Klasa 1 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 50
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 1 · Matura 2026
Liczba \(\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1}\) jest równa:
A\(1\)
B\(2\)
C\(3\)
D\(4\)
Korzystając z własności pierwiastków (iloczyn pierwiastków to pierwiastek z iloczynu) oraz z definicji potęgi o wykładniku ujemnym, otrzymamy:
$$\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1}=\sqrt{\frac{25}{8}\cdot2}+\frac{1}{2}=$$
$$=\sqrt{\frac{25}{4}}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3$$
Zadanie nr 1 · Matura 2026
Liczba $\sqrt[3]{-27}+\sqrt[5]{-1}$ jest równa
A$(-4)$
B$(-2)$
C$2$
D$4$
$\sqrt[3]{-27}=-3$ (bo $(-3)^{3}=-27$) oraz $\sqrt[5]{-1}=-1$ (bo $(-1)^{5}=-1$).
Suma: $-3+(-1)=-4$.
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 2 · Próbny 2026
Liczba $\dfrac{\sqrt[3]{50}\cdot\sqrt[3]{-15}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{3}}$ jest równa
Dana jest liczba \(x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\), gdzie \(a\) należy do zbioru \(\mathbb{R}\) liczb rzeczywistych. W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby \(\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\) są niewymierne. Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe. Liczba \(x\) jest wymierna dla:
A. \(a=5\)
B. \(a=-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
C. \(a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3\)
D. \(a=6\)
E. \(a=-2\sqrt{6}+12,5\)
F. \(a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6}\)
G. \(a=-\sqrt{6}\)
Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(x\).
Spróbujmy obliczyć wartość liczby \(x\) wykonując występujące w niej potęgowanie. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że:
$$x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$$
$$x=a-(\sqrt{3})^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2$$
$$x=a-(3-2\sqrt{6}+2)$$
$$x=a-(5-2\sqrt{6})$$
$$x=a-5+2\sqrt{6}$$
Krok 2. Ustalenie, kiedy liczba \(x\) jest wymierna.
Musimy się teraz zastanowić, kiedy \(a-5+2\sqrt{6}\) da wynik wymierny. Aby tak się stało, to w wartości liczby \(a\) musi się pojawić \(-2\sqrt{6}\) (wtedy te pierwiastki się "zniosą") i w zapisie tej liczby nie mogą nam oczywiście pojawić się inne nowe pierwiastki.
Od razu możemy stwierdzić, że poprawna jest odpowiedź E, czyli \(a=-2\sqrt{6}+12,5\), bowiem to jest dokładnie to, czego szukamy. Musimy jeszcze wybrać drugą odpowiedź. Na pewno nie będzie to A, B, D oraz G (bo brakuje tu wartości \(-2\sqrt{6}\)). Do rozpatrzenia zostaje nam C oraz F. Rozpiszmy sobie każdy z tych wariantów:
Odp. C. \((\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3=2-2\sqrt{6}+3+0,3=5,3-2\sqrt{6}\)
Ta odpowiedź nam pasuje.
Odp. F. \((\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6}=2-2\sqrt{6}+3-2\sqrt{6}=5-4\sqrt{6}\)
Ta odpowiedź nam nie pasuje, bo jest tutaj \(-4\sqrt{6}\).
Podsumowując, pasującymi odpowiedziami będą C oraz E.
Zadanie nr 2 · Matura 2023
Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2\) jest równa:
A\(\left(-\frac{3}{2}\right)\)
B\(\frac{3}{2}\)
C\(\frac{2}{3}\)
D\(\left(-\frac{2}{3}\right)\)
Podane w treści zadania pierwiastki są jednakowego stopnia. To pozwala nam na skorzystanie z działań na pierwiastkach i rozpisanie całości w następujący sposób:
$$\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2=\sqrt[3]{\left(-\frac{27}{16}\right)\cdot2}=$$
$$=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$$
Zadanie nr 9 · Próbny 2023
Dla \(x=\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}\) wartość wyrażenia \(\dfrac{-2}{x-1}\) jest równa:
A\(\sqrt{5}-1\)
B\(\sqrt{5}\)
C\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
D\(\frac{\sqrt{5}-1}{5}\)
Krok 1. Rozpisanie liczby \(x\).
Całe zadanie będzie nieco prostsze w momencie, gdy trochę przekształcimy podaną liczbę \(x\). Usuwając niewymierność z mianownika, otrzymamy taką oto sytuację:
$$x=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{5}-2)\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=$$
$$=\frac{5-2\sqrt{5}}{5}=1-\frac{2\sqrt{5}}{5}$$
Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Podstawiając teraz wyznaczoną przed chwilą wartość \(x\) do naszego wyrażenia, otrzymamy takie oto działanie:
$$\frac{-2}{x-1}=\frac{-2}{1-\frac{2\sqrt{5}}{5}-1}=\frac{-2}{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}=$$
$$=\frac{2}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=2:\frac{2\sqrt{5}}{5}=2\cdot\frac{5}{2\sqrt{5}}=$$
$$=\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=$$
$$=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$$
Zadanie nr 2 · Matura 2023
Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2\) jest równa:
A\(\left(-\frac{3}{2}\right)\)
B\(\frac{3}{2}\)
C\(\frac{2}{3}\)
D\(\left(-\frac{2}{3}\right)\)
Podane w treści zadania pierwiastki są jednakowego stopnia. To pozwala nam na skorzystanie z działań na pierwiastkach i rozpisanie całości w następujący sposób:
$$\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2=\sqrt[3]{\left(-\frac{27}{16}\right)\cdot2}=$$
$$=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$$
Zadanie nr 2 · Matura 2023
Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2\) jest równa:
A\(\left(-\frac{3}{2}\right)\)
B\(\frac{3}{2}\)
C\(\frac{2}{3}\)
D\(\left(-\frac{2}{3}\right)\)
Podane w treści zadania pierwiastki są jednakowego stopnia. To pozwala nam na skorzystanie z działań na pierwiastkach i rozpisanie całości w następujący sposób:
$$\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2=\sqrt[3]{\left(-\frac{27}{16}\right)\cdot2}=$$
$$=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$$
Zadanie nr 3 · Matura 2022
Liczba \((5-2\sqrt{3})^2\) jest równa:
A\(25+4\sqrt{3}\)
B\(25-4\sqrt{3}\)
C\(37+20\sqrt{3}\)
D\(37-20\sqrt{3}\)
W tym zadaniu musimy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). W związku z tym:
$$(5-2\sqrt{3})^2=5^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2=$$
$$=25-20\sqrt{3}+4\cdot3=25-20\sqrt{3}+12=37-20\sqrt{3}$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2022
Liczba \(\dfrac{7\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}}\) jest równa:
A\(-7\)
B\(-\frac{14}{3}\)
C\(4-\sqrt{2}\)
D\(-4-\sqrt{2}\)
Zadanie polega na usunięciu niewymierności z mianownika. Aby tego dokonać, musimy licznik i mianownik pomnożyć przez \(1+2\sqrt{2}\), co pozwoli nam w mianowniku zastosować wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{7\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}\cdot(1+2\sqrt{2})}{(1-2\sqrt{2})\cdot(1+2\sqrt{2})}=$$
$$=\frac{7\sqrt{2}+14\cdot2}{1^2-(2\sqrt{2})^2}=\frac{7\sqrt{2}+28}{1-4\cdot2}=\frac{7\sqrt{2}+28}{-7}=\frac{28+7\sqrt{2}}{-7}=-4-\sqrt{2}$$
Zadanie nr 1 · Matura 2022
Liczba \(\sqrt{128}:\sqrt[3]{64}\) jest równa:
A\(\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
B\(2\)
C\(\sqrt{2}\)
D\(2\sqrt{2}\)
Do zadania można podejść na różne sposoby (można nawet zamienić pierwiastki na potęgi i wykonać działania na potęgach). Nie mniej jednak można to obliczyć znacznie szybciej - wystarczy zauważyć, że \(\sqrt[3]{64}\) to po prostu \(4\), natomiast \(\sqrt{128}=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt{2}\). Skoro tak, to:
$$\sqrt{128}:\sqrt[3]{64}=8\sqrt{2}:4=2\sqrt{2}$$
Zadanie nr 1 · Matura 2022
Liczba \((2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^2\) jest równa:
A\(2\)
B\(1\)
C\(26\)
D\(14\)
Korzystając z działań na potęgach i pierwiastkach, a także pamiętając o wzorze skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), wyjdzie nam, że:
$$(2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^2=$$
$$=(2\sqrt{8})^2-2\cdot2\sqrt{8}\cdot3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2=$$
$$=4\cdot8-12\sqrt{16}+9\cdot2=$$
$$=32-12\cdot4+18=$$
$$=32-48+18=$$
$$-16+18=2$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2021
Liczba \((\sqrt{6}-\sqrt{2})^2-2\sqrt{3}\) jest równa:
A\(8-6\sqrt{3}\)
B\(8-2\sqrt{3}\)
C\(4-2\sqrt{3}\)
D\(8-4\sqrt{3}\)
W zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). W związku z tym:
$$(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2-2\sqrt{3}=6-2\sqrt{12}+2-2\sqrt{3}=$$
$$=8-2\sqrt{4\cdot3}-2\sqrt{3}=8-4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=8-6\sqrt{3}$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2021
\(|\sqrt{1681}-45|+\sqrt{1681}\) jest równa:
A\(2\sqrt{1681}-45\)
B\(2\sqrt{1681}+45\)
C\(-45\)
D\(45\)
Powinniśmy zauważyć, że \(\sqrt{1681}=41\). Podstawiając tę informację do naszego równania otrzymamy:
$$|\sqrt{1681}-45|+\sqrt{1681}=|41-45|+41=|-4|+41=4+41=45$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2021
Wartość wyrażenia \(x-1+\frac{1}{x-1}\) dla \(x=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) jest równa:
A\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
B\(3\)
C\(\frac{1}{3}\)
D\(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
Krok 1. Uproszczenie zapisu liczby \(x\).
Zacznijmy od uproszczenia zapisu liczby \(x\), a dokładniej rzecz ujmując od usunięcia niewymierności z mianownika. W tym celu musimy licznik oraz mianownik ułamka pomnożyć przez wartość znajdującą się w mianowniku, czyli przez \(\sqrt{3}\). Obliczenia będą wyglądać następująco:
$$x=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+3}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$
Krok 2. Podstawienie danych do wyrażenia.
Podstawiając wartość \(x\) do naszego wyrażenia bardzo wiele rzeczy zacznie się teraz skracać, a całość będzie wyglądać następująco:
$$x-1+\frac{1}{x-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1-1+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}+1-1}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+1\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{3}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=$$
$$=\frac{1}{3}\sqrt{3}+\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2021
Liczbą odwrotną do liczby \(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\) jest liczba:
A\(-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
B\(3\sqrt{3}+1\)
C\(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\)
D\(\sqrt{3}-1\)
Krok 1. Zapisanie liczby odwrotnej.
Liczbą odwrotną otrzymamy zamieniając miejscami licznik z mianownikiem, czyli w tym przypadku byłoby to \(\frac{2}{1+\sqrt{3}}\). Takiej odpowiedzi niestety nie mamy, a to dlatego, że musimy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika.
Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika
Aby usunąć niewymierność musimy pomnożyć licznik oraz mianownik przez dokładnie to samo wyrażenie co w mianowniku, tylko ze zmienionym znakiem. Pozwoli nam to na skorzystanie ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). W związku z tym:
$$\frac{2}{1+\sqrt{3}}=\frac{2\cdot(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})\cdot(1-\sqrt{3})}=\frac{2-2\sqrt{3}}{1^2-\sqrt{3}^2}=$$
$$=\frac{2-2\sqrt{3}}{1-3}=\frac{2-2\sqrt{3}}{-2}=-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1$$
Zadanie nr 1 · Matura 2020
Liczba \((\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2\) jest równa:
A\(11\)
B\(17\)
C\(17+4\sqrt{15}\)
D\(17+2\sqrt{15}\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2=(\sqrt{5})^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2=$$
$$=5+4\sqrt{15}+4\cdot3=5+4\sqrt{15}+12=17+4\sqrt{15}$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2020
Liczba \(\frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{1}{\sqrt{3}+2}\) jest równa:
A\(4\)
B\(0\)
C\(-4\)
D\(-2\sqrt{3}\)
To zadanie będzie najprościej rozwiązać obliczając oddzielnie wartość wyrażenia \(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\) i oddzielnie wyrażenia \(\frac{1}{\sqrt{3}+2}\).
Krok 1. Obliczenie wartości wyrażenia \(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\).
Zacznijmy od \(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\). Musimy usunąć niewymierność z mianownika i to jest ten trudniejszy przypadek, gdzie w mianowniku nie mamy jedynie pierwiastka, a całe wyrażenie. W takiej sytuacji musimy pomnożyć licznik i mianownik przez wartość \(\sqrt{3}+2\) (uwaga na znaki!), dzięki czemu w mianowniku ułamka skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{1\cdot(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)\cdot(\sqrt{3}+2)}=\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}^2-2^2}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}+2}{3-4}=\frac{\sqrt{3}+2}{-1}=-\sqrt{3}-2$$
Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(\frac{1}{\sqrt{3}+2}\).
Analogicznie jak przed chwilą, tutaj także musimy usunąć niewymierność z mianownika. Różnica jest tylko taka, że tym razem licznik i mianownik musimy pomnożyć przez \(\sqrt{3}-2\), zatem całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{1\cdot(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)\cdot(\sqrt{3}-2)}=\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}^2-2^2}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}=\frac{\sqrt{3}-2}{-1}=-\sqrt{3}+2$$
Krok 3. Obliczenie wartości całej liczby.
Korzystając z obliczeń dokonanych w pierwszym i drugim kroku możemy zapisać, że:
$$\frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{1}{\sqrt{3}+2}=-\sqrt{3}-2-(-\sqrt{3}+2)=-\sqrt{3}-2+\sqrt{3}-2=-4$$
Zadanie nr 2 · Matura 2019
Kwadrat liczby \(8-3\sqrt{7}\) jest równy:
A\(127+48\sqrt{7}\)
B\(127-48\sqrt{7}\)
C\(1-48\sqrt{7}\)
D\(1+48\sqrt{7}\)
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(8-3\sqrt{7})^2=64-48\sqrt{7}+63=127-48\sqrt{7}$$
Zadanie nr 9 · Matura 2019
Liczbą większą od \(5\) jest:
A\((\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}}\)
B\((\frac{1}{25})^{-\frac{1}{5}}\)
C\(125^{\frac{2}{3}}\)
D\(125^{\frac{1}{3}}\)
W tym zadaniu będziemy korzystać z działań na potęgach. Warto więc pamiętać, że podniesienie liczby do potęgi ujemnej związane jest z potęgowaniem odwrotności danej liczby, a podniesienie liczby do ułamka związane jest z pierwiastkami. Sprawdźmy zatem wartość każdej z liczb, korzystając z działań na potęgach:
\((\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}}=25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5\)
\((\frac{1}{25})^{-\frac{1}{5}}=25^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{25}\)
\(125^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{125^2}=\sqrt[3]{15625}=25\)
\(125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5\)
Liczbę większą od \(5\) otrzymaliśmy więc jedynie w trzecim przypadku.
Zadanie nr 1 · Próbny 2019
Liczba przeciwna do liczby \((1-\sqrt{3})^2\) jest równa:
A\(4-2\sqrt{3}\)
B\(4+2\sqrt{3}\)
C\(-4-2\sqrt{3}\)
D\(-4+2\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie wartości liczby.
Zanim wyznaczymy liczbę przeciwną to wykonajmy potęgowanie, które znalazło się w naszej liczbie. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(1-\sqrt{3})^2=1^2-2\sqrt{3}+\sqrt{3}^2=1-2\sqrt{3}+3=4-2\sqrt{3}$$
Krok 2. Wyznaczenie liczby przeciwnej.
Liczbę przeciwną tworzymy zmieniając znak naszej liczby, czyli tak naprawdę stawiając minusa z przodu. Ważne jest to, żeby postawić minusa nie tylko przed pierwszą liczbą (czyli przed czwórką), tylko przed całym wyrażeniem. Skoro tak, to liczbą przeciwną będzie:
$$-(4-2\sqrt{3})=-4+2\sqrt{3}$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2018
Liczba odwrotna do \(3-2\sqrt{2}\) jest równa:
A\(3+2\sqrt{2}\)
B\(2\sqrt{2}-3\)
C\(3\sqrt{2}-2\)
D\(2-3\sqrt{2}\)
Krok 1. Zapisanie liczby odwrotnej.
Liczbą odwrotną do liczby \(a\) jest \(\frac{1}{a}\), zatem w naszym przypadku liczbą odwrotną do podanej będzie \(\frac{1}{3-2\sqrt{2}}\).
Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika.
Choć poprawnie już wskazaliśmy liczbę odwrotną, to w tym konkretnym przypadku musimy jeszcze usunąć niewymierność, która pojawiła się w mianowniku. Aby tego dokonać musimy pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez wartość \(3+2\sqrt{2}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{1\cdot(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})\cdot(3+2\sqrt{2})}=$$
$$=\frac{3+2\sqrt{2}}{9-8}=\frac{3+2\sqrt{2}}{1}=3+2\sqrt{2}$$
Zadanie nr 2 · Matura 2018
Liczba \(\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}\) jest równa:
A\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
B\(\frac{3}{2\sqrt[3]{21}}\)
C\(\frac{3}{2}\)
D\(\frac{9}{4}\)
Wykonując działania na pierwiastkach otrzymamy:
$$\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}=\sqrt[3]{\frac{7}{3}\cdot\frac{81}{56}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\sqrt[3]{\frac{3^3}{2^3}}=\frac{3}{2}$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2017
Liczba \(\frac{6}{\sqrt[3]{27}}\) jest równa:
A\(6\cdot27^{\frac{1}{3}}\)
B\(\frac{2}{3}\)
C\(\frac{6}{3^3}\)
D\(2\)
\(\sqrt[3]{27}=3\), bo \(3^3=27\). W związku z tym:
$$\frac{6}{\sqrt[3]{27}}=\frac{6}{3}=2$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2017
Liczba \(\sqrt{(1-2\sqrt{2})^2}\) jest równa:
A\(1-2\sqrt{2}\)
B\(2\sqrt{2}-1\)
C\(\sqrt{9+4\sqrt{2}}\)
D\(\sqrt{7}\)
Wynikiem pierwiastka parzystego stopnia jest zawsze liczba dodatnia. Z tego też względu np. \(\sqrt{25}=5\), a nie \(-5\), choć przecież \((-5)^2\) jest także równe \(25\). To zadanie ma więc ukrytą w sobie bardzo dużą pułapkę, bo wbrew pozorom potęga znajdująca pod pierwiastkiem nie skróci nam się bezpośrednio z pierwiastkiem, dając ostatecznie wynik \(1-2\sqrt{2}\). Całość zadania należy rozwiązać w następujący sposób:
$$\sqrt{(1-2\sqrt{2})^2}=|1-2\sqrt{2}|$$
Wartość w nawiasie bezwzględności jest ujemna (jest równa około \(-1,8\)). W związku z tym opuszczając nawiasy bezwzględności musimy zmienić znak na przeciwny, zatem:
$$|1-2\sqrt{2}|=-(1-2\sqrt{2})=-1+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2017
Liczba \(a=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3}\) należy do przedziału:
A\((-\infty,-13)\)
B\(\langle-13,-12)\)
C\((12,13\rangle\)
D\((13,+\infty)\)
Ideą tego zadania jest tak naprawdę usunięcie niewymierności z mianownika. Za chwilę sobie ten sposób omówimy, ale można to zadanie rozwiązać także na kalkulatorze. Stosując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,41\) możemy zapisać, że:
$$a=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3}$$
$$a\approx\frac{14\cdot1,41}{1,41-3}$$
$$a\approx\frac{19,74}{-1,59}$$
$$a\approx-12,42$$
Chcąc rozwiązać to zadanie bardziej matematycznie możemy zapisać, że:
$$a=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3}$$
$$a=\frac{(14\sqrt{2})\cdot(\sqrt{2}+3)}{(\sqrt{2}-3)\cdot(\sqrt{2}+3)}$$
$$a=\frac{14\cdot2+42\sqrt{2}}{2-9}$$
$$a=\frac{28+42\sqrt{2}}{-7}$$
$$a=-4-6\sqrt{2}$$
$$a\approx-4-6\cdot1,41$$
$$a\approx-12,46$$
W obydwu metodach wyszło nam, że liczba \(a\) należy do przedziału \(\langle-13,-12)\).
Zadanie nr 2 · Matura 2017
Liczba \(\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}\) jest równa:
A\(\sqrt[3]{52}\)
B\(3\)
C\(2\sqrt[3]{2}\)
D\(2\)
Musimy rozbić liczbę \(54\) na takie dwa czynniki, aby z jednego z nich dało się wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia. Zatem:
$$\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{27\cdot2}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2016
Dla liczb \(a=2\sqrt{2}\) i \(b=\sqrt{2-\sqrt{2}}\) wyrażenie \(\frac{a}{b^2}\) jest równe:
A\(2\sqrt{2}-2\)
B\(2\)
C\(2(\sqrt{2}+1)\)
D\(4(2+\sqrt{2})\)
Krok 1. Podstawienie liczb do wyrażenia.
Podstawiając wskazane liczby do naszego wyrażenia otrzymamy:
$$\frac{2\sqrt{2}}{(\sqrt{2-\sqrt{2}})^2}$$
$$\frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$$
Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika.
Teraz musimy usunąć niewymierność, która pojawiła się w mianowniku. Wymnożenie licznika i mianownika przez \(\sqrt{2}\) nic nam nie da. Aby usunąć niewymierność musimy pomnożyć licznik i mianownik przez \(2+\sqrt{2}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}\cdot(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})\cdot(2+\sqrt{2})}=$$
$$=\frac{4\sqrt{2}+4}{4-2}=\frac{4\sqrt{2}+4}{2}=2\sqrt{2}+2=2(\sqrt{2}+1)$$
Zadanie nr 6 · Próbny 2016
Liczba \(a\) spełniająca warunek \(\frac{2+\sqrt{3}}{a+1}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) jest równa:
A\(-3\)
B\(-2\)
C\(0\)
D\(2\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy wykonywać obliczenia to musimy jeszcze uwzględnić fakt, że mianownik ułamka musi być różny od zera, zatem:
$$a+1\neq0$$
$$a\neq-1$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie tego równania dokładnie tak samo jak rozwiązujemy inne równania wymierne (czyli z niewiadomą w mianowniku). Najprościej będzie więc wykonać mnożenie na krzyż:
$$\frac{2+\sqrt{3}}{a+1}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$$
$$a+1=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$$
$$a+1=4-3$$
$$a+1=1$$
$$a=0$$
Otrzymany wynik nie jest sprzeczny z założeniami, dlatego ostatecznym rozwiązaniem będzie \(a=0\).
Zadanie nr 4 · Matura 2015
Liczba \(\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\) jest równa:
A\(\sqrt{\frac{16}{63}}\)
B\(\frac{16}{3\sqrt{7}}\)
C\(1\)
D\(\frac{3+\sqrt{7}}{3\sqrt{7}}\)
Krok 1. Wykonanie obliczeń na pierwiastkach.
$$\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}=\frac{3}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{3}$$
Krok 2. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i obliczenie sumy.
Aby dodać do siebie te dwa ułamki, które znalazły się w naszym rozwiązaniu musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie \(3\sqrt{7}\), zatem:
$$\frac{3\cdot3}{\sqrt{7}\cdot3}+\frac{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}{3\cdot\sqrt{7}}=$$
$$=\frac{9}{3\sqrt{7}}+\frac{7}{3\sqrt{7}}=\frac{16}{3\sqrt{7}}$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2015
Iloraz \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\) jest równy:
A\(3-2\sqrt{2}\)
B\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
C\(3-6\sqrt{2}\)
D\(9-2\sqrt{2}\)
Naszym zadaniem jest tak naprawdę usunięcie niewymierności z mianownika. W tym konkretnym przypadku wymnożenie licznika i mianownika przez \(\sqrt{3}\) nic nam nie da. Tutaj należy pomnożyć licznik i mianownik przez \(6-\sqrt{3}\), dzięki czemu w mianowniku będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Przy okazji także w liczniku będziemy mogli zastosować wzór skróconego mnożenia: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{3})\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{3})}=$$
$$=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{3})^2}{6-3}=\frac{6-2\sqrt{18}+3}{3}=\frac{9-2\sqrt{18}}{3}=$$
$$=\frac{9-2\sqrt{9\cdot2}}{3}=\frac{9-6\sqrt{2}}{3}=3-2\sqrt{2}$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2015
Wskaż zdanie nieprawdziwe:
A\(-\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{-125}\)
B\(\sqrt{(-125)^2}=-125\)
C\(\sqrt[5]{-64}=-2\sqrt[5]{2}\)
D\(5^{\frac{7}{3}}=25\sqrt[3]{5}\)
Sprawdźmy po kolei każdą z odpowiedzi:
Odp. A.
Zacznijmy od lewej strony. Skoro \(\sqrt[3]{125}=5\), to \(-\sqrt[3]{125}=-5\).
Po prawej stronie mamy \(\sqrt[3]{-125}=-5\), bo \(-5\cdot-5\cdot-5=-125\).
Pierwsze równanie jest więc prawdziwe.
Odp. B.
Wartość\(\sqrt{(-125)^2}\) jest równa \(125\), a nie \(-125\). Dlaczego akurat tak? Wynikiem pierwiastkowania w przypadku parzystego stopnia pierwiastka może być tylko liczba dodatnia. Z tego też względu jak mamy np. \(\sqrt{25}\), co moglibyśmy analogicznie zapisać jako chociażby \(\sqrt{(-5)^2}\), to wynik tego pierwiastkowania jest równy tylko i wyłącznie \(5\), mimo iż przecież \(-5\cdot(-5)\) także daje wynik równy \(25\).
Odp. C.
Po lewej stronie mamy \(\sqrt[5]{-64}\). Wyłączając czynnik przed znak pierwiastka otrzymamy \(\sqrt[5]{-32\cdot2}=-2\sqrt[5]{2}\). To jest dokładnie ten sam wynik co po prawej stronie równania, zatem zdanie jest prawdziwe.
Odp. D.
Po lewej stronie mamy \(5^{\frac{7}{3}}\). Zamieniając postać potęgi na postać pierwiastka otrzymamy: \(5^{\frac{7}{3}}=\sqrt[3]{5^7}=\sqrt[3]{5^6\cdot5}=5^2\sqrt[3]{5}=25\sqrt[3]{5}\). Zdanie jest więc prawdziwe, bo po lewej i prawej stronie mamy tą samą wartość.
Zadanie nr 3 · Próbny 2015
Wyrażenie \((\sqrt{7}-\sqrt{3})^2\) jest równe:
A\(44\)
B\(10\)
C\(10-2\sqrt{21}\)
D\(10-2\sqrt{10}\)
Wykonując działania na potęgach i pierwiastkach oraz korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2=(\sqrt{7})^2-2\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=7-2\sqrt{21}+3=10-2\sqrt{21}$$
Zadanie nr 1 · Matura 2015
Liczba \(2\sqrt{18}-\sqrt{32}\) jest równa:
A\(2^{-\frac{3}{2}}\)
B\(2^{-\frac{1}{2}}\)
C\(2^{\frac{1}{2}}\)
D\(2^{\frac{3}{2}}\)
Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyłączenie czynników przed znak pierwiastka i zapisanie wyniku w formie potęgi o wykładniku wymiernym (czyli w formie ułamka). Zatem:
$$2\sqrt{18}-\sqrt{32}=2\sqrt{9\cdot2}-\sqrt{16\cdot2}=2\cdot3\sqrt{2}-4\sqrt{2}=$$
$$=6\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}=2^1\cdot2^{\frac{1}{2}}=2^{1+\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}$$
Zadanie nr 4 · Matura 2014
Liczba \((\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+2\sqrt{15}\) jest równa:
Teraz chyba najtrudniejsza część zadania, musimy poprawnie podnieść do kwadratu lewą stronę równania. Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). W naszym przypadku \(a=(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\), natomiast \(b=(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\). To oznacza, że wykonując potęgowanie otrzymamy:
$$11-\sqrt{21}+2\cdot(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\cdot(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}+11+\sqrt{21}=42$$
$$22+2\cdot(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\cdot(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}=42$$
$$2\cdot(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\cdot(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}=20$$
$$2\cdot\sqrt{11-\sqrt{21}}\cdot\sqrt{11+\sqrt{21}}=20$$
$$2\cdot\sqrt{(11-\sqrt{21})\cdot(11+\sqrt{21})}=20$$
$$2\cdot\sqrt{121-21}=20$$
$$2\cdot\sqrt{100}=20$$
$$2\cdot10=20$$
$$20=20$$
$$L=P$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2014
Wartość liczby \(a=(2\sqrt{5}-3)^2\) jest równa:
A\(11\)
B\(29\)
C\(19+12\sqrt{5}\)
D\(29-12\sqrt{5}\)
Wykonując działania na potęgach i pierwiastkach, a także korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że:
$$(2\sqrt{5}-3)^2=(2\sqrt{5})^2-12\sqrt{5}+9=$$
$$=4\cdot5-12\sqrt{5}+9=20-12\sqrt{5}+9=29-12\sqrt{5}$$
Zadanie nr 11 · Próbny 2014
Wartość liczby \(a=3\sqrt{27}+9\sqrt{3}+\sqrt{243}\) jest równa:
A\(3^{\frac{10}{2}}\)
B\(3^{\frac{9}{2}}\)
C\(3^{\frac{7}{2}}\)
D\(3^{\frac{5}{2}}\)
Korzystając z działań na pierwiastkach możemy zapisać, że:
$$3\sqrt{27}+9\sqrt{3}+\sqrt{243}=3\sqrt{9\cdot3}+9\sqrt{3}+\sqrt{81\cdot3}=$$
$$=9\sqrt{3}+9\sqrt{3}+9\sqrt{3}=3\cdot9\sqrt{3}=$$
$$=27\sqrt{3}=3^3\cdot3^{\frac{1}{2}}=3^{3+\frac{1}{2}}=3^{\frac{7}{2}}$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2013
Niech \(k=2-3\sqrt{2}\), zaś \(m=1-\sqrt{2}\). Wówczas wartość wyrażenia \(k^2-12m\) jest równa:
A\(21+12\sqrt{2}\)
B\(21-12\sqrt{2}\)
C\(10\)
D\(34\)
Naszym zadaniem jest podstawienie do wskazanego wyrażenia podanych wartości \(k\) oraz \(m\) oraz wykonanie odpowiednich działań na potęgach i pierwiastkach:
$$k^2-12m=(2-3\sqrt{2})^2-12\cdot(1-\sqrt{2})=$$
$$=4-12\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2-12+12\sqrt{2}=$$
$$=4-12\sqrt{2}+18-12+12\sqrt{2}=4+18-12=10$$
Zadanie nr 23 · Matura 2013
Liczba \(\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\) jest równa:
A\(2\sqrt{2}\)
B\(2\)
C\(4\)
D\(\sqrt{10}-\sqrt{6}\)
Zadanie możemy rozwiązać na kilka sposobów (nawet usuwając niewymierność z mianownika, czyli mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt{2}\)), ale najprościej jest rozwiązać je w następujący sposób:
$$\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{25\cdot2}-\sqrt{9\cdot2}}{\sqrt{2}}=$$
$$=\frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$$
Zadanie nr 4 · Matura 2012
Liczba \((2-3\sqrt{2})^2\) jest równa:
A\(-14\)
B\(22\)
C\(-14-12\sqrt{2}\)
D\(22-12\sqrt{2}\)
Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) otrzymamy:
$$(2-3\sqrt{2})^2=2^2-2\cdot2\cdot3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2=$$
$$=4-12\sqrt{2}+9\cdot2=4-12\sqrt{2}+18=22-12\sqrt{2}$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2012
Liczbę \(\sqrt{32}\) można przedstawić w postaci:
A\(8\sqrt{2}\)
B\(12\sqrt{3}\)
C\(4\sqrt{8}\)
D\(4\sqrt{2}\)
Naszym zadaniem jest wyłączenie wspólnego czynnika przed znak pierwiastka. Całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$
Zadanie nr 28 · Próbny 2012
Dana jest liczba \(a=\sqrt{(2-2\sqrt{5})^2}-2\sqrt{5}\). Wykaż, że liczba \(a\) jest całkowita.
Krok 1. Obliczenie wartości pierwiastka.
Zadanie jest dość podchwytliwe, a kluczem do sukcesu jest poprawne pozbycie się pierwiastka. Zastanówmy się jaka wartość wyjdzie nam z pierwiastkowania liczby \(\sqrt{(2-2\sqrt{5})^2}\). Czy będzie to po prostu \(2-2\sqrt{5}\)? Gdyby tak było, to mielibyśmy sytuację w której z pierwiastka kwadratowego wyjdzie nam wynik ujemny (bo \(2-2\sqrt{5}\) jest ujemne), a to jest przecież sprzeczne z definicją pierwiastka. Czy to oznacza, że zadanie ma błąd? Wszystko jest w porządku, ponieważ wartość \(2-2\sqrt{5}\) jest faktycznie ujemna, jednak podniesiona do kwadratu daje już liczbę dodatnią, no a pierwiastkowanie liczby dodatniej daje liczbę dodatnią.
Musimy po prostu pamiętać, że \(\sqrt{x^2}=|x|\). Teraz sprawa jest już jasna i to oznacza, że \(\sqrt{(2-2\sqrt{5})^2}=|2-2\sqrt{5}|\).
Krok 2. Pozbycie się wartości bezwzględnej.
To jednak nie koniec zadania. Aby wykonać dalsze odejmowanie, które znajduje się na końcu przykładu musimy pozbyć się wartości bezwzględnej. Ustaliliśmy już, że \(2-2\sqrt{5}\) jest liczbą ujemną. Jeżeli mamy przykładowo obliczyć wartość bezwzględną z liczby ujemnej, np. \(|-5|\) to opuszczając wartość bezwzględną zmieniamy znak i dlatego np. \(|-5|=5\). W naszym przypadku to oznacza, że:
$$|2-2\sqrt{5}|=-(2-2\sqrt{5})=-2+2\sqrt{5}$$
Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia i zakończenie dowodzenia.
Wiemy już, że z pierwiastka wyjdzie nam wynik \(-2+2\sqrt{5}\) i od tej liczby zgodnie z wyrażeniem musimy jeszcze odjać \(2\sqrt{5}\), otrzymując:
$$a=-2+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}$$
$$a=-2$$
\(-2\) jest liczbą całkowitą, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 1 · Matura 2011
Liczbę \(\sqrt{20}\) można przedstawić w postaci:
A\(5\sqrt{2}\)
B\(5\sqrt{4}\)
C\(4\sqrt{5}\)
D\(2\sqrt{5}\)
Wyłączając czynnik przed znak pierwiastka otrzymamy:
$$\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}$$
Zadanie nr 6 · Matura 2010
Kwadrat liczby \(x=2-\sqrt{3}\) jest równy:
A\(7-4\sqrt{3}\)
B\(7+4\sqrt{3}\)
C\(1\)
D\(7\)
Zgodnie z treścią zadania musimy podnieść liczbę do kwadratu, zatem wykorzystując wzory skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(2-\sqrt{3})^2=2^2-2\cdot2\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=$$
$$=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$$
Zadanie nr 23 · Matura 2010
Objętość sześcianu jest równa \(27cm^3\). Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu?
A\(18cm\)
B\(36cm\)
C\(24cm\)
D\(12cm\)
Krok 1. Obliczenie długości pojedynczej krawędzi.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość sześcianu i wyznaczymy z niego długość pojedynczej krawędzi:
$$V=a^3$$
$$27cm^3=a^3$$
$$a=3cm$$
Krok 2. Obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi.
Sześcian ma \(12\) krawędzi równej długości. Skoro tak, to suma wszystkich krawędzi będzie równa:
$$S=12\cdot3cm$$
$$S=36cm$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2010
Kwadrat liczby \(x=5+2\sqrt{3}\) jest równy:
A\(37\)
B\(25+4\sqrt{3}\)
C\(37+20\sqrt{3}\)
D\(147\)
W zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
Ujemny wykładnik daje ułamek, a nie liczbę ujemną: $3^{-2}=\frac19$, a nie $-9$. Dla ułamka w podstawie działa to jak odwrócenie: $\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32$.
Po sprowadzeniu do tego samego pierwiastka można dodawać: $5\sqrt2+3\sqrt2=8\sqrt2$.
Pierwiastki stopnia nieparzystego
Istnieją także dla liczb ujemnych: $\sqrt[3]{-27}=-3$, bo $(-3)^3=-27$. Pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.
Usuwanie niewymierności z mianownika
Pojedynczy pierwiastek — mnożymy przez niego licznik i mianownik:
$$\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$
Suma lub różnica — mnożymy przez sprzężenie, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:
Zapis $\sqrt{a^2}=|a|$, a nie $a$ — dla $a=-3$ mamy $\sqrt{9}=3$. Pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, dlatego równanie $x^2=9$ ma dwa rozwiązania, ale $\sqrt9$ oznacza tylko $3$.
Krok 1 — ujemny wykładnik oznacza odwrotność podstawy:
$$\left(\frac14\right)^{-\frac12}=4^{\frac12}$$
Krok 2 — wykładnik $\frac12$ to pierwiastek kwadratowy:
$$4^{\frac12}=\sqrt4=2$$
Odpowiedź: $2$.
Zadanie nr 20
Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{81}+27^{\frac13}-\log_2 16$.
Liczymy każdy składnik osobno.
Pierwiastek:
$$\sqrt{81}=9$$
Potęga wymierna (pierwiastek sześcienny):
$$27^{\frac13}=\sqrt[3]{27}=3$$
Logarytm:
$$\log_2 16=4 \quad (\text{bo } 2^4=16)$$
Składamy:
$$9+3-4=8$$
Odpowiedź: $8$.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.