Równanie nie zmienia zbioru rozwiązań, gdy do obu stron dodamy (lub od obu odejmiemy) tę samą liczbę albo pomnożymy (podzielimy) obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.
Schemat rozwiązywania
Usuwamy nawiasy
Przenosimy niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą (zmieniając znak)
Gdy $a=0$: brak rozwiązań ($b\neq0$) albo nieskończenie wiele ($b=0$).
Przykład: $3x-12=0\Rightarrow x=4$.
✍Zadania dodatkowe 39
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Zadanie nr 1
Rozwiązaniem równania $3x-7=8$ jest:
A$x=5$
B$x=\frac13$
C$x=15$
D$x=-5$
Krok 1 — przenosimy wyraz wolny:
$$3x=15$$
Krok 2 — dzielimy przez $3$:
$$x=5$$
Sprawdzenie: $3\cdot5-7=8$ ✔
Odpowiedź: A. $x=5$.
Zadanie nr 2
Rozwiąż równanie $2(x+3)=4x-2$.
Krok 1 — opuszczamy nawias:
$$2x+6=4x-2$$
Krok 2 — grupujemy niewiadome po jednej stronie:
$$6+2=4x-2x \quad\Rightarrow\quad 8=2x$$
Krok 3 — dzielimy:
$$x=4$$
Sprawdzenie: $2\cdot7=14$ oraz $16-2=14$ ✔
Odpowiedź: $x=4$.
Zadanie nr 3
Rozwiąż nierówność $2x-5\lt 7$ i zapisz wynik w postaci przedziału.
Krok 1 — dodajemy $5$ stronami:
$$2x\lt 12$$
Krok 2 — dzielimy przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc znak nierówności zostaje bez zmian:
$$x\lt 6$$
Krok 3 — zapis przedziałowy:
$$x\in(-\infty,\ 6)$$
Odpowiedź: $x\in(-\infty,\ 6)$.
Zadanie nr 4
Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę ujemną:
Azachowujemy znak nierówności
Bodwracamy znak nierówności
Cotrzymujemy nierówność sprzeczną
Dnie wolno tego robić
Mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną odwraca kierunek nierówności:
$$-2x\lt 6 \quad\Longleftrightarrow\quad x>-3$$
Dlaczego tak: na osi liczbowej mnożenie przez liczbę ujemną odbija punkty symetrycznie względem zera, więc porządek się odwraca. Zachodzi $2\lt 5$, ale $-2>-5$.
Odpowiedź: B. odwracamy znak.
Zadanie nr 5
Rozwiąż nierówność $-3x\ge12$.
Dzielimy przez $-3$ i odwracamy znak:
$$x\le-4$$
$$x\in(-\infty,\ -4\rangle$$
Sprawdzenie: dla $x=-5$ mamy $-3\cdot(-5)=15\ge12$ ✔, a dla $x=0$ dostajemy $0\ge12$ — fałsz ✔
Odpowiedź: $x\le-4$.
Zadanie nr 6
Równanie $2x+4=2(x+2)$ ma:
Adokładnie jedno rozwiązanie
Bbrak rozwiązań
Cnieskończenie wiele rozwiązań
Ddokładnie dwa rozwiązania
Krok 1 — opuszczamy nawias po prawej:
$$2x+4=2x+4$$
Krok 2 — odejmujemy $2x$ stronami:
$$4=4$$
Otrzymaliśmy zdanie zawsze prawdziwe, więc równanie spełnia każda liczba rzeczywista. Takie równanie nazywamy tożsamościowym.
Odpowiedź: C. nieskończenie wiele.
Zadanie nr 7
Rozwiąż równanie $\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{4}=2$.
Krok 1 — mnożymy obie strony przez wspólny mianownik $12$:
$$4x-3x=24$$
Krok 2 — redukujemy:
$$x=24$$
Sprawdzenie: $\frac{24}{3}-\frac{24}{4}=8-6=2$ ✔
Wskazówka: mnożenie przez NWW mianowników od razu usuwa wszystkie ułamki — to najszybsza droga w takich równaniach.
Skrót: suma trzech kolejnych liczb to potrojona liczba środkowa, więc od razu $78:3=26$ — a stąd sąsiedzi $25$ i $27$.
Odpowiedź: $25$, $26$, $27$.
Zadanie nr 14
Równanie $|x|=5$ spełniają liczby:
Atylko $5$
Btylko $-5$
C$5$ oraz $-5$
Dżadna
Wartość bezwzględna to odległość od zera, a w odległości $5$ od zera leżą dwa punkty:
$$x=5 \quad\text{lub}\quad x=-5$$
Uwaga: równanie $|x|=-5$ nie ma rozwiązań, bo odległość nigdy nie jest ujemna.
Odpowiedź: C. $5$ oraz $-5$.
Zadanie nr 15
Rozwiąż równanie $5(x-2)-3(x+1)=1$.
Krok 1 — opuszczamy nawiasy:
$$5x-10-3x-3=1$$
Krok 2 — redukujemy lewą stronę:
$$2x-13=1$$
Krok 3 — rozwiązujemy:
$$2x=14 \quad\Rightarrow\quad x=7$$
Sprawdzenie: $5\cdot5-3\cdot8=25-24=1$ ✔
Uwaga na drugi nawias: mnożymy przez $-3$, więc $-3\cdot(+1)=-3$.
Odpowiedź: $x=7$.
Zadanie nr 16
Nierówność $2x>6$ jest równoważna nierówności:
A$x>3$
B$x\lt 3$
C$x>12$
D$x>4$
Dzielimy obie strony przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc znak zostaje:
$$x>3$$
Odpowiedź: A. $x>3$.
Zadanie nr 17
Ojciec ma $42$ lata, a syn $12$. Za ile lat ojciec będzie dwa razy starszy od syna?
Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ będzie szukaną liczbą lat. Za $x$ lat ojciec będzie miał $42+x$, a syn $12+x$.
Krok 2 — równanie:
$$42+x=2(12+x)$$
Krok 3 — rozwiązujemy:
$$42+x=24+2x \quad\Rightarrow\quad 18=x$$
Krok 4 — sprawdzenie. Za $18$ lat ojciec będzie miał $60$ lat, a syn $30$ — i rzeczywiście $60=2\cdot30$ ✔
Uwaga metodyczna. Do obu wieków dodajemy tę samą liczbę lat. Częsty błąd to dodanie $x$ tylko po jednej stronie.
Odpowiedź: za $18$ lat.
Zadanie nr 18
Rozwiąż nierówność podwójną $-3\lt 2x+1\le7$.
Krok 1 — odejmujemy $1$ od wszystkich trzech części:
$$-4\lt 2x\le6$$
Krok 2 — dzielimy wszystko przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc oba znaki zostają:
$$-2\lt x\le3$$
Krok 3 — zapis przedziałowy:
$$x\in(-2,\ 3\rangle$$
Kontrola krańcami. Dla $x=3$: $2\cdot3+1=7$, a warunek dopuszcza równość ✔ Dla $x=-2$: $2\cdot(-2)+1=-3$, ale lewa nierówność jest ostra, więc $-2$ nie należy ✔
Ważne. Każdą operację wykonujemy na wszystkich trzech częściach naraz — nierówność podwójna to skrót zapisu dwóch warunków.
Odpowiedź: $x\in(-2,\ 3\rangle$.
Zadanie nr 19
Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $mx=6$ ma dokładnie jedno rozwiązanie, a dla jakich nie ma żadnego?
Przypadek 1: $m\neq0$. Możemy podzielić obie strony przez $m$:
$$x=\frac{6}{m}$$
Otrzymujemy dokładnie jedno rozwiązanie.
Przypadek 2: $m=0$. Równanie przyjmuje postać:
$$0\cdot x=6 \quad\Rightarrow\quad 0=6$$
To zdanie fałszywe dla każdego $x$, więc równanie jest sprzeczne.
Klucz do zadania. Nie wolno dzielić przez $m$ bez zastrzeżenia, że $m\neq0$ — właśnie przypadek $m=0$ jest tu interesujący. To standardowy schemat w zadaniach z parametrem.
Odpowiedź: jedno rozwiązanie dla $m\neq0$, brak rozwiązań dla $m=0$.
To zdanie fałszywe niezależnie od $x$, więc równanie nie ma rozwiązań — jest sprzeczne.
Dla porównania: gdyby wyszło $5=5$, równanie byłoby tożsamościowe i spełniałaby je każda liczba.
Odpowiedź: C. sprzeczne.
Zadanie nr 5
Rozwiąż równanie $\frac{x}{4}=6$.
Mnożymy obie strony przez $4$:
$$x=24$$
Sprawdzenie: $\frac{24}{4}=6$ ✔
Odpowiedź: $x=24$.
Zadanie nr 6
Równanie $4(x+1)=4x+4$:
Ajest tożsamościowe — spełnia je każda liczba
Bjest sprzeczne
Cma jedno rozwiązanie
Dma dwa rozwiązania
Opuszczamy nawias po lewej stronie:
$$4x+4=4x+4$$
Obie strony są identyczne, więc równość zachodzi dla dowolnego $x$.
Odpowiedź: A. jest tożsamościowe — spełnia je każda liczba.
Zadanie nr 7
Pomyślałem liczbę, pomnożyłem ją przez $3$ i dodałem $7$. Otrzymałem $31$. Jaką liczbę pomyślałem?
Krok 1 — zapisujemy równanie. Niech szukana liczba to $x$:
$$3x+7=31$$
Krok 2 — rozwiązujemy:
$$3x=24 \quad\Rightarrow\quad x=8$$
Sprawdzenie: $8\cdot3+7=31$ ✔
Odpowiedź: liczba $8$.
Zadanie nr 8
Z wzoru na pole prostokąta $P=a\cdot b$ wyznacz $b$. Następnie oblicz $b$, gdy $P=84$ cm$^2$ i $a=12$ cm.
Krok 1 — przekształcamy wzór. Dzielimy obie strony przez $a$:
$$b=\frac{P}{a}$$
Krok 2 — podstawiamy:
$$b=\frac{84}{12}=7\ \text{cm}$$
Odpowiedź: $b=\frac{P}{a}$, w tym przypadku $7$ cm.
Zadanie nr 9
Które przekształcenie równania nie jest równoważne?
Adodanie tej samej liczby do obu stron
Bpomnożenie obu stron przez $3$
Czamiana stron miejscami
Dpomnożenie obu stron przez $0$
Mnożenie przez zero zamienia każde równanie w $0=0$ — traci się wtedy całą informację i pojawiają się rozwiązania, których pierwotne równanie nie miało.
Zasada: wolno mnożyć i dzielić obie strony tylko przez liczbę różną od zera.
Odpowiedź: D. pomnożenie obu stron przez $0$.
Zadanie nr 10
Ojciec ma $38$ lat, a syn $10$ lat. Za ile lat ojciec będzie dwa razy starszy od syna?
Krok 1 — oznaczenie. Niech szukana liczba lat to $x$. Za $x$ lat ojciec będzie miał $38+x$, a syn $10+x$.
Krok 2 — równanie:
$$38+x=2(10+x)$$
Krok 3 — rozwiązujemy:
$$38+x=20+2x \quad\Rightarrow\quad 18=x$$
Sprawdzenie: za $18$ lat ojciec będzie miał $56$, syn $28$, a $56=2\cdot28$ ✔
Odpowiedź: za $18$ lat.
Zadanie nr 11
Rozwiązaniem równania $-3x=21$ jest:
A$7$
B$-7$
C$18$
D$-18$
Dzielimy obie strony przez $-3$:
$$x=\frac{21}{-3}=-7$$
Sprawdzenie: $-3\cdot(-7)=21$ ✔
Odpowiedź: B. $-7$.
Zadanie nr 12
Obwód prostokąta wynosi $46$ cm, a jeden bok jest o $5$ cm dłuższy od drugiego. Oblicz wymiary prostokąta.
Krok 1 — oznaczenia. Krótszy bok to $x$, dłuższy $x+5$.
Krok 4 — odpowiedź na pytanie z treści: chłopców $12$, dziewcząt $12+6=18$.
Sprawdzenie: $12+18=30$ ✔ oraz $18-12=6$ ✔
Odpowiedź: $12$ chłopców i $18$ dziewcząt.
Zadanie nr 18
Rowerzysta wyruszył z miasta A z prędkością $18$ km/h. Dwie godziny później z tego samego miejsca wyruszył motocyklista z prędkością $54$ km/h. Po ilu godzinach jazdy motocyklista dogoni rowerzystę?
Krok 1 — przewaga rowerzysty. Przez $2$ godziny przejechał:
$$18\cdot2=36\ \text{km}$$
Krok 2 — równanie. Niech $t$ to czas jazdy motocyklisty. W chwili spotkania obaj przebyli tę samą drogę od miasta A:
$$54t=36+18t$$
Krok 3 — rozwiązujemy:
$$36t=36 \quad\Rightarrow\quad t=1$$
Sprawdzenie: motocyklista przejedzie $54$ km, a rowerzysta $36+18=54$ km ✔
Odpowiedź: po $1$ godzinie jazdy motocyklisty.
Zadanie nr 19
Pewna liczba powiększona o swoją połowę daje $45$. Jaka to liczba?
Krok 1 — równanie. Niech szukana liczba to $x$:
$$x+\frac{x}{2}=45$$
Krok 2 — mnożymy obie strony przez $2$, żeby pozbyć się ułamka:
Zbiornik napełniany jest przez dwie rury. Pierwsza sama napełniłaby go w $6$ godzin, druga w $3$ godziny. W ile godzin napełnią zbiornik, działając razem?
Krok 1 — wydajności. Zamiast myśleć o czasie, patrzymy, jaką część zbiornika każda rura napełnia w ciągu godziny:
Krok 3 — czas. Skoro razem napełniają pół zbiornika na godzinę, cały zajmie im:
$$t=2\ \text{godziny}$$
Uwaga: nie wolno uśredniać czasów — średnia z $6$ i $3$ dałaby $4{,}5$ godziny, czyli wynik dłuższy niż praca samej drugiej rury. To oczywisty nonsens: dołożenie rury nie może spowolnić napełniania.
Odpowiedź: $2$ godziny.
📄Zadania z arkuszy 81
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 8 · Matura 2026
Dane jest równanie \(3(x+3)(x-m)(2x+4)=0\) gdzie \(x\) jest niewiadomą, natomiast \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa \(0\). Liczba \(m\) jest równa:
A\((-7)\)
B\(2\)
C\(5\)
D\(7\)
Krok 1. Wyznaczenie rozwiązań równania.
Mamy równanie w postaci iloczynowej. Aby iloczyn był równy zero, któryś z czynników musi być równy zero:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-m=0 \quad\lor\quad 2x+4=0$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x=m \quad\lor\quad 2x=-4$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x=m \quad\lor\quad x=-2$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(m\).
Z treści zadania wiemy, że suma tych rozwiązań wynosi \(0\). To prowadzi nas do wniosku, że:
$$-3+m+(-2)=0$$
$$m-5=0$$
$$m=5$$
Zadanie nr 7 · Matura 2025
Równanie \(2x(x+3)(x^2+25)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:
Adwa rozwiązania: \((-3\)) oraz \(0\)
Bdwa rozwiązania: \((-3)\) oraz \(2\)
Ctrzy rozwiązania: \((-5), (-3)\) oraz \(0\)
Dcztery rozwiązania: \((-5), (-3), 0\) oraz \(5\)
Aby wyrażenie po lewej stronie było równe \(0\), to albo to co jest przed nawiasami jest równe \(0\), albo to co w nawiasach musi być równe \(0\). Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$2x=0 \quad\lor\quad x+3=0 \quad\lor\quad x^2+25=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x^2=-25$$
Równanie \(x^2=-25\) nie ma rozwiązań, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu dałaby wynik ujemny. Stąd też jedynymi rozwiązaniami całego równania będą \(-3\) oraz \(0\).
Zadanie nr 7 · Matura 2023
Rozwiąż równanie:
$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0$$
Krok 1. Zapisanie założeń.
Mamy równanie, w którym niewiadoma \(x\) pojawia się w mianowniku ułamka. Zanim więc zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać stosowne założenia, ponieważ wartość mianownika nie może być równa \(0\) (gdyż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\)). Skoro tak, to:
$$(2x-10)(x+3)\neq0$$
Mamy postać iloczynową równania kwadratowego, zatem każdy z nawiasów musi być różny od zera, czyli:
$$2x-10\neq0 \quad\lor\quad x+3\neq0$$
$$2x\neq10 \quad\lor\quad x\neq-3$$
$$x\neq5 \quad\lor\quad x\neq-3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać podane równanie, musimy obydwie strony pomnożyć przez wartość w mianowniku, zatem:
$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0 \quad\bigg/\cdot(2x-10)(x+3)$$
$$(4x+1)(x-5)=0$$
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera:
$$4x+1=0 \quad\lor\quad x-5=0$$
$$4x=-1 \quad\lor\quad x=5$$
$$x=-\frac{1}{4} \quad\lor\quad x=5$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na koniec musimy zweryfikować otrzymane wyniki z zapisanymi założeniami. Widzimy, że rozwiązanie \(x=5\) musimy odrzucić, bo dla tej wartości mianownik był równy \(0\). Skoro tak, to jedynym rozwiązaniem tego zadania będzie \(x=-\frac{1}{4}\).
Zadanie nr 13 · Matura 2023
Rozwiąż równanie \((x-1)^4-5(x-1)^2+6=0\)
Krok 1. Zapisanie równania kwadratowego.
Aby rozwiązać tego typu równanie czwartego stopnia, musimy zapisać, że \(t=(x-1)^2\). Dzięki temu będziemy mogli zapisać równanie z treści zadania jako równanie kwadratowe:
$$(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0$$
$$((x-1)^2)^2-5(x-1)^2+6=0$$
$$t^2-5t+6=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$
Krok 3. Rozwiązanie równania.
W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że \(t=(x-1)^2\). Wiemy już, że \(t=2\) lub \(t=3\), a skoro tak, to:
$$(x-1)^2=2 \quad\lor\quad (x-1)^2=3$$
Otrzymaliśmy dwa równania kwadratowe, w których po prawej stronie nie mamy zera (nie możemy więc przyrównać wartości w nawiasach do zera). Możemy je oczywiście przekształcić do postaci ogólnej i całość obliczyć za pomocą delty, jednak będzie to dość czasochłonne. Tego typu równania najprościej będzie rozwiązać korzystając z wartości bezwzględnej. Pierwiastkując obydwie strony równań, możemy zapisać, że:
$$|x-1|=\sqrt{2} \quad\lor\quad |x-1|=\sqrt{3}$$
$$x-1=\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=\sqrt{3} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{3}$$
$$x=\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=\sqrt{3}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{3}+1$$
Zadanie nr 7 · Matura 2023
Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba:
A\(3\)
B\(2\)
C\(\sqrt{3}\)
D\(\sqrt{2}\)
Mamy równanie w postaci iloczynowej, czyli wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera. Liczba \(\sqrt{3}\) stojąca przed nawiasami niczego nam nie zmienia, moglibyśmy nawet obustronnie całość podzielić przez \(\sqrt{3}\) otrzymując równanie \((x^2-2)(x+3)=0\). Przyrównując zatem wartości w nawiasach do zera, otrzymamy:
$$x^2-2=0 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x^2=2 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-3$$
Widzimy więc, że pasującą odpowiedzią będzie liczba \(\sqrt{2}\).
Zadanie nr 7 · Matura 2023
Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba:
A\(3\)
B\(2\)
C\(\sqrt{3}\)
D\(\sqrt{2}\)
Mamy równanie w postaci iloczynowej, czyli wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera. Liczba \(\sqrt{3}\) stojąca przed nawiasami niczego nam nie zmienia, moglibyśmy nawet obustronnie całość podzielić przez \(\sqrt{3}\) otrzymując równanie \((x^2-2)(x+3)=0\). Przyrównując zatem wartości w nawiasach do zera, otrzymamy:
$$x^2-2=0 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x^2=2 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-3$$
Widzimy więc, że pasującą odpowiedzią będzie liczba \(\sqrt{2}\).
Zadanie nr 7 · Matura 2023
Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba:
A\(3\)
B\(2\)
C\(\sqrt{3}\)
D\(\sqrt{2}\)
Mamy równanie w postaci iloczynowej, czyli wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera. Liczba \(\sqrt{3}\) stojąca przed nawiasami niczego nam nie zmienia, moglibyśmy nawet obustronnie całość podzielić przez \(\sqrt{3}\) otrzymując równanie \((x^2-2)(x+3)=0\). Przyrównując zatem wartości w nawiasach do zera, otrzymamy:
$$x^2-2=0 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x^2=2 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-3$$
Widzimy więc, że pasującą odpowiedzią będzie liczba \(\sqrt{2}\).
Zadanie nr 5 · Matura 2022
Jednym z rozwiązań równania \(5(x+1)-x^2(x+1)=0\) jest liczba:
A\(1\)
B\((-1)\)
C\(5\)
D\((-5)\)
Gdybyśmy wymnożyli te wszystkie nawiasy i uporządkowali zapis, to powstanie nam równanie trzeciego stopnia, którego raczej samodzielnie (na poziomie podstawowym) nie damy rady rozwiązać.
Do zadania można byłoby więc podejść nieco inaczej. Przykładowo można byłoby podstawić każdą z proponowanych odpowiedzi i sprawdzić, kiedy lewa strona równania będzie równa stronie prawej. Najlepszym jednak sposobem będzie dostrzeżenie, że w nawiasach mamy tą samą wartość, czyli \(x+1\), co pozwoli nam na rozwiązanie tego w następujący sposób:
$$5(x+1)-x^2(x+1)=0$$
$$(5-x^2)\cdot(x+1)=0$$
Teraz postępujemy tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$5-x^2=0 \quad\lor\quad x+1=0$$
$$x^2=5 \quad\lor\quad x=-1$$
$$x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-1$$
Samo równanie ma więc trzy rozwiązania, a w proponowanych odpowiedziach znalazła się odpowiedź \(x=-1\).
Zadanie nr 7 · Matura 2022
Suma wszystkich rozwiązań równania \((2x-1)(2x-2)(x+2)=0\) jest równa:
A\(\left(-\frac{7}{2}\right)\)
B\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(1\)
W tym zadaniu musimy postąpić tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera. W związku z tym:
$$2x-1=0 \quad\lor\quad 2x-2=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$2x=1 \quad\lor\quad 2x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
$$x=\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1 \quad\lor\quad x=-2$$
Suma rozwiązań tego równania wynosi więc:
$$\frac{1}{2}+1+(-2)=-\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 32 · Matura 2022
Rozwiąż równanie \(\dfrac{4}{x+2}=x-1\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Równanie ma w mianowniku niewiadomą \(x\), więc musimy zapisać odpowiednie założenia. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, więc wartość mianownika musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x+2\neq0$$
$$x\neq-2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązywania równania, a zaczniemy od wymnożenia obydwu stron przez \(x+2\), otrzymując:
$$\frac{4}{x+2}=x-1 \quad\bigg/\cdot(x+2)$$
$$4=(x-1)\cdot(x+2)$$
$$4=x^2+2x-x-2$$
$$4=x^2+x-2$$
$$x^2+x-6=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, więc z pomocą przyjdzie nam delta:
Krok 4. Weryfikacja wyniku.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania: \(x=-3\) oraz \(x=2\), ale musimy jeszcze sprawdzić, czy te rozwiązania nie wykluczają się z założeniami. W tym przypadku wszystko jest w porządku, żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, więc możemy stwierdzić, że podane równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-3\) oraz \(x=2\).
Zadanie nr 6 · Próbny 2022
Rozwiąż równanie
$$3x^3-6x^2-27x+54=0$$
Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania:
$$3x^3-6x^2-27x+54=0$$
$$x^2(3x-6)-9(3x-6)=0$$
$$(x^2-9)\cdot(3x-6)=0$$
Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-9=0 \quad\lor\quad 3x-6=0$$
$$x^2=9 \quad\lor\quad 3x=6$$
$$x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=2$$
Zadanie nr 8 · Matura 2022
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy:
A\(-3\)
B\(3\)
C\(0\)
D\(9\)
Chcąc rozwiązać podane równanie, wystarczy zachować się tak, jak przy postaci iloczynowej - czyli wystarczy przyrównać odpowiednie wartości do zera, zatem:
$$2x=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \quad\lor\quad x+1=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x^2=9 \quad\lor\quad x=-1$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-1$$
Iloczyn tych wszystkich rozwiązań będzie równy:
$$0\cdot3\cdot(-3)\cdot(-1)=0$$
Zadanie nr 5 · Matura 2021
Liczba \((-2)\) jest rozwiązaniem równania:
A\(x^2+4=0\)
B\(\frac{x+2}{2}=1\)
C\(\frac{x}{x+2}=0\)
D\(x^2(x+2)+2(x+2)=0\)
Do zadania możemy podejść na różne sposoby, możemy wręcz wszędzie podstawić \(x=-2\) i sprawdzić, kiedy lewa i prawa strona równania będą sobie równe. Spróbujmy jednak przeanalizować szybko każde z równań, bo są one dość proste:
Odp. A. Tutaj przenosząc \(4\) na drugą stronę otrzymalibyśmy równanie \(x^2=-4\), a więc widzimy, że to równanie nie ma w ogóle rozwiązań (bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu dałaby ujemny wynik).
Odp. B. Mnożąc obydwie strony równania przez 2 otrzymamy \(x+2=2\), czyli \(x=0\).
Odp. C. Tutaj liczba \(-2\) na pewno nie jest rozwiązaniem, co wynika wprost z samych założeń - wartość w mianowniku musi być różna od zera, stąd też \(x+2\neq0\), czyli \(x\neq-2\).
Odp. D. Tutaj faktycznie otrzymamy interesujące nas rozwiązanie, a oto dowód:
$$x^2(x+2)+2(x+2)=0$$
$$(x^2+2)(x+2)=0$$
$$x^2+2=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$x^2=-2 \quad\lor\quad x=-2$$
Z równania \(x^2=-2\) nie będziemy mieć rozwiązań, ale z \(x+2=0\) wyszło nam, że \(x=-2\) i właśnie dlatego odpowiedź D będzie tutaj poprawna.
Zadanie nr 30 · Matura 2021
Rozwiąż równanie \(\frac{x+8}{x-7}=2x\)
Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\) to nasz mianownik musi być różny od zera i właśnie z tego względu, musimy zapisać założenia do równania. W związku z tym:
$$x-7\neq0$$
$$x\neq7$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Wymnażając obydwie strony równania przez \(x-7\), otrzymamy:
$$\frac{x+8}{x-7}=2x \quad\bigg/\cdot(x-7)$$
$$x+8=2x^2-14x$$
$$-2x^2+15x+8=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Podczas rozwiązywania powstało nam równanie kwadratowe, które możemy rozwiązać tradycyjną metodą delty.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=15,\;c=8\)
$$Δ=b^2-4ac=15^2-4\cdot(-2)\cdot8=225-(-64)=225+64=289$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{289}=17$$
Obydwa rozwiązania nie wykluczają się z naszymi założeniami, zatem obydwa równania są poprawne, czyli \(x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=8\).
Zadanie nr 6 · Próbny 2021
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2(x-4)(x^2-1)=0\) jest równy:
A\(-8\)
B\(-4\)
C\(4\)
D\(8\)
Krok 1. Rozwiązanie równania.
Rozwiązywanie takich równań odbywa się dokładnie tak, jak robimy to przy postaci iloczynowej, czyli każdą wartość w nawiasie musimy przyrównać do zera. W związku z tym:
$$x-4=0 \quad\lor\quad x^2-1=0$$
$$x=4 \quad\lor\quad x^2=1$$
$$x=4 \quad\lor\quad x=1 \quad\lor\quad x=-1$$
Krok 2. Wyznaczenie iloczynu wszystkich rozwiązań równania.
Na koniec musimy jeszcze wyznaczyć iloczyn, czyli pomnożyć przez siebie wszystkie otrzymane wyniki:
$$4\cdot1\cdot(-1)=-4$$
Zadanie nr 30 · Próbny 2021
Rozwiąż równanie: \(\frac{6x-1}{3x-2}=3x+2\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Jak to w równaniach wymiernych zazwyczaj bywa - musimy zacząć od wypisania założeń. Wartość w mianowniku nie może być równa zero, stąd też:
$$3x-2\neq0$$
$$3x\neq2$$
$$x\neq\frac{2}{3}$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Rozwiązywanie najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron równania przez to, co znalazło się w mianowniku, czyli \(3x-2\), zatem:
$$\frac{6x-1}{3x-2}=3x+2 \quad\bigg/\cdot(3x-2)$$
$$6x-1=(3x+2)(3x-2)$$
Po prawej stronie otrzymaliśmy mnożenie, w którym możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Możemy więc zapisać, że:
$$6x-1=(3x)^2-2^2$$
$$6x-1=9x^2-4$$
$$9x^2-6x-3=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem korzystając z delty możemy zapisać, że:
Współczynniki: \(a=9,\;b=-6,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot9\cdot(-3)=36-(-108)=36+108=144$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymane wyniki nie wykluczają się z założeniami. W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że \(x\neq\frac{2}{3}\) i akurat w tym przypadku to założenie nie wpływa na rozwiązanie zadania. Możemy więc zapisać, że rozwiązaniem naszego równania są dwie liczby: \(x=-\frac{1}{3}\) oraz \(x=1\).
Zadanie nr 10 · Próbny 2021
Suma wszystkich rozwiązań równania \((x^3+8)(x^2-9)=0\) jest równa:
A\(5\)
B\(2\)
C\(1\)
D\(-2\)
Aby rozwiązać to równanie, musimy działać dokładnie tak jak przy standardowym równaniu zapisanym w postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera. W związku z tym:
$$x^3+8=0 \quad\lor\quad x^2-9=0$$
$$x^3=-8 \quad\lor\quad x^2=9$$
$$x=-2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Naszym celem jest poznanie sumy wszystkich rozwiązań, zatem:
$$-2+3+(-3)=-2$$
Zadanie nr 7 · Matura 2021
Rozwiązaniem równania \(x\sqrt{3}+2=2x-8\) jest liczba:
A\(10(2+\sqrt{3})\)
B\(\frac{10}{\sqrt{3}-2}\)
C\(10(\sqrt{3}-2)\)
D\(\frac{\sqrt{3}+10}{2}\)
Przenosząc "iksy" na jedną stronę oraz liczby na drugą, otrzymamy:
$$x\sqrt{3}+2=2x-8$$
$$x\sqrt{3}-2x=-8-2$$
$$x\sqrt{3}-2x=-10$$
Jak rozwiązać tego typu równanie? Musimy po lewej stronie wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. Wspólnym czynnikiem \(x\sqrt{3}\) oraz \(-2x\) jest oczywiście \(x\), zatem:
$$x\sqrt{3}-2x=-10$$
$$x(\sqrt{3}-2)=-10$$
$$x=\frac{-10}{\sqrt{3}-2}$$
Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika.
Obliczony przed chwilą wynik jest jak najbardziej poprawny, ale nie znalazł się on w proponowanych odpowiedziach. To dlatego, że powinniśmy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika. W tym celu musimy licznik oraz mianownik pomnożyć przez \(\sqrt{3}+2\) (uwaga na znaki!), dzięki czemu w mianowniku otrzymamy wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). W związku z tym:
$$x=\frac{-10}{\sqrt{3}-2}$$
$$x=\frac{-10\cdot(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)\cdot(\sqrt{3}+2)}$$
$$x=\frac{-10\sqrt{3}-20}{3-4}$$
$$x=\frac{-10\sqrt{3}-20}{-1}$$
$$x=10\sqrt{3}+20=10(\sqrt{3}+2)=10(2+\sqrt{3})$$
Zadanie nr 32 · Matura 2021
Rozwiąż równanie: \(\frac{3x+2}{3x-2}=4-x\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Rozwiązywanie zadania powinniśmy zacząć od zapisania założeń. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, więc wartość z mianownika powinna być różna od zera. W związku z tym:
$$3x-2\neq0$$
$$3x\neq2$$
$$x\neq\frac{2}{3}$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Rozwiązywanie najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron przez wartość z mianownika, czyli przez \(3x-2\). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{3x+2}{3x-2}=4-x \quad\bigg/\cdot(3x-2)$$
$$3x+2=(4-x)(3x-2)$$
$$3x+2=12x-8-3x^2+2x$$
$$3x+2=-3x^2+14x-8$$
$$3x^2-11x+10=0$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Wyszło nam, że \(x=\frac{5}{3}\) oraz \(x=2\), ale to nie koniec zadania. Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymane wyniki nie wykluczają się przypadkiem z założeniami z pierwszego kroku. W tym przypadku tak się nie stało, więc obydwa rozwiązania są jak najbardziej prawidłowe. Stąd też możemy zapisać, że ostatecznymi rozwiązaniami równania są \(x=\frac{5}{3}\) oraz \(x=2\).
Zadanie nr 30 · Matura 2020
Rozwiąż równanie \((x^3+8)(x^2-9)=0\).
To równanie możemy potraktować tak samo, jak standardowe równanie w postaci iloczynowej, czyli możemy przyrównać wartości w nawiasach do zera. Otrzymamy zatem:
$$x^3+8=0 \quad\lor\quad x^2-9=0$$
$$x^3=-8 \quad\lor\quad x^2=9$$
$$x=-2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Zapisując to bardziej przejrzyście możemy powiedzieć, że równanie ma trzy rozwiązania: \(x=-3, x=-2, x=3\).
Zadanie nr 27 · Próbny 2020
Rozwiąż równanie \((x^2-6)(3x+2)=0\).
Równanie jest przedstawione w wygodnej postaci iloczynowej. Całe równanie będzie równe zero wtedy, gdy w jednym z nawiasów otrzymamy zero, zatem:
$$(x^2-6)(3x+2)=0$$
$$x^2-6=0 \quad\lor\quad 3x+2=0$$
$$x^2=6 \quad\lor\quad 3x=-2$$
$$x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3}$$
Zadanie nr 8 · Próbny 2020
Równanie \((x^2-1)\cdot(x^2+5x)=0\) ma:
Atrzy rozwiązania, których suma jest równa \(5\)
Bcztery rozwiązania, których suma jest równa \(5\)
Ctrzy rozwiązania, których suma jest równa \(-5\)
Dcztery rozwiązania, których suma jest równa \(-5\)
Choć nie jest to klasyczne równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, to możemy je rozwiązać właśnie tak jak postać iloczynową, czyli przyrównując wartości w nawiasach do zera. Otrzymamy wtedy:
$$x^2-1=0 \quad\lor\quad x^2+5x=0$$
$$x^2=1 \quad\lor\quad x(x+5)=0$$
$$x=1 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=0 \quad\lor\quad x+5=0$$
$$x=1 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=0 \quad\lor\quad x=-5$$
To oznacza, że nasze równanie ma cztery rozwiązania, a ich suma jest równa:
$$1+(-1)+0+(-5)=-5$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2020
Wspólnym pierwiastkiem równania \(3x(x+\frac{2}{3})(2x-5)=0\) oraz równania \(\frac{2x-5}{3x+2}=0\) jest liczba:
A\(\frac{2}{3}\)
B\(-\frac{2}{3}\)
C\(2,5\)
D\(-2,5\)
Krok 1. Rozwiązanie pierwszego równania.
Na początek rozwiążmy pierwsze równanie. Traktujemy je tak samo jak równanie w postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy odpowiednie wartości do zera:
$$3x=0 \quad\lor\quad x+\frac{2}{3}=0 \quad\lor\quad 2x-5=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad 2x=5$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=2,5$$
Krok 2. Rozwiązanie drugiego równania.
Jest to przykład równania wymiernego w którym niewiadoma \(x\) pojawia się w mianowniku ułamka, zatem zanim zaczniemy liczyć, musimy zapisać założenia. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to mianownik musi być różny od zera, więc:
$$3x+2\neq0$$
$$3x\neq-2$$
$$x\neq-\frac{2}{3}$$
Dopiero teraz możemy przystąpić do obliczeń, a zaczniemy standardowo od wymnożenia obydwu stron przez wartość z mianownika:
$$\frac{2x-5}{3x+2}=0 \quad\bigg/\cdot(3x+2)$$
$$2x-5=0$$
$$2x=5$$
$$x=2,5$$
Otrzymane rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, więc możemy uznać, że rozwiązaniem tego równania jest \(x=2,5\).
Krok 3. Ustalenie wspólnych rozwiązań.
Wspólny pierwiastek to tak naprawdę wspólne rozwiązanie jednego i drugiego równania. Widzimy, że takim rozwiązaniem jest jedynie \(x=2,5\) i to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.
Zadanie nr 6 · Matura 2020
Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x-3)(x+2)=0\) jest równa:
A\(0\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(3\)
Krok 1. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać to równanie musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera (iksa przed nawiasem także przyrównujemy do zera):
$$x(x-3)(x+2)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-2$$
Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich rozwiązań.
Zgodnie z poleceniem musimy jeszcze zsumować wszystkie rozwiązania, zatem:
$$0+3+(-2)=1$$
Zadanie nr 27 · Matura 2020
Rozwiąż równanie \((x^2-1)(x^2-2x)=0\).
Aby rozwiązać to równanie musimy zachowywać się tak jak przy postaci iloczynowej - czyli musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$x^2-1=0 \quad\lor\quad x^2-2x=0$$
Powstały nam do rozwiązania dwa proste równania (można je obliczyć bez wyznaczania delty). Rozpatrzmy każde z nich osobno.
Równanie \(x^2-1=0\) możemy rozwiązać niemalże w pamięci, przenosząc jedynkę na prawą stronę:
$$x^2-1=0$$
$$x^2=1$$
$$x=1 \quad\lor\quad x=-1$$
To oznacza, że całe nasze równanie ma aż cztery rozwiązania: \(x=-1 \lor x=0 \lor x=1 \lor x=2\).
Zadanie nr 4 · Matura 2019
Równanie \(x(5x+1)=5x+1\) ma dokładnie:
Ajedno rozwiązanie: \(x=1\)
Bdwa rozwiązania: \(x=1\) i \(x=-1\)
Cdwa rozwiązania: \(x=-\frac{1}{5}\) i \(x=1\)
Ddwa rozwiązania: \(x=\frac{1}{5}\) i \(x=-1\)
Możemy to równanie rozwiązać w standardowy sposób wymnażając iksa przez wartość w nawiasie i przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę. Otrzymamy wtedy równanie kwadratowe \(5x^2-4x-1=0\), które rozwiążemy klasyczną deltą. Wyjdzie nam wtedy, że \(Δ=36\), co doprowadzi nas do dwóch rozwiązań: \(x_{1}=-\frac{1}{5}\) oraz \(x_{2}=1\).
Jednak to zadanie da się zrobić nieco sprytniej w następujący sposób:
$$x(5x+1)=5x+1$$
$$x(5x+1)-5x-1=0$$
$$x\cdot(5x+1)-1\cdot(5x+1)=0$$
$$(x-1)(5x+1)=0$$
Aby wartość tego równania była równa \(0\), to któryś z nawiasów musi nam to równanie wyzerować, zatem:
$$x-1=0 \quad\lor\quad 5x+1=0$$
$$x=1 \quad\lor\quad 5x=-1$$
$$x=1 \quad\lor\quad x=-\frac{1}{5}$$
To oznacza, że nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-\frac{1}{5}\) i \(x=1\).
Zadanie nr 26 · Matura 2019
Rozwiąż równanie \((x^2-16)(x^3-1)=0\).
Aby to równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z nawiasów musi być równa \(0\). W związku z tym:
$$x^2-16=0 \quad\lor\quad x^3-1=0$$
$$x^2=16 \quad\lor\quad x^3=1$$
$$x=4\quad\lor\quad x=-4 \quad\lor\quad x=1$$
Zadanie nr 8 · Próbny 2019
Iloczyn wszystkich pierwiastków równania \((2x-3)(x^2+2x)=0\) jest równy:
A\(-\frac{4}{3}\)
B\(0\)
C\(3\)
D\(-3\)
Krok 1. Rozwiązanie równania.
Na początek ustalmy co to są pierwiastki równania. To nic innego jak po prostu rozwiązania tego równania. To ważne, by nie mylić tego pojęcia ze standardowymi pierwiastkami, ani tym bardziej by nie wyliczać później pierwiastków z otrzymanych rozwiązań.
Przejdźmy zatem do rozwiązania równania. Aby wartość tego równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi być równy zero. Możemy więc zapisać, że:
$$2x-3=0 \quad\lor\quad x^2+2x=0$$
$$2x=3 \quad\lor\quad x(x+2)=0$$
$$x=1\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$x=1\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=0 \quad\lor\quad x=-2$$
Oczywiście równanie \(x^2+2x=0\) moglibyśmy rozwiązać także metodą liczenia delty (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), jednakże sposób z wyłączeniem iksa przed nawias był znacznie prostszy.
Krok 2. Obliczenie iloczynu pierwiastków równania.
Jak już sobie powiedzieliśmy - pierwiastkami równania są po prostu rozwiązania, które przed chwilą otrzymaliśmy. Zgodnie z treścią zadania musimy podać jeszcze iloczyn tych rozwiązań, zatem:
$$1\frac{1}{2}\cdot0\cdot(-2)=0$$
Zadanie nr 11 · Próbny 2019
Rozwiązaniem równania \((2x-5)(3x+2)=(3x+2)(x+5)\) są liczby:
A\(-\frac{2}{3}\) i \(10\)
B\(-5\) i \(2,5\)
C\(-5\), \(-\frac{2}{3}\) i \(2,5\)
D\(-5\) i \(10\)
Nie możemy podzielić obydwu stron równania przez \((3x+2)\), bo nie mamy pewności, że przypadkiem nie podzielimy tego równania przez \(0\). To równanie należy rozwiązać w następujący sposób:
$$(2x-5)(3x+2)=(3x+2)(x+5)$$
$$(2x-5)(3x+2)-(3x+2)(x+5)=0$$
$$(3x+2)\cdot[(2x-5)-(x+5)]=0$$
$$(3x+2)\cdot[(2x-5)-x-5]=0$$
$$(3x+2)\cdot(x-10)=0$$
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci iloczynowej. Aby to równanie było równe \(0\), to któryś z nawiasów musi nam to równanie wyzerować, zatem:
$$3x+2=0 \quad\lor\quad x-10=0$$
$$3x=-2 \quad\lor\quad x=10$$
$$x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=10$$
Zadanie nr 26 · Matura 2019
Rozwiąż równanie \((x^3-8)(x^2-4x-5)=0\).
Aby wartość tego równania była równa \(0\), to któryś z nawiasów musi być równy zero. Możemy więc zapisać, że:
$$x^3-8=0 \quad\lor\quad x^2-4x-5=0$$
Obliczmy więc każde z równań oddzielnie:
I równanie:
\(x^3-8=0\)
\(x^3=8\)
\(x=2\)
II równanie:
Jest to równanie w postaci ogólnej, zatem możemy tutaj skorzystać z delty:
$$Δ=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)=16-(-20)=36$$
$$\sqrt{Δ}=6$$
$$x_{1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$
$$x_{2}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$$
W związku z tym to równanie ma trzy rozwiązania: \(x=2\), \(x=-1\) oraz \(x=5\).
Zadanie nr 27 · Matura 2018
Rozwiąż równanie \((x^3+27)(x^2-16)=0\).
Równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej, zatem aby całość była równa zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym:
$$(x^3+27)(x^2-16)=0$$
$$x^3+27=0 \quad\lor\quad x^2-16=0$$
$$x^3=-27 \quad\lor\quad x^2=16$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x=4 \quad\lor\quad x=-4$$
Zadanie nr 7 · Próbny 2018
Równanie \(3x(x^2+1)(x^3+8)=0\) ma dokładnie:
Ajedno rozwiązanie rzeczywiste
Bdwa rozwiązania rzeczywiste
Ctrzy rozwiązania rzeczywiste
Dcztery rozwiązania rzeczywiste
Chcąc rozwiązać to równanie musimy przyrównać poszczególne wartości do zera, zatem:
$$3x=0 \quad\lor\quad x^2+1=0 \quad\lor\quad x^3+8=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \quad\lor\quad x^3=-8$$
$$x=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \quad\lor\quad x=-2$$
Z równania \(x^2=-1\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje liczba, która podniesiona do kwadratu dałaby ujemny wynik. Z tego też względu nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=-2\).
Zadanie nr 27 · Matura 2018
Rozwiąż równanie \((x^3+125)(x^2-64)=0\).
Równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej, zatem aby całość była równa zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym:
$$(x^3+125)(x^2-64)=0$$
$$x^3+125=0 \quad\lor\quad x^2-64=0$$
$$x^3=-125 \quad\lor\quad x^2=64$$
$$x=-5 \quad\lor\quad x=8 \quad\lor\quad x=-8$$
Zadanie nr 27 · Matura 2017
Rozwiąż równanie \((x^2-6)(3x+2)=0\).
Równanie jest przedstawione w wygodnej postaci iloczynowej. Całe równanie będzie równe zero wtedy, gdy w jednym z nawiasów otrzymamy zero, zatem:
$$(x^2-6)(3x+2)=0$$
$$x^2-6=0 \quad\lor\quad 3x+2=0$$
$$x^2=6 \quad\lor\quad 3x=-2$$
$$x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3}$$
Zadanie nr 10 · Matura 2017
Równanie \(x(x-3)(x^2+25)=0\) ma dokładnie:
Acztery rozwiązania: \(x=0, x=3, x=5, x=-5\)
Btrzy rozwiązania: \(x=3, x=5, x=-5\)
Cdwa rozwiązania: \(x=0, x=3\)
Djedno rozwiązanie: \(x=3\)
Równanie jest przedstawione w postaci iloczynowej, zatem aby równanie było równe zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym:
$$x(x-3)(x^2+25)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2+25=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-25$$
Z racji tego iż nie ma możliwości by liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu dała wynik ujemny, to z równania \(x^2=-25\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań. To oznacza, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=0 \lor x=3\).
Zadanie nr 8 · Matura 2017
Równanie \(x(x^2-4)(x^2+4)=0\) z niewiadomą \(x\):
Anie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych
Bma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
Cma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
Dma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych
Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, zatem aby jego wartość była równa zero to któryś z czynników musi nam wyzerować to równanie:
$$x(x^2-4)(x^2+4)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+4=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x^2=4 \quad\lor\quad x^2=-4$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-4$$
Z równania \(x^2=-4\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu, która dałaby ujemny wynik. Zatem nasze równanie z niewiadomą \(x\) ma trzy rozwiązania: \(x=0\), \(x=2\) oraz \(x=-2\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2016
Suma pierwiastków równania \((x-2)(x+1)(x-3)=0\) jest równa:
A\(-6\)
B\(-4\)
C\(0\)
D\(4\)
Pierwiastki równania to tak naprawdę rozwiązania równania. Nasze równanie jest zapisane w postaci iloczynowej, zatem aby jego wartość była równa zero, to któryś z nawiasów musi dać wartość równą zero, zatem:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+1=0 \quad\lor\quad x-3=0$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=3$$
Suma pierwiastków (czyli rozwiązań) jest równa:
$$2-1+3=4$$
Zadanie nr 19 · Matura 2016
Do pewnej liczby \(a\) dodano \(54\). Otrzymaną sumę podzielono przez \(2\). W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większa od liczby \(a\). Zatem:
A\(a=27\)
B\(a=18\)
C\(a=24\)
D\(a=36\)
Treść zadania możemy przedstawić w formie następującego równania:
$$(a+54):2=2a$$
$$a+54=4a$$
$$3a=54$$
$$a=18$$
Zadanie nr 26 · Matura 2016
Rozwiąż równanie \(\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1}\), gdzie \(x\neq-1\) i \(x\neq0\).
Krok 1. Wymnożenie wyrazów "na krzyż".
Rozwiązywanie tego typu równań najprościej jest rozpocząć od wymnażania na krzyż, zatem:
$$\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1}$$
$$(2x+1)\cdot(x+1)=(2x)\cdot(2x+1)$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Teraz możemy rozwiązać to równanie na dwa sposoby:
I sposób: Przenosząc wyrazy z prawej strony na lewą i jednocześnie dostrzegając, że całość da się zapisać w postaci iloczynowej.
Otrzymamy wtedy:
$$(2x+1)\cdot(x+1)-(2x)\cdot(2x+1)=0$$
$$(2x+1)(x+1-2x)=0$$
$$(2x+1)(-x+1)=0$$
$$2x+1=0 \quad\lor\quad -x+1=0$$
$$x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1$$
II sposób: Wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy i rozwiązując powstałe równanie kwadratowe.
$$2x^2+2x+x+1=4x^2+2x$$
$$-2x^2+x+1=0$$
Krok 3. Sprawdzenie, czy rozwiązania nie wykluczają się z założeniami.
Na koniec jeszcze sprawdzamy, czy nasze rozwiązania nie wykluczają się z założeniami z treści zadania. To wbrew pozorom ważny punkt, bo czasem może być tak, że dane rozwiązanie trzeba będzie odrzucić. W naszym przypadku niczego odrzucać nie musimy, tak więc ostatecznie równanie ma dwa rozwiązania:
$$x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1$$
Zadanie nr 28 · Matura 2016
Rozwiąż równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\).
Krok 1. Zapisanie odpowiednich równań.
Aby równanie dało wynik równy zero, to "wyzerować" je musi albo pierwszy, albo drugi nawias. To oznacza, że:
$$4-x=0 \quad\lor\quad x^2+2x-15=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałych równań.
Powstały nam dwie równania, które musimy rozwiązać. Pierwsze równanie jest proste:
$$4-x=0$$
$$x=4$$
Aby rozwiązać drugie równanie posłużymy się tzw. metodą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-15\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=4-(-60)=4+60=64$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
Rozwiązaniami naszego całego równania są więc trzy liczby: \(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\).
Zadanie nr 2 · Matura 2016
Rozwiąż równanie \(x^3+3x^2+2x+6=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Wyłączając przed nawias wartość \((x+3)\) otrzymamy:
$$x^3+3x^2+2x+6=0$$
$$x^2(x+3)+2(x+3)=0$$
$$(x+3)(x^2+2)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Mamy daną postać iloczynową, czyli aby równanie było równe zero, to któryś z nawiasów musi nam to równanie "wyzerować", zatem:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x^2+2=0$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x^2=-2$$
Z racji tego, iż nie istnieje żadna liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu da wynik ujemny, to jedynym rozwiązaniem tej równości jest \(x=-3\).
Rozwiąż równanie \(\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}\), gdzie \(x\neq0\) i \(x\neq2\).
Krok 1. Wymnożenie na krzyż poszczególnych wartości.
Rozwiązywanie równania najprościej jest chyba zacząć od mnożenia na krzyż, choć jeśli wolimy to możemy standardowo wymnożyć obie strony najpierw przez \(x\), a potem przez \(2x-4\). Finalnie dojdziemy do tego samego:
$$(2x-4)\cdot(2x-4)=x\cdot x$$
$$(2x-4)^2=x^2$$
$$4x^2-16x+16=x^2$$
$$3x^2-16x+16=0$$
Z racji tego, iż żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami z treści zadania, to obydwa są poprawne. To równanie ma więc dwa rozwiązania: \(x=\frac{4}{3}\) oraz \(x=4\).
Zadanie nr 26 · Matura 2015
Rozwiąż równanie \(8x^3+8x^2-3x-3=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(8x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(-3\). To oznacza, że:
$$8x^3+8x^2-3x-3=0$$
$$8x^2(x+1)+(-3)(x+1)$$
$$8x^2(x+1)-3(x+1)$$
$$(8x^2-3)(x+1)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa \(0\), to któraś z wartości w nawiasach musi być równa \(0\). Zatem:
$$8x^2-3=0 \quad\quad\lor\quad\quad x+1=0$$
Rozwiążmy najpierw to pierwsze równanie. Możemy oczywiście tutaj zastosować metodę liczenia delty, ale możemy też zrobić to w następujący sposób:
$$8x^2-3=0$$
$$8x^2=3$$
$$x^2=\frac{3}{8}$$
$$x=\sqrt{\frac{3}{8}} \quad\lor\quad x=-\sqrt{\frac{3}{8}}$$
Tutaj moglibyśmy się jeszcze pokusić o usunięcie niewymierności z mianownika (choć nie jest to konieczne):
$$\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4\cdot2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$$
Jeżeli więc usuniemy tę niewymierność z mianownika to otrzymamy:
$$x=\frac{\sqrt{6}}{4} \quad\lor\quad x=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$
Przejdźmy do rozwiązania drugiego równania, tutaj będzie znacznie prościej:
$$x+1=0$$
$$x=-1$$
To oznacza, że równanie ma trzy rozwiązania: \(x=\sqrt{\frac{3}{8}} \lor x=-\sqrt{\frac{3}{8}} \lor x=-1\).
Ewentualnie zapisując to inaczej: \(x=\frac{\sqrt{6}}{4} \lor x=-\frac{\sqrt{6}}{4} \lor x=-1\).
Zadanie nr 25 · Próbny 2015
Rozwiąż równanie \(\frac{x^2-9}{x+3}=1-x\).
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x+3\neq0$$
$$x\neq-3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
To równanie najprościej jest rozwiązać dostrzegając, że zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia \(x^2-9\) to jest to samo co \((x+3)(x-3)\). Kiedy dostrzeżemy ten fakt, to całe zadanie jest już bardzo proste:
$$\frac{x^2-9}{x+3}=1-x$$
$$\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}=1-x$$
$$x-3=1-x$$
$$2x=4$$
$$x=2$$
Otrzymane rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, zatem poprawną odpowiedzią będzie \(x=2\).
Gdybyśmy jednak nie dostrzegli tego sprytnego sposobu, to nie pozostaje nam nic innego jak wymnożyć lewą i prawą stronę przez \(x+3\), otrzymując:
$$\frac{x^2-9}{x+3}=1-x \quad\bigg/\cdot (x+3)$$
$$x^2-9=(1-x)(x+3)$$
$$x^2-9=x+3-x^2-3x$$
$$x^2-9=-x^2-2x+3$$
$$2x^2+2x-12=0$$
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy skorzystać z niezawodnej delty:
Współczynniki: \(a=2,\;b=2,\;c=-12\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot2\cdot(-12)=4-(-96)=4+96=100$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$
Ale to nie koniec, bo musimy jeszcze sprawdzić zgodność z założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=-3\) musimy odrzucić, zatem jedynym rozwiązaniem jakie nam zostanie będzie \(x=2\).
Zadanie nr 27 · Matura 2015
Rozwiąż równanie \(x(x^2-2x+3)=0\).
Krok 1. Wypisanie rozwiązań równania.
Równanie mamy przedstawione w postaci iloczynowej, tak więc aby wyznaczyć jego rozwiązania musimy przyrównać poszczególne wyrażenia do zera:
$$x(x^2-2x+3)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x^2-2x+3=0$$
Krok 2. Obliczenie powstałej równości kwadratowej za pomocą delty.
Aby poznać rozwiązania z drugiej części naszego równania \((x^2-2x+3=0)\) musimy skorzystać z metody delty, tak więc:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Skoro delta wyszła nam ujemna, to znaczy że z tej części równania nie mamy żadnych rozwiązań. Nie oznacza to jednak, że całe równanie nie ma rozwiązań, bo rozwiązanie \(x=0\) obliczone w pierwszym kroku jest nadal aktualne i jest to jednocześnie jedyne rozwiązanie naszego równania.
Zadanie nr 27 · Matura 2015
Rozwiąż równanie \(x^4-2x^3+27x-54=0\)
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(x^3\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(27\). To oznacza, że:
$$x^4-2x^3+27x-54=0$$
$$x^3(x-2)+27(x-2)$$
$$(x^3+27)(x-2)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa \(0\), to któraś z wartości w nawiasach musi być równa \(0\). Zatem:
$$x^3+27=0 \quad\quad\lor\quad\quad x-2=0$$
$$x^3=-27 \quad\quad\lor\quad\quad x=2$$
$$x=-3 \quad\quad\lor\quad\quad x=2$$
To oznacza, że rozwiązaniem naszego równania są: \(x=-3 \quad\lor\quad x=2\).
Zadanie nr 6 · Matura 2015
Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa:
A\(-1\)
B\(21\)
C\(1\)
D\(-21\)
Krok 1. Obliczenie wartości wszystkich pierwiastków równania.
Nasze równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej. Aby wartość takiego równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi nam "wyzerować" to równanie, a więc któryś z nawiasów musi być równy zero. To oznacza, że rozwiązaniami równania (a więc potocznie rzecz ujmując jego pierwiastkami) będą:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x+7=0 \quad\lor\quad x-11=0$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x=-7 \quad\lor\quad x=11$$
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$4x^3+4x^2-x-1=0$$
$$4x^2(x+1)-1\cdot(x+1)=0$$
$$(4x^2-1)(x+1)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej możemy przyrównać wartości w nawiasach do zera, wyznaczając w ten sposób rozwiązania naszej równości.
$$4x^2-1=0 \quad\lor\quad x+1=0$$
$$4x^2=1 \quad\lor\quad x=-1$$
$$x^2=\frac{1}{4} \quad\lor\quad x=-1$$
$$x=\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=-1$$
Zadanie nr 27 · Matura 2014
Rozwiąż równanie \(x^3-6x^2-11x+66=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3-6x^2-11x+66=0$$
$$x^2(x-6)-11(x-6)=0$$
$$(x^2-11)(x-6)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
$$x^2-11=0 \quad\lor\quad x-6=0$$
$$x=\sqrt{11} \quad\lor\quad x=-\sqrt{11} \quad\lor\quad x=6$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2014
Rozwiązaniami równania \((x^3-8)(x-5)(2x+1)=0\) są liczby:
A\(-8;\;-5;\;1\)
B\(-1;\;5;\;8\)
C\(-\frac{1}{2};\;2;\;5\)
D\(-\frac{1}{2};\;5;\;8\)
Równanie jest przedstawione w postaci iloczynowej, tak więc aby jego wartość była równa zero, to któraś z wartości w nawiasach musi zerować nam to równanie. Zatem:
$$(x^3-8)(x-5)(2x+1)=0$$
$$x^3-8=0 \quad\lor\quad x-5=0 \quad\lor\quad 2x+1=0$$
$$x^3=8 \quad\lor\quad x=5 \quad\lor\quad 2x=-1$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=5 \quad\lor\quad x=-\frac{1}{2}$$
Komplet rozwiązań znalazł się więc w trzeciej odpowiedzi.
Zadanie nr 10 · Próbny 2014
Różnica między większym i mniejszym rozwiązaniem równania \((x+7)(x+1)=0\) jest równa:
A\(-8\)
B\(-6\)
C\(6\)
D\(8\)
Krok 1. Rozwiązanie równania.
Nasze równanie jest równaniem kwadratowym, zapisanym w wygodnej postaci iloczynowej. To oznacza, że aby rozwiązać to równanie wystarczy przyrównać wartości zapisane w nawiasach do zera:
$$x+7=0 \quad\lor\quad x+1=0$$
$$x=-7 \quad\lor\quad x=-1$$
Krok 2. Obliczenie różnicy.
Większym rozwiązaniem jest \(-1\). Mniejszym jest \(-7\). Różnica między większym i mniejszym rozwiązaniem jest równa:
$$-1-(-7)=-1+7=6$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2014
Liczba rozwiązań rzeczywistych równania \(81+x^3=0\) to:
A\(3\)
B\(2\)
C\(1\)
D\(0\)
Podane w treści zadania równanie jest równaniem trzeciego stopnia, ale takim które damy radę przeanalizować niemalże w pamięci. Przekształcając to równanie otrzymamy postać:
$$81+x^3=0$$
$$x^3=-81$$
Po prawej stronie równania otrzymaliśmy wartość ujemną. Gdyby po lewej stronie równania była liczba podniesiona do potęgi parzystej (np. do \(2\)) to równanie nie miałoby żadnych rozwiązań, bo nie istnieje żadna liczba podniesiona do kwadratu, która daje wynik ujemny. W naszym przypadku mamy po lewej stronie potęgę nieparzystą, zatem ujemny wynik jest możliwy do uzyskania i stanie się tak wtedy gdy będziemy potęgować liczbę ujemną (np. \((-4)^3=-64\)). To oznacza, że jest jedno rozwiązanie rzeczywiste tego równania i możemy nawet sobie dopowiedzieć, że jest nią jakaś liczba ujemna bliska \(-4\) (dokładnie rzecz ujmując będzie to \(x=-\sqrt[3]{81}\)).
Zadanie nr 27 · Próbny 2014
Rozwiąż równanie \(\frac{5x+6}{x}=x\).
Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\) to nasz mianownik musi być różny od zera i właśnie ten fakt musimy uwzględnić w naszej dziedzinie. W związku z tym musimy zapisać, że \(x\neq0\).
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Podczas rozwiązywania powstało nam równanie kwadratowe, które możemy rozwiązać tradycyjną metodą delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-6)=25+24=49$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$
Obydwa rozwiązania nie wykluczają się z naszymi założeniami, zatem obydwa równania są poprawne, czyli \(x=-1 \lor x=6\).
Zadanie nr 14 · Próbny 2014
Liczba rozwiązań rzeczywistych równania \(16+x^4=0\) wynosi:
A\(4\)
B\(2\)
C\(1\)
D\(0\)
$$16+x^4=0$$
$$x^4=-16$$
Z racji tego iż nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do potęgi parzystej daje wynik ujemny, to nasze równanie ma zero rozwiązań.
Zadanie nr 5 · Matura 2014
Wspólnym pierwiastkiem równań \((x^2-1)(x-10)(x-5)=0\) oraz \(\frac{2x-10}{x-1}=0\) jest liczba:
A\(-1\)
B\(1\)
C\(5\)
D\(10\)
Pierwiastkiem równania jest liczba, która jest po prostu rozwiązaniem danego równania. Po podstawieniu takiej liczby równanie uznaje się za spełnione, czyli prawdziwe.
Krok 1. Wskazanie pierwiastków pierwszego równania.
Aby wartość pierwszego równania była równa zero, to wartość któregoś z wyrażeń zawartych w nawiasach musi być równa zero. To oznacza, że rozwiązaniami tego równania są:
$$x^2-1=0 \quad\lor\quad x-10=0 \quad\lor\quad x-5=0$$
$$x=1 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=10 \quad\lor\quad x=5$$
Krok 2. Wskazanie pierwiastków drugiego równania.
Aby wartość drugiego równania była równa \(0\), to licznik musi być równy \(0\). Zatem:
$$2x-10=0$$
$$2x=10$$
$$x=5$$
Krok 3. Określenie wspólnych pierwiastków obydwu równań.
Wspólnym rozwiązaniem jest tylko i wyłącznie \(x=5\).
Krok 1. Obliczenie wartości pierwiastków równania.
Pierwiastki, czyli rozwiązania tego równania, wyliczymy dość prosto, bo równanie mamy podane w postaci iloczynowej. Wiemy, że aby równanie było równe zero, to jeden z czynników tego równania (czyli jedna z wartości w nawiasach) musi nam to równanie "wyzerować". Zatem:
$$2(x+2)(x-2)=0$$
$$x+2=0 \quad\lor\quad x-2=0$$
$$x_{1}=-2 \quad\lor\quad x_{2}=2$$
Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\).
Naszym zadaniem jest obliczenie wartości \(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\) i sprawdzenie która z odpowiedzi jest poprawna:
$$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{-2}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$$
Zadanie nr 27 · Matura 2014
Rozwiąż równanie \(9x^3+18x^2-4x-8=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(9x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(4\). To oznacza, że:
$$9x^3+18x^2-4x-8=0$$
$$9x^2(x+2)-4(x+2)$$
$$(9x^2-4)(x+2)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa \(0\), to któraś z wartości w nawiasach musi być równa \(0\). Zatem:
$$9x^2-4=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
Z działaniem \(x+2=0\) nie mamy pewnie problemu, bo tutaj \(x=-2\). Jak jednak szybko rozwiązać \(9x^2-4=0\)? Można to obliczyć dokładnie tak samo jak każdą inną funkcję kwadratową, czyli metodą delty, niestety jest ona dość czasochłonna. Niektóre osoby, które dobrze opanowały wzory skróconego mnożenia pewnie też zauważą, że \(9x^2-4=0\) możemy zapisać jako \((3x-2)(3x+2)=0\) i z tego już łatwo wyliczymy poszczególne miejsca zerowe. Najłatwiej będzie rozwiązać to równanie w taki oto sposób:
$$9x^2-4=0$$
$$9x^2=4$$
$$x^2=\frac{4}{9}$$
$$x=\sqrt{\frac{4}{9}}$$
$$x=\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3}$$
To oznacza, że rozwiązaniem naszego równania są: \(x=-2 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=\frac{2}{3}\).
Zadanie nr 27 · Matura 2013
Rozwiąż równanie \(x^3-6x^2-12x+72=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tego typu równania trzeciego stopnia możemy rozwiązać wyłączając przed nawias odpowiednie wyrazy, tak aby móc potem przekształcić zapis na postać iloczynową. Całość obliczeń wygląda następująco:
$$x^3-6x^2-12x+72=0$$
$$x^2(x-6)-12(x-6)=0$$
$$(x^2-12)(x-6)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Aby to równanie dało nam wynik równy zero, to któryś z nawiasów musi to równanie nam "wyzerować". Możemy więc przyrównać poszczególne nawiasy do zera i w ten sposób rozwiązać całe równanie:
$$x^2-12=0 \quad\lor\quad x-6=0$$
$$x=\sqrt{12} \quad\lor\quad x=-\sqrt{12} \quad\lor\quad x=6$$
Możemy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka i w ten sposób otrzymamy nasze trzy rozwiązania tego równania:
$$x=2\sqrt{3} \quad\lor\quad x=-2\sqrt{3} \quad\lor\quad x=6$$
Zadanie nr 27 · Matura 2013
Rozwiąż równanie \(3x^3-4x^2-3x+4=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$3x^3-4x^2-3x+4=0$$
$$3x^2\left(x-\frac{4}{3}\right)-3\left(x-\frac{4}{3}\right)=0$$
$$\left(3x^2-3\right)\left(x-\frac{4}{3}\right)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Aby całe równanie dało wartość równą zero, to któraś z wartości w nawiasach musi być równa zero, zatem:
$$3x^2-3=0 \quad\lor\quad x-\frac{4}{3}=0$$
$$3x^2=3 \quad\lor\quad x=\frac{4}{3}$$
$$x^2=1 \quad\lor\quad x=\frac{4}{3}$$
$$x=1 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=\frac{4}{3}$$
Rozwiązaniem tego równania są więc liczby \(1\), \(-1\) oraz \(\frac{4}{3}\).
Zadanie nr 16 · Matura 2013
Liczba rzeczywistych rozwiązań równania \((x+1)(x+2)(x^2+3)=0\) jest równa:
A\(0\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(4\)
Aby to równanie dało wynik równy \(0\), to wartość w którymś z nawiasów musi być równa \(0\). To oznacza, że każdy nawias musimy przyrównać do zera i sprawdzić tym samym dla jakich argumentów \(x\) równanie przyjmie wynik równy \(0\).
$$x+1=0 \quad\lor\quad x+2=0 \quad\lor\quad x^2+3=0$$
$$x=-1 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-3$$
Z racji tego, że nie istnieje żadna liczba, która podniesiona do kwadratu dałaby wartość ujemną, to zostają nam tylko dwie możliwości. Liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunki równania są więc dwie liczby: \(x=-1\) oraz \(x=-2\).
Zadanie nr 26 · Matura 2013
Rozwiąż równanie \(x^3+2x^2-8x-16=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3+2x^2-8x-16=0$$
$$x^2(x+2)-8(x+2)=0$$
$$(x^2-8)(x+2)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Aby wartość obliczona w pierwszym kroku była równa zero, to wartość w jednym z nawiasów musi być równa zero. Czyli:
$$x^2-8=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$x=\sqrt{8} \quad\lor\quad x=-\sqrt{8} \quad\lor\quad x=-2$$
Możemy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka i zapisać, że rozwiązaniem równania są liczby:
$$x=2\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-2\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-2$$
Zadanie nr 27 · Matura 2012
Rozwiąż równanie \(x^3-6x^2-9x+54=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3-6x^2-9x+54=0$$
$$x^2(x-6)-9(x-6)=0$$
$$(x-6)(x^2-9)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Przyrównujemy wartości z obydwu nawiasów do zera i w ten sposób wyznaczamy rozwiązania naszego równania:
$$x-6=0 \quad\lor\quad x^2-9=0$$
$$x=6 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Zadanie nr 26 · Próbny 2012
Rozwiąż równanie \(2x^3+8x^2-3x-12=0\)
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
W tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(2x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(-3\). To oznacza, że:
$$2x^3+8x^2-3x-12=0$$
$$2x^2(x+4)-3(x+4)=0$$
$$(2x^2-3)(x+4)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej możemy teraz przyrównać wartości w nawiasach do zera, wyznaczając w ten sposób rozwiązania naszej równości.
$$2x^2-3=0 \quad\lor\quad x+4=0$$
Pierwsze równanie jest równaniem kwadratowym, które możemy obliczyć tradycyjnie deltą, ale możemy też to rozpisać w następujący sposób:
$$2x^2-3=0$$
$$2x^2=3$$
$$x^2=\frac{3}{2}$$
$$x=\sqrt{\frac{3}{2}} \quad\lor\quad x=-\sqrt{\frac{3}{2}}$$
Z drugiego równania otrzymamy:
$$x+4=0$$
$$x=-4$$
To oznacza, że nasze równanie z treści zadania ma łącznie trzy rozwiązania:
$$x=\sqrt{\frac{3}{2}} \quad\lor\quad x=-\sqrt{\frac{3}{2}} \quad\lor\quad x=-4$$
Zadanie nr 3 · Matura 2012
Równanie \((x+5)(x-3)(x^2+1)=0\) ma:
Adwa rozwiązania: \(x=-5,\;x=3\)
Bdwa rozwiązania: \(x=-3,\;x=5\)
Ccztery rozwiązania: \(x=-5,\;x=-1,\;x=1,\;x=3\)
Dcztery rozwiązania: \(x=-3,\;x=-1,\;x=1,\;x=5\)
Równanie jest przedstawione w formie iloczynowej, tak więc aby całość była równa zero, to tak naprawdę wyrażenie w którymś z nawiasów musi być równe zero:
$$(x+5)(x-3)(x^2+1)=0$$
$$x+5=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2+1=0$$
$$x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-1$$
Z racji tego, że nie istnieje żadna liczba podniesiona do kwadratu, która dałaby wynik ujemny, to z równania \(x^2=-1\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań. To oznacza, że to całe równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=-5\) oraz \(x=3\).
Zadanie nr 1 · Matura 2011
Rozwiązaniem równania \(3(2-3x)=x-4\) jest:
A\(x=1\)
B\(x=2\)
C\(x=3\)
D\(x=4\)
$$3(2-3x)=x-4$$
$$6-9x=x-4$$
$$-10x=-10$$
$$x=1$$
Zadanie nr 6 · Próbny 2011
Większa z liczb spełniających równanie \(x^2+6x+8=0\) to:
A\(2\)
B\(4\)
C\(-2\)
D\(-4\)
Rozwiązania równania obliczymy za pomocą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=6,\;c=8\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$
To równanie ma więc dwa rozwiązania, a większym z nich jest \(x=-2\).
Zadanie nr 10 · Matura 2011
Liczby \(x_{1}\), \(x_{2}\) są rozwiązaniami równania \(2(x-5)(x+7)=0\). Suma \(x_{1}+x_{2}\) jest równa:
A\(2\)
B\(-2\)
C\(12\)
D\(-12\)
Krok 1. Wyznaczenie rozwiązań równania.
Przedstawione w zadaniu równanie jest tak naprawdę równaniem kwadratowym zapisanym w postaci iloczynowej. To oznacza, że możemy bardzo szybko znaleźć jego rozwiązania, wystarczy że przyrównamy wartości w nawiasach do zera (bo postać iloczynowa ma to do siebie, że któryś z tych nawiasów musi nam zerować to równanie). W związku z tym:
$$x-5=0 \quad\lor\quad x+7=0$$
$$x=5 \quad\lor\quad x=-7$$
Otrzymaliśmy w ten sposób informację, że nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x_{1}=5\) oraz \(x_{2}=-7\).
Krok 2. Wyznaczenie sumy rozwiązań.
W treści zadania proszą nas o podanie wyniku sumy \(x_{1}+x_{2}\), zatem:
$$x_{1}+x_{2}=5+(-7)=5-7=-2$$
Zadanie nr 5 · Matura 2011
Rozwiązanie równania \(x(x+3)-49=x(x-4)\) należy do przedziału:
A\((-\infty;3)\)
B\((10;+\infty)\)
C\((-5;-1)\)
D\((2;+\infty)\)
Krok 1. Rozwiązanie równania.
Najpierw musimy wymnożyć wartości stojące przed nawiasami, a następnie obliczyć wartość \(x\):
$$x(x+3)-49=x(x-4)$$
$$x^2+3x-49=x^2-4x$$
$$7x=49$$
$$x=7$$
Krok 2. Sprawdzanie do którego przedziału pasuje nasze rozwiązanie.
\(x=7\) należy jedynie do przedziału \((2;+\infty)\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź w tym zadaniu.
Zadanie nr 27 · Matura 2010
Rozwiąż równanie \(x^3-3x^2+2x-6=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3-3x^2+2x-6=0$$
$$x^2(x-3)+2(x-3)=0$$
$$(x^2+2)(x-3)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
$$x^2+2=0 \quad\lor\quad x-3=0$$
$$x^2=-2 \quad\lor\quad x=3$$
Z racji tego iż nie istnieje żadna liczba, która podniesiona do kwadratu dałaby wartość ujemną, to jedynym rozwiązaniem tego równania pozostaje \(x=3\).
Zadanie nr 27 · Próbny 2010
Rozwiąż równanie \(x^3+2x^2-5x-10=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3+2x^2-5x-10=0$$
$$x^2(x+2)-5(x-2)=0$$
$$(x+2)(x^2-5)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej szukamy rozwiązań tej równości, przyrównując wartości w nawiasach do zera. Pamiętaj, że z równanie \(x^2-5=0\) będzie mieć dwa rozwiązania - jedno dodatnie, a drugie ujemne.
$$x+2=0 \quad\lor\quad x^2-5=0$$
$$x=-2 \quad\lor\quad x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}$$
Zadanie nr 9 · Próbny 2010
Równanie \(x^2+6x+9=-1\):
Ama trzy pierwiastki
Bma dwa pierwiastki
Cma jeden pierwiastek
Dnie ma pierwiastków
Krok 1. Doprowadzenie równania do postaci ogólnej.
Pierwiastki równania kwadratowego to nic innego jak rozwiązania równania. Aby rozpocząć obliczenia (czyli żeby zacząć liczyć deltę) musimy zapisać to równanie w postaci ogólnej, czyli takiej w której po prawej stronie znajdzie się \(0\). W związku z tym musimy do wyjściowego równania dodać obustronnie jedynkę, otrzymując w ten sposób:
$$x^2+6x+10=0$$
Krok 3. Interpretacja ujemnej delty.
Wyszła nam ujemna delta, a to w przypadku równań kwadratowych oznacza, że takie równanie nie ma rozwiązań (czyli nie ma pierwiastków).
Zadanie nr 26 · Próbny 2010
Rozwiąż równanie \(x^3+2x^2-6x-12=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
W tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(-6\). To oznacza, że:
$$x^3+2x^2-6x-12=0$$
$$x^2(x+2)-6(x+2)=0$$
$$(x^2-6)(x+2)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, wyznaczając w ten sposób rozwiązania naszej równości.
$$x^2-6=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$x^2=6 \quad\lor\quad x=-2$$
$$x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-2$$
Wszystkie otrzymane rozwiązania są poprawne, zatem to równanie ma trzy rozwiązania: \(x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-2\).
Zadanie nr 34 · Próbny 2010
Iloczyn pewnej liczby i liczby o \(1\) od niej większej jest równy \(6\). Oblicz sumę tych liczb.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i ułożenie równania.
\(x\) - pierwsza liczba
\(x+1\) - druga liczba
Z treści zadania wynika, że iloczyn (czyli wynik mnożenia) tych liczb jest równy \(6\), zatem:
$$x\cdot(x+1)=6$$
Krok 2. Zapisanie równania kwadratowego w postaci ogólnej.
Nasze równanie będzie równaniem kwadratowym, ale aby móc je rozwiązać musimy doprowadzić je do postaci ogólnej, z której potem będziemy mogli liczyć deltę.
(Uwaga - nie możemy tutaj rozwiązać tej równości przyrównując wartości w nawiasie do zera, bo po prawej stronie nie mamy zera tylko szóstkę. Nie jest to więc postać iloczynowa).
$$x\cdot(x+1)=6$$
$$x^2+x=6$$
$$x^2+x-6=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Teraz możemy przejść do obliczenia delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=25$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanego rozwiązania i odnalezienie pary liczb.
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwie możliwości: \(x=-3\) oraz \(x=2\). Żadnej z nich nie możemy odrzucić, a to oznacza, że tak naprawdę warunki zadania będą spełniać dwie różne pary liczb:
I para: \(-3\) oraz liczba o jeden większa, czyli \(-2\)
II para: \(2\) oraz liczba o jeden większa, czyli \(3\)
Krok 5. Obliczenie sumy tych liczb.
Skoro mamy dwie pary liczb spełniających warunki zadania to i otrzymamy dwie możliwości sumy:
I para: \(-3+(-2)=-5\)
II para: \(3+2=5\)
Suma dwóch liczb jest więc równa \(-5\) lub \(5\).
Zadanie nr 27 · Matura 2010
Rozwiąż równanie \(x^3+2x^2-5x-10=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3+2x^2-5x-10=0$$
$$x^2(x+2)-5(x-2)=0$$
$$(x+2)(x^2-5)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej szukamy rozwiązań tej równości, przyrównując wartości w nawiasach do zera. Pamiętaj, że z równanie \(x^2-5=0\) będzie mieć dwa rozwiązania - jedno dodatnie, a drugie ujemne.
$$x+2=0 \quad\lor\quad x^2-5=0$$
$$x=-2 \quad\lor\quad x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}$$
Zadanie nr 27 · Matura 2010
Rozwiąż równanie \(x^3-7x^2-4x+28=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3-7x^2-4x+28=0$$
$$x^2(x-7)-4(x-7)=0$$
$$(x^2-4)(x-7)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, wyznaczając w ten sposób rozwiązania naszej równości.
$$x^2-4=0 \quad\lor\quad x-7=0$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x=7$$
Zadanie nr 27 · Próbny 2009
Rozwiąż równanie \(x^3-7x^2+2x-14=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Musimy wyłączyć odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, by wartości w dwóch nawiasach były identyczne - to pozwoli nam przekształcić to równanie na postać iloczynową.
$$x^3-7x^2+2x-14=0$$
$$x^2(x-7)+2(x-7)=0$$
$$(x^2+2)(x-7)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Mamy już równanie w postaci iloczynowej. Aby było ono równe zero, to któryś z nawiasów musi "zerować" to równanie, tak więc:
$$x^2+2=0 \quad\lor\quad x-7=0$$
$$x^2=-2 \quad\lor\quad x=7$$
Z pierwszej części tego równania nie wyznaczymy żadnych rozwiązań, bo wartość \(x^2\) jest zawsze dodatnia. To oznacza, że jedynym rozwiązaniem tego równania jest \(x=7\).
Zadanie nr 21 · Próbny 2009
Rozwiąż równanie \(x^3+x^2+x+1=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(1\). To oznacza, że:
$$x^3+x^2+x+1=0$$
$$x^2(x+1)+1(x+1)=0$$
$$(x^2+1)(x+1)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, wyznaczając w ten sposób rozwiązania naszej równości.
$$x^2+1=0 \quad\quad\lor\quad\quad x+1=0$$
$$x^2=-1 \quad\quad\lor\quad\quad x=-1$$
Z pierwszego równania nie uzyskamy żadnego rozwiązania, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje liczbę ujemną. Zatem jedynym rozwiązaniem tego równania jest \(x=-1\).
Zadanie nr 27 · Próbny 2009
Za dwa lata Julka będzie dwa razy starsza niż była osiem lat temu. Ile lat ma Julka?
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i utworzenie równania.
\(x\) - wiek Julki
\(x+2\) - wiek Julki za dwa lata
\(x-8\) - wiek Julki osiem lat temu
Z treści zadania wiemy, że za dwa lata Julka będzie dwa razy starsza niż była osiem lat temu, czyli:
$$x+2=2\cdot(x-8)$$
Równanie \((2x-1)\cdot(x-2)=(1-2x)\cdot(x+2)\) ma dwa rozwiązania. Są to liczby:
A\(-2\) oraz \(\frac{1}{2}\)
B\(0\) oraz \(\frac{1}{2}\)
C\(\frac{1}{2}\) oraz \(2\)
D\(-2\) oraz \(2\)
Aby rozwiązać to zadanie musimy najpierw wymnożyć przez siebie poszczególne nawiasy:
$$\require{cancel}
(2x-1)\cdot(x-2)=(1-2x)\cdot(x+2)$$
$$2x^2\cancel{-4x}-x+\cancel{2}=x+\cancel{2}-2x^2\cancel{-4x}$$
$$2x^2-x=x-2x^2$$
$$4x^2-2x=0 \quad\bigg/:2$$
$$2x^2-x=0$$
$$x(2x-1)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad 2x-1=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad 2x=1$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 25 · Matura
Rozwiąż równanie \(\frac{x(x+1)}{x-1}=5x-4\), dla \(x\neq1\).
Krok 1. Rozwiązanie równania.
Rozwiązanie tego równania najlepiej jest rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez \((x-1)\). Możemy to zrobić, bo wiemy że \(x\neq1\), zatem:
$$\frac{x(x+1)}{x-1}=5x-4 \quad\bigg/\cdot(x-1)$$
$$x(x+1)=(5x-4)\cdot(x-1)$$
$$x^2+x=5x^2-5x-4x+4$$
$$4x^2-10x+4=0 \quad\bigg/:2$$
$$2x^2-5x+2=0$$
W ostatnim kroku zostało wykonane dzielenie przez \(2\), tak aby uprościć zapis i by wykonywać działania na mniejszych liczbach. Nie jest to działanie niezbędne do otrzymania prawidłowego wyniku.
Żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\).
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.