Przedziały
Klasa 1 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
🧩Quizy 3
📘Teoria 2
Działania na zbiorach
$A\cup B$ — suma (elementy należące do któregokolwiek), $A\cap B$ — część wspólna (do obu), $A\setminus B$ — różnica (do $A$, ale nie do $B$).
Przedziały
$$\langle a,b\rangle=\{x: a\le x\le b\},\qquad (a,b)=\{x: a\lt x\lt b\}$$
Nawias ostry (domknięty) oznacza, że koniec należy do zbioru; okrągły — że nie należy. Przy $\pm\infty$ zawsze stosujemy nawias okrągły.
Wartość bezwzględna
$$|x|=\begin{cases}x & \text{dla } x\ge0\\ -x & \text{dla } x\lt 0\end{cases}$$
Interpretacja geometryczna: $|x-c|$ to odległość punktu $x$ od punktu $c$ na osi liczbowej.
Równania i nierówności z modułem
$$|x|=a \iff x=a \lor x=-a\qquad(a>0)$$
$$|x|\lt a \iff -a\lt x\lt a$$
$$|x|>a \iff x\lt -a \lor x>a$$
Wzory skróconego mnożenia
$$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
$$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$$
$$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$
Na co uważać
Nierówność „mniejsze” daje jeden przedział (koniunkcja), „większe” — dwa rozłączne (alternatywa). Zapisu $-a\lt x\lt a$ nie wolno używać dla nierówności „większe”. Przy układzie nierówności bierzemy część wspólną, przy alternatywie — sumę.
Zbiory i przynależność
Zbiór to kolekcja elementów. Zapis $a\in A$ czytamy „$a$ należy do $A$”, a $a\notin A$ — „nie należy”. Symbol $\subset$ dotyczy dwóch zbiorów: $A\subset B$ znaczy, że każdy element $A$ jest też elementem $B$.
Działania na zbiorach
- Suma $A\cup B$ — elementy należące do $A$ lub do $B$
- Część wspólna $A\cap B$ — elementy należące do $A$ i do $B$
- Różnica $A\setminus B$ — elementy $A$, które nie należą do $B$
Różnica nie jest przemienna: $A\setminus B$ to zwykle co innego niż $B\setminus A$.
Liczba podzbiorów
$$\text{zbiór } n\text{-elementowy ma } 2^n \text{ podzbiorów}$$
Wliczamy w to zbiór pusty i cały zbiór — o nich najłatwiej zapomnieć.
Zbiory liczbowe
$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$
naturalne, całkowite, wymierne, rzeczywiste. Liczby niewymierne (np. $\sqrt2$, $\pi$) należą do $\mathbb{R}$, ale nie do $\mathbb{Q}$.
Przedziały — zapis
- $\langle a,\,b\rangle$ — domknięty, oba końce należą ($a\le x\le b$)
- $(a,\,b)$ — otwarty, końce nie należą ($a\lt x\lt b$)
- $\langle a,\,b)$ — domknięty z lewej ($a\le x\lt b$)
Przy nieskończoności zawsze nawias okrągły: $\langle 3,\,+\infty)$ — nieskończoność nie jest liczbą i nie może należeć do przedziału.
Działania na przedziałach
Warto naszkicować oba przedziały na jednej osi liczbowej.
- część wspólna — od większego lewego końca do mniejszego prawego
- suma — od mniejszego lewego do większego prawego (o ile przedziały się zazębiają)
Przykład: $\langle 1,\,6\rangle\cap\langle 4,\,9\rangle=\langle 4,\,6\rangle$.
Na co uważać
Nie mylić $\in$ (element i zbiór) z $\subset$ (dwa zbiory). Przy liczeniu liczb całkowitych w przedziale sprawdź uważnie, czy końce należą — najczęstszy błąd to pomyłka o jeden. Jeśli przedziały nie mają części wspólnej, ich suma zostaje zapisana z symbolem $\cup$ i nie da się jej „skleić” w jeden przedział.
∑Wzory 0
✍Zadania dodatkowe 57
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Dane są zbiory $A=\{1,2,3,4\}$ i $B=\{3,4,5\}$. Wyznacz $A\cap B$.
Dane są zbiory $A=\{1,2,3,4\}$ i $B=\{3,4,5\}$. Wyznacz $A\cup B$.
Dane są zbiory $A=\{1,2,3,4\}$ i $B=\{3,4,5\}$. Wyznacz różnicę $A\setminus B$.
Który zapis oznacza, że liczba $3$ należy do zbioru $A$?
Zapisz przedział liczb $x$ spełniających warunek $2\le x\lt 7$ i podaj, czy $2$ i $7$ do niego należą.
Który przedział opisuje warunek $x>5$?
Wyznacz część wspólną przedziałów $\langle 1,\,6\rangle$ i $\langle 4,\,9\rangle$.
Wyznacz sumę przedziałów $(-\infty,\,3)$ i $\langle 0,\,+\infty)$.
Ile podzbiorów ma zbiór $\{a,\,b,\,c\}$?
Zapisz zbiór $A=\{x\in\mathbb{N}:\ x\lt 6\}$ w postaci wypisania elementów.
Wartość bezwzględna $|-9|$ wynosi:
Rozwiąż równanie $|x|=7$.
Wyznacz różnicę przedziałów $\langle 0,\,10\rangle\setminus\langle 3,\,6\rangle$.
Nierówność $|x|\lt 3$ jest równoważna warunkowi:
Dane są zbiory $A=\{2,4,6,8\}$ i $B=\{1,2,3,4\}$. Wyznacz $(A\cup B)\setminus(A\cap B)$.
Ile liczb całkowitych należy do przedziału $(-2,\,4\rangle$?
Zapisz za pomocą przedziału zbiór rozwiązań nierówności $x\ge -2$.
Rozwiąż równanie $|x-4|=3$.
Zapisz zbiór rozwiązań nierówności $|x|\ge 2$ za pomocą sumy przedziałów.
Dane są przedziały $A=(-3,\,5\rangle$ i $B=\langle 2,\,8)$. Wyznacz $A\cap B$, $A\cup B$ oraz $A\setminus B$.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $|x-3|\lt 5$ jest
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $|x+2|\ge4$ jest
Rozwiązaniami równania $|x-4|=6$ są liczby
Przedział $[-3,7]$ jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $|2x-1|\ge3$ jest
Na osi liczbowej zaznaczono zbiór:
Jest to zbiór wszystkich rozwiązań nierówności
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
- Nierówność $|x-5|\lt 0$ nie ma rozwiązań.
- Nierówność $|x|\le-1$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Wypisz wszystkie liczby całkowite spełniające nierówność $|x-1|\lt 3$.
Liczba $|\sqrt3-2|+|\sqrt3-1|$ jest równa
Dane są zbiory $A=[-3,5)$ oraz $B$ — zbiór rozwiązań nierówności $|x-4|\lt 3$. Wyznacz $A\cap B$ oraz $A\cup B$.
Liczba $|-5|$ jest równa
Liczba $|3-7|$ jest równa
Rozwiązaniem równania $|x|=4$ jest
Rozwiązaniem nierówności $|x|\lt 3$ jest
Rozwiąż równanie $|x-2|=5$.
Rozwiąż nierówność $2x-5\lt 7$ i zapisz wynik w postaci przedziału.
Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę ujemną:
Zapisz w postaci przedziału zbiór liczb spełniających jednocześnie $x>-2$ oraz $x\le5$.
Nierówność $2x>6$ jest równoważna nierówności:
Rozwiąż nierówność podwójną $-3\lt 2x+1\le7$.
Oblicz $|3-8|+|{-2}|$.
Rozwiąż równanie $|x|=6$.
Zapis $x\in\langle2,\,7)$ oznacza:
Wyznacz $A\cup B$ oraz $A\cap B$, gdy $A=(1,\,5)$ i $B=\langle3,\,8\rangle$.
Rozwiązaniem nierówności $|x|\lt 4$ jest:
Rozwiąż równanie $|x-3|=5$.
Rozwiąż nierówność $|x|\ge3$.
Zapisz za pomocą wartości bezwzględnej zbiór liczb, których odległość od $4$ jest mniejsza niż $2$. Podaj też ten zbiór jako przedział.
Zbiór $(-\infty,\,3)\cap\langle0,+\infty)$ to:
Rozwiąż nierówność $|x-1|\le4$.
Wyznacz $A\setminus B$, gdy $A=\langle0,\,10\rangle$ i $B=(3,\,6)$.
Wyrażenie $\sqrt{x^2}$ jest równe:
Rozwiąż równanie $|2x-6|=10$.
Ile liczb całkowitych należy do przedziału $(-2,\,3\rangle$?
Rozwiąż nierówność $|x+2|>5$ i zapisz odpowiedź w postaci przedziałów.
Dane są zbiory $A=(-\infty,\,4\rangle$, $B=\langle-1,\,7)$. Wyznacz $A\cap B$, $A\cup B$ oraz $B\setminus A$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi $|a+b|\le|a|+|b|$. Podaj przykład, gdy zachodzi równość, i przykład, gdy nierówność jest ostra.
📄Zadania z arkuszy 9
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\left|\sqrt{5}-3\right|+\left|\sqrt{5}-1\right|\) jest równa
Liczby \(x_1\) i \(x_2\) są różnymi rozwiązaniami równania \(|x-6|=4\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloczyn \(x_1\cdot x_2\) jest równy
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności \(|x+1|\lt 3\) jest równa
Dana jest nierówność \(|x-5|\lt 2\).
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
