Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi

1. Wykres zaczyna się w $x=-5$ (kółko pełne) i kończy w $x=6$ (kółko pełne); nad każdym $x$ z tego przedziału jest punkt wykresu.
2. $D=[-5,6]$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to przybliżony zbiór wartości (oś $Oy$), a nie dziedzina.

1. Pierwszy odcinek daje wartości $[-2,2)$ (w $x=-1$ kółko puste).
2. Środkowy odcinek: tylko wartość $3$.
3. Trzeci odcinek: od $2$ (kółko puste) do $-2$ — też $[-2,2)$.
4. Wartość $2$ nie jest osiągana: $ZW=[-2,2)\cup\{3\}$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — pominięta „dziura” między $2$ a $3$; C — puste kółka oznaczają, że $2$ nie jest wartością funkcji.

1. Wykres przecina oś $Ox$ w $x=-3$ (na odcinku $y=x+3$) oraz w $x=4$ (na odcinku $y=-x+4$).

Odpowiedź: C

1. Prosta $y=3$ pokrywa się ze środkowym odcinkiem wykresu dla wszystkich $x\in[-1,2]$.
2. Równanie ma więc nieskończenie wiele rozwiązań.

Odpowiedź: D

1. Na $[0,2]$ funkcja ma wartość $3$; na $(2,5]$ maleje od $2$ do $f(5)=-5+4=-1$.
2. Najmniejsza wartość: $-1$ (dla $x=5$).

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — to najmniejsza wartość na całej dziedzinie, a nie w przedziale $[0,5]$.

1. Na $[-5,-1)$ rośnie, na $[-1,2]$ jest stała, a dla $x\ge2$ jej wartości maleją: $f(2)=3$, potem od $2$ do $-2$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? C — funkcja stała nie jest malejąca; D — na $[-1,2]$ wartości się nie zmieniają.

1. Wykres jest nad osią $Ox$: od $x=-3$ (bez) przez cały środkowy odcinek aż do $x=4$ (bez).
2. Łącznie $x\in(-3,4)$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A — pominięty środkowy odcinek $y=3$, który też leży nad osią; B — w miejscach zerowych $f(x)=0$, a nie $\gt 0$.

1. 1. $f(-2)=-2+3=1$, $f(5)=-5+4=-1$, suma $0$ — prawda.
2. 2. $f(x)=2$: na $[-5,-1)$ daje $x=-1$ — poza przedziałem; na $[-1,2]$ wartość to $3$; na $(2,6]$ daje $x=2$ — poza przedziałem. Brak argumentów — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. $g(x)=f(x-2)$ — wykres $f$ przesunięty o $2$ jednostki w prawo.
2. Dziedzina: $[-5+2,\ 6+2]=[-3,8]$.
3. Miejsca zerowe przesuwają się o $2$: $-3+2=-1$ oraz $4+2=6$.

Odpowiedź: $D_g=[-3,8]$, miejsca zerowe: $-1$ i $6$

1. a) $2x+6$ na $[-4,-1)$: wartości $[-2,4)$; środek: $4$; $-2x+6$ na $(1,4]$: wartości $[-2,4)$. Razem $[-2,4]$.
2. b) $2x+6=2 \Rightarrow x=-2\in[-4,-1)$ ✓; $-2x+6=2 \Rightarrow x=2\in(1,4]$ ✓; środkowy wzór daje $4\ne2$. Dwa rozwiązania.
3. c) $2x+6\ge0 \Rightarrow x\ge-3$: $[-3,-1)$; środek: cały $[-1,1]$; $-2x+6\ge0 \Rightarrow x\le3$: $(1,3]$. Suma: $[-3,3]$.
4. d) Największa wartość to $4$ — przyjmowana dla każdego $x\in[-1,1]$.

Odpowiedź: a) $[-2,4]$; b) $2$; c) $[-3,3]$; d) $x\in[-1,1]$

Dodanie liczby na zewnątrz funkcji zmienia wartości, czyli przesuwa wykres pionowo.

$$f(x)+q \ \to\ \text{przesunięcie o } q \text{ wzdłuż osi } OY$$

Odpowiedź: B. o $3$ w górę.

Liczba wewnątrz nawiasu przesuwa wykres poziomo.

$$f(x-p) \ \to\ \text{przesunięcie o } p \text{ wzdłuż osi } OX$$

Tutaj $p=4$, więc wykres przesuwa się o $4$ jednostki w prawo.

Uwaga na znak: minus w nawiasie oznacza przesunięcie w prawo — to często myli. Sprawdzian: dla $f(x)=x^2$ wierzchołek $f(x-4)=(x-4)^2$ leży w $x=4$.

Odpowiedź: przez przesunięcie o $4$ w prawo.

Argument się nie zmienił, a wartość wzrosła o $3$:

$$g(x)=f(x)+3$$

Sprawdzenie: $g(2)=f(2)+3=5+3=8$ ✔

Odpowiedź: $g(x)=f(x)+3$.

Zmiana znaku wartości odbija wykres w poziomej osi:

$$(x,\,y)\ \to\ (x,\,-y)$$

Dla porównania: $g(x)=f(-x)$ zmienia znak argumentu i daje symetrię względem osi $OY$.

Odpowiedź: A. osi $OX$.

Wzór:

$$g(x)=x^2+2$$

Wierzchołek. Był w $(0,\,0)$, więc po przesunięciu o $2$ w górę jest w:

$$(0,\,2)$$

Odpowiedź: $g(x)=x^2+2$, wierzchołek $(0,\,2)$.

Zapis $f(x+5)$ to $f(x-(-5))$, więc $p=-5$ — przesunięcie w lewo.

Sprawdzian intuicyjny: funkcja osiąga tę samą wartość o $5$ jednostek wcześniej, bo do argumentu dodano $5$.

Odpowiedź: D. o $5$ w lewo.

Krok 1 — przesunięcie poziome (do nawiasu wstawiamy $x-3$):

$$(x-3)^2$$

Krok 2 — przesunięcie pionowe (odejmujemy $1$ na zewnątrz):

$$g(x)=(x-3)^2-1$$

Krok 3 — wierzchołek:

$$W=(3,\,-1)$$

Reguła ogólna: $f(x)=a(x-p)^2+q$ ma wierzchołek $(p,\,q)$.

Odpowiedź: $g(x)=(x-3)^2-1$, wierzchołek $(3,\,-1)$.

Symetria względem $OX$ — zmienia znak rzędnej:

$$(4,\,7)$$

Symetria względem $OY$ — zmienia znak odciętej:

$$(-4,-7)$$

Odpowiedź: $(4,\,7)$ oraz $(-4,-7)$.

Zapisujemy jako $\left(x-(-2)\right)^2$, więc $p=-2$ i $q=0$:

$$W=(-2,\,0)$$

Sprawdzenie: $g(-2)=0$, a dla każdego innego $x$ wartość jest dodatnia — to faktycznie minimum ✔

Odpowiedź: C. $(-2,\,0)$.

Krok 1 — wzór:

$$g(x)=\frac{1}{x-2}$$

Krok 2 — asymptoty. Funkcja $\frac1x$ miała asymptoty $x=0$ i $y=0$. Przesunięcie poziome przesuwa tylko asymptotę pionową:

$$x=2,\qquad y=0$$

Kontrola: dziedziną jest $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ — zgadza się z położeniem asymptoty pionowej ✔

Odpowiedź: $g(x)=\frac{1}{x-2}$, asymptoty $x=2$ i $y=0$.

Zmiana znaku argumentu odbija wykres w osi pionowej:

$$(x,\,y)\ \to\ (-x,\,y)$$

Ciekawostka: dla funkcji parzystej (np. $x^2$) taka symetria niczego nie zmienia — wykres pokrywa się sam ze sobą.

Odpowiedź: B. osi $OY$.

Przekształcenia: przesunięcie o $1$ w prawo i o $4$ w górę.

Wierzchołek: $(1,\,4)$.

Zbiór wartości. Ramiona idą w górę, więc najmniejsza wartość to $4$:

$$ZW=\langle4,+\infty)$$

Odpowiedź: przesunięcie $(1,\,4)$; $ZW=\langle4,+\infty)$.

Do współrzędnych punktu dodajemy współrzędne wektora:

$$(5-3,\ 1+2)=(2,\,3)$$

Uwaga: we wzorze funkcji przesunięcie o wektor $[p,\,q]$ zapisujemy jako $g(x)=f(x-p)+q$, czyli tutaj $g(x)=f(x+3)+2$.

Odpowiedź: $(2,\,3)$.

Minus przed całą funkcją odbija wykres względem osi $OX$ — parabola „przewraca się".

Konsekwencja: wierzchołek $(0,\,0)$ pozostaje w tym samym miejscu, ale z minimum staje się maksimum.

Odpowiedź: A. skierowane w dół.

Krok 1 — przesunięcie w lewo (do środka dodajemy $2$):

$$|x+2|$$

Krok 2 — przesunięcie w dół:

$$g(x)=|x+2|-3$$

Krok 3 — wierzchołek. Wykres $|x|$ miał wierzchołek w $(0,\,0)$:

$$W=(-2,-3)$$

Sprawdzenie: $g(-2)=0-3=-3$ ✔

Odpowiedź: $g(x)=|x+2|-3$, wierzchołek $(-2,-3)$.

Przesunięcie poziome zmienia tylko argumenty — wartości pozostają te same, więc zbiór wartości się nie zmienia.

Pozostałe: przesunięcia pionowe przesuwają cały zbiór wartości, a symetria względem $OX$ go odbija (np. $\langle0,\infty)$ przechodzi na $(-\infty,\,0\rangle$).

Odpowiedź: D. przesunięcie o $4$ w prawo.

Krok 1 — symetria względem $OX$:

$$-x^2$$

Krok 2 — przesunięcie o $5$ w górę:

$$g(x)=-x^2+5$$

Krok 3 — wierzchołek:

$$W=(0,\,5)$$

Krok 4 — zbiór wartości. Ramiona w dół, więc $5$ jest wartością największą:

$$ZW=(-\infty,\,5\rangle$$

Uwaga na kolejność. Gdybyśmy najpierw przesunęli o $5$ w górę, a potem odbili, dostalibyśmy $-\left(x^2+5\right)=-x^2-5$ — zupełnie inny wynik. Kolejność przekształceń ma znaczenie.

Odpowiedź: $g(x)=-x^2+5$, $W=(0,\,5)$, $ZW=(-\infty,\,5\rangle$.

Funkcja $g$. Przesunięcie o $2$ w prawo przesuwa też miejsce zerowe:

$$x=3+2=5$$

Sprawdzenie: $g(5)=f(5-2)=f(3)=0$ ✔

Funkcja $h$. Przesunięcie pionowe podnosi cały wykres o $1$. W punkcie $x=3$ wartość wynosi teraz $0+1=1$, a nie zero.

Wniosek: nie da się określić miejsc zerowych $h$ bez znajomości całego wykresu $f$ — mogą istnieć gdzie indziej albo wcale, jeśli cały wykres $f$ leży nad prostą $y=-1$.

Odpowiedź: $g$ ma miejsce zerowe w $x=5$; dla $h$ nie można tego ustalić z podanych danych.

Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Połowa współczynnika przy $x$ to $-3$, a $(-3)^2=9$, więc rozbijamy $11=9+2$:

$$x^2-6x+11=\left(x^2-6x+9\right)+2=(x-3)^2+2$$

Krok 2 — odczyt przekształceń. Z postaci $(x-3)^2+2$ wynika:

• przesunięcie o $3$ w prawo
• przesunięcie o $2$ w górę

Krok 3 — wierzchołek: $W=(3,\,2)$.

Sprawdzenie: $f(3)=9-18+11=2$ ✔

Odpowiedź: $f(x)=(x-3)^2+2$; przesunięcie o wektor $[3,\,2]$.

Funkcja $g$. Wyrażenie $x-3$ musi należeć do dziedziny $f$:

$$-2\le x-3\le6$$

Dodajemy $3$ do wszystkich części:

$$1\le x\le9 \quad\Rightarrow\quad D_g=\langle1,\,9\rangle$$

Interpretacja: przesunięcie wykresu o $3$ w prawo przesuwa też dziedzinę o $3$ w prawo ✔

Funkcja $h$. Teraz $-x$ musi należeć do dziedziny $f$:

$$-2\le -x\le6$$

Mnożymy przez $-1$ i odwracamy nierówności:

$$2\ge x\ge-6 \quad\Rightarrow\quad D_h=\langle-6,\,2\rangle$$

Interpretacja: symetria względem osi $OY$ odbija dziedzinę — przedział $\langle-2,\,6\rangle$ przechodzi na $\langle-6,\,2\rangle$ ✔

Odpowiedź: $D_g=\langle1,\,9\rangle$, $D_h=\langle-6,\,2\rangle$.