb \(x\) i \(y\) wyrażenie \((2x-y)^2-(x+2y)^2\) jest równe:
A\(4x^2+4y^2\)
B\(3x^2-3y^2\)
C\(3x^2-8xy-3y^2\)
D\(4x^2-8xy+4y^2\)
Musimy uprościć nasze wyrażenie, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Pamiętając o tym, że \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz że \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) wyjdzie nam wtedy:
$$(2x-y)^2-(x+2y)^2=$$
$$=(4x^2-4xy+y^2)-(x^2+4xy+4y^2)=$$
$$=4x^2-4xy+y^2-x^2-4xy-4y^2=$$
$$=3x^2-8xy-3y^2$$
Zadanie nr 6 · Próbny 2022
Rozwiąż równanie
$$3x^3-6x^2-27x+54=0$$
Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania:
$$3x^3-6x^2-27x+54=0$$
$$x^2(3x-6)-9(3x-6)=0$$
$$(x^2-9)\cdot(3x-6)=0$$
Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-9=0 \quad\lor\quad 3x-6=0$$
$$x^2=9 \quad\lor\quad 3x=6$$
$$x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=2$$
Zadanie nr 7 · Próbny 2022
Równanie \(\dfrac{(x^2+x)(x+3)(x-1)}{x^2-1}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:
Ajedno rozwiązanie: \(x=-3\)
Bdwa rozwiązania: \(x=-3, x=0\)
Ctrzy rozwiązania: \(x=-3, x=-1, x=0\)
Dcztery rozwiązania: \(x=-3, x=-1, x=0, x=1\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Jest to równanie wymierne, w którym mamy niewiadomą \(x\) w mianowniku. Wiedząc, że na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, musimy zapisać odpowiednie założenia, tak aby nasz mianownik nie był równy zero, zatem:
$$x^2-1\neq0$$
$$x^2\neq1$$
$$x\neq1 \quad\lor\quad x\neq-1$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając zapisane założenia, możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Aby lewa strona była równa \(0\), to wartość przynajmniej jednego z nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2+x=0 \quad\lor\quad x+3=0 \quad\lor\quad x-1=0$$
$$x(x+1)=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1$$
$$x=0 \quad\lor\quad x+1=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy aż cztery różne rozwiązania, ale wyniki \(x=-1\) oraz \(x=1\) musimy odrzucić ze względu na założenia. To oznacza, że nasze równanie ma tylko dwa rozwiązania i są to \(x=-3\) oraz \(x=0\).
Zadanie nr 5 · Matura 2022
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \(5-(4+2a)(4-2a)\) jest równe:
A\(-4a^2-16a-11\)
B\(4a^2-11\)
C\(-4a^2-11\)
D\(4a^2+16a-11\)
Celem zadania jest poprawne uproszczenie podanego wyrażenia. Zwróć uwagę, że mnożąc nawiasy możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$5-(4+2a)(4-2a)=5-(4^2-(2a)^2)=$$
$$=5-(16-4a^2)=5-16+4a^2=$$
$$=4a^2-11$$
Zadanie nr 9 · Matura 2022
Równanie \((x^2-27)(x^2+16)=0\) ma dokładnie:
Ajedno rozwiązanie rzeczywiste
Bdwa rozwiązania rzeczywiste
Ctrzy rozwiązania rzeczywiste
Dcztery rozwiązania rzeczywiste
Aby wyrażenie \((x^2-27)(x^2+16)\) było równe \(0\), to albo pierwszy nawias musi być równy \(0\), albo drugi. Postępujemy więc tak jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x^2-27=0 \quad\lor\quad x^2+16=0$$
$$x^2=27 \quad\lor\quad x^2=-16$$
Z równania \(x^2=27\) otrzymamy dwa rozwiązania:
$$x=\sqrt{27} \quad\lor\quad x=-\sqrt{27}$$
Z równania \(x^2=-16\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik ujemny.
Z tego też względu całe równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 30 · Matura 2022
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x\neq y\) prawdziwa jest nierówność:
Przekształcając podaną nierówność, otrzymamy taką oto sytuację:
$$\frac{1}{25}x^2+2\cdot\frac{1}{5}x\cdot\frac{4}{5}y+\frac{16}{25}y^2\lt \frac{x^2+4y^2}{5} \quad\bigg/\cdot25$$
$$x^2+8xy+16y^2\lt5x^2+20y^2$$
$$-4x^2+8xy-4y^2\lt0$$
$$-4(x^2-2xy+y^2)\lt0 \quad\bigg/:(-4)$$
$$x^2-2xy+y^2\gt0$$
$$(x-y)^2\gt0$$
Z treści zadania wynika, że \(x\neq y\), a to oznacza, że różnica \(x-y\) jest różna od zera. Jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, stąd też \((x-y)^2\) jest na pewno większe od zera, co należało udowodnić.
Zadanie nr 31 · Matura 2022
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(b\neq a\), co prowadzi nas do wniosku, że różnica \(a-b\) jest na pewno różna od zera. Kwadrat dwóch liczb rzeczywistych różnych od zera jest zawsze większy od zera, zatem dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 4 · Matura 2021
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\) wyrażenie \((3x+8y)^2\) jest równe:
A\(9x^2+48xy+64y^2\)
B\(9x^2+64y^2\)
C\(3x^2+48xy+8y^2\)
D\(3x^2+8y^2\)
Zadanie polega jedynie na skorzystaniu ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Trzeba tutaj pamiętać, że przykładowo \((3x)^2\) to \(9x^2\) i to jest chyba największa trudność tego zadania. Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$(3x+8y)^2=9x^2+48xy+64y^2$$
Zadanie nr 31 · Matura 2021
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) spełniona jest nierówność \(b(5b-4a)+a^2\ge0\).
Na początek spróbujmy wymnożyć \(b\) przez wartości w nawiasach i uporządkować całe wyrażenie, otrzymując:
$$5b^2-4ab+a^2\ge0$$
$$a^2-4ab+5b^2\ge0$$
Powinniśmy dostrzec, że otrzymany zapis przypomina nieco to, co znamy ze wzorów skróconego mnożenia, ale przeszkadza nam tutaj wartość \(5b^2\). Kluczowym więc manewrem będzie rozpisanie tej liczby jako \(4b^2+b^2\), dzięki czemu otrzymamy:
$$a^2-4ab+4b^2+b^2\ge0$$
Teraz, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) widzimy, że naszą nierówność da się zapisać jako:
$$(a-2b)^2+b^2\ge0$$
Wartość \((a-2b)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, bo jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero. Analogicznie wartość \(b^2\) jest większa lub równa zero. To oznacza, że suma tych dwóch nieujemnych liczb na pewno będzie większa lub równa zero i właśnie to kończy nasze dowodzenie.
Zadanie nr 29 · Próbny 2021
Udowodnij, że dla każdej ujemnej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{x}{9}+\frac{4}{x}\le-\frac{4}{3}\).
Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest większa lub równa \(0\), zatem nasze dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 3 · Próbny 2021
Najmniejsza wartość wyrażenia \((x-y)(x+y)\) dla \(x,y\in\{2,3,4\}\) jest równa:
A\(-12\)
B\(0\)
C\(2\)
D\(24\)
Ze wzorów skróconego mnożenia wynika, że:
$$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$
Powinniśmy dostrzec, że aby wartość tego wyrażenia była jak najmniejsza, to wartość \(x\) musi być jak najmniejsza, natomiast wartość \(y\) jak największa (bo wtedy dużo odejmiemy). Skoro tak, to najmniejszą wartość osiągniemy dla \(x=2\) oraz \(y=4\), a będzie ona równa:
$$2^2-4^2=4-16=-12$$
Zadanie nr 5 · Matura 2021
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((x-1)^2-(2-x)^2\) jest równe:
A\(2x-3\)
B\(2x^2-6x-3\)
C\((2x-3)^2\)
D\(9\)
W tym zadaniu nie chodzi o żadne podstawianie liczb, czy też rozwiązanie równania kwadratowego (bo to nie jest w ogóle równanie, gdyż nie mamy znaku "równa się"). Naszym celem jest po prostu uproszczenie podanego wyrażenia. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
$$(x-1)^2-(2-x)^2=x^2-2x+1-(4-4x+x^2)=$$
$$=x^2-2x+1-4+4x-x^2=2x-3$$
Zadanie nr 30 · Matura 2021
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a\), \(b\) i \(c\) takich, że \(a\lt b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}\lt\frac{a+c}{b+c}\)
Kluczem do tego zadania jest pamiętanie o tym, że rozwiązując nierówności musimy być pewni tego przez jaką liczbę mnożymy obie strony nierówności. Gdyby to była liczba ujemna, to trzeba byłoby zmienić znak na przeciwny.
Z treści zadania wiemy, że liczby \(a\), \(b\) oraz \(c\) są dodatnie, więc możemy bez problemu mnożyć obie strony nierówności właśnie przez te liczby. Zaczynając od pomnożenia obydwu stron przez \(b\) otrzymamy;
$$\frac{a}{b}\lt\frac{a+c}{b+c} \quad\bigg/\cdot b$$
$$a\lt\frac{ab+bc}{b+c} \quad\bigg/\cdot(b+c)$$
$$a\cdot(b+c)\lt ab+bc$$
$$ab+ac\lt ab+bc\quad\bigg/-ab$$
$$ac\lt bc$$
I teraz mamy różne możliwości na zakończenie dowodzenia. Przykładowo:
I sposób:
Mając nierówność \(ac\lt bc\) możemy obustronnie odjąć \(bc\) i otrzymać informację, że:
$$ac-bc\lt0$$
$$c(a-b)\lt0$$
Z treści zadania wiemy, że \(a\lt b\), więc wartość \(a-b\) znajdująca się w nawiasie musi być ujemna. Skoro liczba \(c\) jest dodatnia oraz \(a-b\) jest ujemne, to iloczyn tych dwóch liczb musi być mniejszy od zera, co należało właśnie udowodnić.
II sposób:
Mając postać \(ac\lt bc\) możemy wywnioskować, że skoro \(a\lt b\) i wszystkie liczby są dodatnie, to iloczyn \(ac\) musi być mniejszy od \(bc\), co także należało udowodnić.
III sposób:
Mając postać \(ac\lt bc\) możemy podzielić obie strony przez \(c\), otrzymując \(a\lt b\), co jest prawdą zgodnie z treścią zadania.
Zadanie nr 28 · Matura 2020
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a+b)+b^2\gt3ab\).
Wymnażając nawias i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymamy:
$$a^2+ab+b^2\gt3ab$$
$$a^2-2ab+b^2\gt0$$
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że wartość \(a^2-2ab+b^2\) możemy zwinąć do postaci \((a-b)^2\), zatem zostanie nam nierówność:
$$(a-b)^2\gt0$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Skoro \(a\) oraz \(b\) są różnymi liczbami, to różnica \(a-b\) jest różna od zera. Wiemy zatem, że w nawiasie znalazła nam się liczba różna od zera, którą podnosimy teraz do kwadratu. Jakakolwiek liczba (różna od zera) podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, co kończy nasze dowodzenie.
Zadanie nr 5 · Próbny 2020
Liczba \((2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2\) jest równa:
A\(9\)
B\(3\)
C\(2809\)
D\(28-20\sqrt{7}\)
Można byłoby wykonać potęgowanie jednego i drugiego nawiasu, a potem pomnożyć te wartości między sobą, ale to zadanie da się zrobić znacznie prościej. Wystarczy zauważyć, że:
$$(2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2=\left((2\sqrt{7}-5)\cdot(2\sqrt{7}+5)\right)^2=\left((2\sqrt{7})^2-5^2\right)^2=(28-25)^2=3^2=9$$
Zadanie nr 28 · Próbny 2020
Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(4x+\frac{1}{x}\ge4\).
Aby udowodnić prawdziwość tej nierówności musimy przekształcić naszą nierówność. Na początku na pewno chcielibyśmy pomnożyć obie strony przez \(x\), ale przy nierównościach trzeba być ostrożnym, bowiem mnożąc przez liczby ujemne trzeba zmienić znak nierówności. My wiemy, że \(x\) jest dodatni, zatem możemy śmiało wymnażać, bez zmiany znaku:
$$4x+\frac{1}{x}\ge4 \quad\bigg/\cdot x$$
$$4x^2+1\ge4x$$
$$4x^2-4x+1\ge0$$
$$(2x-1)^2\ge0$$
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do potęgi drugiej daje wynik większy lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 29 · Próbny 2020
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) zachodzi nierówność \(x^2+y^2+11\gt2x+6y\).
Na początek spróbujmy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, otrzymując:
$$x^2+y^2+11-2x-6y\gt0$$
$$x^2-2x+y^2-6y+11\gt0$$
Teraz najtrudniejsza część zadania, która nie ma co ukrywać - wymaga od nas sprawnego wykorzystywania wzorów skróconego mnożenia. Musimy zwinąć odpowiednie wyrazy w taki sposób, by otrzymać kwadrat sumy, czyli postać \((a+b)^2\) lub kwadrat różnicy, czyli postać \((a-b)^2\). Trudność tego zadania jest tym większa, że takiego "zwinięcia" będziemy musieli dokonać dwukrotnie, a jakby tego było mało, to dodatkowo będziemy musieli rozbić liczbę \(11\) na sumę \(9+1+1\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$x^2-2x+y^2-6y+11\gt0$$
$$x^2-2x+1+y^2-6y+9+1\gt0$$
$$(x^2-2x+1)+(y^2-6y+9)+1\gt0$$
$$(x-1)^2+(y-3)^2+1\gt0$$
Wiemy, że jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik większy lub równy \(0\), stąd też na pewno \((x-1)^2\) jest większe lub równe \(0\) oraz \((y-3)^2\) jest także większe lub równe \(0\). Dodatkowe \(+1\) sprawia, że wyrażenie po lewej stronie na pewno jest większe od zera i to należało właśnie udowodnić.
Zadanie nr 1 · Matura 2020
Wartość wyrażenia \(x^2-6x+9\) dla \(x=\sqrt{3}+3\) jest równa:
A\(1\)
B\(3\)
C\(1+2\sqrt{3}\)
D\(1-2\sqrt{3}\)
Aby obliczyć wartość tego wyrażenia wystarczy podstawić w miejsce \(x\) liczbę \(\sqrt{3}+3\). W tym zadaniu skorzystamy przy okazji ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
Równanie \(x(x-2)=(x-2)^2\) w zbiorze liczb rzeczywistych:
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=2\)
Cma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\)
Dma dwa różne rozwiązania: \(x=1\) i \(x=2\)
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) po prawej stronie równania możemy zapisać, że:
$$x(x-2)=(x-2)^2$$
$$x^2-2x=x^2-4x+4$$
$$-2x=-4x+4$$
$$2x=4$$
$$x=2$$
Równanie ma zatem jedno rozwiązanie i jest to \(x=2\).
Zadanie nr 28 · Matura 2020
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a-2b)+2b^2\gt0\).
Kluczem do sukcesu jest rozbicie wartości \(2b^2\) na \(b^2+b^2\). Otrzymamy wtedy następującą sytuacje:
$$a(a-2b)+2b^2\gt0$$
$$a^2-2ab+b^2+b^2\gt0$$
Wyrażenie \(a^2-2ab+b^2\) możemy "zwinąć" korzystając ze wzorów skróconego mnożenia do postaci \((a-b)^2\), co sprawi że otrzymamy:
$$(a-b)^2+b^2\gt0$$
Teraz przeanalizujmy co otrzymaliśmy. Wiemy, że \(a\) oraz \(b\) są różnymi liczbami, zatem \(a-b\) jest na pewno różne od zera. Jakiejkolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, stąd też na pewno wartość \((a-b)^2\) jest większa od zera. Analogicznie możemy stwierdzić, że wartość \(b^2\) będzie większa od zera lub równa zero.
Suma \((a-b)^2\) oraz \(b^2\) musi być więc większa od zera, bo do liczby dodatniej dodajemy liczbę większą lub równą zero i właśnie to należało udowodnić.
Zadanie nr 28 · Matura 2020
Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\) spełniają warunek \(a\lt4\) i \(b\lt4\), to \(ab+16\gt4a+4b\).
Krok 1. Rozpisanie podanej nierówności.
Pierwszą rzeczą, która nasuwa się przy nierówności \(ab+16\gt4a+4b\), jest przeniesienie wszystkich wyrazów na jedną stronę. Tak też właśnie zróbmy, dzięki czemu otrzymamy:
$$ab-4a-4b+16\gt0$$
Powinniśmy teraz zauważyć, że wartość po lewej stronie nierówności da się rozpisać, wyłączając wspólne czynniki przed nawias:
$$ab-4a-4b+16\gt0$$
$$a(b-4)-4(b-4)\gt0$$
$$(a-4)(b-4)\gt0$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(a\lt4\), czyli \(a-4\lt0\). Analogicznie \(b\lt4\), czyli \(b-4\lt0\). Skoro tak, to iloczyn \((a-4)(b-4)\) musi być dodatni, bowiem pomnożenie liczby ujemnej przez ujemną daje wynik większy od zera. To oznacza, że nierówność \((a-4)(b-4)\gt0\) jest jak najbardziej poprawna, co też należało udowodnić.
Zadanie nr 28 · Matura 2019
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(x+\frac{1-x}{x}\ge1\).
Krok 1. Przekształcenie nierówności.
Pierwszą rzeczą jaką chcielibyśmy zrobić to pomnożyć obydwie strony tego równania przez \(x\). Musimy się jednak pochylić nad tym działaniem, bowiem kiedy mnożymy (lub dzielimy) nierówność przez liczbę ujemną to trzeba zmienić znak nierówności. Tutaj akurat tego problemu nie mamy, bo w treści zadania podano, że dowodzenie ma dotyczyć tylko liczb dodatnich. W związku z tym bez obaw możemy obustronnie pomnożyć to wyrażenie przez \(x\):
$$x+\frac{1-x}{x}\ge1 \quad\bigg/\cdot x$$
$$x^2+1-x\ge x$$
$$x^2-2x+1\ge0$$
$$(x-1)^2\ge0$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Każda liczba podniesiona do kwadratu daje nam wynik dodatni lub równy \(0\). Z tego też względu wartość \((x-1)^2\) jest na pewno większa lub równa zero, co kończy nasze dowodzenie.
Zadanie nr 6 · Próbny 2019
Wyrażenie \((3x-y)^2-(x-3y)^2\) jest równe wyrażeniu:
A\(8x^2-8y^2\)
B\(-12xy+8x^2-8y^2\)
C\(8y^2-8x^2\)
D\(-12xy+8x^2+10y^2\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(3x-y)^2-(x-3y)^2=9x^2-6xy+y^2-(x^2-6xy+9y^2)=$$
$$=9x^2-6xy+y^2-x^2+6xy-9y^2=8x^2-8y^2$$
Zadanie nr 29 · Próbny 2019
Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej ujemnej prawdziwa jest nierówność \(9x+\frac{1}{x}\le-6\).
Skoro \(x\) ma być liczbą ujemną, to możemy pomnożyć obydwie strony tej nierówności przez \(x\), pamiętając jednak o tym, żeby zmienić w takiej sytuacji znak na przeciwny. To w zasadzie jest kluczowa pułapka w tym zadaniu. Na sam koniec otrzymane wyrażenie będziemy musieli "zwinąć" korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco:
$$9x+\frac{1}{x}\le-6 \quad\bigg/\cdot x$$
$$9x^2+1\ge-6x$$
$$9x^2+6x+1\ge0$$
$$(3x+1)^2\ge0$$
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik większy lub równy \(0\), to dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 11 · Matura 2019
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)\) jest po uproszczeniu równe:
A\(5x^2-12x-5\)
B\(5x^2-13\)
C\(5x^2-12x+13\)
D\(5x^2+5\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)=$$
$$=9x^2-12x+4-(4x^2-9)=$$
$$=9x^2-12x+4-4x^2+9=$$
$$=5x^2-12x+13$$
Zadanie nr 29 · Matura 2019
Wykaż, że dla każdej liczby \(a\gt0\) i dla każdej liczby \(b\gt0\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\).
Wiemy, że \(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, zatem mnożąc lub dzieląc tę nierówność przez \(a\) oraz \(b\) nie ma obaw, że będziemy mnożyć/dzielić przez liczbę ujemną (co wymuszałoby na nas zmianę znaku nierówności).
Mnożąc to równanie przez \(a\) oraz \(b\) (możemy to dla pewności zrobić powoli, najpierw mnożąc przez \(a\), potem przez \(b\)) otrzymamy:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b} \quad\bigg/\cdot a$$
$$1+\frac{1\cdot a}{b}\ge\frac{4a}{a+b} \quad\bigg/\cdot b$$
$$b+a\ge\frac{4ab}{a+b}$$
$$a+b\ge\frac{4ab}{a+b} \quad\bigg/\cdot(a+b)$$
$$(a+b)\cdot(a+b)\ge4ab$$
$$a^2+2ab+b^2\ge4ab$$
$$a^2-2ab+b^2\ge0$$
$$(a-b)^2\ge0$$
Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu jest większa lub równa zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 28 · Matura 2019
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2-2ab+3b^2\ge0\).
Krok 1. Rozpisanie podanego wyrażenia.
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). W związku z tym możemy rozbić sobie wyrażenie z treści zadania na takie, by jego częściami składowymi był właśnie zapis \(a^2-2ab+b^2\). Całość wyglądałaby następująco:
$$3a^2-2ab+3b^2=a^2-2ab+b^2+2a^2+2b^2=(a-b)^2+2a^2+2b^2$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Przeanalizujmy sobie każdy ze składników powstałej sumy:
\((a-b)^2\) - jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero, bo każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny.
\(2a^2\) - ta liczba też jest na pewno dodatnia lub równa zero, bo \(a^2\) jest na pewno nieujemne, no a liczba nieujemna pomnożona przez \(2\) nadal jest liczbą nieujemną.
\(2b^2\) - podobnie jak \(2a^2\), jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero.
W związku z tym mając dodawanie \((a-b)^2+2a^2+2b^2\) dodajemy do siebie trzy liczby, które są na pewno dodatnie lub równe zero. Stąd też ich suma musi dać wynik większy lub równy \(0\).
Zadanie nr 5 · Matura 2018
Równość \((a+2\sqrt{3})^2=13+4\sqrt{3}\) jest prawdziwa dla:
A\(a=\sqrt{13}\)
B\(a=1\)
C\(a=0\)
D\(a=\sqrt{13}+1\)
I sposób - podstawiając poszczególne odpowiedzi do równania.
Możemy podstawiać po kolei do równania poszczególne odpowiedzi, sprawdzając kiedy lewa strona będzie równa prawej. Rozwiązując to zadanie w ten sposób otrzymamy:
Odp. A. Dla \(a=\sqrt{13}\)
$$(\sqrt{13}+2\sqrt{3})^2=13+2\cdot\sqrt{13}\cdot2\sqrt{3}+4\cdot3=13+4\sqrt{39}+12=25+4\sqrt{39}$$
W tym przypadku nie udało nam się otrzymać wyniku \(13+4\sqrt{3}\).
Odp. B. Dla \(a=1\)
$$(1+2\sqrt{3})^2=1+4\sqrt{3}+4\cdot3=1+4\sqrt{3}+12=13+4\sqrt{3}$$
Otrzymaliśmy dokładnie \(13+4\sqrt{3}\), zatem możemy zaznaczyć, że poszukiwaną liczba jest \(a=1\) i nie musimy już obliczać kolejnych odpowiedzi.
II sposób - przekształcając lewą i prawą stronę równania.
Jeżeli chcemy podejść do zadania nieco bardziej matematycznie, to możemy całość rozwiązać w następujący sposób:
Lewa strona równania:
$$(a+2\sqrt{3})^2=a^2+4\sqrt{3}a+12$$
Prawa strona równania:
$$13+4\sqrt{3}=1+4\sqrt{3}+12$$
Porównując teraz zapisy lewej i prawej strony widzimy wyraźnie, że aby były one sobie równe, to \(a=1\).
Zadanie nr 29 · Matura 2018
Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge4\).
Skoro \(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, to możemy być pewni że dzieląc lub mnożąc obie strony nierówności przez te niewiadome nie będziemy musieli zmieniać znaku nierówności na przeciwny. W związku z tym możemy zacząć przekształcać naszą nierówność. Najlepiej będzie zacząć od wymnożenia wartości w nawiasach:
$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4$$
$$1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4$$
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2 \quad\bigg/\cdot b$$
$$a+\frac{b^2}{a}\ge2b \quad\bigg/\cdot a$$
$$a^2+b^2\ge2ab$$
$$a^2-2ab+b^2\ge0$$
$$(a-b)^2\ge0$$
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 28 · Próbny 2018
Udowodnij, że nierówność \((x^2-3)^2+x^4\ge4\frac{1}{2}\) jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej.
Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Naszym zadaniem będzie przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę oraz umiejętne skorzystanie z wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco:
$$(x^2-3)^2+x^4\ge4\frac{1}{2}$$
$$(x^2-3)^2+x^4-4\frac{1}{2}\ge0$$
$$x^4-6x^2+9+x^4-4\frac{1}{2}\ge0$$
$$2x^4-6x^2+4\frac{1}{2}\ge0 \quad\bigg/\cdot2$$
$$4x^4-12x^2+9\ge0$$
$$(2x^2-3)^2\ge0$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny, to wartość \((2x^2-3)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, zatem faktycznie ta nierówność będzie spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Zadanie nr 27 · Próbny 2018
Wykaż, że jeżeli liczby \(a\) i \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to liczba \(\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2\) jest podzielna przez \(4\).
Krok 1. Rozpisanie liczby z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
Korzystając z wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2=$$
$$=\left(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2\right)-\left(a^2-ab+\frac{1}{4}b^2\right)=$$
$$=a^2+ab+\frac{1}{4}b^2-a^2+ab-\frac{1}{4}b^2=2ab$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Jeżeli liczby \(a\) oraz \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą parzystą. Pomnożenie liczby parzystej przez \(2\) (a pomnożymy ją przez \(2\), bo mamy zapis \(2ab\)) sprawi, że ta liczba na pewno będzie podzielna przez \(4\). W ten sposób dowodzenie można uznać za zakończone.
Zadanie nr 1 · Matura 2018
Dla \(x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1\) oraz \(y=\sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \(x^2-2xy+y^2\) jest równa:
A\(4\)
B\(1\)
C\(\sqrt{2}\)
D\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Krok 1. Uproszczenie liczby \(x\) oraz całości wyrażenia.
Oczywiście możemy to zadanie rozwiązać w taki sposób, że od razu podstawimy do wyrażenia wartości \(x\) oraz \(y\), ale można też podejść do tego nieco sprytniej i zauważyć, że:
$$x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1$$
$$x=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}+1$$
$$x=\frac{2\sqrt{2}}{2}+1$$
$$x=\sqrt{2}+1$$
Uprościć możemy też nasze wyrażenie, wyraźnie widać że jest to po prostu wzór skróconego mnożenia:
$$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$$
Krok 2. Podstawienie liczb do wyrażenia.
Teraz możemy podstawić iksa i igreka do naszego wyrażenia:
$$(x-y)^2=\left(\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1)\right)^2=(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1)^2=(1+1)^2=2^2=4$$
Zadanie nr 28 · Matura 2018
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b}\).
Krok 1. Ustalenie znaku liczb znajdujących się w mianownikach ułamków.
Za chwilę będziemy wykonywali różne operacje na tej nierówności, będziemy mnożyli i dzielili obustronnie, tak aby pozbyć się ułamków. Przy nierównościach musimy być jednak bardzo ostrożni, bowiem mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną będziemy musieli zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też dobrze jest ustalić sobie jaka wartość kryje się pod \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\).
Z założeń wynika, że liczby \(a\) oraz \(b\) mają być dodatnie. W związku z tym wszystkie wyrażenia znajdujące się w mianownikach (czyli \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\)) także będą dodatnie. To oznacza, że mnożąc i dzieląc obustronnie tę nierówność nie będziemy musieli zmieniać znaku na przeciwny.
Krok 2. Przekształcenie nierówności.
Musimy naszą nierówność przekształcić w taki sposób, by finalnie otrzymać dowód na prawdziwość tej nierówności. Najlepiej będzie zacząć od pozbycia się ułamków, możemy to robić krok po kroku, by niczego nie zgubić:
$$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b} \quad\bigg/\cdot2a$$
$$1+\frac{2a}{2b}\ge\frac{4a}{a+b} \quad\bigg/\cdot2b$$
$$2b+2a\ge\frac{8ab}{a+b} \quad\bigg/\cdot (a+b)$$
$$2b(a+b)+2a(a+b)\ge8ab$$
$$2ab+2b^2+2a^2+2ab\ge8ab$$
$$2a^2+2b^2+4ab\ge8ab$$
$$2a^2+2b^2\ge4ab \quad\bigg/:2$$
$$a^2+b^2\ge2ab$$
$$a^2-2ab+b^2\ge0$$
$$(a-b)^2\ge0$$
Z racji tego iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 5 · Matura 2017
Liczba \((2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2\) jest równa:
A\(9\)
B\(3\)
C\(2809\)
D\(28-20\sqrt{7}\)
Można byłoby wykonać potęgowanie jednego i drugiego nawiasu, a potem pomnożyć te wartości między sobą, ale to zadanie da się zrobić znacznie prościej. Wystarczy zauważyć, że:
$$(2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2=\left((2\sqrt{7}-5)\cdot(2\sqrt{7}+5)\right)^2=\left((2\sqrt{7})^2-5^2\right)^2=(28-25)^2=3^2=9$$
Zadanie nr 28 · Matura 2017
Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(4x+\frac{1}{x}\ge4\).
Aby udowodnić prawdziwość tej nierówności musimy przekształcić naszą nierówność. Na początku na pewno chcielibyśmy pomnożyć obie strony przez \(x\), ale przy nierównościach trzeba być ostrożnym, bowiem mnożąc przez liczby ujemne trzeba zmienić znak nierówności. My wiemy, że \(x\) jest dodatni, zatem możemy śmiało wymnażać, bez zmiany znaku:
$$4x+\frac{1}{x}\ge4 \quad\bigg/\cdot x$$
$$4x^2+1\ge4x$$
$$4x^2-4x+1\ge0$$
$$(2x-1)^2\ge0$$
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do potęgi drugiej daje wynik większy lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 23 · Próbny 2017
Jeśli \(x+\frac{1}{x}=6\), to:
A\(x^2+\frac{1}{x^2}=2\sqrt{6}\)
B\(x^2+\frac{1}{x^2}=\sqrt{6}\)
C\(x^2+\frac{1}{x^2}=36\)
D\(x^2+\frac{1}{x^2}=34\)
Widzimy po odpowiedziach, że będziemy musieli przekształcić to nasze wyrażenie w taki sposób, by pojawiły się kwadraty przy iksach, zatem korzystając ze wzorów skróconego mnożenia spróbujmy przekształcić to nasze równanie do poszukiwanej postaci:
$$x+\frac{1}{x}=6 \quad\bigg/^2$$
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=6^2$$
$$x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1^2}{x^2}=36$$
$$x^2+2+\frac{1}{x^2}=36$$
$$x^2+\frac{1}{x^2}=34$$
Zadanie nr 5 · Matura 2017
Równość \((x\sqrt{2}-2)^2=(2+\sqrt{2})^2\) jest:
Aprawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\)
Bprawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\)
Cprawdziwa dla \(x=-1\)
Dfałszywa dla każdej liczby \(x\)
Zadanie jest dość podchwytliwe i wcale nie takim najgorszym pomysłem byłoby po prostu podstawienie wartości z odpowiedzi \(A\), \(B\), \(C\) do tej równości i sprawdzenie (nawet na kalkulatorze stosując przybliżenia) kiedy ta równość będzie prawdziwa. Gdyby żadna nie była prawidłowa to wtedy zaznaczylibyśmy odpowiedź \(D\).
W tym zadaniu chodziło jednak o dostrzeżenie tego, że jeżeli mamy jakąś równość w postaci \(a^2=b^2\) to aby ta równość była prawdziwa to albo \(a=b\), albo \(a=-b\).
Przykładowo: \(5^2=(-5)^2\), czyli w tym przypadku \(a=-b\).
Dzięki temu będziemy mogli pozbyć się potęg i zapisać, że:
$$\color{orange}{(x\sqrt{2}-2)}^2=\color{green}{(2+\sqrt{2})}^2$$
$$\color{orange}{x\sqrt{2}-2}=\color{green}{2+\sqrt{2}} \quad\lor\quad \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=-\color{green}{(2+\sqrt{2})}$$
$$x\sqrt{2}=4+\sqrt{2} \quad\lor\quad x\sqrt{2}-2=-2-\sqrt{2}$$
$$x=\frac{4}{\sqrt{2}}+1 \quad\lor\quad x\sqrt{2}=-\sqrt{2}$$
$$x=\frac{4\sqrt{2}}{2}+1 \quad\lor\quad x=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$
$$x=2\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-1$$
No i właśnie to drugie rozwiązanie było tym, które znalazło się w odpowiedzi \(C\).
Zadanie nr 27 · Próbny 2016
Wykaż, że jeżeli \(x\gt y\) i \(2(x-1)(x+1)-2y(2x-y)=-1\), to \(x-y=\frac{\sqrt{2}}{2}\).
W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:
$$a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)$$
$$50001^2-49999^2=(50001+49999)\cdot(50001-49999)$$
$$50001^2-49999^2=100\;000\cdot2$$
$$50001^2-49999^2=200\;000$$
Zadanie nr 5 · Matura 2016
Najmniejsza wartość wyrażenia \((x-y)(x+y)\) dla \(x,y\in\{2,3,4\}\) jest równa:
A\(2\)
B\(-24\)
C\(0\)
D\(-12\)
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że:
$$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$
Powyższe wyrażenie będzie więc tym mniejsze im \(x\) będzie mniejszy oraz tym mniejsze im \(y\) będzie większy. Zatem pod iksa musimy podstawić jak najmniejszą wartość, czyli \(x=2\), natomiast pod igreka jak najwyższą, czyli \(y=4\). Wartość tego wyrażenia będzie zatem równa:
$$2^2-4^2=4-16=-12$$
Zadanie nr 28 · Matura 2016
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^4+y^4+x^2+y^2\ge2(x^3+y^3)\).
Całość zadania sprowadza się do tego aby wymnożyć wyrazy po prawej stronie, przenieść je na lewą stronę. Następnie kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że powstały zapis można przekształcić, korzystając wzorów skróconego mnożenia:
$$x^4+y^4+x^2+y^2\ge2(x^3+y^3)$$
$$x^4+y^4+x^2+y^2\ge2x^3+2y^3$$
$$x^4+y^4+x^2+y^2-2x^3-2y^3\ge0$$
$$x^4-2x^3+x^2+y^4-2y^3+y^2\ge0$$
$$(x^2-x)^2+(y^2-y)^2\ge0$$
Każda liczba podniesiona do kwadratu będzie dodatnia lub równa zero, a suma dwóch takich liczb da także wartość dodatnią lub równą zero. To oznacza, że nierówność jest prawidłowa, co należało udowodnić.
Zadanie nr 4 · Matura 2016
Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla:
A\(a=3\)
B\(a=1\)
C\(a=-2\)
D\(a=-3\)
Najprościej to zadanie rozwiążemy podstawiając pod \(a\) poszczególne odpowiedzi. Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Prawidłową odpowiedzią będzie oczywiście ta, która spełni nasze równanie. W naszym przypadku tylko \(a=3\) da prawidłowy wynik, bo:
$$(2\sqrt{2}-3)^2=17-12\sqrt{2}$$
$$8-12\sqrt{2}+9=17-12\sqrt{2}$$
$$17-12\sqrt{2}=17-12\sqrt{2}$$
$$L=P$$
Gdyby jednak to zadanie było w części otwartej (bez proponowanych odpowiedzi), to wtedy najlepszym wyjściem byłoby rozbicie liczby \(17\) na sumę \(8+9\), dzięki czemu otrzymalibyśmy:
$$(2\sqrt{2}-a)^2=8-12\sqrt{2}+9$$
$$(2\sqrt{2}-a)^2=(2\sqrt{2}-3)^2$$
$$a=3$$
Zadanie nr 6 · Matura 2015
Wartość wyrażenia \((a+5)^2\) jest większa od wartości wyrażenia \((a^2+10a)\) o:
A\(50\)
B\(10\)
C\(5\)
D\(25\)
Skorzystamy tutaj ze wzorów skróconego mnożenia:
$$(a+5)^2=a^2+2\cdot a\cdot5+5^2=a^2+10a+25$$
Porównując to do wyrażenia \(a^2+10a\) widzimy wyraźnie, że kwadrat obliczonej przed chwilą sumy jest większy o \(25\).
Zadanie nr 30 · Matura 2015
Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\).
Na samym początku przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$x^3+y^3\ge x^2y+xy^2$$
$$x^3-x^2y-xy^2+y^3\ge0$$
Teraz spróbujmy wyłączyć przed nawias odpowiednio \(x^2\) oraz \(y^2\):
$$x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0$$
$$(x^2-y^2)(x-y)\ge0$$
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\), zatem:
$$(x+y)(x-y)(x-y)\ge0$$
$$(x+y)(x-y)^2\ge0$$
Skoro \(x\) oraz \(y\) są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to wartość w pierwszym nawiasie jest na pewno dodatnia lub równa zero. W drugim nawiasie niezależnie od tego czy liczba w nawiasie jest dodatnia czy ujemna, to po podniesieniu jej do potęgi drugiej wynik będzie dodatni lub równy zero. Mamy więc iloczyn dwóch liczb nieujemnych, a ten jest na pewno większy lub równy zero, co należało udowodnić.
Zadanie nr 6 · Matura 2015
Wyrażenie \(9-(y-3)^2\) jest równe:
A\(-y^2+18\)
B\(-y^2+6y\)
C\(-y^2\)
D\(-y^2+6y+18\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że:
$$9-(y-3)^2=9-(y^2-6y+9)=9-y^2+6y-9=-y^2+6y$$
Zadanie nr 30 · Matura 2015
Udowodnij, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3+y^3 \ge x^2y+xy^2\).
Na samym początku przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$x^3+y^3\ge x^2y+xy^2$$
$$x^3-x^2y-xy^2+y^3\ge0$$
Teraz spróbujmy wyłączyć przed nawias odpowiednio \(x^2\) oraz \(y^2\):
$$x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0$$
$$(x^2-y^2)(x-y)\ge0$$
Skoro \(x\) oraz \(y\) są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to wartość w pierwszym nawiasie jest na pewno dodatnia. W drugim nawiasie niezależnie od tego czy liczba w nawiasie jest dodatnia czy ujemna, to po podniesieniu jej do potęgi drugiej wynik będzie dodatni. Mamy więc iloczyn dwóch liczb dodatnich, a ten jest na pewno większy od zera, co należało udowodnić.
Zadanie nr 29 · Próbny 2015
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y\) prawdziwa jest nierówność \(x^2-6x+y^2-4y+13\ge0\).
Aby udowodnić, że nasze wyrażenie jest większe lub równe zero musimy doprowadzić zapis do postaci z potęgowaniem, bowiem jakiejkolwiek liczby byśmy nie podnieśli do potęgi, to będzie ona większa lub równa zero. Będziemy więc chcieli "zwinąć" zapis przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Aby tego dokonać musimy zastosować bardzo sprytny zabieg, a mianowicie musimy rozbić liczbę \(13\) na sumę liczb \(9+4\). Całość będzie wyglądać w następujący sposób:
$$x^2-6x+y^2-4y+13$$
$$x^2-6x+9+y^2-4y+4$$
$$(x-3)^2+(y-2)^2$$
\((x-3)^2\) jest większe lub równe zero oraz \((y-2)^2\) jest większe lub równe zero. Suma dwóch liczb większych lub równych zero jest także większa lub równa zero i właśnie to musieliśmy udowodnić.
Zadanie nr 4 · Matura 2015
Wyrażenie \(3a^2-12ab+12b^2\) może być przekształcone do postaci:
A\(3(a^2-b^2)^2\)
B\(3(a-2b^2)^2\)
C\(3(a-2b)^2\)
D\(3(a+2b)^2\)
Z całego wyrażenia możemy wyłączyć przed nawias trójkę, a powstałą wartość znajdującą się w nawiasie zapiszemy w postaci wzoru skróconego mnożenia. Całość obliczeń wygląda następująco:
$$3a^2-12ab+12b^2=3\cdot(a^2-4ab+4b^2)=3\cdot(a-2b)^2$$
Zadanie nr 29 · Matura 2015
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(3x^2+5y^2-4xy\ge0\).
W udowodnieniu prawidłowości tej nierówności najbardziej przeszkadza nam wyraz \(-4xy\). Gdyby nie on, to mielibyśmy pewność, że to wyrażenie jest większe od zera, bo suma potęg na pewno jest wartością nieujemną. Spróbujmy więc rozbić ten wielomian w taki sposób, by móc zastosować wzory skróconego mnożenia, które "wciągną" nam ten znak minusa. Tak naprawdę można to zrobić na kilka sposobów, a jednym z nich jest:
$$3x^2+5y^2-4xy\ge0$$
$$2x^2+x^2+4y^2+y^2-4xy\ge0$$
$$x^2-4xy+4y^2+2x^2+y^2\ge0$$
$$(x-2y)^2+2x^2+y^2\ge0$$
Po prawej stronie otrzymaliśmy sumę trzech kwadratów. Każdy ze składników tego dodawania jest na pewno nieujemny, bo dowolna liczba podniesiona da wynik większy lub równy zero. To oznacza, że dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 27 · Matura 2015
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4x^2-8xy+5y^2\ge0\).
Do zadania można podejść na kilka sposobów, więc rozważmy sobie dwa najprostsze rozwiązania.
I sposób:
W tej metodzie potraktujemy tę nierówność tak jak każdą inną. To, że znajdują się w niej wartości \(y\) na razie nam nie przeszkadza (potraktujemy je jak zwykłe liczby).
Zastanówmy się teraz jaka jest ta delta. Jakiejkolwiek liczby nie podstawimy pod \(y\) to wartość \(y^2\) będzie dodatnia lub równa zero (gdy \(y=0\)). Pomnożenie tej liczby jeszcze przez \(-16\) sprawi, że wynik zawsze będzie niedodatni (ujemny gdy \(y\neq0\) lub równy zero gdy \(y=0\)). Wniosek z tego taki, że \(Δ\le0\).
Krok 2. Interpretacja otrzymanej delty.
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Skoro \(Δ\le0\), to znaczy że ta funkcja ma maksymalnie jedno miejsce zerowe (gdy \(Δ=0\)), a cała reszta wykresu zawsze będzie przebiegać nad osią \(Ox\). To oznacza, że ta funkcja nigdy nie przyjmie wartości ujemnych, co kończy nasz dowód.
II sposób:
Możemy też spróbować przedstawić tę nierówność przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Gdyby udało nam się powiązać niektóre wyrazy w taki sposób, że dałoby się je pokazać w formie pewnej potęgi, to udowodnilibyśmy, że "coś" podniesione do potęgi jest zawsze większe od zera.
Krok 1. Zapisanie nierówności przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Aby móc tego dokonać musimy rozbić \(5y^2\) na sumę \(4y^2+y^2\), zatem:
$$4x^2-8xy+5y^2\ge0$$
$$4x^2-8xy+4y^2+y^2\ge0$$
$$(2x-2y)^2+y^2\ge0$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Kwadrat liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Niezależnie więc co podstawimy pod \(x\) i \(y\) to \((2x-2y)^2\ge0\) oraz \(y^2\ge0\). Suma dwóch liczb nieujemnych także daje liczbę nieujemną, więc dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 26 · Matura 2015
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4x^2-8xy+5y^2\ge0\).
Do zadania można podejść na kilka sposobów, więc rozważmy sobie dwa najprostsze rozwiązania.
I sposób:
W tej metodzie potraktujemy tę nierówność tak jak każdą inną. To, że znajdują się w niej wartości \(y\) na razie nam nie przeszkadza (potraktujemy je jak zwykłe liczby).
Zastanówmy się teraz jaka jest ta delta. Jakiejkolwiek liczby nie podstawimy pod \(y\) to wartość \(y^2\) będzie dodatnia lub równa zero (gdy \(y=0\)). Pomnożenie tej liczby jeszcze przez \(-16\) sprawi, że wynik zawsze będzie niedodatni (ujemny gdy \(y\neq0\) lub równy zero gdy \(y=0\)). Wniosek z tego taki, że \(Δ\le0\).
Krok 2. Interpretacja otrzymanej delty.
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Skoro \(Δ\le0\), to znaczy że ta funkcja ma maksymalnie jedno miejsce zerowe (gdy \(Δ=0\)), a cała reszta wykresu zawsze będzie przebiegać nad osią \(Ox\). To oznacza, że ta funkcja nigdy nie przyjmie wartości ujemnych, co kończy nasz dowód.
II sposób:
Możemy też spróbować przedstawić tę nierówność przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Gdyby udało nam się powiązać niektóre wyrazy w taki sposób, że dałoby się je pokazać w formie pewnej potęgi, to udowodnilibyśmy, że "coś" podniesione do potęgi jest zawsze większe od zera.
Krok 1. Zapisanie nierówności przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Aby móc tego dokonać musimy rozbić \(5y^2\) na sumę \(4y^2+y^2\), zatem:
$$4x^2-8xy+5y^2\ge0$$
$$4x^2-8xy+4y^2+y^2\ge0$$
$$(2x-2y)^2+y^2\ge0$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Kwadrat liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Niezależnie więc co podstawimy pod \(x\) i \(y\) to \((2x-2y)^2\ge0\) oraz \(y^2\ge0\). Suma dwóch liczb nieujemnych także daje liczbę nieujemną, więc dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 6 · Próbny 2014
Wyrażenie \((3x+1+y)^2\) jest równe:
A\(3x^2+y^2+1\)
B\(9x^2+6x+y^2+1\)
C\(3x^2+y^2+6xy+6x+1\)
D\(9x^2+y^2+6xy+6x+2y+1\)
Wbrew pozorom w tym zadaniu nie chodzi o użycie wzorów skróconego mnożenia, bo tradycyjne wzory związane są z dwoma wyrazami, a tutaj w nawiasie mamy aż trzy wyrazy. Najprościej będzie to po prostu wymnożyć na piechotę, porządkując na koniec cały zapis:
$$(3x+1+y)^2=(3x+1+y)\cdot(3x+1+y)=$$
$$=9x^2+3x+3xy+3x+1+y+3xy+y+y^2=$$
$$=9x^2+y^2+6xy+6x+2y+1$$
Zadanie nr 27 · Matura 2014
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\).
Przekształćmy to równanie w następujący sposób:
$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}$$
$$\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\le\frac{a^2+b^2}{2} \quad\bigg/\cdot4$$
$$a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2$$
$$0\le a^2-2ab+b^2$$
$$0\le (a-b)^2$$
Z racji tego, że kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero, to dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 30 · Matura 2013
Uzasadnij, że jeżeli \(a\) jest liczbą rzeczywistą różną od zera i \(a+\frac{1}{a}=3\), to \(a^2+\frac{1}{a^2}=7\).
To zadanie najprościej jest podnosząc do kwadratu obie strony pierwszej równości:
$$a+\frac{1}{a}=3 \quad\bigg/^{2}$$
$$\left(a+\frac{1}{a}\right)^2=3^2$$
$$a^2+2\cdot a\cdot\frac{1}{a}+\left(\frac{1}{a}\right)^2=9$$
$$a^2+2+\frac{1}{a^2}=9$$
$$a^2+\frac{1}{a^2}=7$$
W ten sposób udało nam się udowodnić tezę zawartą w treści zadania.
Zadanie nr 7 · Matura 2013
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\), wyrażenie \(4x^2-12x+9\) jest równe:
A\((4x+3)(x+3)\)
B\((2x-3)(2x+3)\)
C\((2x-3)(2x-3)\)
D\((x-3)(4x-3)\)
Musimy sprawdzić które z wyrażeń przedstawionych w odpowiedziach \(ABCD\) da nam tą samą wartość co wyrażenie z treści zadania. Jeśli dość sprawnie posługujemy się wzorami skróconego mnożenia, to z pewnością zauważymy że \((2x-3)^2=4x^2-12x+9\), więc od razu można byłoby zaznaczyć trzecią odpowiedź. Jeśli jednak nie dostrzegamy tej zależności lub jeśli nie pamiętamy o tych wzorach, to najprościej będzie wymnożyć poszczególne wyrażenia:
A. \((4x+3)(x+3)=4x^2+12x+3x+9=4x^2+15x+9\)
B. \((2x-3)(2x+3)=4x^2+6x-6x-9=4x^2-9\)
C. \((2x-3)(2x-3)=4x^2-6x-6x+9=4x^2-12x+9\)
D. \((x-3)(4x-3)=4x^2-3x-12x+9=4x^2-15x+9\)
Pasującą odpowiedzią jest więc tylko trzecia.
Zadanie nr 28 · Matura 2013
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y,z\) takich, że \(x+y+z=0\), prawdziwa jest nierówność \(xy+yz+zx\le0\).
Możesz skorzystać z tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\).
Krok 1. Przekształcenie tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\).
W zadaniu skorzystamy z tożsamości podanej w treści zadania. Spróbujemy ją przekształcić w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wartość \(xy+yz+zx\). Zatem:
$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$$
$$(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=2xy+2xz+2yz$$
$$xy+xz+yz=\frac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego równania.
Z treści zadania wiemy, że \(x+y+z=0\), stąd też wartość \((x+y+z)^2\) otrzymana w liczniku jest równa \(0\). Zostaje nam więc tak naprawdę:
$$xy+xz+yz=\frac{-x^2-y^2-z^2}{2}$$
Jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną. Skoro więc przed \(x^2\), \(y^2\) oraz \(z^2\) stoją znaki minusa, to na pewno w liczniku mamy wartość niedodatnią, a to z kolei jest dowodem na to, że \(xy+yz+zx\le0\).
To zadanie można rozwiązać dość szybko korzystając z następującego wzoru skróconego mnożenia:
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Patrząc na ten wzór i na prawą część naszego równania z treści zadania możemy zauważyć, że środkowy wyraz, czyli \(28\sqrt{2}\) to wartość \(2ab\) z naszego wzoru skróconego mnożenia, gdzie \(b=2\sqrt{2}\), bo \(b^2=8\). To z kolei bardzo szybko pozwoli nam odnaleźć prawidłową odpowiedź:
$$2ab=28\sqrt{2}$$
$$ab=14\sqrt{2}$$
$$a\cdot2\sqrt{2}=14\sqrt{2}$$
$$a=7$$
Jeśli jednak tego nie dostrzegliśmy (a nie było to zbyt łatwe do dostrzeżenia), to albo musimy podstawiać do równania po kolei każdą z odpowiedzi, albo po prostu rozwiązać równanie w takiej postaci jaka jest przedstawiona w zadaniu. Jest to rozwiązanie nieco bardziej czasochłonne, ale także doprowadzi nas do poprawnego wyniku:
$$\require{cancel}
(a+2\sqrt{2})^2=a^2+28\sqrt{2}+8$$
$$a^2+2\cdot a\cdot2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2=a^2+28\sqrt{2}+8$$
$$\cancel{a^2}+4\sqrt{2}a+\cancel{8}=\cancel{a^2}+28\sqrt{2}+\cancel{8}$$
$$4\sqrt{2}a=28\sqrt{2} \quad\bigg/:4\sqrt{2}$$
$$a=\frac{28\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$$
$$a=7$$
Zadanie nr 7 · Matura 2011
Dla pewnych liczb \(a\) i \(b\) zachodzą równości: \(a^2-b^2=200\) i \(a+b=8\). Dla tych liczb \(a\) i \(b\) wartość wyrażenia \(a-b\) jest równa:
A\(25\)
B\(16\)
C\(10\)
D\(2\)
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że:
$$a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b)$$
Wiemy, że \(a^2-b^2=200\). Wiemy też, że \(a+b=8\). Podstawiając teraz do powyższego wzoru te dane wyznaczymy wartość wyrażenia \(a-b\), zatem:
$$200=(a-b)\cdot8$$
$$a-b=200:8$$
$$a-b=25$$
Zadanie nr 25 · Matura 2011
Uzasadnij, że jeżeli \(a+b=1\) i \(a^2+b^2=7\), to \(a^4+b^4=31\).
Zadanie wymaga od nas sprawnego posługiwania się wzorami skróconego mnożenia, a kluczem do sukcesu jest tak naprawdę to, aby wpaść na pomysł jak powiązać ze sobą wszystkie informacje z treści zadania.
Krok 1. Rozpisanie wartości \(a^4+b^4\) przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Zgodnie ze wzorem na kwadrat sumy możemy zapisać, że:
$$(a^2+b^2)^2=(a^2)^2+2a^2b^2+(b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2$$
To oznacza, że:
$$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$$
Wartość \(a^2+b^2\) jest równa \(7\), a więc:
$$a^4+b^4=7^2-2a^2b^2$$
$$a^4+b^4=49-2a^2b^2$$
Gdyby teraz udało nam się udowodnić, że \(2a^2b^2\) jest równe \(18\), to otrzymalibyśmy działanie \(49-18\), czyli \(31\), co zakończyłoby dowód.
Krok 2. Podniesienie do kwadratu wyrażenia \(a+b\) i obliczenie wartości \(2a^2b^2\).
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Z treści zadania wiemy, że \(a+b=1\) oraz że \(a^2+b^2=7\), co po podstawieniu do tego wzoru da nam:
$$1^2=7+2ab$$
$$2ab=-6$$
Jesteśmy już bardzo blisko końcowego rozwiązania, bo skoro \(2ab=-6\), to podnosząc obie strony do potęgi drugiej otrzymamy:
$$4a^2b^2=36 \quad\bigg/:2$$
$$2a^2b^2=18$$
Krok 3. Zakończenie dowodu.
Znamy wartość \(2a^2b^2\), więc podstawiając ją do wzoru z pierwszego kroku otrzymamy:
$$a^4+b^4=49-2a^2b^2$$
$$a^4+b^4=49-18=31$$
Ostatecznie udowodniliśmy, że wartość \(a^4+b^4\) jest faktycznie równa \(31\).
Zadanie nr 31 · Matura 2010
Wykaż, że jeżeli \(a\gt0\) i \(b\gt0\) oraz \(\sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2}\), to \(a=b\) lub \(a+b=1\).
Krok 1. Uproszczenie równania i pozbycie się pierwiastka.
Aby udowodnić powyższą tezę przekształćmy nasze równanie, zaczynając od pozbycia się z niego pierwiastka:
$$\sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2}$$
$$a^2+b=a+b^2$$
$$a^2-b^2-a+b=0$$
Krok 2. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), zatem:
$$(a+b)(a-b)-a+b=0$$
Teraz spróbujmy wziąć w nawias ostatnie dwa wyrazy po lewej stronie, uważając na to że musimy zmienić znak, bo przed nawiasem będzie stał minus:
$$(a+b)(a-b)-(a-b)=0$$
$$(a+b)(a-b)-1(a-b)=0$$
Już jesteśmy bardzo blisko rozwiązania tego zadania. Musimy teraz zamienić to równanie na postać iloczynową, wyłączając przed nawias \((a-b)\), zatem:
$$(a-b)(a+b-1)=0$$
Krok 3. Rozwiązanie równania.
Mając postać iloczynową wiemy, że aby to równanie było równe zero, to:
$$a-b=0 \quad\lor\quad a+b-1=0$$
$$a=b \quad\lor\quad a+b=1$$
Otrzymaliśmy wyniki dokładnie takie jak w treści zadania, co kończy nasz dowód.
Zadanie nr 30 · Próbny 2010
Uzasadnij, że jeśli \((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2\), to \(ad=bc\).
Krok 1. Wymnożenie poszczególnych wyrazów.
Wymnażamy po kolei poszczególne wyrazy po lewej stronie, a po prawej stosujemy wzór skróconego mnożenia.
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2$$
$$a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=(ac)^2+2\cdot ac\cdot bd+(bd)^2$$
$$a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=a^2\cdot c^2+2abcd+b^2\cdot d^2$$
Krok 2. Redukcja wyrazów podobnych i uproszczenie zapisu.
Skracamy obie strony równania przez \(a^2\cdot c^2\) oraz przez \(b^2\cdot d^2\).
$$\require{cancel}
\cancel{a^2\cdot c^2}+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+\cancel{b^2\cdot d^2}=\cancel{a^2\cdot c^2}+2abcd+\cancel{b^2\cdot d^2}$$
$$a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2=2abcd$$
Teraz przenosimy wszystkie wartości na lewą stronę:
$$a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2-2abcd=0$$
Zapis ten możemy uprościć do postaci:
$$(ad)^2+(bc)^2-2abcd=0$$
Krok 3. Zapisanie powstałego równania z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
Musimy dostrzec, że powstały zapis możemy przekształcić korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Widać to zwłaszcza wtedy, kiedy powyższe równanie pokażemy w formie \((ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0\). Zatem:
$$(ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0$$
$$(ad-bc)^2=0$$
Krok 4. Obliczenie wartości powstałego równania.
Pierwiastkując obie strony równania otrzymamy:
$$(ad-bc)^2=0 \quad\bigg/\sqrt{}$$
$$ad-bc=0$$
$$ad=bc$$
Zadanie nr 30 · Matura 2010
Uzasadnij, że jeśli \((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2\), to \(ad=bc\).
Krok 1. Wymnożenie poszczególnych wyrazów.
Wymnażamy po kolei poszczególne wyrazy po lewej stronie, a po prawej stosujemy wzór skróconego mnożenia.
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2$$
$$a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=(ac)^2+2\cdot ac\cdot bd+(bd)^2$$
$$a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=a^2\cdot c^2+2abcd+b^2\cdot d^2$$
Krok 2. Redukcja wyrazów podobnych i uproszczenie zapisu.
Skracamy obie strony równania przez \(a^2\cdot c^2\) oraz przez \(b^2\cdot d^2\).
$$\require{cancel}
\cancel{a^2\cdot c^2}+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+\cancel{b^2\cdot d^2}=\cancel{a^2\cdot c^2}+2abcd+\cancel{b^2\cdot d^2}$$
$$a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2=2abcd$$
Teraz przenosimy wszystkie wartości na lewą stronę:
$$a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2-2abcd=0$$
Zapis ten możemy uprościć do postaci:
$$(ad)^2+(bc)^2-2abcd=0$$
Krok 3. Zapisanie powstałego równania z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
Musimy dostrzec, że powstały zapis możemy przekształcić korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Widać to zwłaszcza wtedy, kiedy powyższe równanie pokażemy w formie \((ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0\). Zatem:
$$(ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0$$
$$(ad-bc)^2=0$$
Krok 4. Obliczenie wartości powstałego równania.
Pierwiastkując obie strony równania otrzymamy:
$$(ad-bc)^2=0 \quad\bigg/\sqrt{}$$
$$ad-bc=0$$
$$ad=bc$$
Zadanie nr 30 · Matura 2010
Wykaż, że jeśli \(a\gt0\), to \(\frac{a^2+1}{a+1}\ge\frac{a+1}{2}\).
Krok 1. Doprowadzenie nierówności wymiernej do postaci ogólnej.
Analizujemy sytuację, w której \(a\gt0\). To bardzo ważna informacja, bo dzięki niej mamy pewność, że chcąc pomnożyć obie strony przez \(a+1\) nie zmieni nam się znak nierówności, bo \(a+1\) jest na pewno dodatnie. Przypomnę, że gdybyśmy pomnożyli nierówność przez wartość ujemną, to zmieniłby nam się jej znak. Tutaj takich obaw nie ma, dlatego możemy wymnożyć obie strony równania przez \(a+1\) oraz przez \(2\). Możemy to zrobić za jednym razem, albo też krok po kroku, aby uniknąć niepotrzebnych pomyłek.
$$\frac{a^2+1}{a+1}\ge\frac{a+1}{2} \quad\bigg/\cdot(a+1)$$
$$a^2+1\ge\frac{(a+1)\cdot(a+1)}{2} \quad\bigg/\cdot2$$
$$2a^2+2\ge(a+1)^2$$
$$2a^2+2\ge a^2+2a+1$$
$$a^2-2a+1\ge0$$
Teraz zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:
Sposób I:
Krok 2a. Przekształcenie nierówności przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że \(a^2-2a+1=(a-1)^2\), a więc otrzymamy:
$$(a-1)^2\ge0$$
Krok 3a. Interpretacja wyniku.
Każda liczba (czy to dodatnia, czy to ujemna) podniesiona do potęgi drugiej da nam wartość większą lub równą zero, więc udowodniliśmy że twierdzenie wskazane w zadaniu jest prawdziwe.
Sposób II:
Krok 2b. Wyznaczenie miejsc zerowych nierówności \(a^2-2a+1\ge0\).
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot1=4-4=0$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{0}=0$$
Krok 3b. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola ma ramiona skierowane ku górze, bo współczynnik kierunkowy \(a\) stojący przed wartością \(x^2\) jest dodatni. Wykres będzie więc wyglądał następująco:
Krok 4b. Odczytanie rozwiązania z wykresu i interpretacja wyniku.
Szukamy przedziałów, w których wykres naszej funkcji jest dodatni lub równy zero, czyli kiedy wykres jest nad osią lub na niej. Okazuje się, że każda liczba spełnia warunki naszego zadania, a to oznacza, że udowodniliśmy, że także liczby dodatnie \(a\gt0\) spełniają warunki tej nierówności.
Zadanie nr 6 · Próbny 2009
Wyrażenie \(27x^3+y^3\) jest równe iloczynowi:
A\((3x+y)(9x^2-3xy+y^2)\)
B\((3x+y)(9x^2+3xy+y^2)\)
C\((3x-y)(9x^2+3xy+y^2)\)
D\((3x-y)(9x^2-3xy+y^2)\)
Możemy wymnożyć wyrazy w każdej z poszczególnych odpowiedzi i sprawdzić który wynik będzie równy iloczynowi z treści zadania. My jednak skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia, a dokładniej to ze wzoru na sumę sześcianów:
$$\color{orange}{a^3}+\color{green}{b^3}=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$\color{orange}{27x^3}+\color{green}{y^3}=...$$
Ustalmy sobie co jest naszym wyrazem \(a\) oraz \(b\) w tym wzorze. Na pewno \(b=y\). Ale ile jest równe \(a\)? I tu klasyczna pułapka przy stosowaniu tego wzoru, bowiem \(a\neq27x\). Dlaczego? Ponieważ \((27x)^3=19683x^3\). W naszym przypadku \(a=3x\), bo \((3x)^3=27x^3\). Zatem:
$$27x^3+y^3=(3x+y)((3x)^2-3xy+y^2)$$
$$27x^3+y^3=(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)$$
Zadanie nr 6 · Matura
Wyrażenie \(16-(3x+1)^2\) jest równe:
A\((3-3x)\cdot(5+3x)\)
B\((15-3x)^2\)
C\((5-3x)\cdot(5+3x)\)
D\(15-9x^2\)
Krok 1. Zapisanie podanego wyrażenia w postaci \(a^2-b^2\).
Wbrew pozorom nie jest najlepszym pomysłem wykonanie potęgowania \((3x+1)^2\). Najprościej jest rozwiązać to zadanie zapisując \(16\) jako \(4^2\), otrzymamy wtedy: \(4^2-(3x+1)^2\).
Jeśli teraz zauważymy, że \(a=4\) oraz \(b=3x+1\), to możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
Równanie \(\dfrac{(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-1,5)(x+6)}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych:
Adokładnie jedno rozwiązanie: \(x=2\)
Bdokładnie dwa rozwiązania: \(x=1,5, x=2\)
Cdokładnie trzy rozwiązania: \(x=-6, x=0, x=2\)
Ddokładnie cztery rozwiązania: \(x=-6, x=0, x=1,5, x=2\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do równania. Na matematyce dzielenie przez zero nie istnieje, więc i wartość mianownika musi być różna od zera. W mianowniku mamy równanie zapisane w postaci iloczynowej, zatem wystarczy przyrównać każdy z czynników do zera, czyli:
$$2x\neq0 \quad\land\quad x-1,5\neq0 \quad\land\quad x+6\neq0$$
$$x\neq0 \quad\land\quad x\neq1,5 \quad\land\quad x\neq-6$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość w mianowniku, otrzymamy:
$$\frac{(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-1,5)(x+6)}=0 \quad\bigg/\cdot 2x(x-1,5)(x+6)$$
$$(4x-6)(x-2)^2=0$$
$$4x-6=0 \quad\lor\quad x-2=0$$
$$4x=6 \quad\lor\quad x=2$$
$$x=1,5 \quad\lor\quad x=2$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z naszymi założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=1,5\) musimy odrzucić, bo dla tej wartości otrzymamy zero w mianowniku. To oznacza, że jedynym rozwiązaniem będzie \(x=2\).
Zadanie nr 9 · Matura
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Wyrażenie \(2x^2-1\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \((1-x\sqrt{2})(x\sqrt{2}-1)\). Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((2+x)^3-x^2(x+6)-12x\) jest równa \(8\).
Wyrażenie \(2x^2-1\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \((1-x\sqrt{2})(x\sqrt{2}-1)\).
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((2+x)^3-x^2(x+6)-12x\) jest równa \(8\).
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Możemy oczywiście wymnożyć podane nawiasy i sprawdzić jaki wynik otrzymamy:
$$(1-x\sqrt{2})(x\sqrt{2}-1)=x\sqrt{2}-1-2x^2+x\sqrt{2}=2x^2+2\sqrt{2}x-1$$
Ewentualnie moglibyśmy dostrzec, że to zadanie opiera się na wzorach skróconego mnożenia, a konkretnie chodzi tu o wzór \((a^2-b^2)=(a+b)(a-b)\). W naszym przypadku \(a=x\sqrt{2}\) oraz \(b=1\), więc:
$$2x^2-1=(x\sqrt{2}+1)(x\sqrt{2}-1)$$
Otrzymany wynik nie jest tożsamy z podanym wyrażeniem, więc zdanie jest fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\), otrzymamy:
$$2^3+3\cdot2^2\cdot x+3\cdot2\cdot x^2+x^3-x^3-6x^2-12x=$$
$$=8+12x+6x^2-6x^2-12x=8$$
Zdanie jest więc prawdą.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
