Klasa 1 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 42
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 11 · Matura 2024
Na rysunku przedstawiono dwie proste równoległe będące interpretacją geometryczną pewnego układu równań. Proste są malejące, przecinają oś $Oy$ w $3$ oraz $-1$. Tym układem jest
A$y=-\tfrac32x+3,\ y=-\tfrac32x-1$
B$y=\tfrac32x+3,\ y=-\tfrac23x-1$
C$y=\tfrac32x+3,\ y=\tfrac32x-1$
D$y=-\tfrac32x-3,\ y=\tfrac32x+1$
Rozwiązanie
Proste są równoległe (ten sam współczynnik kierunkowy) i malejące (ujemny), o wyrazach wolnych $3$ i $-1$. Pasuje $y=-\tfrac32x+3$ oraz $y=-\tfrac32x-1$.
Odpowiedź: A
Zadanie nr 10 · Matura 2024
W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie \(1960\) drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(5\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(10\%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(60\%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech \(x\) oraz \(y\) oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby \(y\) drzew posadzonych w drugim sadzie, jest
Pierwsze równanie jest dość oczywiste i powtarza się w każdej proponowanej odpowiedzi, a będzie to \(x+y=1960\). Trudność tego zadania opiera się zatem na poprawnym zapisaniu drugiego równania.
Jeśli uschło \(5\%\) drzew w pierwszym sadzie, to zostało tam \(0,95x\) drzew. W drugim sadzie uschło \(10\%\), zatem zostało tam \(0,9y\). Z treści zadania wynika także, że liczba drzew z drugiego sadu stanowi \(60\%\) tych z sadu pierwszego, czyli możemy zapisać, że \(0,6\cdot0,95x=0,9y\). To oznacza, że poprawny jest pierwszy układ równań.
Zadanie nr 11 · Matura 2024
Na rysunku w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest:
Z rysunku wynika, że obydwie proste są malejące, a więc muszą mieć ujemny współczynnik kierunkowy \(a\). Już sama ta obserwacja pozwala nam stwierdzić, że pasuje nam tylko układ równań z pierwszej odpowiedzi. Warto też zauważyć, że te dwie proste są równoległe, czyli ten współczynnik \(a\) muszą mieć taki sam.
Zadanie nr 8 · Matura 2024
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
A\(\begin{cases}y=x+2\\y=2x-3\end{cases}\)
B\(\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-3\end{cases}\)
C\(\begin{cases}y=x+2\\y=-2x-3\end{cases}\)
D\(\begin{cases}y=-x+2\\y=2x+3\end{cases}\)
Odczytujemy z wykresu równania obu prostych.
Prosta opadająca. Przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\) i oś \(Ox\) w punkcie \((2,0)\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi:
\(a=\frac{0-2}{2-0}=-1\), czyli \(y=-x+2\)
Prosta rosnąca. Przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\), a przez punkt \((2,1)\), więc:
\(a=\frac{1-(-3)}{2-0}=2\), czyli \(y=2x-3\)
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 21 · Matura 2024
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=(9,11)\). Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x-1\), a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=2x-4\).
Krok 1. Wierzchołek \(A\). Leży na przecięciu prostych zawierających boki \(AB\) i \(AD\):
\(\frac{1}{2}x-1=2x-4\)
\(3=\frac{3}{2}x\)
\(x=2\), \(y=\frac{1}{2}\cdot 2-1=0\)
\(A=(2,0)\)
Krok 2. Wierzchołek \(C\). Punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\):
\(C=(2\cdot 9-2,\;2\cdot 11-0)=(16,22)\)
Krok 3. Wierzchołek \(B\). Bok \(BC\) jest równoległy do \(AD\), więc leży na prostej o współczynniku kierunkowym \(2\) przechodzącej przez \(C\):
\(y-22=2(x-16)\), czyli \(y=2x-10\)
Punkt \(B\) jest przecięciem tej prostej z prostą zawierającą bok \(AB\):
\(2x-10=\frac{1}{2}x-1\)
\(\frac{3}{2}x=9\)
\(x=6\), \(y=\frac{1}{2}\cdot 6-1=2\)
Sprawdzenie: \(D=2S-B=(12,20)\) leży na prostej \(y=2x-4\), bo \(2\cdot 12-4=20\) ✓
Odpowiedź: \(B=(6,2)\)
Zadanie nr 7 · Matura 2024
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układ równań \(\begin{cases}x-2y=3\\-4x+8y=-12\end{cases}\)
Anie ma rozwiązań.
Bma dokładnie jedno rozwiązanie.
Cma dokładnie dwa rozwiązania.
Dma nieskończenie wiele rozwiązań.
Przekształcamy drugie równanie, dzieląc je stronami przez \((-4)\):
\(-4x+8y=-12\quad |:(-4)\)
\(x-2y=3\)
Otrzymaliśmy równanie identyczne z pierwszym. Oba równania opisują tę samą prostą, więc układ jest nieoznaczony.
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 10 · Matura 2023
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną układu równań: dwie proste przecinające się w punkcie $(1,1)$ — malejąca o wyrazie wolnym $2$ i rosnąca o wyrazie wolnym $-1$. Tym układem jest
Dany jest prostokąt o bokach $a,b$ ($a>b$). Obwód wynosi $30$, a jeden bok jest o $5$ krótszy od drugiego. Wybierz dwa spośród układów A–F opisujące te zależności (A: $2ab=30,a-b=5$; B: $2a+b=30,a=5b$; C: $2(a+b)=30,b=a-5$; D: $2a+2b=30,b=5a$; E: $2a+2b=30,a-b=5$; F: $a+b=30,a=b+5$).
Rozwiązanie
Obwód: $2a+2b=30$ (równoważnie $2(a+b)=30$). Warunek boków: $a-b=5$ (równoważnie $b=a-5$). Pasują C oraz E.
Odpowiedź: C oraz E.
Zadanie nr 10 · Matura 2023
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) jednego z niżej zapisanych układów równań A-D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest:
A\(\begin{cases}
y=-x+2 \\
y=-2x+1
\end{cases}\)
B\(\begin{cases}
y=x-2 \\
y=-2x-1
\end{cases}\)
C\(\begin{cases}
y=x-2 \\
y=2x+1
\end{cases}\)
D\(\begin{cases}
y=-x+2 \\
y=2x-1
\end{cases}\)
Oczywiście moglibyśmy po prostu wyznaczyć równania tych dwóch prostych (wystarczy odczytać z rysunku współrzędne dwóch punktów przez które taka prosta przechodzi i skorzystać albo ze wzoru z tablic albo z tak zwanej metody układu równań). Nie mniej jednak w tego typu zadaniach bardzo często jesteśmy w stanie podać prawidłową odpowiedzieć jedynie analizując całą sytuację na rysunku.
Po pierwsze powinniśmy dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca. To oznacza, że jedna prosta powinna mieć dodatni współczynnik \(a\), natomiast druga powinna mieć ujemny. Taką sytuację mamy jedynie w odpowiedziach B oraz D, więc tylko do tych odpowiedzi możemy się ograniczyć.
Po drugie - moglibyśmy dostrzec, że prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=2\), co z kolei mówi nam, że ta prosta ma współczynnik \(b=2\). Taka sytuacja jest właśnie w odpowiedzi D, zatem bez żadnego liczenia możemy być pewni, że prawidłowym układem równań będzie ten z ostatniej odpowiedzi.
Zadanie nr 11 · Matura 2023
Dany jest prostokąt o bokach długości \(a\) i \(b\), gdzie \(a\gt b\). Obwód tego prostokąta jest równy \(30\). Jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami:
$$...... \text{oraz} ......$$
A. \(\begin{cases} 2ab=30 \\ a-b=5 \end{cases}\)
B. \(\begin{cases} 2a+b=30 \\ a=5b \end{cases}\)
C. \(\begin{cases} 2(a+b)=30 \\ b=a-5 \end{cases}\)
D. \(\begin{cases} 2a+2b=30 \\ b=5a \end{cases}\)
E. \(\begin{cases} 2a+2b=30 \\ a-b=5 \end{cases}\)
F. \(\begin{cases} a+b=30 \\ a=b+5 \end{cases}\)
Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
Pierwsze równanie związane jest z obwodem prostokąta. Wiemy, że nasz prostokąt ma obwód równy \(30\). Na ten obwód będą składać się dwa boki o długości \(a\) oraz dwa boki o długości \(b\), zatem pierwszym równaniem jakie możemy ułożyć będzie:
$$2a+2b=30$$
I tu od razu możemy zapisać drugi wariant tego równania (który pojawi się jako alternatywna odpowiedź). Wyciągając dwójkę przed nawias, moglibyśmy zapisać, że:
$$2\cdot(a+b)=30$$
Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Drugie równanie wynika z informacji, że jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego. Moglibyśmy zapisać, że w takim razie:
$$b=a-5$$
Przekształcając to równanie moglibyśmy otrzymać postać:
$$b+5=a$$
$$a-b=5$$
Krok 3. Wybór poprawnych odpowiedzi.
Analizując teraz dostępne odpowiedzi widzimy, że pasuje nam na pewno układ równań z odpowiedzi C oraz z odpowiedzi E.
Zadanie nr 10 · Matura 2023
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkt \((-8,6)\) jest punktem przecięcia prostych o równaniach
A\(2x+3y=2\) i \(-x+y=-14\)
B\(3x+2y=-12\) i \(2x+y=10\)
C\(x+y=-2\) i \(x-2y=4\)
D\(x-y=-14\) i \(-2x+y=22\)
Punkt przecięcia prostych musi spełniać oba równania. Podstawiamy \(x=-8\), \(y=6\).
A: \(2\cdot(-8)+3\cdot 6=2\) ✓, ale \(-(-8)+6=14\neq -14\) ✗
B: \(3\cdot(-8)+2\cdot 6=-12\) ✓, ale \(2\cdot(-8)+6=-10\neq 10\) ✗
C: \(-8+6=-2\) ✓, ale \(-8-2\cdot 6=-20\neq 4\) ✗
D: \(-8-6=-14\) ✓ oraz \(-2\cdot(-8)+6=16+6=22\) ✓
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 5 · Próbny 2023
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację układu równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\). Punkt przecięcia dwu prostych oraz ich punkty wspólne z osią \(Ox\) układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku powyżej, jest układ:
A. \(\begin{cases} 3(y+4)-6(x-3)=0 \\ -4y-7(x-7)=0 \end{cases}\)
B. \(\begin{cases} 3(y+4)-6x=0 \\ 4y+2(x-7)=0 \end{cases}\)
C. \(\begin{cases} 3(y+4)-6x=0 \\ 4y-2(x-7)=0 \end{cases}\)
D. \(\begin{cases} y=2x-4 \\ y=\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2} \end{cases}\)
E. \(\begin{cases} y=x-4 \\ y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2} \end{cases}\)
F. \(\begin{cases} y=2x-4 \\ y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2} \end{cases}\)
Krok 1. Wybór pierwszej poprawnej odpowiedzi.
Celem zadania jest tak naprawdę ustalenie jakimi równaniami są opisane nasze proste. Najprościej będzie zacząć od ustalenia jaka jest postać kierunkowa tych prostych, czyli najpierw warto zerknąć na proponowane odpowiedzi D, E oraz F (bo właśnie tam wszystkie równania są zapisane w tej postaci, więc jest spore prawdopodobieństwo, że znajdziemy tam pierwszą poprawną odpowiedź). Możemy oczywiście wyznaczać takie równania w standardowy sposób, ale spróbujmy podejść do tego zadania nieco bardziej analitycznie, analizując podane odpowiedzi.
Widzimy, że jedna prosta przecina oś \(Ox\) dla \(y=-4\), a druga dla \(y=3\frac{1}{2}\), więc współczynniki \(b\) tych prostych powinny być równe odpowiednio \(b=-4\) oraz \(b=3\frac{1}{2}\). Tak się składa, że w każdej parze mamy takie współczynniki, więc analizujemy dalej. Widzimy, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca, czyli jedna powinna mieć współczynnik kierunkowy \(a\) dodatni, a druga ujemny. W ten sposób spośród odpowiedzi D, E, F możemy już odrzucić odpowiedź D. Zostały nam już odpowiedzi E oraz F, które różnią się tylko pierwszym równaniem, które opisuje prostą rosnącą. Sprawdźmy zatem jaką wartość przyjmuje każde z równań dla \(x=2\). Prosta \(y=x-4\) przyjmuje wartość \(y=2-4=-2\), natomiast prosta \(y=2x-4\) przyjmie wartość \(y=2\cdot2-4=0\). Na wykresie widać, że ta wartość powinna być równa \(0\), bo prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2;0)\), stąd też po tej prostej analizie możemy stwierdzić, że pierwszą poprawną odpowiedzią będzie F.
Dla upewnienia się, możemy oczywiście analogicznie sprawdzić to drugie równanie \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\), podstawiając np. \(x=7\). Wyjdzie nam, że \(y=-\frac{1}{2}\cdot7+3\frac{1}{2}=-3\frac{1}{2}+3\frac{1}{2}=0\) i to się zgadza, bo prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((7;0)\).
Krok 2. Wybór drugiej poprawnej odpowiedzi.
Druga odpowiedź będzie znajdować się wśród proponowanych A, B oraz C. Mówiąc bardzo obrazowo, musimy sprawdzić które równania da się przekształcić do postaci tych z odpowiedzi F. Tu warto zauważyć, że każdy układ ma różne drugie równania, więc możemy skupić się tylko na nich. Przekształćmy zatem te równania do postaci kierunkowej:
Odp. A. (drugie równanie)
$$-4y-7(x-7)=0$$
$$-4y-7x+49=0$$
$$-4y=7x-49$$
$$y=-\frac{7}{4}x+12\frac{1}{4}$$
To równanie jest więc na pewno błędne, bo nie otrzymaliśmy postaci \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\).
Odp. B. (drugie równanie)
$$4y+2(x-7)=0$$
$$4y+2x-14=0$$
$$4y=-2x+14=0$$
$$y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}$$
To równanie jest poprawne, bo otrzymaliśmy dokładnie to samo co w odpowiedzi F.
Odp. C. (drugie równanie)
$$4y-2(x-7)=0$$
$$4y-2x+14=0$$
$$4y=2x-14$$
$$y=\frac{1}{2}x-3\frac{1}{2}$$
To równanie jest więc na pewno błędne, bo nie otrzymaliśmy postaci \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\).
I w ten oto sposób udało nam się ustalić, że poprawną odpowiedzią będzie także odpowiedź B.
Zadanie nr 10 · Matura 2023
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) jednego z niżej zapisanych układów równań A-D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest:
A\(\begin{cases}y=-x+2 \\ y=-2x+1\end{cases}\)
B\(\begin{cases}y=x-2 \\ y=-2x-1\end{cases}\)
C\(\begin{cases}y=x-2 \\ y=2x+1\end{cases}\)
D\(\begin{cases}y=-x+2 \\ y=2x-1\end{cases}\)
Oczywiście moglibyśmy po prostu wyznaczyć równania tych dwóch prostych (wystarczy odczytać z rysunku współrzędne dwóch punktów przez które taka prosta przechodzi i skorzystać albo ze wzoru z tablic albo z tak zwanej metody układu równań). Nie mniej jednak w tego typu zadaniach bardzo często jesteśmy w stanie podać prawidłową odpowiedzieć jedynie analizując całą sytuację na rysunku.
Po pierwsze powinniśmy dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca. To oznacza, że jedna prosta powinna mieć dodatni współczynnik \(a\), natomiast druga powinna mieć ujemny. Taką sytuację mamy jedynie w odpowiedziach B oraz D, więc tylko do tych odpowiedzi możemy się ograniczyć.
Po drugie - moglibyśmy dostrzec, że prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=2\), co z kolei mówi nam, że ta prosta ma współczynnik \(b=2\). Taka sytuacja jest właśnie w odpowiedzi D, zatem bez żadnego liczenia możemy być pewni, że prawidłowym układem równań będzie ten z ostatniej odpowiedzi.
Zadanie nr 11 · Matura 2023
Dany jest prostokąt o bokach długości \(a\) i \(b\), gdzie \(a\gt b\). Obwód tego prostokąta jest równy \(30\). Jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami:
$$...... \text{oraz} ......$$
A. \(\begin{cases} 2ab=30 \\ a-b=5 \end{cases}\)
B. \(\begin{cases} 2a+b=30 \\ a=5b \end{cases}\)
C. \(\begin{cases} 2(a+b)=30 \\ b=a-5 \end{cases}\)
D. \(\begin{cases} 2a+2b=30 \\ b=5a \end{cases}\)
E. \(\begin{cases} 2a+2b=30 \\ a-b=5 \end{cases}\)
F. \(\begin{cases} a+b=30 \\ a=b+5 \end{cases}\)
Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
Pierwsze równanie związane jest z obwodem prostokąta. Wiemy, że nasz prostokąt ma obwód równy \(30\). Na ten obwód będą składać się dwa boki o długości \(a\) oraz dwa boki o długości \(b\), zatem pierwszym równaniem jakie możemy ułożyć będzie:
$$2a+2b=30$$
I tu od razu możemy zapisać drugi wariant tego równania (który pojawi się jako alternatywna odpowiedź). Wyciągając dwójkę przed nawias, moglibyśmy zapisać, że:
$$2\cdot(a+b)=30$$
Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Drugie równanie wynika z informacji, że jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego. Moglibyśmy zapisać, że w takim razie:
$$b=a-5$$
Przekształcając to równanie moglibyśmy otrzymać postać:
$$b+5=a$$
$$a-b=5$$
Krok 3. Wybór poprawnych odpowiedzi.
Analizując teraz dostępne odpowiedzi widzimy, że pasuje nam na pewno układ równań z odpowiedzi C oraz z odpowiedzi E.
Zadanie nr 5 · Matura 2023
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną jednego z niżej zapisanych układów równań:
Wskaż ten układ równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku.
A\(\begin{cases}y=-x+2 \\ y=-2x+1\end{cases}\)
B\(\begin{cases}y=x-2 \\ y=-2x-1\end{cases}\)
C\(\begin{cases}y=x-2 \\ y=2x+1\end{cases}\)
D\(\begin{cases}y=-x+2 \\ y=2x-1\end{cases}\)
Oczywiście moglibyśmy po prostu wyznaczyć równania tych dwóch prostych (wystarczy odczytać z rysunku współrzędne dwóch punktów przez które taka prosta przechodzi i skorzystać albo ze wzoru z tablic albo z tak zwanej metody układu równań). Nie mniej jednak w tego typu zadaniach bardzo często jesteśmy w stanie podać prawidłową odpowiedzieć jedynie analizując całą sytuację na rysunku.
Po pierwsze powinniśmy dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca. To oznacza, że jedna prosta powinna mieć dodatni współczynnik \(a\), natomiast druga powinna mieć ujemny. Taką sytuację mamy jedynie w odpowiedziach B oraz D, więc tylko do tych odpowiedzi możemy się ograniczyć.
Po drugie - moglibyśmy dostrzec, że prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=2\), co z kolei mówi nam, że ta prosta ma współczynnik \(b=2\). Taka sytuacja jest właśnie w odpowiedzi D, zatem bez żadnego liczenia możemy być pewni, że prawidłowym układem równań będzie ten z ostatniej odpowiedzi.
Zadanie nr 7 · Próbny 2022
Proste o równaniach \(y=x+4\) i \(y=-2x+m+1\) przecinają się w punkcie, którego obie współrzędne są dodatnie. Wynika stąd, że \(m\) należy do przedziału:
A\((-\infty,-3)\)
B\(\langle-3,0)\)
C\((0,3\rangle\)
D\((3,+\infty)\)
Ustalmy najpierw kiedy te dwie proste się ze sobą przetną. W tym celu musimy rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases} y=x+4 \\ y=-2x+m+1 \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$x+4=-2x+m+1$$
$$3x=-3+m$$
$$x=-1+\frac{1}{3}m$$
Chcemy, by \(x\) był większy od zera, zatem:
$$-1+\frac{1}{3}m\gt0$$
$$\frac{1}{3}m\gt1$$
$$m\gt3$$
Wynika stąd, że \(m\) należy do przedziału \((3,+\infty)\).
Zadanie nr 6 · Matura 2022
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}11x-11y=1 \\ 22x+22y=-1\end{cases}\) jest para liczb \(x=x_{0}\), \(y=y_{0}\). Wtedy:
A\(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\gt0\)
B\(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\lt0\)
C\(x_{0}\lt0\) i \(y_{0}\gt0\)
D\(x_{0}\lt0\) i \(y_{0}\lt0\)
Celem zadania jest po prostu rozwiązanie podanego układu równań. Możemy to zrobić na wiele sposobów, ale najprościej będzie chyba wymnożyć pierwsze równanie przez \(2\) i następnie dodać te równania stronami:
\begin{cases} 11x-11y=1 \bigg/\cdot2 \\ 22x+22y=-1 \end{cases}
\begin{cases} 22x-22y=2 \\ 22x+22y=-1 \end{cases}
Dodając teraz równania stronami, otrzymamy:
$$44x=1$$
$$x=\frac{1}{44}$$
Znając wartość \(x=\frac{1}{44}\) możemy teraz obliczyć wartość \(y\). W tym celu wystarczy podstawić \(x=\frac{1}{44}\) do jednego z równań z układu (np. pierwszego), otrzymując:
$$11x-11y=1$$
$$11\cdot\frac{1}{44}-11y=1$$
$$\frac{11}{44}-11y=1$$
$$\frac{1}{4}-11y=1$$
$$-11y=\frac{3}{4}$$
$$y=-\frac{3}{44}$$
To oznacza, że \(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\lt0\).
Zadanie nr 5 · Próbny 2021
Para liczb \(x=1\), \(y=-3\) spełnia układ równań \(\begin{cases}x-y=a^2 \\ (1+a)x-3y=-4a\end{cases}\)
Wtedy \(a\) jest równe:
A\(2\)
B\(-2\)
C\(\sqrt{2}\)
D\(-\sqrt{2}\)
Skoro podana para liczb spełnia nasz układ równań, to podstawmy w takim razie \(x=1\) oraz \(y=-3\) do tego układu, otrzymując:
\begin{cases} 1-(-3)=a^2 \\ (1+a)\cdot1-3\cdot(-3)=-4a \end{cases}
\begin{cases} 4=a^2 \\ 1+a-(-9)=-4a \end{cases}
\begin{cases} 4=a^2 \\ 10+a=-4a \end{cases}
\begin{cases} a^2=4 \\ -5a=10 \end{cases}
Krok 2. Rozwiązanie powstałych równań.
Otrzymaliśmy dwa równania z jedną niewiadomą, które teraz musimy rozwiązać:
I równanie:
$$a^2=4$$
$$a=2 \quad\lor\quad a=-2$$
II równanie:
$$-5a=10$$
$$a=-2$$
Krok 3. Wybór właściwej odpowiedzi.
Widzimy wyraźnie, że tylko \(a=-2\) spełnia jedno i drugie równanie, stąd też właśnie to \(a=-2\) jest prawidłową odpowiedzią.
Zadanie nr 9 · Próbny 2021
Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=a-b \\ 2x+3y=a+b \end{cases}\) z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\) ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb \((2,1)\). Wynika z tego, że:
A\(a=3, b=4\)
B\(a=4, b=3\)
C\(a=-4, b=-5\)
D\(a=-4, b=5\)
Aby rozwiązać to zadanie, musimy podstawić do układu równań \(x=2\) oraz \(y=1\), zatem:
\begin{cases} 2\cdot2-3\cdot1=a-b \\ 2\cdot2+3\cdot1=a+b \end{cases}
\begin{cases} 4-3=a-b \\ 4+3=a+b \end{cases}
\begin{cases} a-b=1 \\ a+b=7 \end{cases}
\begin{cases} a=1+b \\ a=7-b \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania możemy teraz zapisać, że:
$$1+b=7-b$$
$$2b=6$$
$$b=3$$
Znamy już wartość \(b=3\), zatem podstawiając ją do jednego z równań np. \(a=1+b\), obliczymy poszukiwaną wartość \(a\):
$$a=1+b$$
$$a=1+3$$
$$a=4$$
Zadanie nr 8 · Matura 2021
Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ, którego geometryczną interpretację przedstawiono na rysunku.
A\(\begin{cases}y=x+1 \\ y=-2x+4\end{cases}\)
B\(\begin{cases}y=x-1 \\ y=2x+4\end{cases}\)
C\(\begin{cases}y=x-1 \\ y=-2x+4\end{cases}\)
D\(\begin{cases}y=x+1 \\ y=2x+4\end{cases}\)
Do zadania da się podejść na kilka sposobów. Z geometrycznej interpretacji wiemy, że rozwiązaniem układu równań są współrzędne punktu przecięcia się tych dwóch prostych. Możemy oczywiście rozwiązać każdy układ i sprawdzić kiedy otrzymamy wynik \(x=1\) oraz \(y=2\) (bo z rysunku wynika, że właśnie w tym miejscu te dwie proste się przecinają). Możemy też postąpić nieco sprytniej i wręcz podstawić \(x=1\) oraz \(y=2\) do każdego układu. Obydwie te metody są dobre, choć czasochłonne (a i czasem możemy wpaść w pułapkę związaną z tym, że pasować będą dwa układy równań).
Najlepiej byłoby dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca - czyli jedna prosta musi mieć dodatni współczynnik kierunkowy \(a\), natomiast druga musi mieć ten współczynnik ujemny. Pasują nam już zatem tylko odpowiedzi A oraz C. Teraz spójrzmy na miejsce przecięcia się prostych z osią \(OY\). Prosta rosnąca przecina oś \(OY\) dla \(y=1\), więc współczynnik \(b\) tej prostej musi być równy \(b=1\). Analogicznie prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=4\), więc \(b=4\). To oznacza, że pasuje nam już tylko odpowiedź A.
Zadanie nr 7 · Próbny 2020
Rozważmy treść następującego zadania:
"Obwód prostokąta o bokach długości \(a\) i \(b\) jest równy \(60\). Jeden z boków tego prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta."
Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?
Prostokąt ma dwa równe boki, zatem jego obwód możemy w tej sytuacji opisać równaniem:
$$2a+2b=60$$
$$2(a+b)=60$$
Pierwsze równanie więc znamy i od razu możemy ograniczyć się do odpowiedzi A oraz D. Teraz czas na drugie równanie, które odnosi się do sytuacji mówiącej o tym, że jeden z boków prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Co prawda nie wiemy który z boków ma być dłuższy, ale w grę wchodzą tylko dwie możliwości, czyli \(a+10=b\) lub też \(b+10=a\). To właśnie ta pierwsza możliwość pojawiła się w pierwszej odpowiedzi, zatem poszukiwanym układem równań jest ten z odpowiedzi A.
Zadanie nr 7 · Próbny 2020
Układ równań liniowych \(\begin{cases}2x-3y=-1 \\ -6x+ay=3\end{cases}\) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy:
A\(a=9\)
B\(a=-9\)
C\(a=1\)
D\(a\) jest dowolną liczbą rzeczywistą
Aby dowiedzieć się dla jakiego parametru \(a\) układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, musimy doprowadzić do sytuacji w której pierwsze i drugie równanie będą miały identyczną postać. W tym celu musimy np. pierwsze równanie pomnożyć obustronnie przez \(-3\). Całość będzie wyglądać następująco:
\begin{cases} 2x-3y=-1 \quad\bigg/\cdot(-3) \\ -6x+ay=3 \end{cases}
\begin{cases} -6x+9y=3 \\ -6x+ay=3 \end{cases}
Teraz jak porównamy sobie obydwa te równania (zwłaszcza to, co znalazło się przed igrekiem) to zauważymy, że układ równań będzie tożsamościowy dla \(a=9\).
Zadanie nr 5 · Matura 2019
Para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} -x+12y=a^2 \\ 2x+ay=9 \end{cases}\) dla:
A\(a=\frac{7}{3}\)
B\(a=-3\)
C\(a=3\)
D\(a=-\frac{7}{3}\)
Podstawiając \(x=3\) i \(y=1\) do naszego układu równań otrzymamy:
\begin{cases} -3+12\cdot1=a^2 \\ 2\cdot3+a\cdot1=9 \end{cases}
\begin{cases} -3+12=a^2 \\ 6+a=9 \end{cases}
\begin{cases} a^2=9 \\ a=3 \end{cases}
W pierwszym równaniu otrzymaliśmy proste równanie kwadratowe \(a^2=9\), którego rozwiązaniem są liczby \(a=3\) oraz \(a=-3\). W drugim równaniu wyszło nam, że \(a=3\). Co oznacza ta rozbieżność? Możemy to zinterpretować w taki sposób, że gdy \(a=-3\) to para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem tylko pierwszego równania, natomiast gdy \(a=3\), to wskazana para liczb jest rozwiązaniem jednego i drugiego równania (czyli całego układu równań). Z tego też względu rozwiązaniem tego zadania jest \(a=3\).
Zadanie nr 7 · Próbny 2019
Układ równań liniowych \(\begin{cases} 2x-4y=3 \\ -3x+6y=-4 \end{cases}\)
Anie ma rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma nieskończenie wiele rozwiązań
Do rozwiązania tego zadania można dojść na wiele sposobów, nawet najpopularniejszą metodą podstawiania. Jednak najprościej będzie dostrzec rozwiązanie mnożąc pierwsze równanie przez \(-\frac{3}{2}\). Otrzymamy wtedy następującą sytuację:
\begin{cases} 2x-4y=3 \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) \\ -3x+6y=-4 \end{cases}
W pierwszym równaniu wyszło nam, że \(-3x+6y\) jest równe \(-\frac{9}{2}\). W drugim równaniu wyszło, że \(-3x+6y\) jest równe \(-4\). Te dwa równania mają po lewej stronie to samo wyrażenie (bez potęg), a po prawej mają różne liczby. Taka sytuacja jest niemożliwa do otrzymania, zatem ten układ równań jest sprzeczny, czyli nie ma on rozwiązań.
Zadanie nr 7 · Matura 2019
Układ równań \(\begin{cases} 2x-y=2 \\ x+my=1 \end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań dla:
A\(m=-1\)
B\(m=1\)
C\(m=\frac{1}{2}\)
D\(m=-\frac{1}{2}\)
Krok 1. Doprowadzenie równań do jednakowej postaci.
Mnożąc drugie równanie przez \(2\) otrzymamy:
\begin{cases} 2x-y=2 \\ x+my=1 \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}
\begin{cases} 2x-y=2 \\ 2x+2my=2 \end{cases}
Krok 2. Ustalenie dla jakiego parametru \(m\) równania mają nieskończenie wiele rozwiązań.
Aby nasz układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań, to pierwsze i drugie równanie muszą być identyczne. Porównując do siebie te dwa równania widzimy, że aby tak się stało to liczby stojące przy igreku muszą być sobie równe. W pierwszym równaniu przed igrekiem mamy jedynie minus, czyli mamy tak jakby \(-1y\). W drugim równaniu mamy wartość \(2my\). Skoro wartości przed igrekami muszą być równe, to:
$$-1=2m$$
$$m=-\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 5 · Matura 2019
Para liczb \(x=2\) i \(y=2\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}ax+y=4 \\ -2x+3y=2a\end{cases}\) dla:
A\(a=-1\)
B\(a=1\)
C\(a=-2\)
D\(a=2\)
Podstawiając parę liczb \(x=2\) oraz \(y=2\) do układu równań otrzymamy:
$$\begin{cases} a\cdot2+2=4 \\ -2\cdot2+3\cdot2=2a \end{cases}$$
$$\begin{cases} 2a+2=4 \\ -4+6=2a \end{cases}$$
Z pierwszego równania mamy że \(2a=2\), czyli że \(a=1\).
Z drugiego wychodzi nam identycznie, że \(2=2a\), czyli także \(a=1\).
To oznacza, że ta para liczb jest rozwiązaniem układu dla \(a=1\).
Zadanie nr 6 · Matura 2018
Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\).
Z rysunku możemy odczytać, że jedna prosta jest rosnąca, a druga jest malejąca. To oznacza, że jedna z prostych musi mieć współczynnik kierunkowy \(a\) dodatni, a druga musi mieć ujemny. Ogranicza nam to wybór odpowiedzi do B oraz D. Pozostałe warianty możemy już odrzucić.
Aby ustalić który układ równań jest tym dobrym wystarczy spojrzeć np. na miejsce przecięcia się prostej malejącej z osią igreków. Prosta ta przecina oś igreków dla \(x=3,5\), czyli \(x=\frac{7}{2}\). To oznacza, że współczynnik \(b\) tej prostej musi być równy właśnie \(b=\frac{7}{2}\). Taką sytuację mamy w odpowiedzi B.
Zadanie nr 7 · Matura 2017
Rozważmy treść następującego zadania:
"Obwód prostokąta o bokach długości \(a\) i \(b\) jest równy \(60\). Jeden z boków tego prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta."
Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?
Prostokąt ma dwa równe boki, zatem jego obwód możemy w tej sytuacji opisać równaniem:
$$2a+2b=60$$
$$2(a+b)=60$$
Pierwsze równanie więc znamy i od razu możemy ograniczyć się do odpowiedzi A oraz D. Teraz czas na drugie równanie, które odnosi się do sytuacji mówiącej o tym, że jeden z boków prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Co prawda nie wiemy który z boków ma być dłuższy, ale w grę wchodzą tylko dwie możliwości, czyli \(a+10=b\) lub też \(b+10=a\). To właśnie ta pierwsza możliwość pojawiła się w pierwszej odpowiedzi, zatem poszukiwanym układem równań jest ten z odpowiedzi A.
Zadanie nr 8 · Matura 2017
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} x+y=1 \\ x-y=b \end{cases}\) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że:
A\(b\lt-1\)
B\(b=-1\)
C\(-1\lt b\lt1\)
D\(b\ge1\)
Spróbujmy wyznaczyć wartości \(x\) oraz \(y\) z tego układu równań. Jeżeli dodamy te równania stronami to otrzymamy:
$$2x+0y=1+b$$
$$2x=1+b$$
$$x=\frac{1+b}{2}$$
Kiedy odejmiemy te równania stronami to otrzymamy:
$$0x+2y=1-b$$
$$2y=1-b$$
$$y=\frac{1-b}{2}$$
Teraz zgodnie z treścią zadania wiemy, że \(x\) oraz \(y\) są dodatnie, zatem:
$$\frac{1+b}{2}\gt0 \land \frac{1-b}{2}\gt0$$
$$1+b\gt0 \quad\land\quad 1-b\gt0$$
$$b\gt-1 \quad\land\quad b\lt1$$
To oznacza, że \(-1\lt b\lt1\).
Zadanie nr 12 · Matura 2016
Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \end{cases}\)
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W układzie równań uzyskaliśmy dwa identyczne równania. To oznacza, że te dwie proste pokrywają się ze sobą, a więc tworzą układ o nieskończonej liczbie rozwiązań.
Zadanie nr 18 · Matura 2016
Układ równań \(\begin{cases} y=-ax+2a \\ y=\frac{b}{3}x-2 \end{cases}\) nie ma rozwiązań dla:
A\(a=-1\) i \(b=-3\)
B\(a=1\) i \(b=3\)
C\(a=1\) i \(b=-3\)
D\(a=-1\) i \(b=3\)
Z pomocą przyjdzie nam interpretacja graficzna układu równań. Układ równań nie ma rozwiązań, kiedy reprezentują go dwie proste równoległe względem siebie (które jednocześnie się nie pokrywają).
Skoro dwie proste mają być równoległe to ich współczynnik kierunkowy \(a\) znajdujący się przed iksem musi być jednakowy. Zatem:
$$-a=\frac{b}{3}$$
$$-3a=b$$
$$\frac{b}{a}=-3$$
Teraz patrzymy na nasze odpowiedzi. Parą liczb która spełnia warunki tej równości może być albo para z trzeciej odpowiedzi, czyli \(a=1\) i \(b=-3\), albo z czwartej, czyli \(a=-1\) i \(b=3\).
Ustaliliśmy też, że muszą to być proste które się ze sobą nie pokrywają, czyli muszą mieć różne współczynniki \(b\). Zatem:
$$2a\neq-2$$
$$a\neq-1$$
To z kolei wyklucza nam odpowiedzi gdzie \(a=-1\), zatem jedyną pasującą odpowiedzią jest trzecia, która zawiera parę liczb \(a=1\) i \(b=-3\).
Zadanie nr 7 · Matura 2015
Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań \begin{cases} x+3y=-5 \\ 3x-2y=-4 \end{cases}
Wskaż ten rysunek:
A
B
C
D
Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem takiego układu równań jest miejsce się przecięcia dwóch prostych. Zatem wyznaczając wartości \(x\) oraz \(y\) będziemy mogli określić współrzędne punktu przecięcia i tym samym wybrać prawidłową odpowiedź.
\begin{cases} x+3y=-5 \quad\bigg/\cdot(-3) \\ 3x-2y=-4 \end{cases}\begin{cases} -3x-9y=15 \\ 3x-2y=-4 \end{cases}
Dodając to równanie stronami otrzymamy:
$$-9y+(-2y)=15+(-4)$$
$$-11y=11$$
$$y=-1$$
Wartość \(x\) obliczymy podstawiając \(y=-1\) do jednego z równań:
$$x+3\cdot(-1)=-5$$
$$x-3=-5$$
$$x=-2$$
Szukamy więc rysunku, na którym dwie proste przetną się w punkcie o współrzędnych \((-2;-1)\) i taka sytuacja jest przedstawiona na rysunku pierwszym.
Zadanie nr 14 · Próbny 2015
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną jednego z niżej zapisanych układów równań.
Krok 1. Odczytanie z rysunku kluczowych informacji na temat prostych.
Z rysunku wynika, że obydwie proste są malejące, czyli na pewno muszą mieć współczynnik kierunkowy \(a\) mniejszy od \(0\). Oprócz tego jesteśmy też w stanie odczytać konkretne wartości współczynnika \(b\), patrząc się na miejsce przecięcia się prostych z osią igreków. Jedna prosta przecina oś igreków dla \(y=1\), czyli współczynnik \(b=1\), natomiast druga prosta przecina oś igreków dla \(y=-2\), czyli ma współczynnik \(b=-2\).
Krok 2. Wskazanie prawidłowego układu równań.
Proste zapisane w układach równań mają postać \(y=ax+b\). Ustaliliśmy już sobie, że współczynnik \(a\) jednej i drugiej prostej musi być ujemny, co sprawia że możemy odrzucić drugą i czwartą odpowiedź.
Wiemy też, że współczynnik \(b\) jednej prostej ma być równy \(1\), a drugiej ma być równy \(-2\) i taką sytuację mamy w pierwszym układzie równań. Możemy więc bez wykonywania specjalnych obliczeń wskazać, że poszukiwaną prawidłową odpowiedzią jest pierwszy układ równań.
Zadanie nr 5 · Matura 2015
Para liczb \(x=2\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} x+ay=5 \\ 2x-y=3 \end{cases}\), gdy:
A\(a=-3\)
B\(a=-2\)
C\(a=2\)
D\(a=3\)
W tym zadaniu wystarczy tak naprawdę tylko podstawić do pierwszego równania \(x=2\) oraz \(y=1\) i obliczyć w ten sposób parametr \(a\):
$$x+ay=5$$
$$2+1a=5$$
$$a=3$$
Zadanie nr 5 · Matura 2015
Układ równań \(\begin{cases} x-y=3 \\ 2x+0,5y=4 \end{cases}\) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie:
Azbiór pusty
Bdokładnie jeden punkt
Cdokładnie dwa różne punkty
Dzbiór nieskończony
Krok 1. Doprowadzenie równań do postaci \(y=ax+b\).
Zadanie brzmi dość skomplikowanie, ale tak naprawdę polega na tym by określić ile punktów wspólnych będą mieć te dwie proste. Aby to określić, potrzebujemy je zapisać w postaci \(y=ax+b\).
\begin{cases} x-y=3 \quad\bigg/-x \\ 2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}\begin{cases} -y=3-x \quad\bigg/\cdot(-1) \\ 2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}\begin{cases} y=-3+x \\ 4x+y=8 \quad\bigg/-4x \end{cases}\begin{cases} y=x-3 \\ y=-4x+8 \end{cases}
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Obydwie proste mają różne współczynniki kierunkowe \(a\). Pierwsza ma \(a=1\), druga \(a=-4\). To oznacza, że te dwie proste mają tylko jeden wspólny punkt przecięcia.
Zadanie nr 1 · Matura 2014
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.
Wskaż ten układ.
A\(\begin{cases}y=x+1 \\ y=-2x+4\end{cases}\)
B\(\begin{cases}y=x-1 \\ y=2x+4\end{cases}\)
C\(\begin{cases}y=x-1 \\ y=-2x+4\end{cases}\)
D\(\begin{cases}y=x+1 \\ y=2x+4\end{cases}\)
Wszystkie proste przedstawione są w postaci \(y=ax+b\), a naszym zadaniem jest tak naprawdę odczytanie z rysunku potrzebnych informacji i ustalenie poszczególnych współczynników \(a\) oraz \(b\).
Krok 1. Ustalenie wzoru pierwszej prostej (rosnącej).
Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom to pierwsza prosta jest przedstawiona w dwóch wariantach: \(y=x+1\) lub \(y=x-1\). Musimy więc tak naprawdę ustalić współczynnik \(b\) tej prostej i dowiedzieć się, czy jest on równy \(1\), czy \(-1\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu z osią \(Oy\) przetnie się wykres prostej. W naszym przypadku przeciął się on w punkcie \((0;1)\), a więc \(b=1\). To oznacza, że pierwsza prosta ma na pewno postać \(y=x+1\).
Krok 2. Ustalenie wzoru drugiej prostej (malejącej).
Druga prosta jest opisana w odpowiedziach na dwa sposoby: \(y=2x+4\) lub \(y=-2x+4\). To znaczy, że musimy tym razem zweryfikować wartość współczynnika \(a\) i stwierdzić, czy jest on równy \(2\), czy może \(-2\). Skoro prosta jest malejąca, to bez żadnych zbędnych obliczeń jesteśmy w stanie stwierdzić, że prosta jest malejąca, czyli \(a=-2\).
Przy okazji widzimy też, że współczynnik \(b=4\), bo prosta ta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;4)\), więc z całą pewnością wzorem tej prostej jest \(y=-2x+4\).
To oznacza, że poszukiwanym przez nas układem jest ten z pierwszej odpowiedzi.
Zadanie nr 4 · Matura 2013
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} 3x-5y=0 \\ 2x-y=14 \end{cases}\) jest para liczb \((x,y)\) takich, że:
A\(x\lt0\) i \(y\lt0\)
B\(x\lt0\) i \(y\gt0\)
C\(x\gt0\) i \(y\lt0\)
D\(x\gt0\) i \(y\gt0\)
Najprostszym sposobem na poznanie odpowiedzi będzie po prostu rozwiązanie tego układu równań. Tu możemy zastosować dowolną metodę, ale najszybciej będzie chyba wymnożyć to drugie równanie przez \(-5\) i zastosować metodę przeciwnych współczynników:
\begin{cases} 3x-5y=0 \\ 2x-y=14 \quad\bigg/\cdot(-5) \end{cases}\begin{cases} 3x-5y=0 \\ -10x+5y=-70 \quad\bigg/\cdot(-5) \end{cases}
Teraz dodając równanie stronami otrzymamy:
$$-7x=-70$$
$$x=10$$
Znając wartość \(x=10\) możemy podstawić ją do jednego z równań, otrzymując w ten sposób wartość \(y\), zatem:
$$3\cdot10-5y=0$$
$$30=5y$$
$$y=6$$
Zarówno \(x\) jak i \(y\) wyszły nam dodatnie, tak więc prawidłowa jest odpowiedź czwarta.
Zadanie nr 4 · Matura 2013
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} 5x+3y=3 \\ 8x-6y=48 \end{cases}\) jest para liczb:
A\(x=-3\) i \(y=4\)
B\(x=-3\) i \(y=6\)
C\(x=3\) i \(y=-4\)
D\(x=9\) i \(y=4\)
Układ ten można rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej jest chyba skorzystać z metody przeciwnych współczynników:
\begin{cases} 5x+3y=3 \quad\bigg/\cdot2 \\ 8x-6y=48 \end{cases}\begin{cases} 10x+6y=6 \\ 8x-6y=48 \end{cases}
Po dodaniu obu stron równania otrzymamy:
$$18x=54$$
$$x=3$$
W zasadzie w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie tego zadania, to \(x=3\) występuje tylko w jednej odpowiedzi. Nie mniej wyznaczmy jeszcze wartość \(y\).
Wartość \(y\) policzymy z dowolnie wybranego równania, podstawiając tam wyliczone przed chwilą \(x=3\), np.:
$$5x+3y=3$$
$$5\cdot3+3y=3$$
$$15+3y=3$$
$$3y=-12$$
$$y=-4$$
Zadanie nr 3 · Matura 2011
Rozwiązaniem układu równań: \(\begin{cases} x+3y=5 \\ 2x-y=3 \end{cases}\) jest:
A\(\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}\)
B\(\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}\)
C\(\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}\)
D\(\begin{cases}x=1 \\ y=-2\end{cases}\)
To równanie możemy rozwiązać zarówno metodą podstawiania jak i przeciwnych współczynników. Prościej będzie tutaj chyba użyć tego drugiego sposobu, mnożąc najpierw obie strony drugiego równania przez \(3\).
\begin{cases} x+3y=5 \\ 2x-y=3 \quad\bigg/\cdot3 \end{cases}\begin{cases} x+3y=5 \\ 6x-3y=9 \end{cases}
Dodajemy to równanie stronami i otrzymujemy:
$$7x=14$$
$$x=2$$
Podstawiając wartość \(x=2\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(y\):
$$2+3y=5$$
$$3y=3$$
$$y=1$$
Rozwiązaniem jest więc para liczb: \(x=2\) oraz \(y=1\).
Zadanie nr 4 · Matura 2011
Układ równań \(\begin{cases} 4x+2y=10 \\ 6x+ay=15 \end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli:
A\(a=-1\)
B\(a=0\)
C\(a=2\)
D\(a=3\)
Aby układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań to pierwsze i drugie równanie musimy doprowadzić do identycznej postaci, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy parametr \(a\):
\begin{cases} 4x+2y=10 \quad\bigg/\cdot1,5 \\ 6x+ay=15 \end{cases}\begin{cases} 6x+\color{blue}{3y}=15 \\ 6x+\color{blue}{ay}=15 \end{cases}
Skoro w pierwszym równaniu pojawiła nam się wartość \(3y\), to parametr \(a\) w drugim równaniu także musi być równy \(3\).
Zadanie nr 16 · Matura
Dane jest równanie \(3x+4y-5=0\). Z którym z poniższych równań tworzy ono układ sprzeczny?
A\(6x+8y-10=0\)
B\(4x-3y+5=0\)
C\(9x+12y-10=0\)
D\(5x+4y-3=0\)
Układ jest sprzeczny, kiedy po rozwiązaniu układu otrzymamy nieprawdziwą równość np. \(1=2\). Równanie z treści zadania stworzy sprzeczny układ jedynie z trzecim równaniem:
\begin{cases} 3x+4y-5=0 \quad\bigg/\cdot3 \\ 9x+12y-10=0 \end{cases}\begin{cases} 9x+12y-15=0 \\ 9x+12y-10=0 \end{cases}
Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-15-(-10)=0$$
$$-15+10=0$$
$$-5=0$$
Otrzymany wynik świadczy o sprzeczności układu.
Warto też dodać, że nasze równanie stworzyłoby z równaniem z pierwszej odpowiedzi układ tożsamościowy, czyli taki w którym rozwiązaniem będzie każda liczba rzeczywista.
Krok 1. Rozwiązanie układu równań.
Tym razem mamy układ równań, w którym jedno z równań jest równaniem kwadratowym. To generalnie nie zmienia istoty sprawy i rozwiązujemy ten układ w standardowy sposób. W tym przypadku, najprościej byłoby skorzystać z metody podstawiania, przekształcając odpowiednio drugie równanie, zatem:
\begin{cases} x^2+y^2-4x+4y-17=0 \\ y=2x-1 \end{cases}
Podstawiając teraz drugie równanie do pierwszego, otrzymamy:
$$x^2+(2x-1)^2-4x+4\cdot(2x-1)-17=0$$
$$x^2+4x^2-4x+1-4x+8x-4-17=0$$
$$5x^2-20=0 \quad\bigg/:5$$
$$x^2-4=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego i zakończenie rozwiązywania układu równań.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. To równanie jest na tyle proste, że damy radę obliczyć je bez wyznaczania delty, zatem:
$$x^2=4$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Jak to standardowo bywa w równaniach kwadratowych, otrzymaliśmy dwa rozwiązania i obydwa te rozwiązania są jak najbardziej poprawne. Teraz musimy wyznaczyć wartość \(y\), korzystając np. z równania \(y=2x-1\). Z racji tego, iż mamy dwie różne wartości \(x\), to musimy sprawdzić jaki wynik osiągniemy gdy podstawimy \(x=2\) i jaki, gdy podstawimy \(x=-2\), zatem:
Gdy \(x=2\), to:
$$y=2\cdot2-1$$
$$y=4-1$$
$$y=3$$
Gdy \(x=-2\), to:
$$y=2\cdot(-2)-1$$
$$y=-4-1$$
$$y=-5$$
To oznacza, że rozwiązaniem tego układu równań są dwie pary liczb: \(\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}\) oraz \(\begin{cases}x=-2 \\ y=-5\end{cases}\)
📘Teoria 3
Co to jest układ równań (klasa 1 LO)
Pojęcie
Układ to zbiór równań z tymi samymi niewiadomymi, rozwiązywany wspólnie.
Rozwiązanie
Para $(x,y)$ spełniająca jednocześnie wszystkie równania.
Oba równania opisują tę samą prostą, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? D — układ równań liniowych nigdy nie ma dokładnie dwóch rozwiązań.
Zadanie nr PP09.4
Interpretacją geometryczną układu równań $\begin{cases}x+y=3\\ x+y=-1\end{cases}$ są dwie proste
Aprzecinające się w punkcie $(1,2)$
Bpokrywające się
Cprostopadłe
Drównoległe i różne
Proste $y=-x+3$ i $y=-x-1$ mają ten sam współczynnik kierunkowy $-1$ i różne wyrazy wolne.
Są więc równoległe i różne — układ jest sprzeczny.
Odpowiedź:D
Zadanie nr PP09.5
Układ równań $\begin{cases}x+2y=4\\ 2x+ay=1\end{cases}$ nie ma rozwiązań dla $a$ równego
A$4$
B$-4$
C$1$
D$2$
Brak rozwiązań ⇔ proste równoległe i różne: $1\cdot a-2\cdot2=0 \Rightarrow a=4$.
Dla $a=4$: drugie równanie to $x+2y=\tfrac12$, a pierwsze $x+2y=4$ — sprzeczność ✓.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? D — dla $a=2$ proste się przecinają (współczynniki nie są proporcjonalne).
Zadanie nr PP09.6
W dwóch magazynach było łącznie $1500$ ton zboża. Z pierwszego sprzedano $20\%$, a z drugiego $10\%$ zboża. Wtedy w drugim magazynie zostało o $350$ ton mniej niż w pierwszym. Jeśli $x$ i $y$ to początkowe ilości zboża (w tonach) w pierwszym i drugim magazynie, to
Na koncert sprzedano łącznie $200$ biletów: normalne po $40$ zł i ulgowe po $25$ zł. Wpływy ze sprzedaży wyniosły $6800$ zł. Oblicz, ile sprzedano biletów normalnych, a ile ulgowych.
1 pkt — zapisanie układu równań opisującego zadanie,
2 pkt — obliczenie liczby biletów obu rodzajów.
Zadanie nr PP09.10
Pociąg pokonał trasę długości $240$ km ze stałą prędkością. Gdyby jechał z prędkością o $20\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ większą, pokonałby tę trasę w czasie o $1$ godzinę krótszym. Oblicz prędkość pociągu.
$v$ — prędkość (km/h), $t$ — czas (h): $\begin{cases}v\cdot t=240\\ (v+20)(t-1)=240\end{cases}$
Geometrycznie: obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy, ale różne wyrazy wolne — są równoległe i różne, więc nie mają punktu wspólnego. Taki układ nazywamy sprzecznym.
Układ dwóch równań liniowych jest sprzeczny. Co to oznacza geometrycznie?
Aproste są równoległe i różne
Bproste przecinają się w jednym punkcie
Cproste pokrywają się
Dproste są prostopadłe
Rozwiązaniem układu jest punkt wspólny prostych. Brak rozwiązań oznacza brak punktu wspólnego, a to zdarza się tylko dla prostych równoległych i różnych.
Pełne zestawienie:
jedno rozwiązanie — proste przecinają się (układ oznaczony)
brak rozwiązań — proste równoległe różne (układ sprzeczny)
nieskończenie wiele — proste pokrywają się (układ nieoznaczony)
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 14
Motorówka płynie z prądem rzeki $30$ km w $2$ godziny, a pod prąd tę samą trasę pokonuje w $3$ godziny. Oblicz prędkość własną motorówki i prędkość prądu rzeki.
Krok 1 — oznaczenia. Niech $v$ to prędkość własna motorówki, a $p$ prędkość prądu.
Z prądem prędkości się dodają, pod prąd — odejmują:
Metoda 2 — sprawdzenie odpowiedzi. Dla $x=2$, $y=3$: $2\cdot2-3=1$ ✔ oraz $2+2\cdot3=8$ ✔
Uwaga: para musi spełniać oba równania. Odpowiedź A spełnia pierwsze ($2-1=1$), ale nie drugie ($1+2=3\neq8$).
Odpowiedź: C. $x=2$, $y=3$.
Zadanie nr 17
Bilet normalny kosztuje $x$ zł, a ulgowy $y$ zł. Za $4$ bilety normalne i $3$ ulgowe zapłacono $97$ zł, a za $2$ normalne i $5$ ulgowych — $87$ zł. Ile kosztuje każdy rodzaj biletu?
Dla jakiej wartości $m$ układ $\begin{cases}x+y=4 \\ 2x+my=8\end{cases}$ jest nieoznaczony?
Krok 1 — warunek nieoznaczoności. Drugie równanie musi być wielokrotnością pierwszego. Pierwsze $\times2$ daje $2x+2y=8$.
Krok 2 — porównujemy z $2x+my=8$. Aby oba równania były identyczne, musi być:
$$m=2$$
Krok 3 — sprawdzenie. Dla $m=2$ drugie równanie to dokładnie podwojone pierwsze — nieskończenie wiele rozwiązań.
Odpowiedź: $m=2$.
Zadanie nr 20
Wykaż, że układ $\begin{cases}x+y=s \\ x-y=r\end{cases}$ ma dla dowolnych $s,r$ dokładnie jedno rozwiązanie, i podaj wzory na $x$ i $y$.
Krok 1 — dodajemy równania stronami:
$$2x=s+r \quad\Rightarrow\quad x=\frac{s+r}{2}$$
Krok 2 — odejmujemy równania stronami:
$$2y=s-r \quad\Rightarrow\quad y=\frac{s-r}{2}$$
Krok 3 — wniosek. Dla dowolnych $s,r$ wzory dają jednoznaczne wartości $x$ i $y$, więc rozwiązanie zawsze istnieje i jest jedno. $\quad∎$
Zastosowanie. To gotowy przepis na zadania typu „suma i różnica”: $x=\frac{\text{suma}+\text{różnica}}{2}$. Sprawdzenie dla $s=20$, $r=6$: $x=13$, $y=7$ — zgodnie z zad. 16 ✔
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
