Klasa 1 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 83
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 9 · Matura 2025
Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę $1\,200\,000$ złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie $146\,700$ złotych — zespół A wykorzystał $13\%$ przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał $11\%$ przyznanych mu środków.
Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.
Niech $a$ oznacza kwotę przyznaną zespołowi A, wtedy zespołowi B przyznano $1\,200\,000-a$.
Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi \(3\%\) w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.
Po \(10\) latach oszczędzania w tym banku (i bez wypłacania kapitału ani odsetek w tym okresie) kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na samym początku o (w zaokrągleniu do \(1\%\)):
A\(30\%\)
B\(34\%\)
C\(36\%\)
D\(43\%\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na procent składany:
$$K_{n}=K\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}$$
gdzie:
\(K_{n}\) - kapitał zgromadzony po \(n\) okresach kapitalizacji
\(K\) - kapitał początkowy
\(n\) - liczba okresów kapitalizacji
\(p\) - wysokość oprocentowania (po uwzględnieniu liczby kapitalizacji)
Jednak zanim przystąpimy do obliczeń, to ustalmy kluczowe parametry, czyli \(n\) oraz \(p\). Lokata jest na \(10\) lat, a kapitalizacja jest roczna. W związku z tym \(n=10\) (bo odsetki zostaną dopisane dziesięć razy), a \(p=3\). Podstawiając te dane do wzoru, otrzymamy:
$$K_{10}=K\cdot\left(1+\frac{3}{100}\right)^{10}$$
$$K_{10}=K\cdot(1,03)^{10}$$
$$K_{10}\approx K\cdot1,3439$$
$$K_{10}\approx1,34K$$
Skoro włożyliśmy na lokatę \(K\) złotych, a po dziesięciu latach mamy \(1,34K\), to znaczy, że kwota wzrosła o \(34\%\).
Zadanie nr 14 · Próbny 2023
Na początku listopada w bufecie pracowniczym podniesiono cenę za obiad z \(20 zł\) do \(24 zł\). Z końcem miesiąca okazało się, że sprzedano mniej obiadów niż w październiku, ale wpływy z ich sprzedaży w listopadzie były o \(8\%\) wyższe niż w miesiącu przed podwyżką.
Liczba sprzedanych obiadów w listopadzie spadła o:
A\(9\%\)
B\(10\%\)
C\(12\%\)
D\(16\%\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba sprzedanych obiadów w październiku (po cenie \(20zł\))
\(y\) - liczba sprzedanych obiadów w listopadzie (po cenie \(24zł\))
To z kolei oznacza, że na obiadach w październiku zarobiono \(20x\), a w listopadzie \(24y\).
Krok 2. Ustalenie spadku liczby sprzedanych obiadów.
Z treści zadania wynika, że jak wpływy z października powiększymy o \(8\%\), to otrzymamy wpływy z listopada, czyli możemy ułożyć następujące równanie:
$$20x\cdot1,08=24y$$
$$21,6x=24y \quad\bigg/\:24$$
$$y=0,9x$$
Otrzymany zapis oznacza, że liczba sprzedanych obiadów w listopadzie stanowi \(90\%\) tych, które były sprzedane w październiku, czyli tym samym sprzedaż spadła o \(10\%\).
Zadanie nr 3 · Matura 2023
Cenę aparatu fotograficznego obniżono o \(15\%\), a następnie - o \(20\%\) w odniesieniu do oceny obowiązującej w danym momencie. Po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje \(340zł\). Przed obiema obniżkami cena tego aparatu była równa:
A\(500zł\)
B\(425zł\)
C\(400zł\)
D\(375zł\)
Bazując na treści zadania, możemy wprowadzić następujące oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena aparatu
\(0,85x\) - cena aparatu po pierwszej obniżce
\(0,8\cdot0,85x=0,68x\) - cena aparatu po drugiej obniżce
Z treści zadania wynika, że po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje \(340zł\), zatem:
$$0,68x=340$$
$$x=500$$
Zadanie nr 4 · Matura 2022
Cenę \(x\) (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o \(30\%\), a następnie obniżono o \(20\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa:
A\(0,36\cdot x\) złotych
B\(0,44\cdot x\) złotych
C\(0,50\cdot x\) złotych
D\(0,56\cdot x\) złotych
Aby rozpisać tę sytuację, musimy pamiętać, że obniżka ceny o np. \(30\%\) sprawia, iż nowa cena towaru stanowi \(70\%\) poprzedniej ceny, czyli \(0,7\) tej wartości. W związku z tym:
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,7\cdot x=0,7x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,8\cdot0,7x=0,56x\) - cena towaru po drugiej obniżce
Zadanie nr 3 · Próbny 2022
W firmie XYZ \(48\%\) pracowników zna język angielski, a spośród nich \(8\%\) zdało egzamin państwowy z tego języka i posiada międzynarodowy certyfikat językowy. Wynika stąd, że najmniejsza możliwa liczba pracowników firmy to:
A\(100\)
B\(250\)
C\(625\)
D\(1255\)
Wprowadźmy do treści zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba pracowników
\(0,48x\) - liczba pracowników znających angielski
\(0,08\cdot0,48x=0,0384x\) - liczba pracowników, którzy mają certyfikat
Mogłoby się wydawać, że skoro ma to być jak najmniejsza liczbę pracowników, to liczba mających certyfikat powinna być równa \(1\). Nie do końca jest to dobre założenie, bo w takim przypadku np. liczba osób znających angielski wyszłaby nam niecałkowita. Jak zatem podejść do zadania? Najprościej będzie sprawdzić, co się stanie, gdy w miejsce \(x\) podstawimy po kolei odpowiedzi z naszego zadania:
\(0,0384\cdot100=3,84\)
\(0,0384\cdot250=9,6\)
\(0,0384\cdot625=24\)
\(0,0384\cdot1225=47,04\)
Wynik będący liczbą naturalną otrzymaliśmy jedynie w trzecim przypadku, tak więc to będzie prawidłowa odpowiedź.
Zadanie nr 4 · Matura 2022
\(30\%\) liczby \(x\) jest o \(2730\) mniejsze od liczby \(x\). Liczba \(x\) jest równa:
A\(3900\)
B\(1911\)
C\(9100\)
D\(2100\)
\(30\%\) liczby \(x\) to \(0,3x\). Z treści zadania wynika więc, że \(0,3x\) jest o \(2730\) mniejsze od \(x\), czyli:
$$0,3x=x-2730$$
$$-0,7x=-2730$$
$$x=3900$$
Zadanie nr 4 · Matura 2022
Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o \(10\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa \(78 732 zł\). Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do \(1 zł\), równa:
A\(98 732 zł\)
B\(97 200 zł\)
C\(95 266 zł\)
D\(94 478 zł\)
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena działki
\(0,9x\) - cena działki po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,9x=0,81x\) - cena działki po drugiej obniżce
Skoro więc po drugiej obniżce wynosi \(78 732 zł\), to:
$$0,81x=78732$$
$$x=97200$$
Zadanie nr 3 · Matura 2021
Liczba \(x\) stanowi \(80\%\) liczby dodatniej \(y\). Wynika stąd, że liczba \(y\) to:
A\(125\%\) liczby \(x\)
B\(120\%\) liczby \(x\)
C\(25\%\) liczby \(x\)
D\(20\%\) liczby \(x\)
Skoro \(x\) stanowi \(80\%\) liczby \(y\), to:
$$x=0,8y$$
Teraz dzieląc obydwie strony przez \(0,8\) (lub mnożąc przez odwrotność, czyli \(\frac{10}{8}\), otrzymamy że:
$$y=1,25x$$
To oznacza, że liczba \(y\) stanowi \(125\%\) liczby \(x\).
Zadanie nr 3 · Próbny 2021
Medyczna maseczka ochronna wielokrotnego użytku z wymiennymi filtrami wskutek podwyżki zdrożała o \(40\%\) i kosztuje obecnie \(106,40zł\). Cena maseczki przed podwyżką była równa:
A\(63,84 zł\)
B\(65,40 zł\)
C\(76,00 zł\)
D\(66,40 zł\)
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - cena maseczki przed podwyżką
\(1,4x\) - cena maseczki po podwyżce
Z treści zadania wynika, że cena maseczki po podwyżce jest równa \(106,40zł\), zatem:
$$1,4x=106,40zł$$
$$x=76zł$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2021
Cena komputera BIT była równa \(1968zł\). W ramach promocji sklep obniżył ją o \(25\%\). Po obniżce cena tego komputera jest równa:
A\(1476zł\)
B\(1574,40zł\)
C\(1933zł\)
D\(1967,75zł\)
Z działu procentów wiemy, że obniżenie ceny o \(25\%\) sprawia, iż produkt kosztuje teraz \(0,75\) wartości początkowej. Możemy zatem zapisać, że po obniżce cena tego komputera wynosi:
$$0,75\cdot1968zł=1476zł$$
Oczywiście nic też nie stoi na przeszkodzie, by najpierw obliczyć wysokość obniżki, a potem odliczyć ją od kwoty komputera. Moglibyśmy więc rozpisać to w taki sposób:
Wysokość obniżki wynosi: \(0,25\cdot1968zł=492zł\)
Nowa cena komputera wynosi: \(1968zł-492zł=1476zł\)
Zadanie nr 4 · Próbny 2021
Laptop kosztował \(1500 zł\). Jego cenę obniżono o \(20\%\), a następnie podwyższono o \(20\%\). Po tych operacjach laptop kosztuje:
A\(1500 zł\)
B\(1440 zł\)
C\(1550 zł\)
D\(1600 zł\)
Po obniżce o \(20\%\) laptop kosztował:
$$0,8\cdot1500zł=1200zł$$
Potem nastąpiła podwyżka o \(20\%\), więc teraz laptop kosztuje:
$$1,2\cdot1200zł=1440zł$$
Zadanie nr 4 · Matura 2021
Cenę drukarki obniżono o \(20\%\), a następnie nową cenę obniżono o \(10\%\). W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o:
A\(18\%\)
B\(28\%\)
C\(30\%\)
D\(72\%\)
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena drukarki
\(0,8x\) - cena drukarki po pierwszej
\(0,9\cdot0,8x=0,72x\) - cena drukarki po drugiej obniżce
Skoro na początku drukarka kosztowała \(x\), a teraz kosztuje \(0,72x\) , to znaczy, że cena drukarki spadła o:
$$x-0,72x=0,28x$$
To oznacza, że spadek wyniósł \(28\%\).
Zadanie nr 32 · Matura 2021
Dany jest trapez o podstawach długości \(a\) oraz \(b\) i wysokości \(h\). Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o \(25\%\), a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość \(h\) trapezu.
Krok 1. Zapisanie wzorów na pole trapezu.
Pole trapezu obliczamy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h$$
Wiemy, że podstawy naszego początkowego trapezu zostały wydłużone o \(25\%\), czyli wynoszą teraz \(1,25a\) oraz \(1,25b\). Naszym celem jest poznanie długości nowej wysokości, którą oznaczymy sobie jako \(x\). Wzór na pole zmienionego trapezu będziemy więc mogli zapisać jako:
$$P=\frac{1}{2}(1,25a+1,25b)\cdot x$$
Krok 2. Obliczenie nowej wysokości trapezu.
Pola powierzchni jednego i drugiego trapezu muszą być równe, zatem:
$$\frac{1}{2}(a+b)\cdot h=\frac{1}{2}(1,25a+1,25b)\cdot x$$
$$(a+b)\cdot h=(1,25a+1,25b)\cdot x$$
$$(a+b)\cdot h=1,25(a+b)\cdot x \quad\bigg/:(a+b)$$
$$h=1,25x$$
$$h=\frac{5}{4}x \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5}$$
$$x=\frac{4}{5}h$$
Skoro nowa wysokość stanowi \(\frac{4}{5}\) starej wysokości, to znaczy, że wysokość została skrócona o \(20\%\).
Zadanie nr 2 · Matura 2021
Liczba \(78\) stanowi \(150\%\) liczby \(c\). Wtedy liczba \(c\) jest równa:
A\(60\)
B\(52\)
C\(48\)
D\(39\)
\(150\%\) liczby \(c\) to tak naprawdę \(1,5c\). Możemy więc zapisać, że:
$$1,5c=78$$
$$c=52$$
Zadanie nr 6 · Matura 2020
Na początku miesiąca komputer kosztował 3500zł. W drugiej dekadzie tego miesiąca cenę komputera obniżono o 10%, a w trzeciej dekadzie cena tego komputera została jeszcze raz obniżona, tym razem o 15%. Innych zmian ceny tego komputera w tym miesiącu już nie było. Cena komputera na koniec miesiąca była równa:
A3272,50zł
B2625zł
C2677,50zł
D2800zł
Rozpiszmy to sobie wszystko bardzo dokładnie:
Początkowa cena: \(3500\)
Cena po pierwszej obniżce: \(0,9\cdot3500=3150\)
Cena po drugiej obniżce: \(0,85\cdot3150=2677,50\)
To oznacza, że cena komputera po dwóch obniżkach wynosi \(2677,50zł\).
Zadanie nr 4 · Próbny 2020
Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o \(30\%\). Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła:
Ao mniej niż \(50\%\), ale więcej niż \(40\%\)
Bo mniej niż \(60\%\), ale więcej niż \(50\%\)
Cdokładnie o \(60\%\)
Do więcej niż \(60\%\)
Z treści zadania wynika, że \(r_{1}=1,3r_{2}\). W związku z tym:
$$P_{1}=π{r_{1}}^2=π(1,3r_{2})^2=1,69π{r_{2}}^2$$
$$P_{2}=π{r_{2}}^2$$
Widzimy wyraźnie, że pole pierwszego koła jest większe od drugiego o \(69\%\), zatem poprawna jest ostatnia odpowiedź.
Zadanie nr 3 · Próbny 2020
Cenę pewnego towaru podwyższono o \(20\%\), następnie otrzymaną w ten sposób nową cenę obniżono o \(20\%\). Cena końcowa jest:
Ao \(4\%\) wyższa od ceny początkowej
Bo \(2\%\) niższa od ceny początkowej
Co \(4\%\) niższa od ceny początkowej
Drówna cenie początkowej
Rozpiszmy to sobie po kolei:
Cena początkowa: \(x\)
Teraz cena jest podwyższona o \(20\%\), czyli nowa cena będzie stanowiła \(120\%\) ceny początkowej. Możemy zapisać, że:
Cena po podwyżce: \(1,2\cdot x=1,2x\)
Teraz cena jest obniżona o \(20\%\), czyli nowa cena będzie stanowiła \(80\%\) ceny po pierwszej podwyżce (która była równa \(1,2x\)). Możemy zapisać, że:
Cena po obniżce: \(0,8\cdot1,2x=0,96x\)
Skoro cena początkowa była równa \(x\), a po podwyżce i obniżce jest równa ostatecznie \(0,96x\), to widzimy wyraźnie, że cena spadła o \(0,04x\), czyli o \(4\%\).
Zadanie nr 5 · Próbny 2020
Kwotę \(5000zł\) ulokowano w banku na lokacie oprocentowanej \(3\%\) w stosunku rocznym, z odsetkami kapitalizowanymi co rok. Przy każdej kapitalizacji od odsetek pobiera się podatek w wysokości \(19\%\). Kwota lokaty po dwóch latach wyniesie:
A\(5000\cdot(1+0,03)^2 zł\)
B\(0,81\cdot5000\cdot(1+0,03)^2 zł\)
C\(5000\cdot(1+0,81\cdot0,03)^2 zł\)
D\(5000\cdot(1+0,19\cdot0,03)^2 zł\)
Krok 1. Obliczenie kwoty lokaty (bez uwzględniania podatku od odsetek).
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$
\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji
Problemem w tym zadaniu jest fakt, że ten wzór nie uwzględnia opodatkowania lokat. Spróbujmy zatem na razie pominąć ten aspekt podatku i wrócimy do niego na sam koniec obliczeń. Wypiszmy zatem najpierw to, co podstawimy do naszego wzoru na kapitalizację. Z treści zadania wynika, że:
\(K=5000\)
\(p=0,03\)
\(n=2\)
Dlaczego \(p=0,03\)?
Kapitalizacja odbywa się raz w roku, a oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(3\%\), stąd też właśnie \(p=0,03:1=0,03\). Tak na marginesie - gdyby kapitalizacja była półroczna, to odsetki kapitalizowane byłaby \(2\) razy w roku i wtedy oprocentowanie lokaty w okresie pojedynczej kapitalizacji wyniosłoby \(p=0,03:2=0,015\).
Dlaczego \(n=2\)?
Lokata jest na \(2\) lata, a odsetki naliczane są co rok. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(2\) razy.
Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru, otrzymując:
$$K_{2}=5000\cdot(1+0,03)^{2} zł$$
Krok 2. Obliczenie kwoty lokaty (z uwzględnieniem podatku od odsetek).
W tym zadaniu musimy jeszcze uwzględnić fakt występowania podatku od odsetek. Zapisany przed chwilą wzór musimy więc udoskonalić. Wiemy, że podatek wynosi \(19\%\), czyli tak obrazowo rzecz ujmując - nasze realne oprocentowanie lokaty będzie przez ten podatek o prawie \(\frac{1}{5}\) mniejsze. Po odjęciu tego podatku zostanie nam \(81\%\) odsetek, czyli realne oprocentowanie wyniesie \(p=0,81\cdot0,03\) i stąd też poprawnym zapisem będzie \(5000\cdot(1+0,81\cdot0,03)^2 zł\).
Zwróć też uwagę na to, że zapis podany w drugiej odpowiedzi jest na pewno błędny, bowiem tutaj naliczono podatek od całej kwoty lokaty, a nie jedynie od odsetek.
Zadanie nr 3 · Próbny 2020
Liczba dodatnia \(a\) jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Licznik tego ułamka zwiększono
o \(20\%\), a jego mianownik zmniejszono o \(20\%\). Otrzymano w ten sposób liczbę \(b\), taką, że:
A\(b=a\)
B\(b=\frac{2}{3}a\)
C\(b=0,4a\)
D\(b=1,5a\)
Liczbę \(a\) możemy zapisać jako \(a=\frac{x}{y}\). Skoro licznik mamy zwiększyć o \(20\%\), a mianownik zmniejszyć o \(20\%\), to w liczniku będziemy mieć \(1,2x\), a w mianowniku \(0,8y\). To oznacza, że:
$$b=\frac{1,2x}{0,8y}=\frac{1,2}{0,8}\cdot\frac{x}{y}=1,5\cdot\frac{x}{y}=1,5a$$
Zadanie nr 4 · Matura 2020
Cenę \(x\) pewnego towaru obniżono o \(20\%\) i otrzymano cenę \(y\). Aby przywrócić cenę \(x\), nową cenę \(y\) należy podnieść o:
A\(25\%\)
B\(20\%\)
C\(15\%\)
D\(12\%\)
Jeżeli cenę \(x\) obniżono o \(20\%\), to nowa cena jest równa \(0,8x\).
Teraz chcemy podwyższyć cenę w taki sposób, by ponownie towar kosztował \(x\), zatem podwyżka musi wynieść \(x-0,8x=0,2x\). To oznacza, że ta podwyżka będzie o \(\frac{0,2x}{0,8x}=0,25=25\%\).
Zadanie nr 3 · Matura 2019
Jeżeli \(75\%\) liczby \(a\) jest równe \(177\) i \(59\%\) liczby \(b\) jest równe \(177\), to:
A\(b-a=26\)
B\(b-a=64\)
C\(a-b=26\)
D\(a-b=64\)
Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Z treści zadania wynika, że:
$$0,75a=177$$
$$a=236$$
Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(b\).
W bardzo podobny sposób możemy wyznaczyć wartość liczby \(b\):
$$0,59b=177$$
$$b=300$$
Krok 3. Wybór właściwej odpowiedzi.
Tak naprawdę w odpowiedziach mamy działania \(b-a\) oraz \(a-b\) wraz z proponowanymi wynikami. Obliczmy zatem wartość każdego z tych wyrażeń:
$$b-a=300-236=64$$
$$a-b=236-300=-64$$
To oznacza, że poszukiwaną przez nas odpowiedzią jest \(b-a=64\).
Zadanie nr 4 · Próbny 2019
Kwotę \(3000zł\) ulokowano w banku na lokacie oprocentowanej \(2\%\) w stosunku rocznym, przy czym odsetki są kapitalizowane co pół roku (nie uwzględniamy podatku od odsetek kapitałowych). Po trzech latach stan tej lokaty wyniesie:
A\(3000\cdot\left(1+\frac{2}{100}\right)^3\;zł\)
B\(3000\cdot\left(1+\frac{1}{100}\right)^3\;zł\)
C\(3000\cdot\left(1+\frac{2}{100}\right)^6\;zł\)
D\(3000\cdot\left(1+\frac{1}{100}\right)^6\;zł\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$
\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji
Z treści zadania wynika, że:
\(K=3000\)
\(p=0,02:2=0,01=\frac{1}{100}\)
\(n=3\cdot2=6\)
Dlaczego \(p=\frac{1}{100}\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(2\%\), czyli \(0,02\). Gdyby lokata była kapitalizowana raz w roku, to wtedy \(p=0,02\). Jednak nasza lokata jest kapitalizowana \(2\) razy w roku (co pół roku), zatem na każdy okres kapitalizacji przypada nam oprocentowanie rzędu \(p=0,02:2=0,01=\frac{1}{100}\).
Dlaczego \(n=6\)?
Lokata jest na \(3\) lata, a odsetki naliczane są co pół roku czyli \(2\) razy w roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(3\cdot2=6\) razy.
Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru, otrzymując:
$$K_{6}=k\cdot\left(1+\frac{1}{100}\right)^{6}$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2019
Cenę pewnego towaru obniżono dwukrotnie: najpierw o \(20\%\), a następnie o \(10\%\). Końcowa cena tego towaru jest niższa od ceny początkowej o:
A\(30\%\)
B\(72\%\)
C\(28\%\)
D\(15\%\)
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,8x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,8x=0,72x\) - cena towaru po drugiej obniżce
Skoro na początku cena towaru wynosiła \(x\), a po dwóch obniżkach wynosi \(0,72x\), to końcowa cena tego towaru jest niższa o \(x-0,72x=0,28x\). Musimy tę wartość wyrazić w procentach, zatem skoro obniżka wyniosła \(0,28x\) z \(x\) to procentowo będzie ona równa:
$$\frac{0,28x}{x}\cdot100\%=28\%$$
Zadanie nr 4 · Matura 2019
Liczba dodatnia \(a\) jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o \(50\%\), a jego mianownik zwiększymy o \(50\%\), to otrzymamy liczbę \(b\) taką, że:
A\(b=\frac{1}{4}a\)
B\(b=\frac{1}{3}a\)
C\(b=\frac{1}{2}a\)
D\(b=\frac{2}{3}a\)
Krok 1. Zapisanie wyrażeń na podstawie treści zadania.
Jeżeli przyjmiemy sobie, że \(x\) to jest liczba znajdująca się w liczniku, a \(y\) to będzie liczba znajdująca się w mianowniku to z treści zadania wynika, że:
$$a=\frac{x}{y}$$
$$b=\frac{0,5\cdot x}{1,5\cdot y}$$
Krok 2. Podstawienie liczby \(a\) do liczby \(b\).
Rozpisując liczbę \(b\) i podstawiając w miejsce \(\frac{x}{y}\) wartość równą \(a\) otrzymamy:
\(b=\frac{0,5}{1,5}\cdot\frac{x}{y}=\frac{0,5}{1,5}\cdot a=\frac{1}{3}a\)
Zadanie nr 3 · Matura 2019
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa \(4\%\). Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o \(1\) punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o:
A\(1\%\)
B\(25\%\)
C\(33\%\)
D\(75\%\)
Jeżeli prowizja wynosiła \(4\%\) i została obniżona o \(1\) punkt procentowy, to nowa prowizja wynosi teraz \(3\%\). W związku z tym nowa prowizja jest o \(\frac{1}{4}\) mniejsza od poprzedniej, czyli zmniejszyła się ona o \(25\%\).
Zadanie nr 1 · Matura 2018
Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o \(10\%\) zmniejszyła się o \(2018\) zł. Ten towar po tej obniżce kosztował:
A\(20180\) zł
B\(18162\) zł
C\(2108\) zł
D\(2028\) zł
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,1x\) - wysokość zniżki
\(0,9x\) - cena towaru po obniżce
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że obniżka wyniosła \(2018zł\), czyli:
$$0,1x=2018zł \quad\bigg/\cdot10$$
$$x=20180zł$$
Krok 3. Obliczenie ceny towaru po zniżce.
Zgodnie z oznaczeniami wiemy, że towar kosztował na początku \(20180zł\). Obniżka wyniosła \(2018zł\), zatem po obniżce towar kosztował:
$$20180zł-2018zł=18162zł$$
Mogliśmy też wykorzystać informację, że cena towaru po obniżce stanowi \(0,9x\), czyli:
$$0,9\cdot20180zł=18162zł$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2018
Liczba \(b\) jest przybliżeniem liczby \(a=\frac{25}{4}\). Błąd względny tego przybliżenia jest równy \(4\%\). Wskaż błąd bezwzględny tego przybliżenia.
A\(0,04\)
B\(0,25\)
C\(0,64\)
D\(2,5\)
Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd bezwzględny obliczymy korzystając ze wzoru na błąd względny \(δ=\frac{Δx}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(Δx\) - błąd bezwzględny
\(x\) - dokładna wartość
W naszym przypadku:
\(x=a=\frac{25}{4}=6,25\)
\(δ=4\%=0,04\)
Krok 2. Obliczenie błędu bezwzględnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd bezwzględny obliczymy w następujący sposób:
$$δ=\frac{Δx}{x}$$
$$0,04=\frac{Δx}{6,25}$$
$$Δx=0,25$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2018
Urząd skarbowy został zobowiązany do zwrotu podatku w wysokości \(235,40zł\). Kwotę tę zaokrąglono do pełnych dziesiątek złotych. Błąd względny tego zaokrąglenia wyrażony w procentach wyniósł około:
A\(0,04\%\)
B\(1,95\%\)
C\(1,92\%\)
D\(2,29\%\)
Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd względny obliczymy korzystając ze wzoru \(δ=\frac{|x-p|}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(x\) - dokładna wartość
\(p\) - wartość przybliżona
W naszym przypadku:
\(x=235,40\)
\(p=240\), bo \(240\) jest przybliżeniem do pełnych dziesiątek liczby \(235,40\)
Krok 2. Obliczenie błędu względnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd względny obliczymy w następujący sposób:
$$\frac{|235,40-240|}{235,40}=\frac{|-4,60|}{235,40}=\frac{4,60}{235,40}\approx0,0195\approx1,95\%$$
Zadanie nr 4 · Matura 2018
Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o \(10\%\) w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje \(1944\) złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował:
A\(2200\) złotych
B\(2300\) złotych
C\(2400\) złotych
D\(3000\) złotych
\(x\) - cena komputera przed obniżkami
\(x-0,1x=0,9x\) - cena komputera po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,9x=0,81x\) - cena komputera po drugiej obniżce
Z treści zadania wynika, że po dwóch obniżkach komputer kosztował \(1944\) złotych, czyli:
$$0,81x=1944zł$$
$$x=2400zł$$
To oznacza, że przed obniżkami komputer kosztował \(2400zł\).
Zadanie nr 4 · Matura 2018
Cena roweru po obniżce o \(15\%\) była równa \(850\) zł. Przed obniżką ten rower kosztował:
A\(865,00\) zł
B\(850,15\) zł
C\(1000,00\) zł
D\(977,50\) zł
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(x\) - cena roweru przed obniżką
\(x-0,15x=0,85x\) - cena roweru po obniżce
Z treści zadania wynika, że:
$$0,85x=850zł$$
$$x=1000zł$$
Zadanie nr 4 · Matura 2017
Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o \(30\%\). Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła:
Ao mniej niż \(50\%\), ale więcej niż \(40\%\)
Bo mniej niż \(60\%\), ale więcej niż \(50\%\)
Cdokładnie o \(60\%\)
Do więcej niż \(60\%\)
Z treści zadania wynika, że \(r_{1}=1,3r_{2}\). W związku z tym:
$$P_{1}=π{r_{1}}^2=π(1,3r_{2})^2=1,69π{r_{2}}^2$$
$$P_{2}=π{r_{2}}^2$$
Widzimy wyraźnie, że pole pierwszego koła jest większe od drugiego o \(69\%\), zatem poprawna jest ostatnia odpowiedź.
Zadanie nr 4 · Próbny 2017
Pan Adam wpłacał na rzecz pewnego stowarzyszenia \(2\%\) swoich stałych miesięcznych dochodów. Od ostatniego miesiąca wpłata wzrosła do \(3\%\) jego dochodów. O ile procent zwiększyła się kwota wpłacana przez pana Adama?
Ao \(1\%\)
Bo \(30\%\)
Co \(50\%\)
Do \(150\%\)
Jeżeli Pan Adam zarabia \(x\) złotych, to na początku wpłaty na rzecz stowarzyszenia wynosiły \(2\%\) z \(x\) czyli \(0,02x\) złotych.
W momencie kiedy Pan Adam zaczął przeznaczać na stowarzyszenie \(3\%\) swoich dochodów, to na stowarzyszenie wpłacał \(0,03x\) złotych.
To oznacza, że wysokość wpłat wzrosła o:
$$\frac{0,03x-0,02x}{0,02x}\cdot100\%=\frac{0,01x}{0,02x}\cdot100\%=\frac{1}{2}\cdot100\%=50\%$$
Zadanie nr 2 · Matura 2017
Iloczyn dodatnich liczb \(a\) i \(b\) jest równy \(1350\). Ponadto \(15\%\) liczby \(a\) jest równe \(10\%\) liczby \(b\). Stąd wynika, że \(b\) jest równe:
A\(9\)
B\(18\)
C\(45\)
D\(50\)
Jeżeli \(15\%\) liczby \(a\) jest równe \(10\%\) liczby \(b\), to znaczy że:
$$0,15a=0,1b$$
$$a=\frac{0,1}{0,15}b$$
$$a=\frac{10}{15}b$$
$$a=\frac{2}{3}b$$
Skoro iloczyn liczb \(a\) oraz \(b\) jest równy \(1350\), to:
$$a\cdot b=1350$$
$$\frac{2}{3}b\cdot b=1350$$
$$\frac{2}{3}b^2=1350 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2}$$
$$b^2=2025$$
$$b=45 \quad\lor\quad b=-45$$
Z treści zadania wynika, że liczba \(b\) musi być dodatnia, a to oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest \(b=45\).
Zadanie nr 4 · Matura 2017
Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011r. o \(120\%\) i obecnie jest równa \(8910\). Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?
A\(4050\)
B\(1782\)
C\(7425\)
D\(7128\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(x\) - liczba zwierząt w 2011 roku
\(x\) plus \(120\%x\), czyli \(2,2x\) - obecna liczba zwierząt
Krok 2. Ułożenie i rozwiązania równania.
Zgodnie z treścią zadania:
$$2,2x=8910$$
$$x=4050$$
Zadanie nr 2 · Matura 2016
Buty, które kosztowały \(220\) złotych, przeceniono i sprzedano za \(176\) złotych. O ile procent obniżono cenę butów?
A\(80\)
B\(20\)
C\(22\)
D\(44\)
Krok 1. Obliczenie wysokości obniżki.
$$220zł-176zł=44zł$$
Krok 2. Obliczenie o ile procent obniżono cenę butów.
Cenę obniżono o \(44zł\) z \(220zł\), czyli:
$$\frac{44}{220}\cdot100\%=\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2016
Liczba \(60\) jest przybliżeniem z niedomiarem liczby \(x\). Błąd względny tego przybliżenia to \(4\%\). Liczba \(x\) jest równa:
A\(57,69\)
B\(57,6\)
C\(60,04\)
D\(62,5\)
Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd względny obliczymy korzystając ze wzoru \(δ=\frac{|x-p|}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(x\) - dokładna wartość
\(p\) - wartość przybliżona
W naszym przypadku:
\(δ=4\%=0,04\)
\(p=60\)
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Podstawiając powyższe dane do wzoru na błąd bezwzględny otrzymamy:
$$δ=\frac{|x-p|}{x}$$
$$0,04=\frac{|x-60|}{x}$$
$$0,04x=|x-60|$$
Otrzymaliśmy równanie z wartością bezwzględną. Musimy więc ustalić, czy wartość w nawiasie bezwzględności jest dodatnia, czy też ujemna (od tego zależy jak będzie wyglądać opuszczenie nawiasów bezwzględności). W treści zadania mamy informację, że liczba \(60\) jest przybliżeniem z niedomiarem, czyli liczba \(x\) jest większa od \(60\). To oznacza, że wartość \(x-60\) jest na pewno dodatnia. Możemy więc bez problemu opuścić nawiasy bezwzględności nie zmieniając żadnej wartości. Otrzymamy więc:
$$0,04x=x-60$$
$$-0,96x=-60$$
$$x=62,5$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2016
Cenę towaru podwyższono o \(20\%\). O ile procent należy obniżyć nową cenę towaru, aby po obniżce stanowiła ona \(90\%\) ceny przed zmianami?
Ao \(10\%\)
Bo \(15\%\)
Co \(25\%\)
Do \(30\%\)
Jeżeli przyjmiemy, że \(x\) to początkowa cena towaru, to:
\(1,2x\) - cena towaru po podwyżce o \(20\%\)
\(0,9x\) - cena towaru jaką chcemy otrzymać
\(1,2x-0,9x=0,3x\) - o tyle musimy dokonać obniżki
Z powyższej analizy wyszło nam, że cenę \(1,2x\) musimy obniżyć o \(0,3x\), zatem obniżka ta będzie równa:
$$\frac{0,3x}{1,2x}=\frac{1}{4}=25\%$$
Zadanie nr 2 · Matura 2016
Cenę pewnego towaru podwyższono o \(20\%\), a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o \(30\%\). Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką:
Ao \(50\%\)
Bo \(56\%\)
Co \(60\%\)
Do \(66\%\)
Krok 1. Obliczenie ceny towaru po pierwszej podwyżce.
Jeżeli za \(x\) przyjmiemy początkową cenę towaru, to po podwyżce o \(20\%\) otrzymamy nową cenę równą \(120\%\cdot x=1,2x\).
Krok 2. Obliczenie ceny towaru po drugiej podwyżce.
Cena towaru ponownie ulega podwyżce, ale tym razem punktem wyjściowym jest już nasze \(1,2x\). Nowa cena jest więc równa: $$130\%\cdot1,2x=1,3\cdot1,2x=1,56x$$
Krok 3. Obliczenie całkowitego wzrostu cen.
Cena towaru wzrosła o \((1,56x-x)\cdot100\%=56\%\), więc chcąc zastąpić te dwie podwyżki jedną równoważną należy podwyższyć cenę towaru o \(56\%\).
Zadanie nr 33 · Matura 2016
Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o \(10\%\) większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o \(10\%\) mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o \(12\) minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek.
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Wypiszmy sobie poszczególne informacje z zadania. Przydatnym w tym zadaniu będzie wzór:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow t=\frac{s}{v}$$
\(v\) - zakładana prędkość przelotowa
\(1,1v\) - prędkość osiągnięta we wtorek
\(0,9v\) - prędkość osiągnięta w czwartek
\(s\) - długość trasy
\(t\) - standardowy czas pokonania trasy
\(t_{wt}=\frac{s}{1,1v}\) - czas przelotu we wtorek
\(t_{czw}=\frac{s}{0,9v}\) - czas przelotu w czwartek
W tym momencie warto jest się wykazać sprytem. Korzystając z tego, że \(t=\frac{s}{v}\) to czasu przelotu wtorkowego i czwartkowego możemy zapisać jako:
$$t_{wt}=\frac{t}{1,1}$$
$$t_{czw}=\frac{t}{0,9}$$
Krok 2. Wyznaczenie czasu standardowego przelotu.
Z treści zadania możemy ułożyć (i rozwiązać) następujące równanie:
$$\frac{t}{0,9}-\frac{t}{1,1}=12 \quad\bigg/\cdot9,9$$
$$11t-9t=118,8$$
$$2t=118,8$$
$$t=59,4$$
Wyznaczyliśmy w ten sposób czas standardowego przelotu.
Krok 3. Obliczenie czasu wtorkowego przelotu.
Znając wartość \(t=59,4\) bez problemu obliczymy czas wtorkowego przelotu, podstawiając tę wartość do wzoru wyznaczonego w pierwszym kroku. Zatem:
$$t_{wt}=\frac{t}{1,1}=54[min.]$$
Zadanie nr 3 · Matura 2016
Liczby \(a\) i \(c\) są dodatnie. Liczba \(b\) stanowi \(48\%\) liczby \(a\) oraz \(32\%\) liczby \(c\). Wynika stąd, że:
A\(c=1,5a\)
B\(c=1,6a\)
C\(c=0,8a\)
D\(c=0,16a\)
Z treści zadania wiemy, że:
$$b=0,48a$$
$$b=0,32c$$
To pozwoli nam ułożyć proste równanie i tym samym znaleźć pasującą relację między liczbami \(c\) oraz \(a\)
$$0,48a=0,32c$$
$$c=\frac{0,48}{0,32}a$$
$$c=1,5a$$
Zadanie nr 26 · Matura 2016
W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.
Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do \(1cm\). Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.
Krok 1. Obliczenie średniego rocznego przyrostu.
Średni przyrost obliczymy dokładnie tak jak zwykłą średnią arytmetyczną. Pamiętaj o tym, by na końcu zaokrąglić wynik do \(1cm\).
$$\overline{x}=\frac{10+10+7+8+8+7}{6}=\frac{50}{6}=8\frac{1}{3}\approx8[cm]$$
Krok 2. Obliczenie błędu względnego otrzymanego przybliżenia.
Błąd względny naszego przybliżenia z pierwszego kroku obliczymy w następujący sposób:
$$δ=\frac{|x-x_{0}|}{x}$$
\(δ\) - błąd względny pomiaru
\(x\) - dokładna wartość, czyli \(x=8\frac{1}{3}\)
\(x_{0}\) - przybliżona wartość, czyli \(x_{0}=8\)
Musimy ten błąd wyrazić w procentach, dlatego pomnożymy sobie wszystko przez \(100\%\). Podstawiając odpowiednie dane otrzymamy:
$$δ=\frac{|8\frac{1}{3}-8|}{8\frac{1}{3}}\cdot100\%$$
$$δ=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{25}{3}}\cdot100\%$$
$$δ=\frac{1}{25}\cdot100\%$$
$$δ=4\%$$
Zadanie nr 2 · Matura 2015
Dany jest prostokąt o wymiarach \(40cm\times100cm\). Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o \(20\%\), a każdy z krótszych boków skrócimy o \(20\%\), to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta:
Azwiększy się o \(8\%\)
Bzwiększy się o \(4\%\)
Czmniejszy się o \(8\%\)
Dzmniejszy się o \(4\%\)
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni przed przekształceniem.
Prostokąt przed przekształceniem ma pole powierzchni równe:
$$P_{1}=40cm\cdot100cm$$
$$P_{1}=4000cm^2$$
Krok 2. Obliczenie wymiarów oraz pola powierzchni po przekształceniu.
Jeżeli dłuższy bok wydłużymy o \(20\%\) to otrzymamy bok o długości: \(1,2\cdot100cm=120cm\).
Jeżeli krótszy bok skrócimy o \(20\%\) to otrzymamy bok o długości: \(0,8\cdot40cm=32cm\).
To oznacza, że pole powierzchni przekształconego prostokąta wyniesie:
$$P_{2}=120cm\cdot32cm$$
$$P_{2}=3840cm^2$$
Krok 3. Obliczenie o ile zmniejszy się pole powierzchni prostokąta po przekształceniu.
Pole powierzchni zmniejszyło się o:
$$4000cm^2-3840cm^2=160cm^2$$
To oznacza, że w procentowym ujęciu pole zmniejszy się o:
$$\frac{160cm^2}{4000cm^2}=\frac{4}{100}=4\%$$
Zadanie nr 2 · Matura 2015
Cenę pewnego towaru obniżano dwukrotnie, za każdym razem o \(20\%\). Takie dwie obniżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną obniżką:
Ao \(40\%\)
Bo \(36\%\)
Co \(32\%\)
Do \(28\%\)
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,8x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,8\cdot0,8x=0,64x\) - cena towaru po drugiej obniżce
To oznacza, że cena towaru spadła o \(x-0,64x=0,36x\), czyli o \(36\%\).
Zadanie nr 1 · Próbny 2015
Marek obserwował zwycięski skok Kamila Stocha i oszacował jego długość na \(138m\). Oficjalny wynik zawodnika to \(132,5m\). Jaki błąd względny popełnił Marek (w zaokrągleniu do części tysięcznych)?
A\(0,040\)
B\(0,042\)
C\(0,960\)
D\(5,500\)
Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd względny obliczymy korzystając ze wzoru \(δ=\frac{|x-p|}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(x\) - dokładna wartość
\(p\) - wartość przybliżona
W naszym przypadku:
\(x=132,5\)
\(p=138\)
Krok 2. Obliczenie błędu względnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd względny obliczymy w następujący sposób:
$$\frac{|132,5-138|}{132,5}=\frac{|-5,5|}{132,5}=\frac{5,5}{132,5}\approx0,042$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2015
Liczba \(a\) jest o \(20\%\) mniejsza od liczby \(b\). Jaki procent liczby \(a\) stanowi liczba \(b\)?
A\(20\%\)
B\(80\%\)
C\(120\%\)
D\(125\%\)
Z treści zadania wynika, że:
$$a=0,8b$$
My musimy policzyć jaki procent liczby \(a\) stanowi liczba \(b\), czyli musimy tak naprawdę obliczyć \(\frac{b}{a}\). W związku z tym:
$$\frac{b}{a}=\frac{b}{0,8b}=1,25=125\%$$
Tak na marginesie: w tym zadaniu bardzo łatwo jest o błąd, zwłaszcza że nie wszyscy wiedzą dlaczego akurat zapis \(a=0,8b\) jest tym poprawnym. Aby lepiej zrozumieć istotę tego zapisu, to można sobie to wyjaśnić na konkretnych przykładach liczbowych, przyjmując że np. \(b=10\). Jeżeli \(b=10\), to \(a\) będące o \(20\%\) mniejsze będzie równe \(a=8\). Teraz znacznie łatwiej będzie zrozumieć dlaczego \(a=0,8b\) i dlaczego liczymy \(\frac{b}{a}\).
Zadanie nr 6 · Próbny 2015
Jeśli cena towaru najpierw zmniejszyła się o \(10\%\), a następnie zwiększyła się o \(20\%\), to po tych dwóch operacjach wyjściowa cena towaru:
Azwiększyła się o \(10\%\)
Bzmniejszyła się o \(10\%\)
Czwiększyła się o \(8\%\)
Dzmniejszyła się o \(8\%\)
\(x\) - cena towaru na początku
\(0,9x\) - cena towaru po obniżce
\(1,2\cdot0,9x=1,08x\) - cena towaru po podwyżce
To oznacza, że cena towaru zwiększyła się z \(x\) do \(1,08x\), czyli zwiększyła się o \(8\%\).
Zadanie nr 3 · Matura 2015
Przy \(23\)-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa \(45\;018zł\). Jaka jest cena netto tego samochodu?
A\(34\;663,86zł\)
B\(36\;600zł\)
C\(44\;995zł\)
D\(55\;372,14zł\)
Cena brutto to cena netto plus podatek VAT wyliczany z ceny netto. Tego zadania nie możemy więc rozwiązać mnożąc \(45\;018zł\) przez \(0,77\) (tak jak robimy to w przypadku obliczania podatku od np. lokat). Oto jak powinniśmy podejść do takiego zadania:
Krok 1. Zapisanie odpowiednich relacji między ceną netto i brutto.
\(x\) - cena netto
\(0,23x\) - podatek VAT
\(x+0,23x=1,23x\) - cena brutto
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Skoro cena brutto to \(45\;018zł\), to:
$$1,23x=45\;018zł$$
$$x=36\;600zł$$
Cena netto samochodu jest więc równa \(36\;600zł\).
Zadanie nr 22 · Matura 2015
Liczba \(0,3\) jest jednym z przybliżeń liczby \(\frac{5}{16}\). Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy:
A\(4\%\)
B\(0,04\%\)
C\(2,5\%\)
D\(0,025\%\)
Błąd względny obliczymy w następujący sposób:
$$δ=\frac{|x-x_{0}|}{x}$$
\(δ\) - błąd względny pomiaru
\(x\) - dokładna wartość
\(x_{0}\) - przybliżona wartość
Musimy wyrazić nasz błąd w procentach, dlatego na koniec pomnożymy sobie wszystko przez \(100\%\), zatem:
$$δ=\frac{|\frac{5}{16}-0,3|}{\frac{5}{16}}\cdot100\%$$
$$δ=\frac{|\frac{25}{80}-\frac{24}{80}|}{\frac{25}{80}}\cdot100\%$$
$$δ=\frac{|\frac{1}{80}|}{\frac{25}{80}}\cdot100\%$$
$$δ=\frac{1}{25}\cdot100\%$$
$$δ=4\%$$
Zadanie nr 2 · Matura 2015
Przy \(23\)-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa \(45 018 zł\). Jaka jest cena netto tego samochodu?
A\(34 663,86 zł\)
B\(36 600 zł\)
C\(44 995 zł\)
D\(55 372,14 zł\)
Cena brutto to cena netto plus podatek VAT wyliczany z ceny netto. Tego zadania nie możemy więc rozwiązać mnożąc \(45\;018zł\) przez \(0,77\) (tak jak robimy to w przypadku obliczania podatku od np. lokat). Oto jak powinniśmy podejść do takiego zadania:
Krok 1. Zapisanie odpowiednich relacji między ceną netto i brutto.
\(x\) - cena netto
\(0,23x\) - podatek VAT
\(x+0,23x=1,23x\) - cena brutto
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Skoro cena brutto to \(45\;018zł\), to:
$$1,23x=45\;018zł$$
$$x=36\;600zł$$
Cena netto samochodu jest więc równa \(36\;600zł\).
Zadanie nr 3 · Matura 2015
Kwotę \(1000zł\) ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości \(4\%\) w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości \(19\%\). Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa:
Istota lokaty polega na tym, że wpłacamy na jakiś czas kwotę np. \(1000zł\), a po upływie określonego terminu bank wypłaci nam \(1000zł\) plus odsetki, które będą pomniejszone o podatek. Odsetki w naszym przypadku będą równe \(\frac{4}{100}\cdot1000\). Musimy je jeszcze pomniejszyć o podatek \(19\%\), czyli pomnożyć je przez \(\frac{81}{100}\) (mnożymy przez \(\frac{81}{100}\), bo po odliczeniu podatku otrzymana kwota będzie stanowiła \(81\%\) kwoty wyjściowej).
Po roku możemy więc wypłacić \(1000+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\cdot1000\). Takiego zapisu nie mamy w sugerowanych odpowiedziach \(ABCD\), ale wystarczy wyłączyć wartość \(1000\) przed nawias i okaże się, że prawidłowa będzie odpowiedź trzecia, bowiem:
$$1000+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\cdot1000=1000\cdot(1+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100})$$
Zadanie nr 1 · Matura 2015
Cena pewnego towaru wraz z \(7\)-procentowym podatkiem VAT jest równa \(34\;347 zł\). Cena tego samego towaru wraz z \(23\)-procentowym podatkiem VAT będzie równa:
A\(37\;236zł\)
B\(39\;842,52zł\)
C\(39\;483zł\)
D\(42\;246,81zł\)
Krok 1. Obliczenie ceny netto towaru.
Cena brutto to cena netto towaru powiększona o podatek VAT, który jest wyliczany z ceny netto. Skoro mamy sprawdzić jaka jest cena brutto przy stawce \(23\%\), to najpierw musimy wyznaczyć cenę netto.
\(x\) - cena netto
\(0,07x\) - podatek VAT (bo \(0,07=7\%\))
\(x+0,07x=1,07x\) - cena brutto
W naszym przypadku cena brutto jest równa \(34347zł\), zatem:
$$1,07x=34347zł \quad\bigg/:1,07$$
$$x=32100$$
Krok 2. Obliczenie ceny towaru przy stawce VAT \(23\)-procentowej.
Do ceny netto \(32100zł\) musimy teraz dodać \(23\%\) podatku VAT, zatem:
$$1,23\cdot32100zł=39483zł$$
Cena netto samochodu jest więc równa \(39483zł\).
Zadanie nr 5 · Matura 2014
Julia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka. \(10\%\) tego, co jej zostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Ile procent oszczędności pozostało Julii?
A\(25\)
B\(40\)
C\(45\)
D\(55\)
\(x\) - tyle oszczędności miała Julia
\(0,5x\) - tyle oszczędności przeznaczyła Julia na prezent dla Maćka
\(x-0,5x=0,5x\) - tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupie prezentu
\(0,1\cdot0,5x=0,05x\) - tyle pieniędzy przeznaczyła Julia na prezent dla Dominiki
\(0,5x-0,05x=0,45x\) - tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupach dwóch prezentów
Julce zostało \(0,45x\) oszczędności, więc zostało jej \(45\%\).
Zadanie nr 1 · Próbny 2014
Liczba \(0,6\) jest jednym z przybliżeń liczby \(\frac{5}{8}\). Błąd względny tego przybliżenia wyrażony w procentach jest równy:
A\(0,025\%\)
B\(2,5\%\)
C\(0,04\%\)
D\(4\%\)
Aby obliczyć błąd względny musimy posłużyć się następującym wzorem:
$$δ=\frac{|x-x_{o}|}{x}$$
W naszym przykładzie:
$$x=\frac{5}{8}=0,625$$
$$x_{o}=0,6$$
$$\text{więc}$$
$$δ=\frac{|0,625-0,6|}{0,625}$$
$$δ=\frac{0,025}{0,625}$$
$$δ=0,04=4\%$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2014
Cena towaru została podwyższona o \(30\%\), a po pewnym czasie nową, wyższą cenę ponownie podwyższono, tym razem o \(10\%\). W rezultacie obu podwyżek wyjściowa cena towaru zwiększyła się o:
A\(15\%\)
B\(20\%\)
C\(40\%\)
D\(43\%\)
Przyjmijmy cenę początkową jako \(x\).
Po pierwszej podwyżce cena towaru wyniosła \(x\) plus \(30\%\) z ceny \(x\), czyli \(1,3x\).
Po drugiej podwyżce cena towaru wzrosła o \(10\%\), ale nie z ceny \(x\), tylko z \(1,3x\). Zatem mamy \(1,1\cdot1,3x=1,43x\).
Cena towaru wzrosła o \(1,43x-x=0,43=43\%\).
Zadanie nr 4 · Próbny 2014
Jeśli cenę towaru obniżono najpierw o \(10\%\), a potem o \(15\%\), to znaczy, że po dwóch obniżkach cena końcowa jest obniżona w stosunku do początkowej o:
A\(23,5\%\)
B\(25\%\)
C\(25,5\%\)
D\(26\%\)
W tego typu zadaniach należy pamiętać, że druga obniżka/podwyżka jest od ceny już obniżonej/podwyższonej za pierwszym razem. W naszym przypadku wyglądałoby to następująco:
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,9x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,85\cdot0,9x=0,765x\) - cena towaru po drugiej obniżce
To oznacza, że towar potaniał o \(\frac{x-0,765x}{x}\cdot100\%=23,5\%\).
Zadanie nr 5 · Próbny 2014
Jeżeli liczbę \(x=\frac{2}{3}\) przybliżymy z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku, to błąd względny tego przybliżenia jest równy:
A\(\frac{1}{2}\%\)
B\(1\%\)
C\(\frac{1}{3}\%\)
D\(\frac{2}{3}\%\)
Błąd względny obliczymy w następujący sposób:
$$δ=\frac{|x-x_{0}|}{x}$$
\(δ\) - błąd względny pomiaru
\(x\) - dokładna wartość
\(x_{0}\) - przybliżona wartość
W naszym przykładzie dokładną wartością jest \(x=\frac{2}{3}\), natomiast wartością przybliżoną będzie \(x_{0}=0,67\). W związku z tym:
$$δ=\frac{|\frac{2}{3}-0,67|}{\frac{2}{3}}$$
Jak teraz rozwiązać to równanie? Musimy zamienić ułamek \(0,67\) na ułamek zwykły i sprowadzić występujące w równaniu ułamki do wspólnego mianownika:
$$δ=\frac{|\frac{200}{300}-\frac{201}{300}|}{\frac{200}{300}}$$
$$δ=\frac{|-\frac{1}{300}|}{\frac{200}{300}}$$
$$δ=\frac{\frac{1}{300}}{\frac{200}{300}}$$
$$δ=\frac{1}{300}\cdot\frac{300}{200}$$
$$δ=\frac{1}{200}$$
My zgodnie z naszymi odpowiedziami musimy podać wartość w procentach (co jest dość częstą praktyką), zatem ułamek \(\frac{1}{200}\) musimy zamienić na procenty:
$$\frac{1}{200}\cdot100\%=\frac{1}{2}\%$$
Zadanie nr 2 · Matura 2014
Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek \(12:8:3:2\). Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora?
A\(12\%\)
B\(32\%\)
C\(48\%\)
D\(52\%\)
Oznaczmy sobie udziały poszczególnych wspólników jako: \(12x,8x,3x,2x\). Łącznie udziałów mamy:
$$12x+8x+3x+2x=25x$$
Musimy teraz obliczyć jaką część udziałów ma największy inwestor, a widzimy że ma on \(12x\) z \(25x\), czyli:
$$\frac{12x}{25x}\cdot100\%=48\%$$
Zadanie nr 2 · Matura 2014
Jeżeli liczba \(78\) jest o \(50\%\) większa od liczby \(c\), to:
A\(c=60\)
B\(c=52\)
C\(c=48\)
D\(c=39\)
Skoro liczba \(78\) jest o \(50\%\) większa od liczby \(c\), to znaczy że:
$$78=1,5c$$
$$c=52$$
Zadanie nr 2 · Matura 2013
Gdy od \(17\%\) liczby \(21\) odejmiemy \(21\%\) liczby \(17\), to otrzymamy:
A\(0\)
B\(\frac{4}{100}\)
C\(3,57\)
D\(4\)
Zgodnie z treścią zadania musimy ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$17\%\cdot21-21\%\cdot17=$$
$$=\frac{17}{100}\cdot21-\frac{21}{100}\cdot17=$$
$$=\frac{17\cdot21}{100}-\frac{21\cdot17}{100}=0$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2013
Liczba \(a\) stanowi \(40\%\) liczby \(b\). Wówczas:
A\(b=0,4a\)
B\(b=0,6a\)
C\(b=2,5a\)
D\(b=0,25a\)
Z treści zadania wiemy, że \(a=\frac{40}{100}b\), czyli \(a=\frac{2}{5}b\). Chcąc więc obliczyć wartość \(b\) musimy wymnożyć obie strony tego równania przez \(\frac{5}{2}\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$a=\frac{2}{5}b \quad\bigg/\cdot\frac{5}{2}$$
$$b=\frac{5}{2}a$$
$$b=2,5a$$
Zadanie nr 15 · Próbny 2013
Pan Nowak wpłacił do banku \(k\) zł na procent składany. Oprocentowanie w tym banku wynosi \(4\%\) w skali roku, a odsetki kapitalizuje się co pół roku. Po \(6\) latach oszczędzania Pan Nowak zgromadzi na koncie kwotę:
A\(k(1+0,02)^{12}\)zł
B\(k(1+0,04)^{12}\)zł
C\(k(1+0,02)^6\)zł
D\(k(1+0,4)^6\)zł
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$
\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji
Z treści zadania wynika, że:
\(K=k\)
\(p=0,04:2=0,02\)
\(n=6\cdot2=12\)
Dlaczego \(p=0,02\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(4\%\), czyli \(0,04\). Gdyby lokata była kapitalizowana raz w roku, to wtedy \(p=0,04\). Jednak nasza lokata jest kapitalizowana \(2\) razy w roku (co pół roku), zatem na każdy okres kapitalizacji przypada nam oprocentowanie rzędu \(p=0,04:2=0,02\).
Dlaczego \(n=12\)?
Lokata jest na \(6\) lat, a odsetki naliczane są co pół roku czyli \(2\) razy w roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(6\cdot2=12\) razy.
Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$K_{12}=k\cdot(1+0,02)^{12}$$
Zadanie nr 2 · Matura 2013
Dodatnia liczba \(x\) stanowi \(70\%\) liczby \(y\). Wówczas:
A\(y=\frac{13}{10}x\)
B\(y=\frac{7}{10}x\)
C\(y=\frac{10}{7}x\)
D\(y=\frac{10}{13}x\)
Zgodnie z treścią zadania:
$$x=70\%\cdot y$$
$$x=\frac{7}{10}\cdot y \quad\bigg/\cdot\frac{10}{7}$$
$$y=\frac{10}{7}x$$
Zadanie nr 2 · Matura 2013
Liczby \(a\) i \(b\) są dodatnie oraz \(12\%\) liczby \(a\) jest równe \(15\%\) liczby \(b\). Stąd wynika, że \(a\) jest równe:
A\(103\%\) liczby \(b\)
B\(125\%\) liczby \(b\)
C\(150\%\) liczby \(b\)
D\(153\%\) liczby \(b\)
Musimy matematycznie zapisać relację między liczbami \(a\) i \(b\), a następnie wyznaczyć z danego równania wartość \(a\):
$$0,12a=0,15b$$
$$a=\frac{0,15}{0,12}b$$
$$a=\frac{5}{4}b$$
$$a=\frac{125}{100}b$$
$$a=1,25b$$
\(a\) jest więc równe \(125\%\) liczby \(b\).
Zadanie nr 1 · Matura 2012
Długość boku kwadratu \(k_{2}\) jest o \(10\%\) większa od długości boku kwadratu \(k_{1}\). Wówczas pole kwadratu \(k_{2}\) jest większe od pola kwadratu \(k_{1}\):
Ao \(10\%\)
Bo \(110\%\)
Co \(21\%\)
Do \(121\%\)
Krok 1. Przyjęcie poprawnych oznaczeń.
Aby dobrze rozwiązać to zadanie musimy dobrze opisać sobie poszczególne dane z treści zadania:
\(a\) - długość boku pierwszego kwadratu
\(1,1a\) - długość boku drugiego kwadratu, bo ma to być długość o \(10\%\) większa od boku \(a\).
\(P_{1}\) - pole powierzchni pierwszego kwadratu
\(P_{2}\) - pole powierzchni drugiego kwadratu
Naszym zadaniem jest policzenie stosunku pól powierzchni (wyrażając wynik w procentach):
$$\frac{P_{2}}{P_{1}}\cdot100\%$$
Krok 2. Obliczenie pól powierzchni i różnicy między nimi.
Obliczamy pola powierzchni obydwu kwadratów:
$$P_{1}=a\cdot a=a^2$$
$$P_{2}=1,1a\cdot1,1a=1,21a^2$$
Znając pola powierzchni możemy obliczyć o ile większe jest pole drugiego kwadratu:
$$\frac{P_{2}-P_{1}}{P_{1}}\cdot100\%=\frac{1,21a^2-a^2}{a^2}\cdot100\%=\frac{0,21a^2}{a^2}\cdot100\%=21\%$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2012
W pewnym sklepie ceny wszystkich płyt \(CD\) obniżono o \(20\%\). Zatem za dwie płyty kupione w tym sklepie należy zapłacić mniej o:
A\(10\%\)
B\(20\%\)
C\(30\%\)
D\(40\%\)
Niezależnie od tego ile płyt kupimy to tak czy inaczej zapłacimy po prostu \(20\%\) mniej. Prawidłowa jest więc odpowiedź druga.
Zadanie nr 6 · Próbny 2012
Kwotę \(10000\) zł wpłacamy do banku na \(4\) lata. Kapitalizacja odsetek jest dokonywana w tym banku co kwartał, a roczna stopa procentowa wynosi \(3\%\). Po \(4\) latach kwotę na rachunku będzie można opisać wzorem:
A\(10000\cdot(1,0075)^4\)
B\(10000\cdot(1,03)^4\)
C\(10000\cdot(1,03)^{16}\)
D\(10000\cdot(1,0075)^{16}\)
Do rozwiązania zadania skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$
\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji
Z treści zadania wynika, że:
\(K=10000\)
\(p=0,03:4=0,0075\)
\(n=4\cdot4=16\)
Dlaczego \(p=0,0075\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(3\%\), czyli \(0,03\). Gdyby lokata była kapitalizowana raz w roku, to wtedy \(p=0,03\). Jednak nasza lokata jest kapitalizowana \(4\) razy w roku (co kwartał), zatem na każdy okres kapitalizacji przypada nam oprocentowanie rzędu \(p=0,03:4=0,0075\).
Dlaczego \(n=16\)?
Lokata jest na \(4\) lata, a odsetki naliczane są co kwartał czyli \(4\) razy w roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(4\cdot4=16\) razy.
Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$K_{16}=10000\cdot(1+0,0075)^{16}$$
Zadanie nr 29 · Próbny 2012
Długość krawędzi sześcianu zwiększono o \(20\%\). Oblicz, o ile procent wzrosła objętość tego sześcianu.
\(a\) - długość krawędzi sześcianu przed powiększeniem
\(1,2a\) - długość krawędzi sześcianu po powiększeniu
\(V=a^3\) - objętość sześcianu przed powiększeniem
\(V=1,2a\cdot1,2a\cdot1,2a=1,728a^3\) - objętość sześcianu po powiększeniu
Skoro przed powiększeniem sześcian miał objętość \(a^3\) (czyli \(1a^3\)), a po powiększeniu ma objętość równą \(1,728a^3\) to objętość wzrosła o \(72,8\%\).
Zadanie nr 4 · Matura 2012
Marża równa \(1,5\%\) kwoty pożyczonego kapitału była równa \(3000zł\). Wynika stąd, że pożyczono:
A\(45zł\)
B\(2000zł\)
C\(200\;000zł\)
D\(450\;000zł\)
Oczywiście możemy to zadanie policzyć na piechotę i sprawdzić po kolei każdą z odpowiedzi, obliczając po kolei \(1,5\%\) z \(45zł\), potem z \(2000zł\) itd. Najszybciej będzie jednak ułożyć prostą proporcję:
$$1,5\%\text{ z }x\text{ to }3000zł$$
$$0,5\%\text{ z }x\text{ to }1000zł$$
$$100\%\text{ z }x\text{ to }200\;000zł$$
Zadanie nr 1 · Matura 2012
Cenę nart obniżono o \(20\%\), a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze \(30\%\). W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o:
A\(44\%\)
B\(50\%\)
C\(56\%\)
D\(60\%\)
Krok 1. Obliczenie ceny nart po pierwszej obniżce.
Jeżeli przyjmiemy początkową cenę nart jako \(x\), to po obniżce o \(20\%\) nasza nowa cena nart będzie równa \(80\%\) ceny wyjściowej, czyli \(0,8x\).
Krok 2. Obliczenie ceny nart po drugiej obniżce.
Tym razem ceną wyjściową do obniżki jest już \(0,8x\). Obniżka nastąpiła o \(30\%\), a więc nowa cena nart stanowi tym razem \(70\%\) ceny starej. To oznacza, że narty kosztują teraz \(0,7\cdot0,8x=0,56x\).
Krok 3. Obliczenie wysokości całkowitej obniżki.
Skoro na początku narty kosztowały \(x\), a teraz kosztują \(0,56x\), to ich cena spadła o \(x-0,56x=0,44x\), czyli o \(44\%\).
Zadanie nr 2 · Matura 2011
Suma liczby \(x\) i \(15\%\) tej liczby jest równa \(230\). Równaniem opisującym tę zależność jest:
A\(0,15\cdot x=230\)
B\(0,85\cdot x=230\)
C\(x+0,15\cdot x=230\)
D\(x-0,15\cdot x=230\)
\(15\%\) możemy zapisać w formie ułamka dziesiętnego jako \(0,15\). W związku z tym \(15\%\) z \(x\) jest równe \(0,15\cdot x\). Wiemy, że suma \(x\) oraz \(0,15\cdot x\) jest równa \(230\), zatem poszukiwanym równaniem jest:
$$x+0,15\cdot x=230$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2011
\(20\%\) pewnej liczby jest o \(16\) mniejsze od tej liczby. Tą liczbą jest:
A\(32\)
B\(20\)
C\(-2\)
D\(-20\)
\(x\) - szukana liczba
\(0,2x\) - \(20\%\) liczby szukanej
Z treści zadania wiemy, że \(20\%\) liczby szukanej jest o \(16\) mniejsze od tej liczby, czyli otrzymamy równanie:
$$0,2x+16=x$$
$$16=0,8x$$
$$x=20$$
Zadanie nr 5 · Matura 2011
Cenę pewnego towaru najpierw obniżono o \(20\%\), a następnie nową cenę podwyższono o \(10\%\). W wyniku obu tych zmian cena towaru zmniejszyła się w stosunku do pierwotnej o:
A\(88\%\)
B\(15\%\)
C\(12\%\)
D\(10\%\)
Krok 1. Obliczenie ceny towaru po obniżce.
Jeżeli za \(x\) przyjmiemy początkową cenę towaru, to po obniżce o \(20\%\) otrzymamy nową cenę równą \(80\%\cdot x=0,8x\).
Krok 2. Obliczenie ceny towaru po podwyżce.
Cena towaru teraz ulega podwyżce. Punktem wyjściowym jest jednak już nie \(x\), tylko \(0,8x\). Nowa cena jest więc równa: $$110\%\cdot0,8x=1,1\cdot0,8x=0,88x$$
Krok 3. Obliczenie o ile ostatecznie zmniejszyła się cena towaru.
Cena towaru zmalała o \(x-0,88x=0,12x\), więc zmalała o \(12\%\).
Zadanie nr 2 · Matura 2011
Pierwsza rata, która stanowi \(9\%\) ceny roweru, jest równa \(189zł\). Rower kosztuje:
A\(1701zł\)
B\(2100zł\)
C\(1890zł\)
D\(2091zł\)
Sposób I - wykorzystując proporcję:
Skoro \(9\%\) to \(189zł\)
To \(1\%\) to \(21zł\)
Więc \(100\%\) to \(2100zł\).
Sposób II - wykorzystując równania z jedną niewiadomą:
\(x\) - cena roweru
\(9\%\) z \(x\) to \(189zł\)
Zatem:
$$0,09x=189zł \quad\bigg/:0,09$$
$$x=2100zł$$
Zadanie nr 1 · Matura 2010
Cena towaru bez podatku VAT jest równa \(60zł\). Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości \(22\%\) kosztuje:
A\(73,20zł\)
B\(49,18zł\)
C\(60,22zł\)
D\(82zł\)
Naszym zadaniem jest tak naprawdę policzenie ceny brutto tego towaru. Aby tego dokonać musimy do ceny netto (czyli \(60zł\)) dodać wartość podatku VAT (czyli \(22\%\) z \(60zł\)). Zatem:
$$C_{brutto}=60+22\%\cdot60$$
$$C_{brutto}=60+0,22\cdot60$$
$$C_{brutto}=60+13,20$$
$$C_{brutto}=73,20[zł]$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2010
Samochód kosztował \(30000zł\). Jego cenę obniżono o \(10\%\), a następnie cenę po tej obniżce ponownie obniżono o \(10\%\). Po tych obniżkach samochód kosztował:
A\(24400zł\)
B\(24700zł\)
C\(24000zł\)
D\(24300zł\)
Tego typu zadania możemy rozwiązać na dwa sposoby.
Sposób I - rozwiązanie na konkretnych liczbach:
Krok 1. Obliczenie wysokości pierwszej obniżki.
Pierwsza obniżka jest o \(10\%\) z \(30000zł\), zatem wynosi ona:
$$0,1\cdot30000zł=3000zł$$
Krok 2. Obliczenie ceny samochodu po pierwszej obniżce.
$$30000zł-3000zł=27000zł$$
Krok 3. Obliczenie wysokości drugiej obniżki.
Nasza druga obniżka jest także o \(10\%\), ale tym razem już z \(27000zł\), zatem wynosi ona:
$$0,1\cdot27000zł=2700zł$$
Krok 4. Obliczenie ceny samochodu po drugiej obniżce.
$$27000zł-2700zł=24300zł$$
Sposób II - rozwiązanie na wyrażeniach algebraicznych (metoda bardziej uniwersalna):
Krok 1. Obliczenie ceny samochodu po pierwszej obniżce.
Oznaczmy cenę samochodu jako \(x\) i obliczmy wartość samochodu po pierwszej obniżce. Skoro obniżka jest o \(10\%\), to nowa cena stanowi teraz \(90\%\) ceny podstawowej. Cena samochodu po pierwszej obniżce jest więc równa \(0,9x\).
Krok 2. Obliczenie ceny samochodu po drugiej obniżce.
Ceną wyjściową jest dla nas teraz \(0,9x\) i to od tej ceny ponownie odejmujemy \(10\%\), czyli cena samochodu po drugiej obniżce będzie równa:
$$0,9\cdot0,9x=0,81x$$
Cena samochodu po dwóch obniżkach stanowi więc \(0,81\) ceny podstawowej (czyli \(81\%\)). Chcąc poznać nową cenę wystarczy teraz pomnożyć \(0,81\) przez początkową cenę samochodu.
$$0,81\cdot30000zł=24300zł$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2010
Stół kosztował \(320zł\). Ile kosztuje stół po podwyżce ceny o \(20\%\)?
A\(384zł\)
B\(256zł\)
C\(340zł\)
D\(400zł\)
Po podwyżce o \(20\%\) stół kosztuje \(1,2\cdot320zł=384zł\).
Zadanie nr 3 · Matura 2010
Samochód kosztował \(30000zł\). Jego cenę obniżono o \(10\%\), a następnie cenę po tej obniżce ponownie obniżono o \(10\%\). Po tych obniżkach samochód kosztował:
A\(24400zł\)
B\(24700zł\)
C\(24000zł\)
D\(24300zł\)
Tego typu zadania możemy rozwiązać na dwa sposoby.
Sposób I - rozwiązanie na konkretnych liczbach:
Krok 1. Obliczenie wysokości pierwszej obniżki.
Pierwsza obniżka jest o \(10\%\) z \(30000zł\), zatem wynosi ona:
$$0,1\cdot30000zł=3000zł$$
Krok 2. Obliczenie ceny samochodu po pierwszej obniżce.
$$30000zł-3000zł=27000zł$$
Krok 3. Obliczenie wysokości drugiej obniżki.
Nasza druga obniżka jest także o \(10\%\), ale tym razem już z \(27000zł\), zatem wynosi ona:
$$0,1\cdot27000zł=2700zł$$
Krok 4. Obliczenie ceny samochodu po drugiej obniżce.
$$27000zł-2700zł=24300zł$$
Sposób II - rozwiązanie na wyrażeniach algebraicznych (metoda bardziej uniwersalna):
Krok 1. Obliczenie ceny samochodu po pierwszej obniżce.
Oznaczmy cenę samochodu jako \(x\) i obliczmy wartość samochodu po pierwszej obniżce. Skoro obniżka jest o \(10\%\), to nowa cena stanowi teraz \(90\%\) ceny podstawowej. Cena samochodu po pierwszej obniżce jest więc równa \(0,9x\).
Krok 2. Obliczenie ceny samochodu po drugiej obniżce.
Ceną wyjściową jest dla nas teraz \(0,9x\) i to od tej ceny ponownie odejmujemy \(10\%\), czyli cena samochodu po drugiej obniżce będzie równa:
$$0,9\cdot0,9x=0,81x$$
Cena samochodu po dwóch obniżkach stanowi więc \(0,81\) ceny podstawowej (czyli \(81\%\)). Chcąc poznać nową cenę wystarczy teraz pomnożyć \(0,81\) przez początkową cenę samochodu.
$$0,81\cdot30000zł=24300zł$$
Zadanie nr 2 · Matura 2010
Spodnie po obniżce ceny o \(30\%\) kosztują \(126zł\). Ile kosztowały spodnie przed obniżką?
A\(163,80zł\)
B\(180zł\)
C\(294zł\)
D\(420zł\)
Krok 1. Wypisanie danych z zadania.
Spodnie przed obniżką kosztowały \(x\).
Po obniżce o \(30\%\) kosztują \(x-0,3x=0,7x\) i wiemy, że jest to wartość równa \(126zł\).
Krok 2. Obliczenie wartości spodni przed obniżką.
Skorzystamy tutaj z prostej proporcji.
$$0,7x=126zł$$
$$0,1x=18zł$$
$$x=180zł$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2009
Na seans filmowy sprzedano \(280\) biletów, w tym \(126\) ulgowych. Jaki procent sprzedanych biletów stanowiły bilety ulgowe?
A\(22\%\)
B\(33\%\)
C\(45\%\)
D\(63\%\)
Bilety ulgowe stanowiły \(\frac{126}{280}=0,45=45\%\) wszystkich biletów.
Zadanie nr 3 · Próbny 2009
\(6\%\) liczby \(x\) jest równe \(9\). Wtedy:
A\(x=240\)
B\(x=150\)
C\(x=24\)
D\(x=15\)
Możemy ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(6\%\) jest równe \(9\)
to \(1\%\) jest równy \(1,5\)
więc \(100\%\) jest równe \(150\).
Zadanie nr 12 · Próbny 2009
Torba kosztowała \(40zł\), a po podwyżce \(50zł\). O ile procent podwyższono cenę tej torby?
A\(10\%\)
B\(25\%\)
C\(75\%\)
D\(20\%\)
Krok 1. Obliczenie wzrostu ceny torby.
Torba kosztowała \(40zł\), teraz kosztuje \(50zł\), zatem jej cena wzrosła o:
$$50zł-40zł=10zł$$
Krok 2. Obliczenie o ile procent podwyższono cenę torby.
Torba kosztowała \(40zł\), podniesiono jej cenę o \(10zł\), zatem podniesiono jej cenę o:
$$\frac{10zł}{40zł}\cdot100\%=\frac{1}{4}\cdot100\%=25\%$$
Zadanie nr 9 · Matura
W klasie jest cztery razy więcej chłopców niż dziewcząt. Ile procent wszystkich uczniów tej klasy stanowią dziewczęta?
A\(4\%\)
B\(5\%\)
C\(20\%\)
D\(25\%\)
\(x\) - liczba dziewczyn
\(4x\) - liczba chłopców
\(x+4x=5x\) - tyle dzieci jest w klasie
Dziewczyny stanowią \(\frac{x}{5x}=\frac{1}{5}=20\%\) klasy.
📘Teoria 1
Procenty (klasa 1 LO)
Procent liczby
$p\%$ z $A$ to $\frac{p}{100}\cdot A$.
Jakim procentem
Liczba $a$ stanowi $\frac{a}{b}\cdot100\%$ liczby $b$.
Podwyżka i obniżka
Zmiana o $p\%$: nowa wartość to $A(1\pm\frac{p}{100})$.
Procent składany
$K_n=K_0(1+p)^n$.
∑Wzory 1
Procent składany (lokata)
$$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}$$
Kapitał po $n$ okresach kapitalizacji przy oprocentowaniu $p\%$ w okresie.
Przykład: 1000 zł na 5% rocznie przez 3 lata: $1000\cdot1{,}05^3=1157{,}63$ zł.
$b$ stanowi $80\%$ liczby $a$, czyli jest o $20\%$ mniejsza.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? B — procent zawsze liczymy od liczby, z którą porównujemy (tu od $a$).
Zadanie nr PP10.6
Oprocentowanie kredytu wzrosło z $5\%$ do $7\%$. Oznacza to, że oprocentowanie wzrosło o
A$2\%$, czyli o $2$ punkty procentowe
B$2$ punkty procentowe, czyli o $40\%$
C$40$ punktów procentowych
D$20\%$
Różnica: $7\%-5\%=2$ punkty procentowe.
Zmiana względna: $\dfrac{7-5}{5}\cdot100\%=40\%$.
Odpowiedź:B
Dlaczego nie pozostałe? A — pomylone punkty procentowe z procentami.
Zadanie nr PP10.7
Na lokatę dwuletnią z oprocentowaniem $4\%$ w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek wpłacono $5000$ zł. Po dwóch latach (bez podatku) na lokacie będzie
A$5400$ zł
B$5416$ zł
C$5408$ zł
D$5200$ zł
$5000\cdot1{,}04^2=5000\cdot1{,}0816=5408$ zł.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? A — procent prosty (bez odsetek od odsetek); D — tylko jeden rok.
Zadanie nr PP10.8
Kurtka kosztowała $400$ zł. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Po obniżce o $15\%$ kurtka kosztuje $340$ zł.
Po dwóch kolejnych obniżkach o $10\%$ kurtka kosztuje $320$ zł.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
1. $400\cdot0{,}85=340$ zł — prawda.
2. $400\cdot0{,}9\cdot0{,}9=324$ zł, a nie $320$ zł — fałsz (dwie obniżki po $10\%$ to obniżka o $19\%$).
Odpowiedź: P, F
Zadanie nr PP10.9
Kwotę $2000$ zł złożono na lokatę na $3$ lata z oprocentowaniem $5\%$ w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek. Oblicz kwotę na lokacie po $3$ latach (pomiń podatek).
$K_3=2000\cdot1{,}05^3$.
$1{,}05^3=1{,}157625$, więc $K_3=2315{,}25$ zł.
Odpowiedź: $2315{,}25$ zł
Zadanie nr PP10.10
Cenę roweru obniżono o $20\%$, a po miesiącu nową cenę podwyższono o $15\%$. Po tych zmianach rower kosztuje $1472$ zł. Oblicz cenę początkową roweru i ustal, o ile procent cena końcowa różni się od ceny początkowej.
$x$ — cena początkowa: $x\cdot0{,}8\cdot1{,}15=1472$.
$0{,}92x=1472 \Rightarrow x=1600$ zł.
Cena końcowa to $92\%$ początkowej, czyli jest o $8\%$ niższa.
Odpowiedź: $1600$ zł; cena końcowa jest niższa o $8\%$
Schemat punktowania:
1 pkt — równanie $0{,}8\cdot1{,}15\cdot x=1472$ lub obliczenie ceny początkowej,
2 pkt — cena $1600$ zł i zmiana o $8\%$ (obniżka).
Zadanie nr 1
Ile wynosi $10\%$ z $200$?
A$2$
B$20$
C$10$
D$200$
$$0{,}1\cdot200=20$$
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 2
Oblicz $25\%$ z $80$.
$$\tfrac{25}{100}\cdot80=20$$
Odpowiedź: $20$.
Zadanie nr 3
Cena $100$ zł wzrosła o $20\%$. Nowa cena to:
A$80$ zł
B$110$ zł
C$120$ zł
D$200$ zł
$$100\cdot1{,}2=120$$
Odpowiedź: C.
Zadanie nr 4
Liczba $60$ to ile procent liczby $240$?
$$\tfrac{60}{240}\cdot100\%=25\%$$
Odpowiedź: $25\%$.
Zadanie nr 5
Towar kosztował $150$ zł i potaniał o $20\%$. Ile kosztuje teraz?
$$150\cdot(1-0{,}2)=150\cdot0{,}8=120$$
Odpowiedź: $120$ zł.
Zadanie nr 6
Po podwyżce o $10\%$ cena wynosi $88$ zł. Jaka była cena początkowa?
Konto $1000$ zł oprocentowane $5\%$ rocznie. Ile odsetek po roku?
$0{,}05\cdot1000=50$ zł.
Odpowiedź: $50$ zł.
Zadanie nr 18
Towar z VAT $23\%$ kosztuje netto $200$ zł. Ile brutto?
$200\cdot1{,}23=246$ zł.
Odpowiedź: $246$ zł.
Zadanie nr 19
W klasie $30$ uczniów, $60\%$ to dziewczęta. Ilu chłopców?
Dziewcząt $0{,}6\cdot30=18$, chłopców $30-18=12$.
Odpowiedź: $12$.
Zadanie nr 20
Cena wzrosła o $10\%$, potem spadła o $10\%$. Czy wróciła do początkowej? Uzasadnij.
$c\cdot1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99c$ — jest niższa o $1\%$.
Odpowiedź: nie, jest o $1\%$ niższa.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.