Nachylenie prostej przez punkty $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$; $\alpha$ — kąt z osią $Ox$.
Przykład: $A(1,2)$, $B(3,8)$: $a=\frac{6}{2}=3$.
📘Teoria 1
Równanie prostej i współczynnik kierunkowy
Postać kierunkowa
$$y=ax+b$$
Litera $a$ to współczynnik kierunkowy — mówi, o ile wzrasta $y$, gdy $x$ rośnie o jeden. Litera $b$ to wyraz wolny — wartość $y$ w punkcie przecięcia z osią $OY$.
Warunek prostopadłości wygodnie stosuje się tak: odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Do prostej o $a=2$ prostopadła ma $a=-\frac12$; do prostej o $a=\frac13$ — $a=-3$.
Proste o równych $a$ i równych $b$ pokrywają się; równe $a$ i różne $b$ oznacza proste rozłączne.
Postać ogólna
$$Ax+By+C=0$$
Zamiana na postać kierunkową polega na wyznaczeniu $y$:
$$2x+3y-6=0 \ \Rightarrow\ y=-\tfrac23x+2$$
Postać ogólna obejmuje również proste pionowe ($B=0$), których nie da się zapisać jako $y=ax+b$.
Punkty przecięcia z osiami
Z osią $OY$: podstawiamy $x=0$ i otrzymujemy punkt $(0,\ b)$.
Z osią $OX$: rozwiązujemy $ax+b=0$, czyli szukamy miejsca zerowego $x=-\frac{b}{a}$.
Punkt przecięcia dwóch prostych
Porównujemy prawe strony równań. Dla $y=2x-1$ i $y=-x+5$ dostajemy $3x=6$, czyli $x=2$ i $y=3$. Zawsze warto sprawdzić wynik w drugim równaniu.
Współliniowość trzech punktów
Punkty leżą na jednej prostej dokładnie wtedy, gdy współczynnik kierunkowy liczony dla różnych par jest taki sam. Dla $(1,2)$, $(3,6)$ i $(5,10)$ oba wynoszą $2$, więc punkty są współliniowe, a prosta to $y=2x$.
Zastosowania
Taksówka z opłatą $8$ zł i stawką $3$ zł za kilometr to $f(x)=3x+8$. Współczynnik kierunkowy jest tempem wzrostu kosztu, a wyraz wolny — kosztem stałym. Ten sam schemat opisuje abonamenty, rachunki za prąd czy koszt produkcji.
Na co uważać
Nie myl $a$ z $b$ przy odczycie ze wzoru. Przy prostopadłości pamiętaj o zmianie znaku, nie tylko o odwróceniu ułamka. I sprawdzaj wynik, podstawiając punkt do równania.
Funkcje liniowe $f(x)=2x-8$ oraz $g(x)=ax+3$ mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik $a$ jest równy
A$\tfrac34$
B$-\tfrac43$
C$-\tfrac34$
D$\tfrac43$
Miejsce zerowe $f$: $2x-8=0 \Rightarrow x=4$.
$g(4)=0$: $4a+3=0 \Rightarrow a=-\tfrac34$.
Odpowiedź:C
Zadanie nr PP12.8
Dana jest funkcja $f(x)=-3x+6$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,6)$.
Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ pod kątem ostrym.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
1. $f(0)=6$, więc wykres przecina $Oy$ w $(0,6)$ — prawda.
2. $a=-3\lt 0$, więc $\operatorname{tg}\alpha\lt 0$ i kąt nachylenia jest rozwarty — fałsz.
Odpowiedź: P, F
Zadanie nr PP12.9
Oblicz miarę kąta, jaki prosta $y=\sqrt3x-2$ tworzy z dodatnią półosią $Ox$.
$\operatorname{tg}\alpha=a=\sqrt3$, a $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$, więc $\alpha=60^\circ$.
Odpowiedź: $60^\circ$
Zadanie nr PP12.10
Dana jest prosta $k:\ y=2x-3$ oraz punkt $P=(4,1)$. Wyznacz równanie prostej $l$ prostopadłej do prostej $k$ i przechodzącej przez punkt $P$. Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostych $k$ i $l$.
Prostopadła: $a=-\tfrac12$. $1=-\tfrac12\cdot4+b \Rightarrow b=3$, więc $l:\ y=-\tfrac12x+3$.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami:
$$k:\; y=(m+1)x+7$$
$$l:\; y=-2x+7$$
Proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe, gdy liczba \(m\) jest równa:
A\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
B\(\frac{1}{2}\)
C\((-3)\)
D\(1\)
Proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej jest równy \(m+1\), natomiast drugiej jest równy \(-2\), zatem:
$$(m+1)\cdot(-2)=-1$$
$$-2m-2=-1$$
$$-2m=1$$
$$m=-\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 23 · Matura 2023
Dane są proste $k:\ y=\tfrac23x$ oraz $l:\ y=-\tfrac32x+13$. Rozstrzygnij, czy są prostopadłe, i podaj współrzędne punktu przecięcia $P$ (wybór: A/B oraz 1: $(-6,-4)$, 2: $(6,4)$, 3: $(-6,4)$).
Rozwiązanie
Iloczyn współczynników: $\tfrac23\cdot(-\tfrac32)=-1$ — proste są prostopadłe (A).
Odpowiedź: A oraz 2, czyli prostopadłe, $P=(6,4)$.
Zadanie nr 23 · Matura 2023
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach
$$k:\quad y=\frac{2}{3}x$$
$$l:\quad y=-\frac{3}{2}x+13$$
Proste \(k\) oraz \(l\):
A.
B.
są prostopadłe
są równoległe
i przecinają się w punkcie \(P\) o współrzędnych
1
2
3
\((-6,-4)\)
\((6,4)\)
\((-6,4)\)
Krok 1. Ustalenie, czy proste są prostopadłe.
Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). W naszym przypadku współczynniki \(a\) mają wartość \(\frac{2}{3}\) oraz \(-\frac{3}{2}\), a iloczyn tych dwóch liczb jest równy:
$$\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$
To oznacza, że proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe.
Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się prostych.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać miejsce przecięcia się prostych wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
$$\begin{cases} y=\frac{2}{3}x \\ y=-\frac{3}{2}x+13 \end{cases}$$
Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+13$$
$$\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}x=13$$
$$\frac{4}{6}x+\frac{9}{6}x=13$$
$$\frac{13}{6}x=13 \quad\bigg/\cdot\frac{6}{13}$$
$$x=6$$
Wiemy już, że \(x=6\) (co swoją drogą wystarczy już do wybrania prawidłowej odpowiedzi). Chcąc poznać jeszcze współrzędną \(y\) punktu przecięcia wystarczy podstawić wyznaczone \(x=6\) do jednego z równań (np. \(y=\frac{2}{3}x\)), zatem:
$$y=\frac{2}{3}\cdot6$$
$$y=4$$
To oznacza, że miejscem przecięcia się tych prostych jest punkt o współrzędnych \((6;4)\).
Zadanie nr 27 · Matura 2023
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste o równaniach \(y=\sqrt{3}x+6\), \(y=-\sqrt{3}x+6\) oraz \(y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x-2\) przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta \(KLM\).
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Trójkąt \(KLM\) jest A. równoramienny / B. prostokątny, ponieważ 1. oś \(Ox\) przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta / 2. dwie z tych prostych są prostopadłe / 3. oś \(Oy\) zawiera dwusieczną tego trójkąta.
A1A1
A2A2
A3A3
B1B1
B2B2
B3B3
Sprawdzamy warunek prostopadłości \(a_1\cdot a_2=-1\) dla par współczynników kierunkowych.
Warunek jest spełniony, więc te proste są prostopadłe — trójkąt \(KLM\) jest prostokątny (odpowiedź B), a uzasadnieniem jest właśnie prostopadłość dwóch prostych (uzasadnienie 2).
Uwaga: uzasadnienie 3. jest nieprawdziwe — proste pierwsza i druga są symetryczne względem osi \(Oy\), ale trzecia prosta nie jest, więc oś \(Oy\) nie zawiera dwusiecznej trójkąta.
Odpowiedź: B2.
Zadanie nr 18 · Próbny 2023
Dana jest prosta $l$ o równaniu $y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{15}{2}$. Prosta $k$ jest prostopadła do $l$ i przechodzi przez punkt $P=(6,0)$. Prosta $k$ ma równanie
A$y=\dfrac{3}{2}x+6$
B$y=-\dfrac{2}{3}x+6$
C$y=\dfrac{3}{2}x-9$
D$y=-\dfrac{2}{3}x+4$
Współczynnik prostej $l$ to $\dfrac{3}{2}$, więc prosta prostopadła ma współczynnik $-\dfrac{2}{3}$ (iloczyn $=-1$).
Przez $P=(6,0)$: $0=-\dfrac{2}{3}\cdot 6+b\Rightarrow b=4$. Zatem $k:\ y=-\dfrac{2}{3}x+4$.
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 13 · Próbny 2023
Dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+4\). Prosta \(l\) o równaniu \(y=(2m+1)x-2\), gdzie \(m\) to pewna liczba rzeczywista, jest prostopadła do prostej \(k\).
Liczba \(m\) jest równa:
A\(-3\)
B\(-2\)
C\(1\)
D\(3\)
Dwie proste są względem siebie prostopadłe wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Prosta \(k\) ma ten współczynnik równy \(\frac{1}{3}\), natomiast prosta \(l\) ma ten współczynnik równy \(2m-1\). Skoro ich iloczyn ma być równy \(-1\), to:
$$\frac{1}{3}\cdot(2m+1)=-1$$
$$\frac{2}{3}m+\frac{1}{3}=-1$$
$$\frac{2}{3}m=-\frac{4}{3} \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2}$$
$$m=-\frac{4}{2}$$
$$m=-2$$
Zadanie nr 26 · Matura 2023
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x+1\). Funkcja \(g\) jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P=(0,-1)\) i jest prostopadły do wykresu funkcji \(f\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wzorem funkcji \(g\) jest
A\(g(x)=x+1\)
B\(g(x)=-x-1\)
C\(g(x)=-x+1\)
D\(g(x)=x-1\)
Warunek prostopadłości wykresów funkcji liniowych: \(a_1\cdot a_2=-1\).
Współczynnik kierunkowy funkcji \(f\) wynosi \(a_1=-1\), zatem:
\(a_2\cdot(-1)=-1\), czyli \(a_2=1\)
Wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P=(0,-1)\), więc wyraz wolny jest równy \(-1\).
Stąd \(g(x)=x-1\).
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 23 · Matura 2023
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach
Krok 1. Ustalenie, czy proste są prostopadłe.
Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). W naszym przypadku współczynniki \(a\) mają wartość \(\frac{2}{3}\) oraz \(-\frac{3}{2}\), a iloczyn tych dwóch liczb jest równy:
$$\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$
To oznacza, że proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe.
Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się prostych.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać miejsce przecięcia się prostych wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
$$\begin{cases} y=\frac{2}{3}x \\ y=-\frac{3}{2}x+13 \end{cases}$$
Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+13$$
$$\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}x=13$$
$$\frac{4}{6}x+\frac{9}{6}x=13$$
$$\frac{13}{6}x=13 \quad\bigg/\cdot\frac{6}{13}$$
$$x=6$$
Wiemy już, że \(x=6\) (co swoją drogą wystarczy już do wybrania prawidłowej odpowiedzi). Chcąc poznać jeszcze współrzędną \(y\) punktu przecięcia wystarczy podstawić wyznaczone \(x=6\) do jednego z równań (np. \(y=\frac{2}{3}x\)), zatem:
$$y=\frac{2}{3}\cdot6$$
$$y=4$$
To oznacza, że miejscem przecięcia się tych prostych jest punkt o współrzędnych \((6;4)\).
Zadanie nr 34 · Matura 2023
W kwadracie \(ABCD\) punkty \(A=(-8;-2)\) oraz \(C=(0;4)\) są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego kwadratu.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Co prawda nie jest to konieczne, ale dobrze jest sobie zobrazować całą sytuację za pomocą prostego rysunku. Pamiętając o tym, że przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości, otrzymamy mniej więcej taką oto sytuację:
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\), więc bez problemu możemy wyznaczyć równanie prostej \(AC\). W tym celu możemy skorzystać z rozbudowanego wzoru z tablic lub po prostu z metody układu równań (w tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne najpierw punktu \(A\), potem \(C\)). Można też postąpić jeszcze nieco sprytniej. Skoro prosta przechodzi przez punkt \(C=(0;4)\) to znaczy, że przecina ona oś \(OY\) dla \(y=4\), co z kolei oznacza, że współczynnik \(b=4\). Wiemy już zatem, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=ax+4\).
Chcąc poznać brakując współczynnik \(a\) wystarczy teraz podstawić do wyznaczonej postaci \(y=ax+4\) współrzędne punktu \(A\), zatem:
$$-2=-8\cdot a+4$$
$$-6=-8a$$
$$a=\frac{3}{4}$$
Krok 3. Wyznaczenie środka odcinka \(AC\).
Musimy wyznaczyć środek odcinka \(AC\), ponieważ jest to punkt, przez który będzie przechodzić także poszukiwana prosta \(BD\). Korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$
$$S=\left(\frac{-8+0}{2};\frac{-2+4}{2}\right)$$
$$S=\left(\frac{-8}{2};\frac{2}{2}\right)$$
$$S=(-4;1)$$
Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Prosta \(BD\) będzie prostą prostopadłą do prostej \(AC\), ponieważ przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym. Z własności prostych prostopadłych wiemy, że iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro więc prosta \(AC\) miała współczynnik \(a=\frac{3}{4}\), to nasza prosta \(BD\) będzie miała ten współczynnik \(a=-\frac{4}{3}\), bo \(\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot\frac{3}{4}=-1\). Skoro tak, to wiemy już, że ta prosta będzie wyrażać się równaniem \(y=-\frac{4}{3}x+b\).
Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\), musimy podstawić do wyznaczonego równania \(y=-\frac{4}{3}x+b\) współrzędne jakiegoś punktu, przez który ta prosta przechodzi - w tym przypadku możemy podstawić wyznaczone wcześniej współrzędne punktu \(S=(-4;1)\). Skoro tak, to:
$$1=-\frac{4}{3}\cdot(-4)+b$$
$$1=\frac{16}{3}+b$$
$$b=-\frac{13}{3}$$
To oznacza, że poszukiwanym równaniem jest \(y=-\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\).
Zadanie nr 21 · Matura 2022
Proste o równaniach \(y=\frac{2}{3}x-3\) oraz \(y=(2m-1)x+1\) są prostopadłe, gdy:
A\(m=-\frac{5}{4}\)
B\(m=-\frac{1}{4}\)
C\(m=\frac{5}{6}\)
D\(m=\frac{5}{4}\)
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=\frac{2}{3}\), a druga ma \(a=2m-1\), zatem:
$$\frac{2}{3}\cdot(2m-1)=-1$$
$$\frac{4}{3}m-\frac{2}{3}=-1$$
$$\frac{4}{3}m=-\frac{1}{3} \quad\bigg/\cdot\frac{3}{4}$$
$$m=-\frac{3}{12}$$
$$m=-\frac{1}{4}$$
Zadanie nr 22 · Próbny 2022
Odcinek o końcach \(A=(1,3)\) i \(B=(5,11)\) jest zawarty w prostej o równaniu \(y=2x+1\). Symetralna odcinka \(AB\) ma równanie:
A\(y=-2x-13\)
B\(y=-2x+5\)
C\(y=-\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}\)
D\(y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\)
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka.
Symetralna odcinka to prosta prostopadła, która przechodzi przez środek tego odcinka. Wyznaczmy zatem najpierw współrzędne środka odcinka \(AB\). Korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$
$$S=\left(\frac{1+5}{2};\frac{3+11}{2}\right)$$
$$S=\left(\frac{6}{2};\frac{14}{2}\right)$$
$$S=(3;7)$$
Krok 2. Wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\).
Symetralna musi być prostą prostopadłą do prostej o równaniu \(y=2x+1\). Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Skoro tak, to nasza symetralna musi mieć \(a=-\frac{1}{2}\), bo \(\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot2=-1\). To oznacza, że symetralna wyrażać się będzie równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+b\).
To oznacza, że symetralna odcinka \(AB\) ma równanie \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}\).
Zadanie nr 22 · Matura 2022
Proste o równaniach \(y=-\frac{5}{4}x-2\) oraz \(y=\frac{4}{2m-1}x+1\) są prostopadłe. Wynika stąd, że:
A\(m=\frac{21}{10}\)
B\(m=-\frac{11}{10}\)
C\(m=-2\)
D\(m=3\)
Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{5}{4}\) natomiast druga prosta ma \(a=\frac{4}{2m-1}\). To oznacza, że:
$$-\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{2m-1}=-1$$
$$-\frac{5}{2m-1}=-1$$
$$-5=-1\cdot(2m-1)$$
$$-5=-2m+1$$
$$-6=-2m$$
$$m=3$$
Zadanie nr 23 · Matura 2022
Proste o równaniach \(y=-3x+\frac{1}{3}\) oraz \(y=\frac{1}{3}x-3\) przecinają się w punkcie \(P=(x_{0}, y_{0})\). Wynika stąd, że:
A\(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\gt0\)
B\(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\lt0\)
C\(x_{0}\lt0\) i \(y_{0}\gt0\)
D\(x_{0}\lt0\) i \(y_{0}\lt0\)
Aby wyznaczyć współrzędne miejsca przecięcia się dwóch prostych, wystarczy rozwiązać układ równań składający się z równań tych prostych. W związku z tym:
\begin{cases} y=-3x+\frac{1}{3} \\ y=\frac{1}{3}x-3 \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania możemy zapisać, że:
$$-3x+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x-3$$
$$-3\frac{1}{3}x=-3\frac{1}{3}$$
$$x=1$$
Znamy już pierwszą współrzędną, czyli \(x=1\). Aby wyznaczyć drugą, wystarczy do dowolnego z równań (np. pierwszego) podstawić wyznaczona przed chwilą wartość \(x=1\), zatem:
$$y=-3\cdot1+\frac{1}{3}$$
$$y=-3+\frac{1}{3}$$
$$y=-2\frac{2}{3}$$
To oznacza, że \(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\lt0\).
Zadanie nr 22 · Matura 2022
Dane są cztery proste \(k,l,m,n\) o równaniach:
k: \(y=-x+1\)
l: \(y=\frac{2}{3}x+1\)
m: \(y=-\frac{3}{2}x+4\)
n: \(y=-\frac{2}{3}x-1\)
Wśród tych prostych prostopadłe są:
Aproste \(k\) oraz \(l\)
Bproste \(k\) oraz \(n\)
Cproste \(l\) oraz \(m\)
Dproste \(m\) oraz \(n\)
Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). Z proponowanych prostych da się utworzyć tylko jedną parę prostych prostopadłych i będą to proste \(l\) oraz \(m\), ponieważ \(\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1\).
Zadanie nr 22 · Matura 2021
Prosta \(k\) ma równanie \(y=-\frac{4}{7}x+24\). Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej \(k\) jest równy:
A\(\frac{7}{4}\)
B\(\left(-\frac{7}{4}\right)\)
C\(\left(-\frac{4}{7}\right)\)
D\(\frac{4}{7}\)
Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{4}{7}\), to nasza prosta \(k\) musi mieć ten współczynnik równy \(\frac{7}{4}\), bo \(\frac{7}{4}\cdot\left(-\frac{4}{7}\right)=-1\).
Zadanie nr 21 · Próbny 2021
Proste o równaniach \(y=3ax-2\) i \(y=2x+3a\) są prostopadłe. Wtedy \(a\) jest równe:
A\(\frac{2}{3}\)
B\(-\frac{1}{6}\)
C\(\frac{3}{2}\)
D\(-5\)
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W przypadku pierwszej prostej współczynnik kierunkowy jest zapisany jako \(3a\), natomiast w drugiej prostej współczynnik kierunkowy jest równy \(2\). W związku z tym:
$$3a\cdot2=-1$$
$$6a=-1$$
$$a=-\frac{1}{6}$$
Zadanie nr 22 · Próbny 2021
Dany jest trapez \(ABCD\), w którym boki \(AB\) i \(CD\) są równoległe oraz \(C=(3,5)\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) tego trapezu leżą na prostej o równaniu 𝑦\(y=5x+3\). Wtedy bok \(CD\) tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu:
A\(y=3x+5\)
B\(y=-\frac{1}{5}x+3\)
C\(y=5x-10\)
D\(y=-\frac{1}{5}x+\frac{28}{5}\)
W tym zadaniu tak naprawdę nie musimy niczego obliczać. Z treści wynika, że prosta przechodząca przez wierzchołki \(C\) i \(D\) musi być równoległa do prostej \(y=5x+3\), która przechodzi przez wierzchołki \(A\) i \(B\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Prosta przechodząca przez wierzchołki \(A\) i \(B\) ma współczynnik \(a=5\), zatem i prosta do niej równoległa musi mieć \(a=5\). Taką sytuację mamy jedynie w trzeciej odpowiedzi, stąd też wiemy, że poszukiwanym równaniem prostej będzie \(y=5x-10\).
Zadanie nr 11 · Próbny 2021
Przekątna \(AC\) rombu \(ABCD\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=-\frac{3}{2}x+1\). Punkt \(S=(2;-2)\) jest środkiem symetrii tego rombu. Wynika z tego, że przekątna \(BD\) tego rombu jest zawarta w prostej o równaniu:
A\(y=-\frac{3}{2}x-1\)
B\(y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}\)
C\(y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\)
D\(y=\frac{3}{2}x-5\)
Wbrew pozorom nie musimy wyznaczać równania tej prostej. Wystarczy pamiętać, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, a skoro tak, to będziemy mogli skorzystać z własności prostych prostopadłych. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{3}{2}\), zatem druga (ta przez nas poszukiwana) musi mieć \(a=\frac{2}{3}\), bo \(-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=-1\).
Z proponowanych odpowiedzi tylko druga ma interesujący nas współczynnik kierunkowy, zatem bez dalszych obliczeń możemy stwierdzić, że druga przekątna tego rombu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}\).
Zadanie nr 10 · Próbny 2021
Prostą równoległą do prostej \(k: 3x+2y-5=0\), przechodzącą przez punkt \(P=(2,-5)\), jest prosta:
A\(l: y=-\frac{3}{2}x-2\)
B\(l: y=\frac{3}{2}x-2\)
C\(l: y=-\frac{3}{2}x+2\)
D\(l: y=\frac{3}{2}x+2\)
Krok 1. Zapisanie równania prostej w postaci kierunkowej.
Prosta \(k\) zapisana jest w postaci ogólnej, a my potrzebujemy postaci kierunkowej \(y=ax+b\) (bo tylko wtedy będziemy mogli przyrównać współczynniki kierunkowe). Musimy więc przekształcić równanie \(3x+2y-5=0\) w taki sposób, aby po lewej stronie był sam \(y\), a po prawej cała reszta zapisu. Zatem:
$$3x+2y-5=0$$
$$2y=-3x+5$$
$$y=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$$
Krok 2. Ustalenie równania prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy. Nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{3}{2}\), więc prosta równoległa będzie się wyrażać równaniem \(y=-\frac{3}{2}x+b\).
Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze obliczenia współczynnika \(b\). W tym celu do równania \(y=-\frac{3}{2}x+b\) musimy podstawić współrzędne punktu \(P\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-5\):
$$y=-\frac{3}{2}x+b$$
$$-5=-\frac{3}{2}\cdot2+b$$
$$-5=-3+b$$
$$b=-2$$
To oznacza, że prosta równoległa wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{2}x-2\).
Zadanie nr 22 · Matura 2021
Proste o równaniach \(y=-\frac{1}{m-2}x-1\) i \(y=\frac{1}{3}x+1\) są równoległe. Wynika stąd, że:
A\(m=\frac{5}{3}\)
B\(m=-1\)
C\(m=\frac{7}{3}\)
D\(m=5\)
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). W pierwszej prostej ten współczynnik jest równy \(a=-\frac{1}{m-2}\), natomiast w drugiej jest to \(a=\frac{1}{3}\). Skoro te wartości muszą być sobie równe, to:
$$-\frac{1}{m-2}=\frac{1}{3}$$
I tu zanim zaczniemy liczyć, to taka mała uwaga - w mianowniku ułamka pojawiła się niewiadoma \(m\). Wiemy, że wartość mianownika musi być zawsze różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), z tego też względu powinniśmy zapisać, że \(m\neq2\). Teraz możemy przystąpić do liczenia. Całość będzie najprościej zacząć od wymnożenia obu stron przez \(3\):
$$-\frac{1}{m-2}=\frac{1}{3} \quad\bigg/\cdot 3$$
$$-\frac{3}{m-2}=1 \quad\bigg/\cdot(m-2)$$
$$-3=m-2$$
$$m=-1$$
Zadanie nr 9 · Matura 2021
Proste o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=\frac{m-3}{2}x+\frac{9}{2}\) są równolegle, gdy:
A\(m=1\)
B\(m=3\)
C\(m=6\)
D\(m=9\)
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=3\), natomiast druga ma \(a=\frac{m-3}{2}\). W związku z tym:
$$3=\frac{m-3}{2}$$
$$6=m-3$$
$$m=9$$
Zadanie nr 13 · Matura 2020
Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(y=-\frac{1}{2}x+2\). Na prostej \(l\) leży punkt \(P=(0;7)\). Zatem równanie prostej \(l\) ma postać:
A\(y=2x\)
B\(y=2x+7\)
C\(y=-\frac{1}{2}x\)
D\(y=-\frac{1}{2}x+7\)
Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\) prostej \(l\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki \(a\). To oznacza, że prosta \(l\) musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\).
Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\) prostej \(l\).
Punkt \(P\) należący do prostej \(l\) jest bardzo charakterystyczny - jest to miejsce przecięcia się prostej z osią \(OY\). Z własności prostych wiemy, że w takiej sytuacji współczynnik \(b=7\).
To oznacza, że prosta \(l\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+7\).
Zadanie nr 21 · Matura 2020
W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie parę prostych prostopadłych opisują równania:
A\(y=2x\) i \(y=-\frac{1}{2}\)
B\(y=-2x\) i \(y=\frac{1}{2}x\)
C\(y=2x\) i \(y=\frac{1}{2}x\)
D\(y=2\) i \(y=-2x\)
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) (czyli liczb znajdujących się przed \(x\)) musi być równy \(-1\). Taka sytuacja ma miejsce jedynie w drugiej odpowiedzi, albowiem \(-2\cdot\frac{1}{2}=-1\).
Zadanie nr 20 · Próbny 2020
Prosta \(k\) przechodzi przez punkt \(A=(4,-4)\) i jest prostopadła do osi \(Ox\). Prosta \(k\) ma równanie:
A\(x-4=0\)
B\(x-y=0\)
C\(y+4=0\)
D\(x+y=0\)
Jeżeli prosta \(k\) jest prostopadła do osi \(Ox\) i przechodzi przez punkt \(A=(4;-4)\) to musi ona wyglądać w ten sposób:
Widzimy wyraźnie, że prosta \(k\) wyraża się równaniem \(x=4\). Takiej odpowiedzi nie mamy, ale przenosząc czwórkę na lewą stronę otrzymamy \(x-4=0\) i to jest poszukiwane przez nas równanie.
Zadanie nr 19 · Próbny 2020
Prosta \(y=-3x+4\) jest prostopadła do prostej o równaniu:
A\(x-3y+3=0\)
B\(-3x+y=0\)
C\(3x+y=0\)
D\(x+3y=0\)
Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej.
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-3\), zatem druga prosta musi mieć ten współczynnik równy \(\frac{1}{3}\), bo \(-3\cdot\frac{1}{3}=-1\).
Krok 2. Przekształcenie wzorów funkcji do postaci kierunkowej.
Aby móc wybrać właściwą prostą, to wszystkie warianty w odpowiedziach A-D musimy zamienić na postać kierunkową, czyli postać \(y=ax+b\). Krótko mówiąc, musimy doprowadzić do sytuacji w której po lewej stronie jest \(y\), a po prawej jest cała reszta:
Odp. A.
\(x-3y+3=0\)
\(3y=x+3\)
\(y=\frac{1}{3}x+1\)
I tak prawdę w tym miejscu moglibyśmy zakończyć to zadanie, bo otrzymaliśmy prostą, która ma \(a=\frac{1}{3}\), zatem to jest na pewno prawidłowa odpowiedź do naszego zadania. Dla treningu możemy jeszcze przekształcić pozostałe odpowiedzi.
Odp. B.
\(-3x+y=0\)
\(y=3x\)
Tutaj współczynnik \(a=3\), zatem ta prosta nas nie interesuje.
Odp. C.
\(3x+y=0\)
\(y=-3x\)
Tutaj współczynnik \(a=-3\), zatem ta prosta nas nie interesuje.
Odp. D.
\(x+3y=0\)
\(3y=-x\)
\(y=-\frac{1}{3}x\)
Tutaj współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\), zatem ta prosta nas nie interesuje.
Zadanie nr 19 · Próbny 2020
Proste o równaniach \(y=(2m+1)x-4\) i \(y=(6-3m)x+4\) są równoległe wtedy, gdy:
A\(m=-1\)
B\(m=-3\)
C\(m=1\)
D\(m=3\)
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy. Skoro tak, to musimy rozwiązać następujące równanie:
$$2m+1=6-3m$$
$$5m=5$$
$$m=1$$
To oznacza, że te dwie proste będą względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy \(m=1\).
Zadanie nr 13 · Matura 2020
Proste o równaniach \(y=(m-2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są równoległe. Wtedy:
A\(m=-\frac{5}{4}\)
B\(m=\frac{2}{3}\)
C\(m=\frac{11}{4}\)
D\(m=\frac{10}{3}\)
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe \(a\) są sobie równe. Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=m-2\) natomiast druga ma współczynnik \(a=\frac{3}{4}\). Skoro te współczynniki mają być sobie równe, to:
$$m-2=\frac{3}{4}$$
$$m=2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$$
Zadanie nr 12 · Matura 2020
Proste o równaniach \(y=(m-2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są prostopadłe. Wtedy:
A\(m=-\frac{5}{4}\)
B\(m=\frac{2}{3}\)
C\(m=\frac{11}{4}\)
D\(m=\frac{10}{3}\)
Dwie proste są względem siebie prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=m-2\), natomiast druga ma \(a=\frac{3}{4}\). W związku z tym musimy rozwiązać następujące równanie:
Proste o równaniach \(y=(4m+1)x-19\) oraz \(y=(5m-4)x+20\) są równoległe, gdy:
A\(m=5\)
B\(m=-\frac{1}{4}\)
C\(m=\frac{5}{4}\)
D\(m=-5\)
Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakową wartość współczynnika kierunkowego \(a\). W naszym przypadku pierwsza prosta ma współczynnik \(a=4m+1\), natomiast druga prosta ma \(a=5m-4\). Skoro więc te współczynniki mają być sobie równe, to:
$$4m+1=5m-4$$
$$1=m-4$$
$$m=5$$
Zadanie nr 31 · Matura 2019
Przekątne rombu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=(-\frac{21}{2},-1)\). Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).
Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej \(BD\).
Wiemy, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\), czyli współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej wynosi \(\frac{1}{3}\). Prosta \(BD\) musi być prostopadła do naszej prostej \(AC\), a aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W związku z tym prosta \(BD\) będzie miała współczynnik \(a\) równy:
$$\frac{1}{3}\cdot a=-1$$
$$a=-3$$
Możemy teraz podstawić wyznaczony współczynnik do postaci kierunkowej \(y=ax+b\), a to oznacza, że wzór prostej \(BD\) możemy zapisać już jako \(y=-3x+b\).
Krok 2. Obliczenie współczynnika \(b\) prostej \(BD\).
Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\). Wyznaczymy go podstawiając do otrzymanej przed chwilą postaci \(y=-3x+b\) współrzędne punktu \(S\), przez który ta prosta przechodzi. Podstawiając zatem \(x=-\frac{21}{2}\) oraz \(y=-1\) otrzymamy:
$$y=-3x+b$$
$$-1=-3\cdot(-\frac{21}{2})+b$$
$$-1=\frac{63}{2}+b$$
$$-1=31\frac{1}{2}+b$$
$$b=-32\frac{1}{2}$$
To oznacza, że nasza prosta \(BD\) wyraża się równaniem: \(y=-3x-32\frac{1}{2}\).
Zadanie nr 19 · Próbny 2019
Dana jest prosta o równaniu \(-2x-4y+3=0\). Wskaż równanie prostej, która jest do niej równoległa i przechodzi przez punkt \(P=(0,-2)\).
A\(y=\frac{1}{2}x-2\)
B\(y=-\frac{1}{2}x+2\)
C\(y=2x-2\)
D\(y=-\frac{1}{2}x-2\)
Krok 1. Zapisanie równania prostej w postaci kierunkowej.
Aby zacząć wyznaczenie prostej równoległej, to musimy najpierw zapisać prostą z treści zadania w postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Musimy więc przenieść wyrazy w taki sposób, by po lewej stronie został igrek, a po prawej by była cała reszta:
$$-2x-4y+3=0$$
$$-4y=2x-3 \quad\bigg/:(-4)$$
$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$$
Krok 2. Zapisanie prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe to ich współczynnik kierunkowy \(a\) musi być jednakowy. Nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{1}{2}\), zatem i prosta równoległa musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\).
Standardowo w takich zadaniach znając już współczynnik \(a\) moglibyśmy zapisać, że prosta wyznacza się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+b\) i podstawiając współrzędne punktu \(P\) obliczylibyśmy brakujący współczynnik \(b\). Jednak w tym zadaniu współczynnik \(b\) możemy poznać bez wykonywania obliczeń, wystarczy odczytać go wprost z treści zadania. Zwróćmy uwagę na to, że punkt \(P=(0,-2)\) to miejsce przecięcia się z osią igreków. Współczynnik \(b\) informuje nas właśnie o tym gdzie dana prosta przecina się z osią igreków. Możemy więc już zapisać, że w takim razie \(b=-2\).
Skoro więc \(a=-\frac{1}{2}\) oraz \(b=-2\), to prosta równoległa przechodząca przez punkt \(P\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x-2\).
Zadanie nr 17 · Matura 2019
Proste o równaniach \(y=(2m+2)x−2019\) oraz \(y=(3m−3)x+2019\) są równoległe, gdy:
A\(m=-1\)
B\(m=0\)
C\(m=1\)
D\(m=5\)
Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma ten współczynnik \(a\) równy \(2m+2\), natomiast druga prosta ma ten współczynnik równy \(3m-3\). W związku z tym musimy rozwiązać następujące równanie:
$$2m+2=3m-3$$
$$m=5$$
Zadanie nr 18 · Matura 2019
Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=-4x+1\) i przechodzi przez punkt \(P=(\frac{1}{2},0)\), gdy:
A\(a=-4\) i \(b=-2\)
B\(a=\frac{1}{4}\) i \(b=-\frac{1}{8}\)
C\(a=-4\) i \(b=2\)
D\(a=\frac{1}{4}\) i \(b=\frac{1}{2}\)
Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\).
Iloczyn współczynników kierunkowych \(a\) dwóch prostych prostopadłych musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-4\), to druga prosta musi mieć ten współczynnik równy \(a=\frac{1}{4}\). Możemy to nawet rozpisać matematycznie:
$$-4\cdot a=-1$$
$$a=\frac{1}{4}$$
W ten oto sposób możemy już ograniczyć się do dwóch odpowiedzi, czyli \(B\) oraz \(D\).
Krok 2. Ustalenie współczynnika \(b\).
Skoro nasza prosta prostopadła ma współczynnik \(a=\frac{1}{4}\), to znaczy że musi wyrażać się wzorem:
$$y=\frac{1}{4}x+b$$
Podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(P\) (przez który ta prosta przechodzi) obliczymy współczynnik \(b\):
$$0=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}+b$$
$$0=\frac{1}{8}+b$$
$$b=-\frac{1}{8}$$
To oznacza, że prawidłowa będzie druga odpowiedź.
Zadanie nr 20 · Matura 2018
Proste o równaniach \(y=(3m-4)x+2\) oraz \(y=(12-m)x+3m\) są równoległe, gdy:
A\(m=4\)
B\(m=3\)
C\(m=-4\)
D\(m=-3\)
Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\), czyli liczbę stojącą przed iksem. W związku z tym:
$$3m-4=12-m$$
$$4m=16$$
$$m=4$$
Zadanie nr 20 · Próbny 2018
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej o równaniu \(2x+3y-5=0\) jest równy:
A\(-2\)
B\(-\frac{1}{2}\)
C\(\frac{3}{2}\)
D\(2\)
Krok 1. Zapisanie równania w postaci kierunkowej.
Aby móc wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej, to najpierw musimy naszą pierwszą prostą zapisać w postaci kierunkowej, a nie ogólnej, jak to ma miejsce w treści zadania. Aby otrzymać postać kierunkową \(y=ax+b\) wystarczy doprowadzić do sytuacji w której po lewej stronie równania mamy samego igreka, a po prawej mamy całą resztą wyrazów, zatem:
$$2x+3y-5=0$$
$$3y=-2x+5$$
$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej.
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{2}{3}\), zatem prosta do niej prostopadła musi mieć \(a=\frac{3}{2}\), bo \(-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=-1\).
Zadanie nr 34 · Próbny 2018
W trójkącie \(ABC\) wierzchołek \(A\) ma współrzędne \((1,6)\), wierzchołek \(B\) leży na osi \(Oy\), a \(|\sphericalangle ACB|=90°\). Prosta o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\) jest równoległa do boku \(BC\) i przecina każdy z boków \(AB\) i \(AC\) w połowie. Wyznacz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczając w układzie współrzędnych dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:
Warto zwrócić uwagę na to, że kąt \(ANM\) będzie także miał miarę \(90°\), bo proste \(BC\) oraz \(MN\) są względem siebie równoległe, zatem miary kątów \(ACB\) oraz \(ANM\) są sobie równe.
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AN\) (oraz \(AC\)).
Prosta \(AN\) (lub \(AC\)) to prosta prostopadła do prostej \(y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to prosta \(AN\) będzie mieć ten współczynnik \(a=-2\), bo \(-2\cdot\frac{1}{2}=-1\). To oznacza, że prosta \(AN\) wyrażać się będzie równaniem \(y=-2x+b\). Do poznania pełnego wzoru musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\).
Współczynnik \(b\) wyznaczymy podstawiając do zapisanego przed chwilą równania wartości współrzędnych jakiegoś punktu, który przez tą prostą przechodzi. W naszym przypadku znamy współrzędne punktu \(A=(1,6)\), zatem podstawiając \(x=1\) oraz \(y=6\) do postaci \(y=-2x+b\) otrzymamy:
$$6=-2\cdot1+b$$
$$6=-2+b$$
$$b=8$$
To oznacza, że równanie prostej \(AN\) przyjmuje postać \(y=-2x+8\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(N\).
Punkt \(N\) jest miejscem przecięcia się prostych \(MN\) oraz \(AN\). Znamy równania jednej i drugiej prostej, zatem tworząc z nich układ równań będziemy mogli wyznaczyć współrzędne punktu \(N\):
$$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \\ y=-2x+8 \end{cases}$$
Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=-2x+8$$
$$2\frac{1}{2}x=7\frac{1}{2}$$
$$x=3$$
Znamy już wartość współrzędnej iksowej, musimy jeszcze poznać wartość współrzędnej igrekowej, a dokonamy tego podstawiając \(x=3\) do wybranego równania (np. drugiego):
$$y=-2x+8$$
$$y=-2\cdot3+8$$
$$y=-6+8$$
$$y=2$$
To oznacza, że \(N=(3;2)\).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt \(N\) jest środkiem odcinka \(AC\). Znamy współrzędne punktu \(A=(1,6)\), znamy też już współrzędne punktu \(N=(3;2)\), zatem możemy ze wzoru na środek odcinka wyznaczyć współrzędne punktu \(C\). Dla przejrzystości obliczeń najlepiej jest oddzielnie policzyć współrzędną iksową i oddzielnie współrzędną igrekową:
$$x_{N}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$$
$$3=\frac{1+x_{C}}{2}$$
$$6=1+x_{C}$$
$$x_{C}=5$$
$$\quad$$
$$y_{N}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$$
$$2=\frac{6+y_{C}}{2}$$
$$4=6+y_{C}$$
$$y_{C}=-2$$
Wyszło nam zatem, że \(C=(5;-2)\).
Krok 5. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Prosta \(BC\) jest równoległa do prostej \(MN\), zatem te dwie proste będą mieć jednakowy współczynnik \(a\). Skoro więc prosta \(MN\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to i prosta \(BC\) będzie mieć \(a=\frac{1}{2}\). To z kolei oznacza, że prosta \(BC\) będzie wyrażać się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+b\). Musimy jeszcze poznać wartość współczynnika \(b\), a dokonamy tego podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(C\).
$$-2=\frac{1}{2}\cdot5+b$$
$$-2=2\frac{1}{2}+b$$
$$b=-4\frac{1}{2}$$
To oznacza, że równaniem prostej \(BC\) będzie \(y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{2}\).
Krok 6. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
O punkcie \(B\) wiemy tyle, że leży on na osi igreków, czyli na pewno współrzędna iksowa tego punktu jest równa \(x=0\). Możemy więc do równania prostej \(BC\), czyli \(y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{2}\) podstawić \(x=0\) i otrzymamy współrzędną igrekową naszego punktu. Tak prawdę mówiąc, to współrzędną igrekową punktu \(B\) możemy wprost odczytać ze wzoru funkcji - wystarczy spojrzeć na współczynnik \(b\) tej prostej, bo to on pokazuje nam jaka jest współrzędna igrekowa naszego punktu \(B\). Skoro współczynnik \(b=-4\frac{1}{2}\), to współrzędna \(y=-4\frac{1}{2}\). To oznacza, że \(B=\left(0;-4\frac{1}{2}\right)\).
Zadanie nr 11 · Próbny 2018
Wykres funkcji \(f(x)=-3^x\) przesunięto równolegle wzdłuż osi \(OX\) o dwie jednostki w prawo i otrzymano wykres funkcji \(y=g(x)\). Wówczas:
A\(g(x)=-3^x+2\)
B\(g(x)=-3^{x+2}\)
C\(g(x)=-3^x-2\)
D\(g(x)=-3^{x-2}\)
Chcąc zapisać wzór funkcji przesuniętej w prawo/lewo musimy zmienić wartość stojącą przy iksie. Przesunięcie o dwie jednostki w prawo oznacza, że wartość iksa należy pomniejszyć o \(2\) (gdybyśmy przesuwali w lewo, to wartość iksa należałoby powiększyć o \(2\)). Skoro więc iks znajduje się w potędze, to musimy pomniejszyć wykładnik tej potęgi o \(2\), zatem \(g(x)=-3^{x-2}\).
Zadanie nr 33 · Próbny 2018
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(A=(-9,8)\). Bok \(BC\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=-2x+38\). Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(B\) ma równanie \(3x+2y-61=0\). Wyznacz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) oraz napisz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka \(C\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie szkic całej sytuacji, tak aby mieć lepszy podgląd na to co trzeba zrobić:
Liniami przerywanymi zostały narysowane wysokości opuszczone z wierzchołka \(B\) oraz \(C\).
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Z treści zadania (i tym samym z rysunku) wynika, że proste o równaniu \(y=-2x+38\) oraz \(3x+2y-61=0\) przecinają się w punkcie \(B\). Zgodnie z tak zwaną geometryczną interpretacją układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań zbudowanego z dwóch prostych będzie miejsce ich przecięcia. W ten sposób będziemy mogli wyznaczyć współrzędne punktu \(B\), zatem:
$$\begin{cases} y=-2x+38 \\ 3x+2y-61=0 \end{cases}$$
Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$3x+2\cdot(-2x+38)-61=0$$
$$3x-4x+76-61=0$$
$$-x+15=0$$
$$x=15$$
Znając wartość iksa możemy teraz obliczyć wartość igreka, podstawiając do dowolnego z równań (np. pierwszego) wartość \(x=15\):
$$y=-2x+38$$
$$y=-2\cdot15+38$$
$$y=-30+38$$
$$y=8$$
To oznacza, że \(B=(15,8)\).
Krok 3. Zapisanie równania prostej \(BD\) w postaci kierunkowej.
Prosta \(BD\) będąca wysokością poprowadzoną z wierzchołka \(B\) jest zapisana w postaci ogólnej, a my za chwilę będziemy potrzebować postaci kierunkowej (do wyznaczenia prostej prostopadłej). W związku z tym już teraz przekształćmy ten zapis do wspomnianej postaci kierunkowej:
$$3x+2y-61=0$$
$$2y=-3x+61$$
$$y=-\frac{3}{2}x+30\frac{1}{2}$$
Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Wiemy, że prosta \(AC\) jest prostopadła do prostej \(BD\). Z własności prostych prostopadłych wynika, że aby dwie proste były względem prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Prosta \(BD\) ma współczynnik kierunkowy równy \(a=-\frac{3}{2}\), zatem prosta \(AC\), czyli prosta prostopadła, będzie mieć ten współczynnik równy \(a=\frac{2}{3}\), bo \(-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=-1\). To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+b\). Brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(b\), a poznamy go podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=-9\) oraz \(y=8\):
$$y=\frac{2}{3}x+b$$
$$8=\frac{2}{3}\cdot(-9)+b$$
$$8=-6+b$$
$$b=14$$
Skoro współczynnik \(b=14\) to prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+14\).
Krok 5. Wyznaczenie współrzędnej punktu \(C\).
Zastosujemy identyczny zabieg co przy wyznaczaniu współrzędnych punktu \(B\). Punkt \(C\) jest miejscem przecięcia się prostych \(y=-2x+38\) oraz \(y=\frac{2}{3}x+14\), zatem jego współrzędne obliczymy rozwiązując następujący układ równań:
\begin{cases} y=-2x+38 \\ y=\frac{2}{3}x+14 \end{cases}
Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$-2x+38=\frac{2}{3}x+14 \quad\bigg/\cdot3$$
$$-6x+114=2x+42$$
$$-8x=-72$$
$$x=9$$
Znając wartość iksa możemy teraz obliczyć wartość igreka, podstawiając do dowolnego z równań (np. pierwszego) wartość \(x=9\):
$$y=-2x+38$$
$$y=-2\cdot9+38$$
$$y=-18+38$$
$$y=20$$
To oznacza, że \(C=(9,20)\).
Krok 6. Wyznaczenie równania prostej \(CE\).
Poszukiwana przez nas prosta \(CE\) (czyli wysokość opuszczona z wierzchołka \(C\)) jest prostopadła do prostej \(AB\). Teoretycznie powinniśmy najpierw obliczyć jakie jest równanie prostej \(AB\), a potem obliczyć równanie prostej \(CE\), ale da się poznać wzór tej prostej znacznie szybciej.
Powinniśmy zauważyć, że punkty \(A\) i \(B\) mają jednakową współrzędną igrekową, czyli leżą "na tej samej linii". Bez żadnych więc obliczeń możemy zapisać, że prosta \(AB\) wyraża się równaniem \(y=8\). Prostymi prostopadłymi do tej prostej byłyby więc np. \(x=1\), \(x=3\) czy też \(x=7\). Nas interesuje taka prosta prostopadła, która przejdzie przez punkt \(C=(9,20)\), czyli przejdzie przez współrzędną iksową równą \(9\). Z tego też względu interesująca nas prosta \(CE\) wyrazi się wzorem \(x=9\).
Zadanie nr 19 · Matura 2018
Proste o równaniach \(y=(m+2)x+3\) oraz \(y=(2m-1)x-3\) są równoległe, gdy:
A\(m=2\)
B\(m=3\)
C\(m=0\)
D\(m=1\)
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). W naszym przypadku pierwsza prosta ma współczynnik \(a=(m+2)\) natomiast druga prosta ma \(a=2m-1\). W związku z tym, że te współczynniki muszą być sobie równe to:
$$m+2=2m-1$$
$$-m=-3$$
$$m=3$$
Zadanie nr 32 · Matura 2018
W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.
Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktu \(C\).
Wiemy, że punkt \(C\) leży na prostej \(y=2x+3\). Co wynika ze znajomości tego wzoru? Wynika to, że podstawiając do wzoru argument \(x\) funkcja przyjmuje wartość \(2x+3\). Z tego też względu współrzędne punktu \(C\) możemy zapisać jako \(C=(x;2x+3)\).
Krok 2. Obliczenie długości boku \(AB\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$
$$|AB|=\sqrt{(10-4)^2+(5-3)^2}$$
$$|AB|=\sqrt{6^2+2^2}$$
$$|AB|=\sqrt{36+4}$$
$$|AB|=\sqrt{40}$$
Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Analogicznie jak w poprzednim kroku, podstawiamy do wzoru na długość odcinka współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\).
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}$$
$$|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x+3-5)^2}$$
$$|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}$$
Całości dalej rozpisywać nie musimy, a to dlatego że za chwilę będziemy korzystać z Twierdzenia Pitagorasa i tam być może pewne poszczególne długości zaczną się upraszczać.
Krok 4. Obliczenie długości boku \(AC\).
I podobnie jak w poprzednich krokach, tym razem wyznaczymy długość boku \(AC\).
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$
$$|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x+3-3)^2}$$
$$|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}$$
Krok 5. Wyznaczenie współrzędnej iksowej punktu \(C\).
Skoro trójkąt \(ABC\) ma być prostokątny, to znaczy że możemy dla niego zastosować Twierdzenie Pitagorasa. Pojawia się jednak pytanie - który bok jest przeciwprostokątną, bo tak wprost nigdzie nie jest to napisane. Wynika to tak naprawdę z nazewnictwa kąta prostego, zapisanego w treści zadania jako kąt \(ABC\). Zgodnie z zasadami nazewnictwa kątów wiemy, że w takiej sytuacji kąt prosty musi być przy wierzchołku \(B\). To oznacza, że przeciwprostokątną będzie prosta \(AC\). W związku z tym:
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2$$
$$(\sqrt{40})^2+\left(\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}\right)^2=\left(\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}\right)^2$$
$$40+(x-10)^2+(2x-2)^2=(x-4)^2+(2x)^2$$
$$40+x^2-20x+100+4x^2-8x+4=x^2-8x+16+4x^2$$
$$5x^2-28x+144=5x^2-8x+16$$
$$-28x+144=-8x+16$$
$$-20x=-128$$
$$x=6,4$$
Krok 6. Wyznaczenie współrzędnej igrekowej punktu \(C\).
Wiemy już, że \(x=6,4\). Teraz możemy podstawić naszego iksa do wyrażenia \(2x+3\) i tym samym obliczymy współrzędną igrekową punktu \(C\):
$$y=2x+3$$
$$y=2\cdot6,4+3$$
$$y=12,8+3$$
$$y=15,8$$
To oznacza, że współrzędne punktu \(C\) wynoszą: \(C=(6,4;15,8)\).
Zadanie nr 20 · Matura 2017
Prosta \(k\) przechodzi przez punkt \(A=(4,-4)\) i jest prostopadła do osi \(Ox\). Prosta \(k\) ma równanie:
A\(x-4=0\)
B\(x-y=0\)
C\(y+4=0\)
D\(x+y=0\)
Jeżeli prosta \(k\) jest prostopadła do osi \(Ox\) i przechodzi przez punkt \(A=(4;-4)\) to musi ona wyglądać w ten sposób:
Widzimy wyraźnie, że prosta \(k\) wyraża się równaniem \(x=4\). Takiej odpowiedzi nie mamy, ale przenosząc czwórkę na lewą stronę otrzymamy \(x-4=0\) i to jest poszukiwane przez nas równanie.
Zadanie nr 18 · Matura 2017
Prosta przechodząca przez punkt \(A=(-10,5)\) i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu:
A\(y=-2x+4\)
B\(y=\frac{1}{2}x\)
C\(y=-\frac{1}{2}x+1\)
D\(y=2x-4\)
Krok 1. Zapisanie równania prostej.
Równanie prostej możemy opisać wzorem \(y=ax+b\). Współczynnik \(b\) odpowiada za miejsce przecięcia się prostej z osią igreków. Skoro nasza prosta ma przechodzić przez początek układu współrzędnych, to znaczy że przecina oś igreków dla \(y=0\). Stąd też płynie wniosek, że współczynnik \(b=0\), zatem równanie naszej prostej możemy zapisać jako \(y=ax\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).
Podstawiając do równania \(y=ax\) współrzędne punktu \(A\) obliczymy wartość współczynnika kierunkowego \(a\):
$$y=ax$$
$$5=a\cdot(-10)$$
$$a=-\frac{5}{10}$$
$$a=-\frac{1}{2}$$
Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej prostopadłej.
Wiemy już, że nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{1}{2}\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), zatem druga prosta będzie mieć ten współczynnik równy:
$$a\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$$
$$a=2$$
Teraz jak spojrzymy na odpowiedzi to widzimy, że tylko jedna prosta ma w swoim równaniu współczynnik \(a=2\) i jest to prosta z czwartej odpowiedzi.
Zadanie nr 7 · Próbny 2016
Układ równań \(\begin{cases}y=(m+2)x+2m\\(2m-1)x-m=y\end{cases}\) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie dwie proste równoległe. Zatem liczba \(m\) jest równa:
A\(0\)
B\(-\frac{1}{3}\)
C\(3\)
D\(\frac{1}{2}\)
Obydwa równania prostych są zapisane w postaci kierunkowej, zatem aby obydwie te proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy (czyli liczbę stojącą przed iksem). W związku z tym:
$$m+2=2m-1$$
$$-m=-3$$
$$m=3$$
Zadanie nr 10 · Próbny 2016
Dwusieczna kąta, pod którym przecinają się proste \(y=x-1\) i \(y=-x+1\), przechodzi przez punkt:
A\(P=(0,1)\)
B\(P=(-1,-1)\)
C\(P=(-1,1)\)
D\(P=(1,0)\)
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań składającego się z dwóch prostych jest ich punkt przecięcia się (czyli dokładnie to czego szukamy, bo przecież dwusieczna kąta musi przechodzić przez punkt przecięcia się prostych). W związku z tym:
$$\begin{cases} y=x-1 \\ y=-x+1 \end{cases}$$
$$x-1=-x+1$$
$$2x=2$$
$$x=1$$
Znając wartość współrzędnej iksowej możemy obliczyć wartość współrzędnej igrekowej, podstawiając \(x=1\) do jednego z równań:
$$y=1-1$$
$$y=0$$
To oznacza, że poszukiwanym punktem jest \(P=(1;0)\).
Zadanie nr 23 · Matura 2016
Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe \(k\) i \(l\) o równaniach \(y=ax+b\) oraz \(y=mx+n\). Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.
Zatem:
A\(a\cdot m\gt0\) i \(b\cdot n\gt0\)
B\(a\cdot m\gt0\) i \(b\cdot n\lt0\)
C\(a\cdot m\lt0\) i \(b\cdot n\gt0\)
D\(a\cdot m\lt0\) i \(b\cdot n\lt0\)
Krok 1. Ustalenie wartości współczynników \(a\) oraz \(m\).
Obie proste są malejące, a to z kolei oznacza że ich współczynniki kierunkowe (\(a\) oraz \(m\)) są ujemne. Iloczyn liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, stąd też \(a\cdot m\gt0\).
Krok 2. Ustalenie wartości współczynników \(b\) oraz \(n\).
Współczynniki \(b\) oraz \(n\) mówią nam w którym miejscu na osi \(y\) przetną się poszczególne proste. Z wykresów możemy odczytać, że pierwsza przecina oś \(Oy\) w dodatnim miejscu, a druga w miejscu ujemnym. To oznacza, że współczynnik \(b\) jest dodatni, natomiast \(n\) jest ujemny. Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą ujemną, zatem \(b\cdot n\lt0\).
Podsumowując informacje z pierwszego i drugiego kroku możemy wywnioskować, że prawidłowa jest druga odpowiedź.
Zadanie nr 20 · Matura 2016
Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy:
A\(m=2\)
B\(m=\frac{1}{2}\)
C\(m=\frac{1}{3}\)
D\(m=-2\)
Aby dwie proste były względem prostopadłe to ich iloczyn współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma \(a=\frac{2}{m-1}\), druga \(a=m\), zatem:
$$\frac{2}{m-1}\cdot m=-1 \quad\bigg/\cdot(m-1) \quad \text{zał. }x\neq1$$
$$2m=-m+1$$
$$3m=1$$
$$m=\frac{1}{3}$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2015
Prosta \(l\) ma równanie \(3x-2y=7\). Prosta \(k\) prostopadła do prostej \(l\) może mieć równanie:
A\(y=\frac{2}{3}x+1\)
B\(y=-\frac{2}{3}x+1\)
C\(y=\frac{3}{2}x+1\)
D\(y=-\frac{3}{2}x+1\)
Krok 1. Zapisanie równania prostej \(l\) w postaci kierunkowej.
Aby móc przystąpić w ogóle do działania musimy zapisać równanie prostej \(l\) w postaci kierunkowej typu \(y=ax+b\). Zatem:
$$3x-2y=7$$
$$-2y=-3x+7 \quad\bigg/:(-2)$$
$$y=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$$
Krok 2. Ustalenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza prosta \(l\) ma ten współczynnik kierunkowy równy \(\frac{3}{2}\) (właśnie po to zapisywaliśmy równanie tej prostej w postaci kierunkowej), zatem druga prosta musi mieć współczynnik \(a\) równy:
$$a\cdot\frac{3}{2}=-1 \quad\bigg/\cdot\frac{2}{3}$$
$$a=-\frac{2}{3}$$
Taki współczynnik kierunkowy znalazł się jedynie w drugiej odpowiedzi, zatem poszukiwaną przez nas prostą prostopadłą jest \(y=-\frac{2}{3}x+1\).
Zadanie nr 10 · Matura 2015
Prosta \(k\) przecina oś \(Oy\) układu współrzędnych w punkcie \((0,6)\) i jest równoległa do prostej o równaniu \(y=-3x\). Wówczas prosta \(k\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie:
A\((-12,0)\)
B\((-2,0)\)
C\((2,0)\)
D\((6,0)\)
Krok 1. Ustalenie wzoru prostej \(k\).
Na podstawie informacji z zadania możemy określić wzór naszej prostej \(k\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\), zatem nasza prosta \(k\) ma na pewno \(a=-3\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;6)\) to wiemy też, że współczynnik \(b=6\). To oznacza, że wzór naszej prostej to:
$$y=-3x+6$$
Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się prostej \(k\) z osią \(Ox\).
Miejsce przecięcia się z osią \(Ox\) to nic innego jak miejsce zerowe funkcji. Aby więc poznać współrzędne takiego punktu przecięcia wystarczy przyrównać wzór prostej do zera, tak więc:
$$0=-3x+6$$
$$-6=-3x$$
$$x=2$$
Prosta \(k\) przecina się więc z osią \(Ox\) w punkcie o współrzędnych \((2;0)\).
Zadanie nr 18 · Matura 2015
Prosta \(l\) o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:
A\(m=2\)
B\(m=-2\)
C\(m=-2-\sqrt{2}\)
D\(m=-2+\sqrt{2}\)
Krok 1. Utworzenie równania z parametrem \(m\).
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). To oznacza, że musi między nimi zajść równanie:
$$m^2=4m-4$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Aby móc rozwiązać to równanie kwadratowe, to najpierw oczywiście musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Następnie możemy skorzystać z metody delty, albo z postaci iloczynowej wynikającej ze wzorów skróconego mnożenia (tak będzie szybciej i tak też właśnie ja to obliczę). Zatem:
$$m^2=4m-4$$
$$m^2-4m+4=0$$
$$(m-2)^2=0$$
$$m-2=0$$
$$m=2$$
Zadanie nr 19 · Matura 2015
Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla:
A\(m=-\frac{1}{2}\)
B\(m=\frac{1}{2}\)
C\(m=1\)
D\(m=2\)
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Zatem:
$$2m\cdot4m^2=-1$$
$$8m^3=-1$$
$$m^3=-\frac{1}{8}$$
$$m=-\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 17 · Matura 2015
Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla:
A\(m=-\frac{1}{2}\)
B\(m=\frac{1}{2}\)
C\(m=1\)
D\(m=2\)
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Zatem:
$$2m\cdot4m^2=-1$$
$$8m^3=-1$$
$$m^3=-\frac{1}{8}$$
$$m=-\frac{1}{2}$$
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Jest tylko jedna para, która spełnia taką własność i są to proste \(k\) oraz \(m\).
$$\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1$$
Zadanie nr 8 · Próbny 2014
Równania \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\) oraz \(y=-\frac{4}{3}\) opisują dwie proste:
Aprzecinające się pod kątem o mierze \(90°\)
Bpokrywające się
Cprzecinające się pod kątem różnym od \(90°\)
Drównoległe i różne
Krok 1. Określenie wartości współczynników kierunkowych obu prostych.
Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej jest równy \(a=-\frac{3}{4}\), natomiast drugiej prostej jest równy \(a=0\) (jest to funkcja stała).
Krok 2. Weryfikacja poszczególnych odpowiedzi.
\(Odp. A.\): Aby dwie przecinały się pod kątem \(90°\) (czyli aby proste były względem siebie prostopadłe) to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). W naszym przypadku tak nie jest, więc odrzucamy tą odpowiedź.
\(Odp. B.\) oraz \(Odp. D.\): Aby dwie proste były równoległe względem siebie (niezależnie od tego czy się pokrywają czy nie) to muszą mieć identyczny współczynnik kierunkowy. Tą odpowiedź także musimy odrzucić, bo u nas współczynniki są różne.
Jedyną odpowiedzią, która nam zostaje jest \(Odp. C\). i faktycznie te dwie proste przetną się pod kątem innym niż \(90°\), co możemy jeszcze zweryfikować na rysunku:
Zadanie nr 7 · Próbny 2014
Prosta \(l\) ma równanie \(6x+10y+7=0\). Współczynnik kierunkowy prostej \(k\) prostopadłej do prostej \(l\) jest równy:
A\(a=-\frac{1}{6}\)
B\(a=\frac{1}{6}\)
C\(a=-\frac{5}{3}\)
D\(a=\frac{5}{3}\)
Krok 1. Zapisanie równania w postaci kierunkowej.
Aby cokolwiek zacząć liczyć, to musimy najpierw przekształcić podane równanie z postaci ogólnej do postaci kierunkowej typu \(y=ax+b\), zatem:
$$6x+10y+7=0$$
$$10y=-6x-7$$
$$y=-\frac{6}{10}x-\frac{7}{10}$$
$$y=-\frac{3}{5}x-\frac{7}{10}$$
Krok 2. Określenie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej.
Aby dwie proste były prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{3}{5}\), to znaczy że druga prosta ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot-\frac{3}{5}=-1 \quad\bigg/\cdot-\frac{5}{3}$$
$$a=\frac{5}{3}$$
Zadanie nr 17 · Próbny 2014
Wzór funkcji, której wykres powstaje przez przesunięcie równoległe wzdłuż osi \(OY\) wykresu funkcji \(f(x)=3^x\) o \(4\) jednostki w dół, to:
A\(y=3^x-4\)
B\(y=3^x+4\)
C\(y=3^{x-4}\)
D\(y=3^{x+4}\)
Po przesunięciu wykresu funkcji \(f(x)=3^x\) o \(4\) jednostki w dół otrzymamy funkcję \(y=3^x-4\).
Zadanie nr 7 · Próbny 2014
Proste \(l\) i \(k\) są prostopadłe i \(l{: }-2x+5y+1=0\), \(k{: }y=ax+b\). Wówczas:
A\(a=-\frac{2}{5}\)
B\(a=\frac{2}{5}\)
C\(a=-\frac{5}{2}\)
D\(a=\frac{1}{2}\)
Krok 1. Zapisanie równania prostej \(l\) w postaci kierunkowej.
Aby móc przystąpić do obliczeń musimy na samym początku przekształcić prostą \(l\) do postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Musimy więc przenieść igreki na lewą stronę, a po prawej dać całą resztę, zatem:
$$-2x+5y+1=0$$
$$5y=2x-1 \quad\bigg/:5$$
$$y=\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}$$
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Prosta \(l\) ma współczynnik kierunkowy \(a=\frac{2}{5}\), zatem prosta \(k\) musi mieć ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{2}{5}=-1 \quad\bigg/\cdot\frac{5}{2}$$
$$a=-\frac{5}{2}$$
Zadanie nr 22 · Matura 2014
Proste o równaniach: \(y=mx-5\) oraz \(y=(1-2m)x+7\) są równoległe, gdy:
A\(m=-1\)
B\(m=-\frac{1}{3}\)
C\(m=\frac{1}{3}\)
D\(m=1\)
Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=m\). Druga ma \(a=1-2m\), zatem:
$$m=1-2m$$
$$3m=1$$
$$m=\frac{1}{3}$$
Zadanie nr 7 · Matura 2013
Prostą równoległą do prostej o równaniu \(y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}\) jest prosta dana równaniem:
A\(y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}\)
B\(y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}\)
C\(y=\frac{3}{2}x-\frac{4}{3}\)
D\(y=-\frac{3}{2}x-\frac{4}{3}\)
Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć identyczny współczynnik kierunkowy \(a\). W naszym przypadku prosta z treści zadania ma \(a=\frac{2}{3}\), więc i prosta do niej równoległa musi mieć tą samą wartość tego współczynnika. W odpowiedziach tylko drugie równanie spełnia warunki naszego założenia i to jest tym samym prawidłowa odpowiedź.
Zadanie nr 7 · Próbny 2013
Proste o równaniach \(-3y-mx+12=0\) oraz \(y=6x-12\) są prostopadłe dla \(m\) równego:
A\(\frac{1}{2}\)
B\(-18\)
C\(-\frac{1}{2}\)
D\(6\)
Krok 1. Zapisanie prostych w postaci kierunkowej.
Aby móc w ogóle przystąpić do obliczeń musimy pierwszą prostą doprowadzić do postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Przenosimy więc igreki na jedną stronę, całą resztę na drugą, otrzymując:
$$-3y-mx+12=0$$
$$-mx+12=3y \quad\bigg/:3$$
$$y=-\frac{1}{3}mx+4$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości parametru \(m\).
Aby proste były prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{1}{3}m\), druga prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=6\), zatem:
$$-\frac{1}{3}m\cdot6=-1$$
$$-2m=-1$$
$$m=\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 30 · Próbny 2013
Dany jest trójkąt \(ABC\), gdzie \(A=(-3,-2)\), \(B=(1,-1)\), \(C=(-1,4)\). Wyznacz równanie symetralnej boku \(AC\) tego trójkąta.
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AC\).
Symetralna dzieli nam odcinek na dwie równe części. Spróbujmy wyznaczyć współrzędne punktu \(S\), który jest miejscem przecięcia się symetralnej z odcinkiem \(AC\). Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$
Dla przejrzystości obliczeń możemy policzyć każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$$
$$x_{S}=\frac{-3+(-1)}{2}$$
$$x_{S}=\frac{-4}{2}$$
$$x_{S}=-2$$
$$\quad$$
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$$
$$y_{S}=\frac{-2+4}{2}$$
$$y_{S}=\frac{2}{2}$$
$$y_{S}=1$$
Udało nam się w ten sposób wyznaczyć współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(S=(-2;1)\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AC\).
Aby poznać wzór prostej prostopadłej do prostej \(AC\) musimy najpierw poznać równanie prostej \(AC\) lub przynajmniej jej współczynnik \(a\), bo to właśnie ten współczynnik będzie nam potrzebny do dalszych obliczeń.
Możemy to zrobić tak naprawdę na dwa sposoby - albo układając odpowiedni układ równań, albo korzystając ze wzoru \(a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\).
Spróbujmy może obliczyć ten współczynnik bardziej popularną metodą układu równań. Aby tego dokonać to do równania prostej \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\) i ułożyć z nich następujący układ:
$$\begin{cases} -2=-3a+b \\ 4=-1a+b \end{cases}$$
Współczynnik \(b\) jest nam w tym przypadku niepotrzebny, więc nie musimy go obliczać.
Krok 3. Ustalenie współczynnika kierunkowego prostej symetralnej.
Prosta symetralna jest tak naprawdę prostą prostopadłą do odcinka \(AC\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Wiemy, że nasza prosta \(AC\) ma współczynnik kierunkowy \(a=3\), zatem prosta symetralna ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot3=-1$$
$$a=-\frac{1}{3}$$
Krok 4. Ustalenie równania prostej symetralnej.
Musimy jeszcze ustalić równanie prostej symetralnej. Wiemy już, że na pewno \(a=-\frac{1}{3}\), czyli że nasza symetralna przyjmuje postać \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Do wyznaczenia pozostaje nam zatem współczynnik \(b\). Aby go wyznaczyć, to pod iksa i igreka podstawimy współrzędne punktu, który należy do tej prostej, czyli współrzędne punktu \(S=(-2;1)\). Otrzymamy wtedy:
$$y=-\frac{1}{3}x+b$$
$$1=-\frac{1}{3}\cdot(-2)+b$$
$$1=\frac{2}{3}+b$$
$$b=\frac{1}{3}$$
To oznacza, że nasza symetralna przyjmuje postać:
$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$$
Zadanie nr 25 · Matura 2013
Dana jest prosta \(l\) o równaniu \(y=-\frac{2}{5}x\). Prosta \(k\) równoległa do prostej \(l\) i przecinająca oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\) ma równanie:
A\(y=-0,4x+3\)
B\(y=-0,4x-3\)
C\(y=2,5x+3\)
D\(y=2,5x-3\)
Krok 1. Określenie wartości współczynnika \(a\) prostej równoległej.
Skoro obie proste są względem siebie równoległe, to ich współczynnik kierunkowy \(a\) musi być taki sam. Prosta \(l\) ma współczynnik \(a=-\frac{2}{5}\), zatem i prosta \(k\) musi mieć identyczny. W naszych odpowiedziach pojawiają się jednak ułamki dziesiętne, zatem zapiszmy, że \(a=-0,4\).
Krok 2. Określenie wartości współczynnika \(b\) prostej równoległej.
Współczynnik \(b\) wskazuje nam w którym miejscu wykres funkcji przecina oś \(Oy\). Widzimy, że funkcja przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;3)\), zatem \(b=3\).
To oznacza, że poszukiwanym równaniem prostej równoległej będzie:
$$y=-0,4x+3$$
Zadanie nr 8 · Matura 2013
Prosta o równaniu \(y=\frac{2}{m}x+1\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=-\frac{3}{2}x-1\). Stąd wynika, że:
A\(m=-3\)
B\(m=\frac{2}{3}\)
C\(m=\frac{3}{2}\)
D\(m=3\)
Krok 1. Określenie tego, kiedy dwie proste są względem siebie prostopadłe.
Aby dwie proste określone wzorem \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). To oznacza, że:
$$\frac{2}{m}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$
Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\).
A\(y=3x\)
B\(y=-3x\)
C\(y=3x+2\)
D\(y=\frac{1}{3}x+2\)
Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Aby dwie proste w postaci \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\), zatem współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej jest równy:
$$-\frac{1}{3}\cdot a=-1$$
$$a=3$$
Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu wykres prostej przetnie się z osią \(Oy\). Skoro prosta ma przechodzić przez początek układu współrzędnych, czyli punkt o współrzędnych \((0;0)\), to oznacza, że \(b=0\).
Równanie poszukiwanej prostej prostopadłej to w takim razie: \(y=3x\).
Zadanie nr 18 · Próbny 2012
Proste \(l\) i \(k\) są prostopadłe i \(l{:}\ 2x-9y+6=0,\ k{:}\ y=ax+b\). Wówczas:
A\(a=-\frac{2}{9}\)
B\(a=\frac{2}{9}\)
C\(a=-\frac{9}{2}\)
D\(a=\frac{9}{2}\)
Aby dwie proste były prostopadłe względem siebie to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Musimy więc najpierw poznać współczynnik kierunkowy prostej \(l\), a żeby tego dokonać to musimy równanie tej prostej zapisać w postaci kierunkowej.
Krok 1. Zapisanie równania prostej \(l\) w postaci kierunkowej.
Chcemy zapisać nasze równanie w postaci typu \(y=ax+b\), zatem musimy przenieść igreki na lewą stronę, a na prawą dać całą resztę:
$$2x-9y+6=0$$
$$-9y=-2x-6 \quad\bigg/\cdot(-1)$$
$$9y=2x+6 \quad\bigg/:9$$
$$y=\frac{2}{9}x+\frac{6}{9}$$
Dzięki tej postaci wiemy już, że współczynnik kierunkowy prostej \(l\) wynosi \(a=\frac{2}{9}\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Skoro iloczyn współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), to druga prosta ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{2}{9}=-1 \quad\bigg/\cdot\frac{9}{2}$$
$$a=-\frac{9}{2}$$
Zadanie nr 32 · Matura 2012
Punkty \(A=(2,11)\), \(B=(8,23)\), \(C=(6,14)\) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(C\) przecina prostą \(AB\) w punkcie \(D\). Oblicz współrzędne punktu \(D\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Naszkicujmy sobie układ współrzędnych i zaznaczmy w nim współrzędne punktów z treści zadania.
Najlepszą metodą na znalezienie współrzędnych punktu \(D\) będzie chyba wyznaczenie najpierw równania prostej \(AB\), później wyznaczenie równania prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt \(C\), no i na sam koniec rozwiązanie układu równań złożonego z tych dwóch prostych.
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Do wyznaczenia równania prostej przechodzącej przez punkt \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy posłużyć się prostym wzorem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$
Podstawiając współrzędne punktów \(A=(2,11)\) oraz \(B=(8,23)\) otrzymamy:
$$(y-11)(8-2)-(23-11)(x-2)=0$$
$$(y-11)\cdot6-12\cdot(x-2)=0$$
$$6y-66-12x+24=0$$
$$6y-12x-42=0$$
$$6y=12x+42 \quad\bigg/:6$$
$$y=2x+7$$
Krok 3. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do \(AB\), przechodzącej przez punkt \(C\).
Szukamy prostej prostopadłej w postaci \(y=ax+b\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro więc pierwsza prosta ma \(a=2\), to druga musi mieć:
$$a\cdot2=-1$$
$$a=-\frac{1}{2}$$
Wiemy już, że nasza prosta prostopadła przyjmuje postać \(y=-\frac{1}{2}x+b\). Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\) wystarczy podstawić współrzędne punktu \(C=(6;14)\), który przez tą prostą przechodzi. Otrzymamy wtedy:
$$y=-\frac{1}{2}x+b$$
$$14=-\frac{1}{2}\cdot6+b$$
$$14=-3+b$$
$$b=17$$
To oznacza, że prosta prostopadła ma wzór \(y=-\frac{1}{2}x+17\).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań składającego się z dwóch prostych są współrzędne punktu przecięcia się tych prostych. W naszym przypadku będą to poszukiwane współrzędne punktu \(D\), zatem:
\begin{cases} y=2x+7 \\ y=-\frac{1}{2}x+17 \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania, możemy podstawić wartość \(y=2x+7\) z pierwszego równania do drugiego, otrzymując:
$$2x+7=-\frac{1}{2}x+17 \quad\bigg/\cdot2$$
$$4x+14=-x+34$$
$$5x=20$$
$$x=4$$
Podstawiając wartość \(x=4\) do jednego z równań obliczymy drugą współrzędną:
$$y=2\cdot4+7$$
$$y=8+7$$
$$y=15$$
Współrzędne poszukiwanego punktu to w takim razie \(D=(4;15)\).
Zadanie nr 21 · Matura 2012
Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \(3x-6y+7=0\).
A\(y=\frac{1}{2}x\)
B\(y=-\frac{1}{2}x\)
C\(y=2x\)
D\(y=-2x\)
Krok 1. Doprowadzenie równania do postaci ogólnej.
Aby móc wskazać równanie prostej równoległej musimy doprowadzić nasze równanie do postaci ogolnej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Aby tego dokonać wystarczy tak naprawdę przenieść wartości \(y\) na lewą stronę, a pozostałe wyrazy na prawą. Zatem:
$$3x-6y+7=0$$
$$-6y=-3x-7$$
$$6y=3x+7$$
$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{6}$$
Krok 2. Określenie wzoru prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć identyczną wartość współczynnika kierunkowego \(a\). W naszym przypadku \(a=\frac{1}{2}\), więc prawidłowa jest tylko i wyłącznie pierwsza odpowiedź.
Zadanie nr 6 · Matura 2011
Punkt \(A=(0,5)\) leży na prostej \(k\) prostopadłej do prostej o równaniu \(y=x+1\). Prosta \(k\) ma równanie:
A\(y=x+5\)
B\(y=-x+5\)
C\(y=x-5\)
D\(y=-x-5\)
Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik \(a=1\) (bo przed \(x\) nie ma żadnej wartości, więc domyślnie jest \(1\)), to druga prosta musi mieć:
$$a\cdot1=-1$$
$$a=-1$$
W tym momencie już wiemy, że szukamy prostej o wzorze \(y=-x+b\), co od razu oznacza, że odpowiedzi \(A\) i \(C\) są na pewno błędne.
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przetnie się z osią \(Oy\). Nasz punkt \(A=(0;5)\) leży właśnie na osi \(Oy\) i to właśnie na jego podstawie jesteśmy w stanie określić, że \(b=5\).
To oznacza, że poszukiwaną prostą jest ta o wzorze \(y=-x+5\).
Zadanie nr 13 · Próbny 2011
Wybierz i zaznacz równanie opisujące prostą prostopadłą do prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+1\).
A\(y=-2x+1\)
B\(y=0,5x-1\)
C\(y=-\frac{1}{2}x+1\)
D\(y=2x-1\)
Aby prosta była prostopadła do tej której równanie jest podane w treści zadania, to iloczyn współczynników kierunkowych obydwu tych prostych musi być równy \(-1\). Nasza prosta ma współczynnik kierunkowy równy \(\frac{1}{2}\), zatem prosta do niej prostopadła musi mieć ten współczynnik równy:
$$\frac{1}{2}\cdot a=-1$$
$$a=-2$$
Tylko prosta z pierwszej odpowiedzi posiada taki współczynnik kierunkowy, zatem to ona jest poszukiwaną odpowiedzią.
Zadanie nr 26 · Próbny 2011
Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \(-3x+y-4=0\) i przechodzącej przez punkt \(P=(-1,-4)\).
Krok 1. Zapisanie równania w postaci kierunkowej.
Na początek przekształćmy to równanie do postaci kierunkowej, czyli postaci \(y=ax+b\):
$$-3x+y-4=0$$
$$y=3x+4$$
Krok 2. Ustalenie postaci prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to ich współczynnik kierunkowy \(a\) musi być jednakowy. W naszym przypadku \(a=3\), zatem i nasza prosta równoległa musi mieć taki współczynnik, a to oznacza, że możemy ją opisać wzorem \(y=3x+b\).
Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(b\) prostej równoległej.
Teraz naszym celem jest poznanie współczynnika \(b\), a w tym celu do równania \(y=3x+b\) podstawimy współrzędne punktu \(P=(-1,-4)\), otrzymując:
$$-4=3\cdot(-1)+b$$
$$-4=-3+b$$
$$b=-1$$
Krok 4. Zapisanie równania prostej równoległej.
Znamy już wartości współczynników \(a\) oraz \(b\) więc możemy zapisać, że nasza prosta równoległa przyjmuje wzór \(y=3x-1\).
Zadanie nr 18 · Matura 2011
Prosta \(k\) ma równanie \(y=2x-3\). Wskaż równanie prostej \(l\) równoległej do prostej \(k\) i przechodzącej przez punkt \(D\) o współrzędnych \((-2,1)\).
A\(y=-2x+3\)
B\(y=2x+1\)
C\(y=2x+5\)
D\(y=-x+1\)
Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika kierunkowego \(a\).
Aby dwie proste w postaci \(y=ax+b\) były względem siebie równoległe to warunkiem koniecznym jest to, aby miały one identyczny współczynnik kierunkowy \(a\). W naszym przykładzie prosta \(k\) ma współczynnik \(a=2\), więc prosta \(l\) musi mieć dokładnie taki sam współczynnik kierunkowy, dlatego będzie ona na pewno opisana wzorem \(y=2x+b\). Dzięki temu już na \(100\%\) wiemy, że pod uwagę bierzemy już tylko drugą i trzecią odpowiedź.
Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Teraz musimy ustalić jaka jest brakująca wartość współczynnika \(b\). Do wzoru \(y=2x+b\) podstawimy współrzędne naszego punktu \(D=(-2,1)\), czyli \(x=-2\) oraz \(y=1\), dzięki czemu poznamy wartość współczynnika \(b\).
$$y=2x+b$$
$$1=2\cdot(-2)+b$$
$$1=-4+b$$
$$b=5$$
Krok 3. Zapisanie wzoru poszukiwanej prostej.
Skoro \(a=2\) oraz \(b=5\), to prosta \(l\) ma postać \(y=2x+5\).
Zadanie nr 22 · Matura 2010
Prosta \(l\) ma równanie \(y=-\frac{1}{4}x+7\). Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej \(l\).
A\(y=\frac{1}{4}x+1\)
B\(y=-\frac{1}{4}x-7\)
C\(y=4x-1\)
D\(y=-4x+7\)
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\) to prosta do niej prostopadła będzie miała:
$$a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1$$
$$a=4$$
Taki współczynnik znalazł się tylko w trzeciej odpowiedzi, stąd też poszukiwanym równaniem prostej było \(y=4x-1\).
Zadanie nr 21 · Próbny 2010
Proste o równaniach \(y=2x+3\) oraz \(y=-\frac{1}{3}x+2\):
Asą równoległe i różne
Bsą prostopadłe
Cprzecinają się pod kątem innym niż prosty
Dpokrywają się
Krok 1. Sprawdzenie, czy te proste są równoległe.
Aby proste były równoległe to ich współczynniki kierunkowe \(a\) (czyli liczba stojąca przed wartością \(x\)) muszą być identyczne. W naszym przypadku w pierwszym równaniu współczynnik \(a=2\), a w drugim \(a=-\frac{1}{3}\). W związku z tym proste te na pewno nie są równoległe, ani tym bardziej się nie pokrywają.
Krok 2. Sprawdzenie, czy te proste są prostopadłe.
Aby proste były prostopadłe, to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). W naszym przypadku tak nie jest, bo \(2\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}\). To z kolei wyklucza informację o tym, że mogłyby to być proste prostopadłe.
W związku z powyższymi krokami wykluczyliśmy odpowiedzi \(A\), \(B\) oraz \(D\). Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź \(C\), bo te proste przecinają się pod kątem innym niż prosty.
Zadanie nr 21 · Próbny 2010
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu \(4x-2y+1=0\) jest równy:
A\(4\)
B\(-2\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(2\)
Krok 1. Zapisanie równania w postaci kierunkowej.
Musimy przekształcić nasze równanie do postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Aby tego dokonać wystarczy po prostu poprzenosić odpowiednio poszczególne wyrazy:
$$4x-2y+1=0$$
$$4x+1=2y \quad\bigg/:2$$
$$y=2x+\frac{1}{2}$$
Krok 2. Określenie współczynnika kierunkowego prostej równoległej.
Jeżeli prosta ma być równoległa, to znaczy że musi mieć identyczny współczynnik kierunkowy (czyli liczbę znajdującą się przed iksem). W naszym przypadku współczynnik kierunkowy jest równy \(a=2\), zatem prosta równoległa także musi mieć \(a=2\).
Zadanie nr 21 · Matura 2010
Proste o równaniach \(y=2x+3\) oraz \(y=-\frac{1}{3}x+2\):
Asą równoległe i różne
Bsą prostopadłe
Cprzecinają się pod kątem innym niż prosty
Dpokrywają się
Krok 1. Sprawdzenie, czy te proste są równoległe.
Aby proste były równoległe to ich współczynniki kierunkowe \(a\) (czyli liczba stojąca przed wartością \(x\)) muszą być identyczne. W naszym przypadku w pierwszym równaniu współczynnik \(a=2\), a w drugim \(a=-\frac{1}{3}\). W związku z tym proste te na pewno nie są równoległe, ani tym bardziej się nie pokrywają.
Krok 2. Sprawdzenie, czy te proste są prostopadłe.
Aby proste były prostopadłe, to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). W naszym przypadku tak nie jest, bo \(2\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}\). To z kolei wyklucza informację o tym, że mogłyby to być proste prostopadłe.
W związku z powyższymi krokami wykluczyliśmy odpowiedzi \(A\), \(B\) oraz \(D\). Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź \(C\), bo te proste przecinają się pod kątem innym niż prosty.
Zadanie nr 20 · Matura 2010
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu \(y=-3x+5\) jest równy:
A\(-\frac{1}{3}\)
B\(-3\)
C\(\frac{1}{3}\)
D\(3\)
Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć współczynniki kierunkowe (czyli współczynniki \(a\)). Stąd też wiemy, że współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej opisanej w zadaniu będzie równy \(a=-3\).
Zadanie nr 9 · Matura 2009
Punkty \(B=(0,10)\) i \(O=(0,0)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \(OAB\), w którym \(|\sphericalangle OAB|=90^\circ\). Przyprostokątna \(OA\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=\tfrac12x\). Oblicz współrzędne punktu \(A\) i długość przyprostokątnej \(OA\).
1) Prosta \(AB\). Kąt prosty jest przy wierzchołku \(A\), więc prosta \(AB\) jest prostopadła do prostej \(y=\tfrac12x\); jej współczynnik kierunkowy wynosi \(-2\).
Prosta \(AB\) przechodzi przez \(B=(0,10)\), zatem
\(y=-2x+10\).
2) Współrzędne \(A\). Punkt \(A\) jest przecięciem obu prostych:
\(\tfrac12x=-2x+10\),
\(\tfrac52x=10\), skąd \(x=4\) oraz \(y=\tfrac12\cdot4=2\).
Wykres funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=3x+2\) jest prostą prostopadłą do prostej:
A\(y=-\frac{1}{3}x-1\)
B\(y=\frac{1}{3}x+1\)
C\(y=3x+1\)
D\(y=3x-1\)
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy równy \(3\), zatem poszukiwana przez nas prosta prostopadła musi mieć:
$$a\cdot3=-1$$
$$a=-\frac{1}{3}$$
Taki współczynnik znajduje się tylko w pierwszej odpowiedzi, więc to jest poszukiwany przez nas wzór.
Zadanie nr 23 · Próbny 2009
Wyznacz równania stycznych do okręgu \(x^2-4x+y^2-2y-4=0\) równoległych do osi \(OY\).
Krok 1. Zapisanie równania w postaci kanonicznej.
Wzór na równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) ma postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Spróbujmy przekształcić nasze równanie z treści zadania właśnie do takiej postaci jak powyżej. Możemy to zrobić w następujący sposób:
$$x^2-4x+y^2-2y-4=0$$
$$(x-2)^2-4+(y-1)^2-1-4=0$$
$$(x-2)^2+(y-1)^2-9=0$$
$$(x-2)^2+(y-1)^2=9$$
Krok 2. Odczytanie współrzędnych środka okręgu oraz długości promienia.
Z otrzymanej przed chwilą postaci po przyrównaniu poszczególnych liczb do wzoru na równanie okręgu możemy odczytać, że środek okręgu ma współrzędne \(S=(2;1)\), natomiast promień będzie równy \(r=3\) (bo \(r^2=9)\).
Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego i odczytanie rozwiązania.
Na podstawie wyznaczonych informacji stwórzmy prosty rysunek pomocniczy, który pozwoli nam odczytać rozwiązanie zadania.
Z rysunku wynika, że proste styczne do okręgu (które są jednocześnie równoległe do osi \(OY\)) to proste \(x=-1\) oraz \(x=5\).
Zadanie nr 32 · Matura
Dane są wierzchołki trójkąta \(ABC\): \(A=(2,2)\), \(B=(9,5)\) i \(C=(3,9)\). Z wierzchołka \(C\) poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\). Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(D\) i równoległej do boku \(BC\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Spróbujmy zobrazować tą sytuację, zaznaczając poszczególne punkty w układzie współrzędnych.
Ustalmy teraz co musimy obliczyć. Chcemy przede wszystkim wyznaczyć współrzędne punktu \(D\). Jednak żeby to zrobić, to musimy najpierw wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty \(AB\), a następnie musimy znaleźć prostą prostopadłą do tej prostej, która przechodzi przez punkt \(C\). Punkt \(D\) będzie miejscem przecięcia się tych dwóch prostych. Na sam koniec musimy jeszcze wyznaczyć prostą równoległą do boku \(BC\), która przejdzie przez punkt \(D\). No to po kolei:
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Możemy albo skorzystać ze wzoru na prostą przechodzącą przez punkty \(AB\), albo ułożyć i rozwiązać układ równań w którym do wzoru ogólnego \(y=ax+b\) podstawimy raz współrzędne punktu \(A\), a drugi raz współrzędne punktu \(B\).
\begin{cases} 2=2a+b \\ 5=9a+b \end{cases}
Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$-3=-7a$$
$$a=\frac{3}{7}$$
Znając współczynnik \(a\) możemy z dowolnego równania wyznaczyć także współczynnik \(b\):
$$2=2\cdot\frac{3}{7}+b$$
$$2=\frac{6}{7}+b$$
$$b=\frac{8}{7}$$
To oznacza, że prosta \(AB\) jest opisana równaniem \(y=\frac{3}{7}x+\frac{8}{7}\).
Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(CD\).
Skoro prosta \(CD\) jest ma być prostopadła do prostej \(AB\), a to znaczy że iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma współczynnik \(a=\frac{3}{7}\), to prosta \(CD\) ma współczynnik \(a\) równy:
$$a\cdot\frac{3}{7}=-1$$
$$a=-\frac{7}{3}$$
Wiemy już, że nasza prosta musi się wyrażać wzorem \(y=-\frac{7}{3}x+b\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), ale skoro prosta przechodzi przez punkt \(C\) o znanych nam współrzędnych, to podstawiając te współrzędne do wzoru bez problemu obliczymy brakujący współczynnik:
$$y=-\frac{7}{3}x+b$$
$$9=-\frac{7}{3}\cdot3+b$$
$$9=-7+b$$
$$b=16$$
To oznacza, że prosta \(CD\) jest opisana równaniem \(y=-\frac{7}{3}x+16\).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Zgodnie z geometryczną interpretacją układu równań, rozwiązanie układu równań dwóch prostych da wynik będący miejscem przecięcia się tych prostych, czyli w naszym przypadku otrzymamy współrzędne punktu \(D\).
\begin{cases} y=\frac{3}{7}x+\frac{8}{7} \\ y=-\frac{7}{3}x+16 \end{cases}
Podstawiając wartość \(y\) z pierwszej funkcji do drugiej otrzymamy:
$$\frac{3}{7}x+\frac{8}{7}=-\frac{7}{3}x+16 \quad\bigg/\cdot21$$
$$9x+24=-49x+336$$
$$58x=312$$
$$x=\frac{312}{58}=\frac{156}{29}$$
Podstawiajac wartość \(x=\frac{156}{29}\) do dowolnego z równań zapisanego wcześniej układu (do drugiego będzie chyba łatwiej, bo tam mamy tylko jeden ułamek) wyznaczymy współrzędną \(y\):
$$y=-\frac{7}{3}\cdot\frac{156}{29}+16$$
$$y=-\frac{1092}{87}+16$$
$$y=-\frac{364}{29}+16$$
$$y=-\frac{364}{29}+\frac{464}{29}$$
$$y=\frac{100}{29}$$
Zatem \(D=\left(\frac{156}{29};\frac{100}{29}\right)\).
Krok 5. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Zanim wyznaczymy prostą równoległą do prostej \(BC\), to musimy poznać równanie tej prostej \(BC\). Wyznaczymy je dokładnie w ten sam sposób co równanie prostej \(AB\) z kroku drugiego.
\begin{cases} 5=9a+b \\ 9=3a+b \end{cases}
Odejmujemy równanie stronami i otrzymujemy:
$$-4=6a$$
$$a=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}$$
I w zasadzie tyle nam wystarczy, nie potrzebujemy już obliczać współczynnika \(b\). Wystarczy nam sam współczynnik \(a\) bo to właśnie on jest potrzebny do wyznaczenia prostej równoległej.
Krok 6. Wyznaczenie równania prostej równoległej przechodzącej przez punkt \(D\).
I to jest już ostatnia rzecz którą musimy zrobić - czyli wyznaczyć wzór prostej równoległej do \(BC\), która przechodzi przez punkt \(D\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik \(a\). My w poprzednim punkcie ten współczynnik sobie wyznaczyliśmy, zatem wiemy już, że ta poszukiwana prosta równoległa będzie opisana wzorem:
$$y=-\frac{2}{3}x+b$$
Brakuje nam współczynnika \(b\), ale bez problemu go wyznaczymy podstawiając do tej prostej współrzędne punktu \(D\), które wyliczyliśmy w czwartym kroku, zatem:
$$\frac{100}{29}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{156}{29}+b$$
$$\frac{100}{29}=-\frac{312}{87}+b$$
$$\frac{100}{29}=-\frac{104}{29}+b$$
$$b=\frac{204}{29}$$
Szukana prosta równoległa ma więc równanie: \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{204}{29}\).
Zadanie nr 19 · Matura
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-3x+1\).
Zadanie 1.
Jedną z prostych równoległych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu:
A. \(y=3x+2\)
B. \(y=-3x+2\)
C. \(y=\frac{1}{3}x+1\)
D. \(y=-\frac{1}{3}x+1\)
Zadanie 2.
Jedną z prostych prostopadłych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu:
E. \(y=\frac{1}{3}x+2\)
F. \(y=-\frac{1}{3}x+2\)
G. \(y=3x+1\)
H. \(y=-3x+1\)
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Skoro więc prosta \(k\) na ten współczynnik równy \(a=-3\), to prosta do niej równoległa też musi mieć współczynnik \(a=-3\). Z proponowanych odpowiedzi tylko ta druga spełnia nasz warunek, zatem poprawną odpowiedzią będzie \(y=-3x+2\).
Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Skoro więc nasza prosta \(k\) ma współczynnik \(a=-3\), to prosta do niej prostopadła musi mieć ten współczynnik równy \(\frac{1}{3}\), bo \(\frac{1}{3}\cdot(-3)=-1\). Z podanych odpowiedzi tylko ta pierwsza spełnia ten warunek, zatem prostą prostopadłą będzie \(y=\frac{1}{3}x+2\).
Zadanie nr 29 · Matura
Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym \(200\) i kącie ostrym o mierze \(30°\). Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości \(x\) boku równoległoboku. Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.
Krok 1. Zapisanie zależności między bokami równoległoboku.
Równoległobok ma dwie pary boków jednakowej długości. Skoro więc obwód ten jest równy \(200\), to możemy zapisać, że:
$$2a+2b=200$$
$$a+b=100$$
$$b=100-a$$
Dodatkowo powinniśmy dostrzec, że długość boku \(b\) musi być dodatnia, stąd też:
$$100-a\gt0$$
$$-a\gt-100$$
$$a\lt100$$
Krok 2. Zapisanie zależności między polem powierzchni i długością boku \(a\).
$$P=a\cdot b\cdot sin30°$$
$$P=a\cdot(100-a)\cdot\frac{1}{2}$$
$$P=(100a-a^2)\cdot\frac{1}{2}$$
$$P=-\frac{1}{2}a^2+50a$$
Otrzymany wynik oznacza, że funkcja osiąga więc największą wartość dla argumentu równego \(50\), co w naszym przypadku oznacza, że \(a=50\).
Krok 4. Obliczenie długości \(b\).
Skoro \(a=50\), to zgodnie z zapisami z pierwszego kroku, długość drugiego boku tej figury będzie równa:
$$b=100-a$$
$$b=100-50$$
$$b=50$$
To w praktyce oznacza, że poszukiwanym równoległobokiem będzie tak naprawdę romb o boku \(50\).
Krok 5. Obliczenie pola równoległoboku.
Musimy jeszcze obliczyć pole tego równoległoboku, zatem:
$$P=a\cdot b\cdot sin30°$$
$$P=50\cdot50\cdot\frac{1}{2}$$
$$P=2500\cdot\frac{1}{2}$$
$$P=1250$$
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
