Funkcja liniowa i jej wykres

Widzimy, że nasza funkcja jest malejąca, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. To oznacza, że \(a\lt0\).

Dodatkowo widzimy, że wykres funkcji przecina oś \(OY\) w dodatnim miejscu, a to prowadzi nas do wniosku, że współczynnik \(b\) jest dodatni, czyli \(b\gt0\).

To oznacza, że liczby \(a\) oraz \(b\) spełniają warunki \(a\lt0\) i \(b\gt0\).

Miejsce zerowe to taki argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Skoro więc miejscem zerowym jest \(x=-4\), to moglibyśmy zapisać, że:
$$0=(2p-1)\cdot(-4)+p$$ $$0=-8p+4+p$$ $$0=-7p+4$$ $$7p=4$$ $$p=\frac{4}{7}$$

Widzimy, że nasza funkcja jest malejąca, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. To oznacza, że \(a\lt0\).

Dodatkowo widzimy, że wykres funkcji przecina oś \(OY\) w dodatnim miejscu, a to prowadzi nas do wniosku, że współczynnik \(b\) jest dodatni, czyli \(b\gt0\).

To oznacza, że liczby \(a\) oraz \(b\) spełniają warunki \(a\lt0\) i \(b\gt0\).

Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać współrzędne miejsc przecięcia się funkcji, musimy rozwiązać układ równań składający się ze wzorów tych funkcji. My już wiemy, że współrzędne tego punktu to \(M=(3,5)\), zatem podstawmy \(x=3\) oraz \(y=5\) do wzorów obydwu funkcji:
\begin{cases} 5=a\cdot3+b \\ 5=b\cdot3-a \end{cases}

\begin{cases} 5=3a+b \\ 5=3b-a \end{cases}

Korzystając z metody podstawiania możemy teraz zapisać, że:
$$3a+b=3b-a$$ $$4a=2b$$ $$a=\frac{1}{2}b$$

Jeżeli teraz podstawimy wyznaczone \(a=\frac{1}{2}b\) do np. równania \(5=3a+b\), to otrzymamy:
$$5=3\cdot\frac{1}{2}b+b$$ $$5=1,5b+b$$ $$5=2,5b$$ $$b=2$$

Wiedząc, że \(b=2\) i że \(a=\frac{1}{2}b\), wyjdzie nam, że:
$$a=\frac{1}{2}\cdot2$$ $$a=1$$

To oznacza, że warunki zadania są spełnione dla \(a=1, b=2\).

Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\), wystarczy skorzystać z informacji o tym, że punkt \(M=(3,-2)\) należy do wykresu funkcji. Podstawiając współrzędne tego punktu do podanego wzoru, otrzymamy:
$$-2=5\cdot3+b-4$$ $$-2=15+b-4$$ $$-2=11+b$$ $$b=-13$$

Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero. Musimy więc sprawdzić kiedy \(-\frac{1}{3}(x+3)+5\) będzie równe \(0\), czyli musimy rozwiązać następujące równanie:
$$-\frac{1}{3}(x+3)+5=0$$ $$-\frac{1}{3}x-1+5=0$$ $$-\frac{1}{3}x+4=0$$ $$-\frac{1}{3}x=-4 \quad\bigg/\cdot(-3)$$ $$x=12$$

Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Obrazowo rzecz ujmując, musimy do wzoru funkcji podstawić \(x=\frac{3}{4}\) i sprawdzić, kiedy wartość tej funkcji będzie równa \(0\), zatem:
$$\left(\frac{5}{3}m-4\right)\cdot\frac{3}{4}+3m+6=0$$ $$\frac{15}{12}m-3+3m+6=0$$ $$1\frac{3}{12}m+3m+3=0$$ $$4\frac{1}{4}m+3=0$$ $$4\frac{1}{4}m=-3$$ $$\frac{17}{4}m=-3 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{17}$$ $$m=-\frac{12}{17}$$

Krok 1. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Z treści zadania dość niepozornie wynika informacja, że współczynnik \(b=2\). Skąd to wiemy? Jedną z własności funkcji liniowych jest to, że współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się wykresu z osią \(OY\). W zadania wiemy, że funkcja przyjmuje wartość \(y=2\) dla argumentu \(x=0\), a przecież jest to właśnie punkt przecięcia się z osią \(OY\). Stąd też płynie wniosek, że \(b=2\).

Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to do tego samego wniosku dojdziemy podstawiając \(x=0\) oraz \(y=2\) do postaci kierunkowej \(y=ax+b\), zatem:
$$2=a\cdot0+b$$ $$2=0+b$$ $$b=2$$

To oznacza, że nasza funkcja liniowa wyraża się wzorem \(f(x)=ax+2\). Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Z treści zadania wynika, że \(f(4)-f(2)=6\). Wiemy już, że naszą funkcję da się zapisać jako \(f(x)=ax+2\), więc:
$$f(4)=a\cdot4+2=4a+2$$ $$f(2)=a\cdot2+2=2a+2$$

Podstawiając teraz tę informację do różnicy \(f(4)-f(2)=6\), otrzymamy:
$$4a+2-(2a+2)=6$$ $$4a+2-2a-2=6$$ $$2a=6$$ $$a=3$$

To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem \(f(x)=3x+2\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z informacji o tym, że funkcja osiąga wartości dodatnie tylko wtedy, gdy \(x\) jest większy od \(-2\) wynika, że nasza funkcja musi wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


To oznacza, że miejscem zerowym (czyli miejscem przecięcia się funkcji z osią iksów) jest punkt o współrzędnych \(A=(-2;0)\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
We wzorze naszej funkcji \(f(x)=2x+b\) brakuje nam współczynnika \(b\). Chcemy poznać wartość tego współczynnika, bowiem jedną z jego własności jest właśnie informowanie nas o miejscu przecięcia się funkcji z osią \(OY\). Aby poznać wartość tego współczynnika, musimy do wzoru funkcji podstawić współrzędne znanego nam punktu - w naszym przypadku będą to współrzędne miejsca zerowego. Podstawiając więc współrzędne \(A=(-2;0)\) otrzymamy:
$$0=2\cdot(-2)+b$$ $$0=-4+b$$ $$b=4$$

To oznacza, że pełnym wzorem naszej funkcji będzie \(f(x)=2x+4\).

Krok 3. Wyznaczenie punktu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(OY\).
Z własności współczynnika \(b\) wynika, że skoro \(b=4\), to funkcja przetnie oś \(OY\) dla igreka równego \(4\), czyli w punkcie o współrzędnych \((0;4)\).

Do tej samej informacji dojdziemy, gdy do wzoru podstawimy wartość \(x=0\):
$$f(0)=2\cdot0+4$$ $$f(0)=0+4$$ $$f(0)=4$$

Skoro dla \(x=0\) funkcja przyjmuje wartość równą \(y=4\), to znaczy, że funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0;4)\) i to jest właśnie miejsce przecięcia się z osią \(OY\).

Aby poznać wzór funkcji przekształconej względem osi \(OY\) wystarczy we wzorze zmienić znak stojący przed iksem. W tym przypadku dodatkowo będziemy musieli jeszcze uprościć cały zapis, a całość będzie wyglądać następująco:
$$y=-\frac{1}{3}(-x+1)+\frac{4}{3}$$ $$y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}$$ $$y=\frac{1}{3}x+1$$

Krok 1. Analiza wartości współczynnika \(a\).
Widzimy, że nasza funkcja jest malejąca. To oznacza, że współczynnik \(a\) będzie na pewno liczbą ujemną, czyli możemy zapisać, że \(a\lt0\).

Krok 2. Analiza wartości współczynnika \(b\).
Własności współczynnika \(b\) związane są z miejscem przecięcia się funkcji z osią \(OY\). Widzimy, że funkcja przecina oś dla \(y=1\). Stąd też możemy być pewni, że \(b=1\).

Krok 3. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Z proponowanych odpowiedzi tylko ostatni wariant jest prawidłowy, bowiem mnożąc ujemną wartość \(a\) przez \(1\) otrzymamy liczbę mniejszą od zera.

Aby poznać wartość współczynnika \(b\) wystarczy podstawić współrzędne punktu \(A\) do wzoru funkcji, zatem:
$$-1=3\cdot\frac{1}{3}+b$$ $$-1=1+b$$ $$b=-2$$

Aby obliczyć wartość parametru \(m\) wystarczy do wzoru funkcji podstawić współrzędne punktu \(P\), zatem:
$$7=(2m-1)\cdot(-3)+5$$ $$7=-6m+3+5$$ $$7=-6m+8$$ $$-1=-6m$$ $$m=\frac{1}{6}$$

Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji musimy sprawdzić kiedy wartość tej funkcji jest równa \(0\), czyli cały wzór musimy przyrównać do \(0\), otrzymując w ten sposób równanie:

$$3(x+1)-6\sqrt{3}=0$$ $$3x+3-6\sqrt{3}=0 \quad\bigg/:3$$ $$x+1-2\sqrt{3}=0$$ $$x=2\sqrt{3}-1$$

Możemy oczywiście wyznaczyć sobie wzór funkcji przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\), a następnie możemy przekształcić wzór tej funkcji, ale przekształcenia wzorów funkcji względem początku układu współrzędnych mogą być problematyczne, dlatego warto postąpić nieco sprytniej, a mianowicie najpierw przekształćmy punkty \(A\) oraz \(B\), a następnie wyznaczmy wzór funkcji, która przechodzi przez punkty \(A'B'\).

Krok 1. Przekształcenie punktów \(A\) oraz \(B\).
Przekształcając punkty względem początku układu współrzędnych musimy zmienić wartości współrzędnej iksowej oraz igrekowej na przeciwną, zatem:
$$A'=(0;-4)$$ $$B'=(-2;-2)$$

To oznacza, że funkcja \(g(x)\) będzie prostą, która przechodzi przez punkty \(A'\) oraz \(B'\) i my teraz musimy wyznaczyć wzór tej prostej.

Krok 2. Wyznaczenie wzoru funkcji \(g(x)\).
Znając współrzędne dwóch punktów przez które przechodzi prosta możemy bez problemu wyznaczyć wzór tej funkcji. Skorzystamy z metody układu równań, który zbudujemy podstawiając do postaci kierunkowej \(y=ax+b\) współrzędne punktu \(A'\) oraz \(B'\):
$$\begin{cases} -4=0a+b \\ -2=-2a+b \end{cases}$$

Z pierwszego równania wychodzi nam wprost, że \(b=-4\). Możemy tę wartość podstawić teraz do drugiego równania, obliczając w ten sposób współczynnik \(a\):
$$-2=-2a+(-4)$$ $$-2a=2$$ $$a=-1$$

To oznacza, że nasza funkcja \(g(x)\) wyraża się wzorem \(-1x-4\), czyli po prostu \(g(x)=-x-4\).

Aby poznać współczynnik \(b\) wystarczy podstawić współrzędne znanego nam punktu do wzoru funkcji. Podstawiając \(x=1\) oraz \(y=\sqrt{3}\) otrzymamy:
$$y=2\sqrt{3}x+b$$ $$\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot1+b$$ $$\sqrt{3}=2\sqrt{3}+b \quad\bigg/-2\sqrt{3}$$ $$b=-\sqrt{3}$$

Krok 1. Wyznaczenie wzoru funkcji.
Często w takich zadaniach wystarczy dobry rysunek szkicowy. W tym konkretnym przypadku niektóre współrzędne są może zbyt blisko siebie (zwłaszcza z pierwszej i drugiej odpowiedzi), ale na pewno dzięki rysunkowi dałoby się na starcie odrzucić część odpowiedzi. Jednak żeby nie kombinować z rysunkiem, to podejdźmy do tego zadania nieco bardziej matematycznie.

Aby rozwiązać to zadanie musimy najpierw wyznaczyć wzór funkcji. Jak już poznamy wzór funkcji to podstawimy do niego \(x=12\) oraz \(x=-12\) i sprawdzimy kiedy otrzymamy poprawną wartość współrzędnej igrekowej. Sam wzór możemy oczywiście wyznaczyć w tradycyjny sposób (np. budując układ równań), ale tutaj da się poznać ten wzór w nieco sprytniejszy sposób. Widzimy, że funkcja przecina oś igreków dla \(y=2\), bo przechodzi przez punkt \((0;2)\). W związku z tym wiemy już, że funkcja liniowa \(y=ax+b\) ma współczynnik \(b=2\). To oznacza, ze funkcja przybiera postać \(y=ax+2\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\), który poznamy podstawiając do wyznaczonego przed chwilą równania współrzędne punktu \((4;0)\):
$$0=4a+2$$ $$4a=-2$$ $$a=-\frac{1}{2}$$

To oznacza, że wzorem funkcji jest \(y=-\frac{1}{2}x+2\).

Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=12\) oraz \(x=-12\).
Teraz zgodnie z odpowiedziami musimy sprawdzić wartości tej funkcji dla \(x=12\) oraz \(x=-12\):
Gdy \(x=12\) to:
$$y=-\frac{1}{2}\cdot12+2$$ $$y=-6+2$$ $$y=-4$$

Gdy \(x=-12\) to:
$$y=-\frac{1}{2}\cdot(-12)+2$$ $$y=6+2$$ $$y=8$$

W związku z tym wyszło nam, że ta funkcja przechodzi przez punktu o współrzędnych \((12;-4)\) oraz \((-12;8)\), zatem prawidłowa jest odpowiedź druga.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby wiedzieć co będziemy liczyć, to zróbmy sobie prosty rysunek pomocniczy:


Z rysunku wynika, że jak poznamy współrzędne punktóW \(A\) oraz \(B\) to tak naprawdę poznamy długości boków naszego trójkąta, a stąd będzie już prosta droga do obliczenia pola figury.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Punkt \(A\) będzie miejscem przecięcia się funkcji z osią igreków. Funkcja przecina się z osią igreków dla argumentu \(x=0\), zatem już wiemy, że \(A=(0;y)\). Podstawiając \(x=0\) otrzymamy współrzędną igrekową punktu \(A\), czyli:
$$f(0)=\frac{8-3\cdot0}{2}$$ $$f(0)=\frac{8-0}{2}$$ $$f(0)=\frac{8}{2}$$ $$f(0)=4$$

To oznacza, że funkcja przecina oś igreków w punkcie \(A=(0;4)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Punkt \(B\) będzie miejscem przecięcia się funkcji z osią iksów. Funkcja przecina się z osią iksów dla wartości \(y=0\), zatem już wiemy, że \(B=(x;0)\). Podstawiając \(y=0\) otrzymamy współrzędną iksową punktu \(B\), czyli:
$$0=\frac{8-3x}{2}$$ $$0=8-3x$$ $$3x=8$$ $$x=\frac{8}{3}$$

To oznacza, że funkcja przecina oś iksów w punkcie \(B=\left(\frac{8}{3};0\right)\).

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Po wyznaczeniu współrzędnych punktów \(A\) oraz \(B\) i po spojrzeniu na nasz szkicowych rysunek jasno wynika, że podstawa trójkąta ma długość \(a=\frac{8}{3}\), natomiast wysokość trójkąta to \(h=4\). Pole tego trójkąta będzie więc równe:
$$P=\frac{1}{2}ah$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot4$$ $$P=\frac{32}{6}$$ $$P=5\frac{1}{3}$$

Krok 1. Ustalenie współrzędnych punktów przez które przechodzi funkcja.
Z zadania wynika, że funkcja przyjmuje miejsce zerowe dla \(x=1\), zatem pierwszym punktem przez który przechodzi wykres tej funkcji będzie punkt \(A=(1,0)\). Drugi punkt jest podany wprost i jest to \(M=(3,-2)\).

Krok 2. Obliczenie współczynnika \(a\).
Kiedy znamy współrzędne dwóch punktów przez które przechodzi dana prosta, to współczynnik kierunkowy możemy obliczyć w następujący sposób:
$$a=\frac{y_{M}-y_{A}}{x_{M}-x_{A}}$$ $$a=\frac{-2-0}{3-1}$$ $$a=\frac{-2}{2}$$ $$a=-1$$

Jeżeli nie pamiętamy o tym, że taki wzór istnieje, to możemy zbudować odpowiedni układ równań z którego wyznaczymy poszukiwany współczynnik \(a\). Do wzoru funkcji \(f(x)=ax+b\) musimy podstawić raz współrzędne punktu \(A\) i drugi raz współrzędne punktu \(M\), otrzymując taką oto sytuację:
$$\begin{cases} 0=1a+b \\ -2=3a+b \end{cases}$$

Najprościej rozwiążemy ten układ odejmując te równania stronami:
$$2=-2a$$ $$a=-1$$

Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji musimy przyrównać jej wzór do zera:
$$21-\frac{7}{3}x=0$$ $$21=\frac{7}{3}x \quad\bigg/\cdot\frac{3}{7}$$ $$x=\frac{63}{7}$$ $$x=9$$

Aby obliczyć miejsce zerowe musimy przyrównać wzór funkcji do zera, czyli sprawdzić dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą zero.
$$\sqrt{3}(x+1)-12=0$$ $$\sqrt{3}(x+1)=12 \quad\bigg/:\sqrt{3}$$ $$x+1=\frac{12}{\sqrt{3}}$$ $$x+1=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$ $$x+1=\frac{12\sqrt{3}}{3}$$ $$x+1=4\sqrt{3}$$ $$x=4\sqrt{3}-1$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Nie jest to krok obowiązkowy, ale z pewnością ułatwi nam wybór prawidłowej odpowiedzi. To co najważniejsze w tym rysunku to fakt, że dzięki niemu widzimy wyraźnie, że funkcja \(g(x)\) przecina oś \(Oy\) w miejscu \(A=(0;2)\). Przyda nam się to do wyznaczenia współczynnika \(b\).



Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\) funkcji \(g(x)\).
Funkcja \(g(x)\) jest funkcją liniową, tak więc możemy zapisać ją w postaci \(g(x)=ax+b\). Aby poznać pełny wzór funkcji musimy obliczyć (albo odczytać z wykresu) wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od współczynnika \(b\), który bardzo szybko odczytamy z miejsca przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) na wysokości dwóch jednostek, to \(b=2\).

W ten oto sposób wiemy już, że prawidłowa jest albo pierwsza, albo trzecia odpowiedź.

Krok 3. Ustalenie wartości współczynnika \(a\) funkcji \(g(x)\).
Funkcja \(g(x)\) jest funkcją rosnącą. To oznacza, że współczynnik \(a\) musi być dodatni, więc pasowałyby nam tylko dwie pierwsze odpowiedzi. Drugą odpowiedź odrzuciliśmy jednak już wcześniej ze względu na współczynnik \(b=2\). W ten oto sposób wiemy już, że nasza funkcja ma następujący wzór: \(g(x)=2x+2\).

Do zadania można podejść na wiele sposobów, możemy nawet podstawiać poszczególne wartości współczynnika \(b\) i sprawdzać kiedy nierówność \(-2x+b\gt0\) da rozwiązanie \(x\lt2\) (w nierówności mamy dajemy \(\gt0\), bo mają to być wartości dodatnie). Przykładowo dla \(b=4\) z pierwszej odpowiedzi otrzymalibyśmy:
$$-2x+4\gt0$$ $$-2x\gt-4$$ $$x\lt2$$

Otrzymaliśmy rozwiązanie \(x\lt2\), zatem już wiemy że poszukiwaną wartością było \(b=4\).

Można też do tego zadania podejść bardziej analitycznie. Skoro funkcja liniowa przyjmuje wartości dodatnie dla \(x\lt2\), to dla \(x=2\) musi przyjmować wartość równą \(0\), zatem:
$$-2\cdot2+b=0$$ $$-4+b=0$$ $$b=4$$

Miejsce zerowe funkcji to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). To oznacza, że miejsce zerowe możemy obliczyć przyrównując \(\frac{3}{4}x+6\) do zera.
$$\frac{3}{4}x+6=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3}$$ $$x+8=0$$ $$x=-8$$

O miejscu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\) decyduje współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-3\). To oznacza, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;-3)\).

Wykonując symetrię funkcji względem osi igreków zmienia nam się na przeciwny znak współczynnika kierunkowego \(a\). Skoro początkowa funkcja ma \(a=3\), to jej odbicie symetryczne względem osi igreków będzie mieć \(a=-3\). To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja przyjmuje wzór \(g(x)=-3x-2\).

Krok 1. Wyznaczenie miejsca przecięcia się z osią iksów.
Z osią iksów prosta przetnie się wtedy, kiedy jej wartość będzie równa \(y=0\), zatem:
$$4x+1=0$$ $$4x=-1$$ $$x=-\frac{1}{4}$$

To oznacza, że prosta przetnie się z osią iksów w punkcie \(\left(-\frac{1}{4},0\right)\).

Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się z osią igreków.
Z osią igreków prosta przetnie się wtedy, kiedy jej argument będzie równy \(x=0\), zatem:
$$y=4\cdot0+1$$ $$y=1$$

To oznacza, że prosta przetnie się z osią igreków w punkcie \((0,1)\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Poziomą osią układu współrzędnych jest oś iksów. To oznacza, że funkcja \(g\) będzie wyglądać w ten oto sposób:



Krok 2. Ustalenie wzoru funkcji \(g(x)\).
Nasza funkcja będzie na pewno wyrażona wzorem w postaci \(g(x)=ax+b\). Musimy tylko ustalić jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od ustalenia współczynnika kierunkowego \(a\). Wykres funkcji \(g(x)\) jest prostą rosnącą, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być większy od zera. Z tego wynika, że interesują nas już tylko dwie odpowiedzi: B oraz D. Musimy jeszcze ustalić wartość współczynnika \(b\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu funkcja przecina oś igreków. W naszym przypadku funkcja \(g(x)\) przecina oś igreków dla \(y=-2\), zatem \(b=-2\).

To oznacza, że funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x)=2x-2\).

Skoro punkt \(S=(5,-2)\) należy do funkcji, to możemy podstawić jego współrzędne do wzoru funkcji i w ten sposób wyliczyć parametr \(m\).
$$-2=(m-1)\cdot5+3$$ $$-2=5m-5+3$$ $$-2=5m-2$$ $$5m=0$$ $$m=0$$

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), zatem:
$$0=-\frac{2}{3}x+4$$ $$\frac{2}{3}x=4 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2}$$ $$x=6$$

Skoro punkt \(M\) należy do wykresu funkcji \(f(x)\), to możemy do jej wzoru podstawić współrzędne tego punktu, wyznaczając w ten sposób wartość niewiadomej \(a\). Otrzymamy wtedy:
$$3=(3-2a)\cdot\frac{1}{2}+2$$ $$3=1\frac{1}{2}-a+2$$ $$3=3\frac{1}{2}-a$$ $$-\frac{1}{2}=-a$$ $$a=\frac{1}{2}$$

Krok 1. Obliczenie współczynnika \(a\) funkcji \(f\).
Poszukiwana funkcja ma postać \(y=ax+b\). Na podstawie danych z zadania możemy stworzyć prosty układ równań. W pierwszym równaniu wykorzystamy informację, że \(f(1)=2\), czyli podstawimy \(x=1\) oraz \(y=2\). W drugim równaniu podstawimy współrzędne punktu, czyli \(x=-2\) oraz \(y=3\). Tak oto powstaje nam układ równań:
\begin{cases} 2=1a+b \\ 3=-2a+b \end{cases}

Powstały układ równań możemy obliczyć dowolną metodą (np. wyznaczając z pierwszego równania \(b=2-a\) i podstawiając tę wartość do drugiego równania). Najprościej jest jednak odjąć obie strony równania, otrzymując:
$$-1=3a$$ $$a=-\frac{1}{3}$$

W ten oto sposób wiemy już, że poszukiwana funkcja ma postać \(y=-\frac{1}{3}+b\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), choć już w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie tego zadania, bo już na podstawie tylko i wyłącznie współczynnika \(a\) możemy odrzucić odpowiedzi \(B\), \(C\) oraz \(D\). Obliczmy jednak dla wprawy także i współczynnik \(b\).

Krok 2. Obliczenie współczynnika \(b\).
Korzystając z dowolnego z równań z układu współrzędnych i podstawiając za \(a=-\frac{1}{3}\) otrzymamy:
$$2=1a+b$$ $$2=-\frac{1}{3}+b$$ $$b=\frac{7}{3}$$

Poszukiwana funkcja jest opisana wzorem: \(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\).

Skoro wykres funkcji przechodzi przez punkt \(A=(0;1)\) to po podstawieniu \(x=0\) wartość tej funkcji musi być równa \(1\). Stąd też:
$$(m-2)\cdot0+m-3=1$$ $$0+m-3=1$$ $$m=4$$

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja jest malejąca, a to oznacza, że \(a\lt0\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) wskazuje nam w którym miejscu wykres funkcji \(y=ax+b\) przecina się z osią \(Oy\). Przykładowo gdy \(b=-2\), to wykres przecina oś w miejscu \(A=(0,-2)\). Widzimy wyraźnie, że nasza funkcja przecina oś \(Oy\) pod osią \(Ox\), a więc, a więc \(b\lt0\).

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Z treści zadania wiemy, że miejscem zerowym jest \(x=-2\), zatem prawdziwa będzie równość:
$$0=m\cdot(-2)+2$$ $$0=-2m+2$$ $$2m=2$$ $$m=1$$

Krok 1. Ustalenie, czy funkcja \(f(x)\) jest rosnąca czy malejąca.
O tym, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca decyduje współczynnik \(a\) stojący przed \(x\). W naszym przypadku współczynnik ten jest dodatni i wynosi \(\frac{1}{2}\), a więc już wiemy, że funkcja jest rosnąca.

Krok 2. Ustalenie przez jaki punkt przechodzi wykres funkcji.
W tym przypadku pomocny będzie współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-6\). Mówi on o tym, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;-6)\).

To oznacza, że prawidłowa jest ostatnia odpowiedź.

Współczynnik kierunkowy \(a\gt0\) oznacza, że funkcja jest rosnąca.
Współczynnik \(b\lt0\) oznacza, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) pod osią \(Ox\).

Obydwa te warunki spełnia jedynie wykres z odpowiedzi \(C\).

Jeżeli współczynnik \(a\) jest większy od zera (a tak wynika z treści zadania) to funkcja liniowa jest na pewno rosnąca. Nie znamy dokładnej wartości współczynnika \(a\), ale już nawet dla \(f(0)\) funkcja przyjmuje wartość równą \(6\), bo \(a\cdot0+6=6\). Z związku z tym skoro funkcja jest rosnąca i \(f(0)=6\), to tym bardziej \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\) oraz \(f(4)\) muszą dać wynik większy od \(6\). To oznacza, że prawidłowo zapisaną zależnością jest tylko ta z pierwszej odpowiedzi.

Teoretycznie możemy do wzoru każdej z funkcji podstawić najpierw współrzędne \(A\), później współrzędne punktu \(B\) i sprawdzić w którym przypadku obydwa równania będą poprawne. Możemy jednak samodzielnie wyznaczyć wzór tej funkcji, tworząc pewien układ równań.

Krok 1. Zapisanie układu równań.
Funkcje liniowe są opisane wzorem ogólnym \(y=ax+b\). Stwórzmy więc dwa równania - w pierwszym podstawimy do tego wzoru współrzędne punktu \(A\), w drugim współrzędne punktu \(B\). Otrzymamy w ten sposób:
\begin{cases} 2=1a+b \\ 5=-2a+b \end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie układu równań i wyznaczenie współczynników \(a\) oraz \(b\).
Odejmując to równanie stronami skrócą nam się współczynniki \(b\), dzięki czemu otrzymamy:
$$2-5=a-(-2a)$$ $$-3=3a$$ $$a=-1$$

Podstawiając wartość \(a=-1\) do jednego z równań wyznaczymy wartość współczynnika \(b\):
$$2=-1+b$$ $$b=3$$

To oznacza, że poszukiwana funkcja ma wzór: \(f(x)=-1x+3\), czyli \(f(x)=-x+3\).

Krok 1. Ustalenie wzoru funkcji \(h(x)\).
Zgodnie z treścią zadania nasza funkcja \(h(x)\) jest iloczynem funkcji \(f(x)\) oraz \(g(x)\), zatem:
$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=(x-2)\cdot(x+4)$$

Powyższy zapis jest już tak naprawdę wzorem naszej funkcji \(h(x)\) w postaci iloczynowej. Możemy też wymnożyć te wyrazy i zapisać wzór w postaci ogólnej, choć nie jest to konieczne:
$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=(x-2)\cdot(x+4)=x^2+2x-8$$

Dzięki postaci ogólnej wiemy już, że funkcja \(h(x)\) jest na pewno parabolą, której ramiona są skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) stojący przed \(x^2\) jest dodatni.

Krok 2. Ustalenie miejsc zerowych funkcji.
Choć w pierwszym kroku zapisaliśmy wzór funkcji \(h(x)\) w postaci ogólnej i śmiało moglibyśmy z niej obliczyć miejsca zerowe za pomocą delty, to jednak łatwiej będzie skorzystać z postaci iloczynowej, czyli ze wzoru \(h(x)=(x-2)(x+4)\). Wystarczy teraz przyrównać wartości w nawiasach do zera, a więc:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+4=0$$ $$x=2 \quad\lor\quad x=-4$$

Krok 3. Wybór właściwego wykresu.
Wiemy, że nasza parabola ma ramiona skierowane ku górze, że jej miejscami zerowymi są \(x=2\) oraz \(x=-4\), a więc bez żadnych wątpliwości jesteśmy w stanie stwierdzić, że poszukiwanym wykresem jest ten z pierwszej odpowiedzi.

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument \(x\) dla którego cała funkcja przyjmuje wartość równą zero. To oznacza, że miejsce zerowe wyliczymy w następujący sposób:
$$-\sqrt{2}x+4=0$$ $$-\sqrt{2}x=-4$$ $$\sqrt{2}x=4 \quad\bigg/:\sqrt{2}$$ $$x=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$

Skoro \(a\gt0\) to funkcja musi być rosnąca.
Skoro \(b\lt0\) to funkcja musi przecinać oś \(Oy\) w ujemnym punkcie (pod osią \(Ox\)).

Obydwa warunki spełnia jedynie wykres zaprezentowany w trzeciej odpowiedzi.

Krok 1. Zapisanie nierówności.
Chcemy się dowiedzieć kiedy funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli kiedy zajdzie następująca nierówność:
$$-\frac{2}{3}x+4\lt0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałej nierówności.
Teraz musimy rozwiązać naszą nierówność, pamiętając o tym by dzieląc lub mnożąc przez liczbę ujemną zmienić znak na przeciwny:
$$-\frac{2}{3}x+4\lt0$$ $$-\frac{2}{3}x\lt-4 \quad\bigg/\cdot(-3)$$ $$2x\gt12$$ $$x\gt6$$

Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać współrzędne punktów przecięcia się wykresów, wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases} y=-x^2+2x+3 \\ y=-x+5 \end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$-x^2+2x+3=-x+5$$ $$-x^2+3x-2=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=3,\;c=-2\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-1)\cdot(-2)=9-8=1$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-1}{2\cdot(-1)}=\frac{-4}{-2}=2$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+1}{2\cdot(-1)}=\frac{-2}{-2}=1$$

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktów przecięcia się wykresów funkcji.
Otrzymaliśmy dwie różne współrzędne \(x\) i jest to sytuacja jak najbardziej poprawna, ponieważ te dwa wykresy przetną się w dwóch miejscach. Obliczmy teraz współrzędne \(y\) dla każdego z punktów. W tym celu podstawmy np. do równania \(y=-x+5\) wyliczone współrzędne \(x\).

Gdy \(x=2\), to:
\(y=-2+5\)
\(y=3\)

Gdy \(x=1\), to:
\(y=-1+5\)
\(y=4\)

To oznacza, że te wykresy przecinają się w punktach \((2;3)\) oraz \((1;4)\).