Miejsca zerowe funkcji
Klasa 1 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
✍Zadania dodatkowe 35
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego wartość funkcji wynosi:
Dla $f(x)=x-4$ podaj miejsce zerowe.
Zbiorem argumentów funkcji jest jej:
Dla $f(x)=x^2$ podaj $f(-2)$.
Funkcja jest dodatnia, gdy jej wykres leży nad osią $OX$. Dla $f(x)=x-1$ podaj argumenty, dla których $f(x)>0$.
Funkcja $f(x)=2x$ jest rosnąca czy malejąca? Uzasadnij.
Dla $f(x)=x^2-9$ podaj miejsca zerowe.
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi:
Dla $f(x)=2x-6$ podaj argument, dla którego $f(x)=0$.
Oblicz $f(0)$ dla $f(x)=3x-5$.
Funkcja jest dodatnia tam, gdzie wykres leży:
Dla $f(x)=x^2$ podaj najmniejszą wartość.
Dla $f(x)=-x+4$ podaj argumenty, dla których $f(x)\lt 0$.
Dziedziną funkcji $f(x)=\sqrt{x}$ jest:
Funkcja $f(x)=-2x+1$ jest rosnąca czy malejąca?
Oblicz $f(2)+f(-2)$ dla $f(x)=x^2$.
Dla $f(x)=x^2-4$ podaj argumenty, dla których $f(x)>0$.
Punkt przecięcia wykresu z osią $OY$ dla $f(x)=x+3$ to:
Podaj zbiór wartości funkcji $f(x)=x^2+1$.
Funkcja $f(x)=x^2$ jest malejąca w którym przedziale?
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ (zadania PP11.1–PP11.9 dotyczą tej funkcji). Dziedziną funkcji $f$ jest
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest
Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby
Równanie $f(x)=3$
Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $[0,5]$ jest równa
Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\gt 0$ jest
Oceń prawdziwość stwierdzeń dotyczących funkcji $f$.
- $f(-2)+f(5)=0$.
- Funkcja $f$ przyjmuje wartość $2$ dla dokładnie dwóch argumentów.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x)=f(x-2)$. Podaj dziedzinę funkcji $g$ oraz jej miejsca zerowe.
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\begin{cases}2x+6 & \text{dla } x\in[-4,-1)\\ 4 & \text{dla } x\in[-1,1]\\ -2x+6 & \text{dla } x\in(1,4]\end{cases}$
a) Podaj zbiór wartości funkcji $f$. b) Podaj liczbę rozwiązań równania $f(x)=2$. c) Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności $f(x)\ge0$. d) Podaj wszystkie argumenty, dla których $f$ przyjmuje wartość największą.
Dla $f(x)=-3x+7$ wartość $f(2)$ jest równa
Miejscem zerowym funkcji $f(x)=x-4$ jest
Dla $f(x)=x^2+3$ wartość $f(0)$ jest równa
Dla $f(x)=-x+2$ wartość $f(2)$ jest równa
Dla $f(x)=x^2-1$ oblicz $f(2)$.
📘Teoria 1
Co da się odczytać
Wykres jest pełnym opisem funkcji — wystarczy wiedzieć, gdzie patrzeć.
Dziedzina i zbiór wartości
- Dziedzina — rzut wykresu na oś $OX$: dla jakich argumentów wykres istnieje
- Zbiór wartości — rzut na oś $OY$: jakie wartości funkcja przyjmuje
Kółko puste oznacza, że punkt nie należy do wykresu, pełne — że należy.
Miejsca zerowe
To argumenty, dla których $f(x)=0$ — punkty przecięcia wykresu z osią $OX$. Odczytujemy ich pierwsze współrzędne.
Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0,\,f(0))$ — to nie jest miejsce zerowe.
Znak funkcji
Funkcja jest dodatnia tam, gdzie wykres leży nad osią $OX$, a ujemna tam, gdzie leży pod nią. Odpowiedź podajemy jako przedziały argumentów.
Monotoniczność
- rosnąca — im dalej w prawo, tym wyżej: większy argument daje większą wartość
- malejąca — im dalej w prawo, tym niżej
- stała — wykres poziomy
Monotoniczność zawsze podajemy w przedziałach, nigdy jako sumę przedziałów.
Wartość największa i najmniejsza
Odczytujemy je z osi $OY$ — jako wartości, nie argumenty. Dla $f(x)=-x^2+4$ największa wartość to $4$, osiągana dla $x=0$.
Argumenty spełniające warunek
„Dla jakich $x$ zachodzi $f(x)=2$?” — prowadzimy poziomą prostą $y=2$ i odczytujemy pierwsze współrzędne punktów przecięcia. Rozwiązań może być kilka.
Czy to w ogóle funkcja
Test pionowej prostej: jeśli jakakolwiek prosta pionowa przecina wykres więcej niż raz, to nie jest wykres funkcji — jednemu argumentowi odpowiadałyby dwie wartości.
Parzystość
Wykres symetryczny względem osi $OY$ — funkcja parzysta ($f(-x)=f(x)$). Symetryczny względem początku układu — nieparzysta ($f(-x)=-f(x)$).
Na co uważać
Najczęstsze pomyłki to mylenie argumentu z wartością (miejsce zerowe to $x$, a wartość największa to $y$) oraz podawanie monotoniczności jako sumy przedziałów — funkcja $f(x)=\frac1x$ maleje w $(-\infty,0)$ i osobno w $(0,+\infty)$, ale nie na sumie tych zbiorów.
∑Wzory 0
🧩Quizy 1
📄Zadania z arkuszy 8
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Dla funkcji $f$ z zadania 12 uzupełnij:
1) Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział …
2) Zbiorem wszystkich argumentów, dla których $f$ przyjmuje wartości większe od $1$, jest przedział …
Funkcja \(f\) jest określona następująco:
\(f(x)=-2x-10\) dla \(x\in(-5,-3]\)
\(f(x)=x-1\) dla \(x\in(-3,4]\)
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba ..... .
2. Wartość wyrażenia \(f(-2)+3\cdot f(2)\) jest równa ..... .
Funkcja \(f\) jest określona następująco:
\(f(x)=-2x-10\) dla \(x\in(-5,-3]\)
\(f(x)=x-1\) dla \(x\in(-3,4]\)
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział ..... .
2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\lt -2\) jest przedział ..... .
Funkcja \(f\) jest określona następująco:
\(f(x)=-x-2\) dla \(x\in(-5,-2]\)
\(f(x)=0\) dla \(x\in(-2,1]\)
\(f(x)=x\) dla \(x\in(1,3]\)
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział .....
2. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział .....
3. Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji \(f\) jest przedział .....
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\lt f(-3)\) jest przedział .....
Na rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\). Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji \(f\) z prostą o równaniu \(y=2\) ma obie współrzędne całkowite.
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział tak, aby zdanie było prawdziwe.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\le 2\) jest przedział .....
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).
Zapisz w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości większe od \(1\).
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).
Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.
Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór ..... , zbiorem wartości funkcji \(f\) jest zbiór .....
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).
Zapisz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\lt -1\).