Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi dziedziny przypisuje dokładnie jedną wartość. Zapisujemy $f:X\to Y$, $y=f(x)$.
Podstawowe pojęcia
Dziedzina — zbiór dopuszczalnych argumentów (np. mianownik $\ne0$, wyrażenie pod pierwiastkiem $\ge0$)
Zbiór wartości — wszystkie przyjmowane wartości
Miejsce zerowe — argument, dla którego $f(x)=0$ (przecięcie z osią $OX$)
Monotoniczność
Funkcja jest rosnąca, gdy dla $x_1\lt x_2$ zachodzi $f(x_1)\lt f(x_2)$, a malejąca, gdy $f(x_1)>f(x_2)$.
Przekształcenia wykresu
$$y=f(x)+q\ :\ \text{przesunięcie o } q \text{ wzdłuż } OY$$
$$y=f(x-p)\ :\ \text{przesunięcie o } p \text{ wzdłuż } OX$$
$$y=-f(x)\ :\ \text{symetria względem } OX$$
$$y=f(-x)\ :\ \text{symetria względem } OY$$
Przesunięcie o wektor $[p,q]$ daje łącznie $y=f(x-p)+q$.
Proporcjonalność odwrotna
$$y=\frac{a}{x},\qquad x\cdot y=a$$
Wykresem jest hiperbola; osie układu są jej asymptotami.
Na co uważać
W zapisie $f(x-p)$ znak jest mylący: $f(x-3)$ przesuwa wykres w prawo o $3$. Przy osi $OY$ jest intuicyjnie: $f(x)+2$ to przesunięcie w górę.
Odczytywanie własności funkcji z wykresu
Co da się odczytać
Wykres jest pełnym opisem funkcji — wystarczy wiedzieć, gdzie patrzeć.
Dziedzina i zbiór wartości
Dziedzina — rzut wykresu na oś $OX$: dla jakich argumentów wykres istnieje
Zbiór wartości — rzut na oś $OY$: jakie wartości funkcja przyjmuje
Kółko puste oznacza, że punkt nie należy do wykresu, pełne — że należy.
Miejsca zerowe
To argumenty, dla których $f(x)=0$ — punkty przecięcia wykresu z osią $OX$. Odczytujemy ich pierwsze współrzędne.
Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0,\,f(0))$ — to nie jest miejsce zerowe.
Znak funkcji
Funkcja jest dodatnia tam, gdzie wykres leży nad osią $OX$, a ujemna tam, gdzie leży pod nią. Odpowiedź podajemy jako przedziały argumentów.
Monotoniczność
rosnąca — im dalej w prawo, tym wyżej: większy argument daje większą wartość
malejąca — im dalej w prawo, tym niżej
stała — wykres poziomy
Monotoniczność zawsze podajemy w przedziałach, nigdy jako sumę przedziałów.
Wartość największa i najmniejsza
Odczytujemy je z osi $OY$ — jako wartości, nie argumenty. Dla $f(x)=-x^2+4$ największa wartość to $4$, osiągana dla $x=0$.
Argumenty spełniające warunek
„Dla jakich $x$ zachodzi $f(x)=2$?” — prowadzimy poziomą prostą $y=2$ i odczytujemy pierwsze współrzędne punktów przecięcia. Rozwiązań może być kilka.
Czy to w ogóle funkcja
Test pionowej prostej: jeśli jakakolwiek prosta pionowa przecina wykres więcej niż raz, to nie jest wykres funkcji — jednemu argumentowi odpowiadałyby dwie wartości.
Parzystość
Wykres symetryczny względem osi $OY$ — funkcja parzysta ($f(-x)=f(x)$). Symetryczny względem początku układu — nieparzysta ($f(-x)=-f(x)$).
Na co uważać
Najczęstsze pomyłki to mylenie argumentu z wartością (miejsce zerowe to $x$, a wartość największa to $y$) oraz podawanie monotoniczności jako sumy przedziałów — funkcja $f(x)=\frac1x$ maleje w $(-\infty,0)$ i osobno w $(0,+\infty)$, ale nie na sumie tych zbiorów.
∑Wzory 1
Miejsce zerowe funkcji liniowej
$$x_0=-\frac{b}{a}\quad(a\neq0)$$
Punkt przecięcia wykresu z osią $Ox$.
Przykład: $f(x)=4x-8$: $x_0=2$.
✍Zadania dodatkowe 34
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Zadanie nr 1
Dana jest funkcja $f(x)=3x-5$. Oblicz $f(4)$.
A$-5$
B$5$
C$7$
D$12$
Obliczenie wartości funkcji polega na wstawieniu liczby w miejsce $x$:
$$f(4)=3\cdot4-5=12-5=7$$
Pułapka: odpowiedź D to wynik po samym pomnożeniu, bez odjęcia $5$.
Odpowiedź: C. $f(4)=7$.
Zadanie nr 2
Dla funkcji $f(x)=x^2-4$ oblicz $f(0)$, $f(3)$ oraz $f(-3)$.
Podstawiamy kolejne argumenty:
$$f(0)=0^2-4=-4$$
$$f(3)=3^2-4=9-4=5$$
$$f(-3)=(-3)^2-4=9-4=5$$
Uwaga na nawias: $(-3)^2=9$, a nie $-9$ — podnosimy do kwadratu całą liczbę ujemną.
Obserwacja: $f(3)=f(-3)$, bo funkcja zależy tylko od $x^2$. Jej wykres jest symetryczny względem osi OY.
Odpowiedź: $f(0)=-4$, $f(3)=5$, $f(-3)=5$.
Zadanie nr 3
Dla funkcji $f(x)=2x+1$ wyznacz argument, dla którego wartość funkcji wynosi $9$.
Tym razem znamy wartość, a szukamy argumentu — układamy równanie $f(x)=9$:
$$2x+1=9$$
Rozwiązujemy:
$$2x=8 \quad\Rightarrow\quad x=4$$
Sprawdzenie: $f(4)=2\cdot4+1=9$ ✔
Odpowiedź: $x=4$.
Zadanie nr 4
Jaka jest dziedzina funkcji $f(x)=\frac{5}{x-3}$?
Awszystkie liczby rzeczywiste
Bwszystkie liczby rzeczywiste oprócz $3$
Cwszystkie liczby rzeczywiste oprócz $0$
Dwszystkie liczby rzeczywiste oprócz $-3$
Mianownik ułamka nie może być zerem, więc wykluczamy argumenty spełniające:
$$x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$
Zatem dziedziną jest zbiór:
$$D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$$
Pułapka ze znakiem: w mianowniku stoi $x-3$, więc wykluczamy $3$, a nie $-3$.
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 5
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\sqrt{x-2}$.
Pierwiastek kwadratowy jest określony tylko dla liczb nieujemnych, więc żądamy:
$$x-2\ge 0$$
Rozwiązujemy nierówność:
$$x\ge 2$$
Dziedzina to przedział:
$$D=\langle 2,\,+\infty)$$
Uwaga: nierówność jest nieostra, bo $\sqrt{0}=0$ jest poprawną wartością — liczba $2$ należy do dziedziny.
Odpowiedź: $D=\langle 2,\,+\infty)$.
Zadanie nr 6
Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x)=4x-12$.
Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero:
$$f(x)=0 \quad\Rightarrow\quad 4x-12=0$$
Rozwiązujemy:
$$4x=12 \quad\Rightarrow\quad x=3$$
Interpretacja geometryczna: wykres przecina oś OX w punkcie $(3,\,0)$.
Odpowiedź: miejsce zerowe to $x=3$.
Zadanie nr 7
Który z podanych przyporządkowań nie jest funkcją?
Akażdemu uczniowi przypisano jego datę urodzenia
Bkażdej liczbie przypisano jej kwadrat
Ckażdemu miastu przypisano liczbę mieszkańców
Dkażdej liczbie przypisano liczby od niej większe
Funkcja przypisuje każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość.
W przypadku D jednej liczbie odpowiada nieskończenie wiele liczb większych — na przykład liczbie $2$ odpowiadają $3$, $4$, $5$ i tak dalej. To narusza definicję funkcji.
Pozostałe przypadki są funkcjami: uczeń ma jedną datę urodzenia, liczba jeden kwadrat, a miasto jedną liczbę mieszkańców.
Uwaga: funkcja może przypisać tę samą wartość różnym argumentom — to dozwolone. Zabronione jest tylko dwie wartości dla jednego argumentu.
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 8
Funkcja $f$ ma dziedzinę $\langle -3,\,5\rangle$. Na wykresie funkcja rośnie na przedziale $\langle -3,\,1\rangle$, a maleje na $\langle 1,\,5\rangle$. Podaj argument, dla którego funkcja osiąga wartość największą, i uzasadnij.
Analiza przebiegu. Idąc od lewej krawędzi dziedziny, wartości rosną aż do $x=1$, a potem zaczynają maleć.
Punkt $x=1$ jest więc szczytem wykresu — na lewo od niego wartości są mniejsze (bo funkcja dopiero rosła), a na prawo również mniejsze (bo zaczęła maleć).
Wniosek: wartość największa jest osiągana dla $x=1$ i wynosi $f(1)$.
Gdzie jest wartość najmniejsza: na jednym z końców dziedziny — trzeba porównać $f(-3)$ z $f(5)$, bo z samej monotoniczności tego nie rozstrzygniemy.
Odpowiedź: wartość największa dla $x=1$.
Zadanie nr 9
Funkcja $f(x)=-2x+6$ jest:
Amalejąca w całej dziedzinie
Brosnąca w całej dziedzinie
Cstała
Drosnąca, a potem malejąca
O monotoniczności funkcji liniowej decyduje współczynnik kierunkowy $a$:
Krok 2 — gdzie wartości są ujemne. Parabola ma ramiona skierowane w górę ($a=1>0$), więc leży pod osią OX pomiędzy miejscami zerowymi:
$$f(x)\lt 0 \iff x\in(-3,\,3)$$
Sprawdzenie: $f(0)=-9\lt 0$ — punkt $0$ leży w tym przedziale ✔, a $f(4)=16-9=7>0$ — punkt $4$ leży poza nim ✔
Odpowiedź: miejsca zerowe $x=-3$ i $x=3$; wartości ujemne dla $x\in(-3,\,3)$.
Zadanie nr 13
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$.
Wykluczamy argumenty zerujące mianownik:
$$x^2-4=0$$
Rozkładamy na czynniki:
$$(x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-2$$
Zatem dziedziną jest:
$$D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$$
Uwaga: licznik nie ma tu żadnego znaczenia — dziedzinę ogranicza wyłącznie mianownik. Trzeba też wykluczyć obie liczby, nie tylko jedną.
Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$.
Zadanie nr 14
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=x^2+2$ jest:
A$\mathbb{R}$
B$\langle 0,\,+\infty)$
C$\langle 2,\,+\infty)$
D$(2,\,+\infty)$
Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny:
$$x^2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^2+2\ge 2$$
Najmniejsza wartość $2$ jest osiągana dla $x=0$, więc należy do zbioru wartości — dlatego przedział jest domknięty od lewej.
Różnica między C a D: odpowiedź D wyklucza liczbę $2$, a przecież $f(0)=2$.
Odpowiedź: C. $ZW=\langle 2,\,+\infty)$.
Zadanie nr 15
Sprawdź, czy punkty $A=(1,\,4)$ i $B=(-2,\,-5)$ należą do wykresu funkcji $f(x)=3x+1$.
Punkt $A=(1,\,4)$. Obliczamy wartość funkcji dla $x=1$:
$$f(1)=3\cdot1+1=4$$
Wynik zgadza się z drugą współrzędną punktu, więc $A$ należy do wykresu.
Punkt $B=(-2,\,-5)$. Obliczamy wartość dla $x=-2$:
$$f(-2)=3\cdot(-2)+1=-6+1=-5$$
Również się zgadza, więc $B$ także należy do wykresu.
Wniosek dodatkowy: oba punkty leżą na tej samej prostej — można to wykorzystać do jej narysowania, bo dwa punkty wyznaczają prostą.
Odpowiedź: oba punkty należą do wykresu.
Zadanie nr 16
Wykres funkcji przecina oś OY w punkcie o współrzędnych:
A$(0,\,f(0))$
B$(f(0),\,0)$
C$(0,\,0)$ zawsze
Dw miejscu zerowym funkcji
Na osi OY pierwsza współrzędna jest zawsze równa zeru, więc punkt przecięcia ma postać $(0,\,y)$, gdzie $y$ to wartość funkcji dla argumentu $0$:
$$y=f(0)$$
Nie mylić z miejscem zerowym — to punkt przecięcia z osią OX, gdzie $f(x)=0$. Są to dwie różne rzeczy.
Przykład: dla $f(x)=2x+6$ wykres przecina OY w $(0,\,6)$, a OX w $(-3,\,0)$.
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 17
Funkcja $f$ przyporządkowuje liczbie naturalnej resztę z dzielenia tej liczby przez $3$. Oblicz $f(7)$, $f(9)$ i $f(11)$ oraz podaj zbiór wartości tej funkcji.
Obliczamy reszty:
$$7=3\cdot2+1 \quad\Rightarrow\quad f(7)=1$$
$$9=3\cdot3+0 \quad\Rightarrow\quad f(9)=0$$
$$11=3\cdot3+2 \quad\Rightarrow\quad f(11)=2$$
Zbiór wartości. Reszta z dzielenia przez $3$ jest zawsze mniejsza od $3$ i nieujemna, więc możliwe wyniki to:
$$ZW=\{0,\,1,\,2\}$$
Ciekawostka: ta funkcja przypisuje tę samą wartość nieskończenie wielu argumentom (np. $f(3)=f(6)=f(9)=0$) — to całkowicie zgodne z definicją funkcji.
Koszt wynajmu roweru to $15$ zł opłaty stałej plus $4$ zł za każdą godzinę. Zapisz koszt jako funkcję liczby godzin, oblicz koszt wynajmu na $5$ godzin i sprawdź, na ile godzin wystarczy $51$ zł.
Krok 1 — wzór funkcji. Niech $x$ oznacza liczbę godzin:
$$K(x)=15+4x$$
Krok 2 — koszt za $5$ godzin:
$$K(5)=15+4\cdot5=15+20=35\ \text{zł}$$
Krok 3 — na ile godzin wystarczy $51$ zł. Rozwiązujemy równanie $K(x)=51$:
Uwaga na dziedzinę: liczba godzin nie może być ujemna, więc sensowna dziedzina to $x\ge 0$.
Odpowiedź: $K(x)=15+4x$; za $5$ godzin zapłacimy $35$ zł; $51$ zł wystarczy na $9$ godzin.
Zadanie nr 19
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x)=(x-2)(x+5)$ i podaj współrzędne punktu przecięcia jej wykresu z osią OY.
Krok 1 — miejsca zerowe. Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik:
$$x-2=0 \ \text{ lub } \ x+5=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-5$$
Postać iloczynowa jest tu bardzo wygodna — miejsca zerowe odczytujemy niemal wprost, pamiętając o zmianie znaku.
Krok 2 — przecięcie z osią OY. Podstawiamy $x=0$:
$$f(0)=(0-2)(0+5)=(-2)\cdot5=-10$$
Punkt przecięcia to $(0,\,-10)$.
Odpowiedź: miejsca zerowe $x=2$ i $x=-5$; wykres przecina oś OY w punkcie $(0,\,-10)$.
Zadanie nr 20
Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{x+3}{x-1}$. Wyznacz jej dziedzinę, oblicz $f(4)$ i sprawdź, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość $0$.
Funkcja $f(x)=-x^2+4$. Podaj jej wartość największą i argument, w którym jest osiągana.
Krok 1 — parabola o ramionach w dół (współczynnik przy $x^2$ ujemny), więc ma maksimum w wierzchołku.
Krok 2 — wierzchołek. Dla $f(x)=-x^2+4$ wierzchołek jest w $x=0$:
$$f(0)=4$$
Krok 3 — wniosek. Wartość największa to $4$, osiągana w $x=0$.
Zbiór wartości: $(-\infty,\ 4\rangle$.
Odpowiedź: max $4$ w $x=0$.
📄Zadania z arkuszy 86
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 12 · Matura 2026
Funkcja \(f\) jest określona następująco:
\(f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{dla } x\in[-4,2] \\ -x+5 & \text{dla } x\in(2,5)\end{cases}\)
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.
Zadanie 12.1. (2pkt) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Rozwiązaniem równania \(f(x)=3\) jest liczba \(.......\)
2. Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \([2, 3]\) jest równa \(.......\)
Zadanie 12.2. (2pkt) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(.......\)
2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości większe od 1, jest przedział \(.......\)
Zadanie 12.1.
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Musimy sprawdzić, kiedy funkcja przyjmuje wartość równą \(3\). Najprościej będzie ocenić to bezpośrednio z wykresu - widzimy, że wartość równa \(3\) jest osiągana jedynie dla argumentu \(x=1\) i taka też będzie odpowiedź do tego zadania.
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Bezpośrednio z wykresu odczytujemy, że najwyższa wartość (we wskazanym przedziale) jest przyjmowana dla arumentu \(x=2\) i wynosi ona dokładnie \(4\).
Zadanie 12.2.
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Widzimy, że najmniejszą wartość jaką przyjmuje nasza funkcja jest \(-2\), z kolei najwyższą jest \(4\), zatem zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \([-2,4]\).
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Argumenty odczytujemy z osi iksów. Chcemy się dowiedzieć kiedy wartości przyjmowane przez funkcję są większe od \(1\) i widzimy, że tak się dzieje w przedziale \((-1,4)\).
Ponieważ $\Delta \lt 0$ i współczynnik przy $m^2$ jest dodatni ($a=1>0$), trójmian $m^2+3m+4$ jest zawsze dodatni.
Nierówność $m^2+3m+4 \lt 0$ nie ma rozwiązań.
Zbiór rozwiązań: $\emptyset$ (brak rozwiązań).
Zadanie nr 11 · Matura 2025
Funkcja $f$ jest określona następująco:
$$f(x) = \begin{cases} x+5 & \text{dla } x \in [-4,-2] \\ 3 & \text{dla } x \in (-2,2] \\ -3x+9 & \text{dla } x \in (2,4) \end{cases}$$
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały:
Dziedziną funkcji $f$ jest przedział …
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział …
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział …
Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x)=3$ jest przedział …
1. Dziedzina: $[-4, 4)$ — od $-4$ do $4$ (bez 4, bo ostatni przedział to $(2,4)$ — otwarty z prawej).
2. Zbiór wartości:
Na $[-4,-2]$: $f(x)=x+5$; $f(-4)=1$, $f(-2)=3$. Wartości: $[1,3]$.
Na $(-2,2]$: $f(x)=3$. Wartości: $\{3\}$.
Na $(2,4)$: $f(x)=-3x+9$; $f(2^+)=3$, $f(4^-)=-3$. Wartości: $(-3,3)$.
Zbiór wartości: $(-3,3]$.
3. Argumenty, dla których $f(x)>0$:
Na $[-4,-2]$: $x+5>0 \Rightarrow x>-5$ — cały odcinek: $[-4,-2]$.
Na $(-2,2]$: $f(x)=3>0$ — cały odcinek: $(-2,2]$.
Na $(2,4)$: $-3x+9>0 \Rightarrow x\lt 3$ — przedział $(2,3)$.
Odpowiedź: $[-4,3)$.
4. Równanie $f(x)=3$:
Na $[-4,-2]$: $x+5=3 \Rightarrow x=-2$ — punkt $\{-2\}$.
Na $(-2,2]$: $f(x)=3$ dla całego przedziału $(-2,2]$.
Odpowiedź: $[-2,2]$.
Zadanie nr 12.1 · Matura 2025
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment paraboli — wykresu funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3, 6)$. Parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 3)$.
Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
Postać kanoniczna: $f(x) = a(x-p)^2+q$ z wierzchołkiem $(p,q)=(3,6)$:
$$f(x) = a(x-3)^2 + 6$$
Podstawiamy punkt $(0,3)$:
$$f(0) = a(0-3)^2 + 6 = 9a + 6 = 3$$
$$9a = -3 \Rightarrow a = -\frac{1}{3}$$
$$\boxed{f(x) = -\frac{1}{3}(x-3)^2 + 6}$$
Zadanie nr 12.2 · Matura 2025
Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu
A$x=3$
B$x=-3$
C$y=6$
D$y=-6$
Oś symetrii paraboli w postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ to prosta $x=p$.
Wierzchołek ma $p=3$, więc oś symetrii to $x=3$.
Zadanie nr 12.3 · Matura 2025
Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x) = f(x) - 3$. Liczby $x_1$ oraz $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $g$.
Alternatywnie: dla $g(x)=a(x-p)^2+q$ suma pierwiastków $= 2p = 2\cdot3=6$.
Zadanie nr 13 · Matura 2025
Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(3-m)x-4$. Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego dla $m$ równego
A$m=-3$
B$m=0$
C$m=3$
D$m=4$
Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ nie ma miejsca zerowego tylko gdy $a = 0$ (jest funkcją stałą różną od zera).
Warunek: $3-m=0 \Rightarrow m=3$.
Sprawdzenie: dla $m=3$: $f(x)=-4 \neq 0$ dla żadnego $x$. ✓
Zadanie nr 31 · Matura 2025
Rozważamy wszystkie prostopadłościany, w których krawędź $AE$ ma długość $4$ oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $A$ jest równa $15$.
Niech $S(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $S$. Oblicz długość krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.
Oznaczenia: krawędzie z wierzchołka $A$: $AE=4$, $AB=x$, $AD=y$.
Warunek: $4 + x + y = 15$, więc $y = 11 - x$.
Dziedzina: $x > 0$ i $y = 11-x > 0$, więc $x \in (0, 11)$.
Pole całkowite:
$$S(x) = 2(AE \cdot AB + AB \cdot AD + AE \cdot AD) = 2(4x + xy + 4y)$$
Funkcja \(f\) jest określona następująco:
\(f(x)=\begin{cases} x+5 \text{ dla } x\in\langle-4,-2\rangle \\ 3 \text{ dla } x\in(-2,2\rangle \\ -3x+9 \text{ dla } x\in(2,4) \end{cases}\)
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych na rysunku poniżej:
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(..........\)
2. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(..........\)
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodanie jest przedział \(..........\)
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=3\) jest przedział \(..........\)
Krok 1. Wyznaczenie dziedziny funkcji \(f\).
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(Ox\). Z wykresu wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od argumentu \(x=-4\) aż do argumentu \(x=4\) (ale bez czwórki, bo kropka jest niezamalowana). Stąd też zapisalibyśmy, że dziedziną funkcji jest przedział \(\langle-4,4)\)
Krok 2. Wyznaczenie zbioru wartości funkcji \(f\).
Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\). Z wykresu wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od \(y=-3\) (ale bez minus trójki, bo kropka jest niezamalowana), aż do \(y=3\). W takim razie zbiorem wartości będzie przedział \((-3,3\rangle\)
Krok 3. Wyznaczenie zbioru argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie.
Wartości dodatnie są przyjmowane dla argumentów od \(-4\) aż do \(x=3\) (ale bez trójki, bo dla \(x=3\) mamy wartość równą \(0\)). Stąd też poszukiwanym przedziałem będzie \(\langle-4,3)\).
Krok 4. Wyznaczenie rozwiązań równania \(f(x)=3\).
Musimy ustalić dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(3\). Tu bardzo dużą pułapką jest fakt, że teoretycznie ze wzoru wynika, że ta wartość jest przyjmowana dla \(x\in(-2,2\rangle\) i to jest prawda, ale ta wartość jest także przyjmowana dla \(x=-2\), co też należałoby uwzględnić. Stąd też moglibyśmy zapisać, że zbiorem rozwiązań naszego równania będzie przedział \(\langle-2,2\rangle\).
Zadanie nr 18 · Matura 2023
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x^2+bx-5\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Współczynnik \(b\) jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Funkcja \(f\):
A. ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe,
B. ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe,
C. nie ma rzeczywistych miejsc zerowych,
ponieważ
1. \(b^2+60\gt0\)
2. \(b^2+60=0\)
3. \(b^2+60\lt0\)
O tym, ile miejsc zerowych ma dana funkcja, decyduje tak zwana delta, którą obliczamy rozwiązując równania kwadratowe. Wypiszmy zatem współczynniki funkcji \(f(x)=3x^2+bx-5\) i obliczmy deltę:
Współczynniki: \(a=3,\;b=b,\;c=-5\)
$$Δ=b^2-4ac=b^2-4\cdot3\cdot(-5)=b^2-(-60)=b^2+60$$
Z treści zadania wynika, że \(b\) jest liczbą mniejszą od zera. Taka liczba, podniesiona do kwadratu, daje wynik dodatni. W związku z tym cała delta zapisana jako \(b^2+60\) jest na pewno dodatnia. Dodatnia delta oznacza, że mamy dwa miejsca zerowe. Tak więc ta funkcja ma dwa miejsca zerowe, ponieważ \(b^2+60\gt0\).
Zadanie nr 12 · Matura 2023
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek)
Zadanie 12.1. (1pkt) Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór:
Zadanie 12.2. (1pkt) Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) jest równa:
Zadanie 12.3. (1pkt) Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze:
Zadanie 12.1.
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(OX\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości dla argumentów od \(x=-6\) (włącznie z tym argumentem, bo kropka jest zamalowana), aż do \(x=5\) (także z tym argumentem, bo kropka zamalowana). To prowadzi nas do wniosku, że dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(\langle-6;5\rangle\).
Zadanie 12.2.
Spoglądając na wykres możemy stwierdzić, że w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) największą przyjmowaną wartością jest \(y=2\).
Zadanie 12.3.
Widzimy, że funkcja maleje od argumentu \(x=2\) aż do argumentu \(x=5\), więc moglibyśmy zapisać, że funkcja maleje dla argumentów \(x\) należących do zbioru \(\langle2;5\rangle\).
Zadanie nr 12 · Matura 2023
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek)
Zadanie 1.
Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór:
A. \(\langle-6;5\rangle\)
B. \((-6;5)\)
C. \((-3;5\rangle\)
D. \(\langle-3;5\rangle\)
Zadanie 2.
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) jest równa:
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(5\)
Zadanie 3.
Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze:
A. \(\langle-6;-3)\)
B. \(\langle-3;1\rangle\)
C. \((1;2\rangle\)
D. \(\langle2;5\rangle\)
Rozwiązanie 1.
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(OX\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości dla argumentów od \(x=6\) (włącznie z tym argumentem, bo kropka jest zamalowana), aż do \(x=5\) (także z tym argumentem, bo kropka zamalowana). To prowadzi nas do wniosku, że dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(\langle-6;5\rangle\).
Rozwiązanie 2.
Spoglądając na wykres możemy stwierdzić, że w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) największą przyjmowaną wartością jest \(y=2\).
Rozwiązanie 3.
Widzimy, że funkcja maleje od argumentu \(x=2\) aż do argumentu \(x=5\), więc moglibyśmy zapisać, że funkcja maleje dla argumentów \(x\) należących do zbioru \(\langle2;5\rangle\).
Zadanie nr 11 · Matura 2023
W układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).
Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór:
A\(\langle-6;5\rangle\)
B\((-6;5)\)
C\((-3;5\rangle\)
D\(\langle-3;5\rangle\)
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(OX\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości dla argumentów od \(x=6\) (włącznie z tym argumentem, bo kropka jest zamalowana), aż do \(x=5\) (także z tym argumentem, bo kropka zamalowana). To prowadzi nas do wniosku, że dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(\langle-6;5\rangle\).
Zadanie nr 12 · Matura 2023
W układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).
Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze:
A\(\langle-6;-3)\)
B\(\langle-3;1\rangle\)
C\((1;2\rangle\)
D\(\langle2;5\rangle\)
Widzimy, że funkcja maleje od argumentu \(x=2\) aż do argumentu \(x=5\), więc moglibyśmy zapisać, że funkcja maleje dla argumentów \(x\) należących do zbioru \(\langle2;5\rangle\).
Zadanie nr 13 · Matura 2023
W układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) jest równa:
A\(0\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(5\)
Spoglądając na wykres możemy stwierdzić, że w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) największą przyjmowaną wartością jest \(y=2\).
Zadanie nr 8 · Matura 2022
Punkt \(A=(1;2)\) należy do wykresu funkcji \(f\), określonej wzorem \(f(x)=(m^2-3)x^3-m^2+m+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy:
A\(m=-4\)
B\(m=-2\)
C\(m=0\)
D\(m=4\)
Podstawiając współrzędne punktu \(A\) do wzoru funkcji, otrzymamy:
$$2=(m^2-3)\cdot1^3-m^2+m+1$$
$$2=(m^2-3)\cdot1-m^2+m+1$$
$$2=m^2-3-m^2+m+1$$
$$2=-2+m$$
$$m=4$$
Zadanie nr 10 · Próbny 2022
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\dfrac{x^2-x-3}{x^2-9}\) dla wszystkich liczb rzeczywistych różnych od \(3\) i \(-3\). Wartość funkcji \(f(-\sqrt{3})\) jest równa:
A\(-\frac{\sqrt{3}}{6}\)
B\(\frac{\sqrt{3}+2}{8}\)
C\(\frac{6-\sqrt{3}}{12}\)
D\(\frac{6+\sqrt{3}}{12}\)
Musimy obliczyć wartość \(f(-\sqrt{3})\), czyli do wzoru funkcji musimy po prostu podstawić \(-\sqrt{3}\):
$$f(-\sqrt{3})=\frac{(-\sqrt{3})^2-(-\sqrt{3})-3}{(-\sqrt{3})^2-9}$$
$$f(-\sqrt{3})=\frac{3+\sqrt{3}-3}{3-9}$$
$$f(-\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{-6}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$$
Zadanie nr 10 · Próbny 2022
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej dla każdego \(x\in\langle-5, 4)\). Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.
Zadanie 1. Zapisz w wykropkowanym miejscu zbiór wartości funkcji \(f\).
$$.....................$$
Zadanie 2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Dla każdego argumentu z przedziału \((-4, -2)\) funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne.
2. Funkcja \(f\) ma trzy miejsca zerowe.
Zadanie 3. Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4, 0\rangle\) jest równa:
A. \((-4)\)
B. \((-3)\)
C. \((-2)\)
D. \(0\)
Odpowiedź 1.
Chcąc ustalić zbiór wartości, musimy spojrzeć jakie wartości przyjmuje nasza funkcja, czyli zerkamy na oś \(OY\). Widzimy wyraźnie, że funkcja przyjmuje wartości od \(-4\) do \(4\) włącznie, czyli zbiorem wartości będzie przedział \(Y=\langle-4;4\rangle\).
Odpowiedź 2.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Patrząc się na wykres widzimy, że dla wartości od mniej więcej argumentu \(x=-2\frac{1}{3}\) funkcja zaczyna przyjmować wartości dodatnie, a więc zdanie jest fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Miejsca zerowe to argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Mówiąc bardzo obrazowo, musimy spojrzeć ile razy wykres przecina oś \(OX\). Widzimy, że mamy faktycznie trzy miejsca zerowe (bez \(x=4\), bo tutaj kropka jest niezamalowana), czyli zdanie jest prawdą.
Odpowiedź 3.
Patrząc się na wykres widzimy, że najmniejsza wartość funkcji w danym przedziale jest przyjmowana dla argumentu \(x=-3\) i wynosi ona \(y=-2\).
Zadanie nr 10 · Matura 2022
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{4}{x}-4\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\). Liczba \(f(2)-f(-2)\) jest równa:
A\((-8)\)
B\((-4)\)
C\(4\)
D\(0\)
Celem zadania jest obliczenie wartości \(f(2)\) oraz \(f(-2)\), a następnie obliczenie różnicy między otrzymanymi wartościami. W związku z tym:
$$f(2)=\frac{4}{2}-4$$
$$f(2)=2-4$$
$$f(2)=-2$$
To oznacza, że różnica \(f(2)-f(-2)\) będzie równa:
$$f(2)-f(-2)=-2-(-6)=-2+6=4$$
Zadanie nr 13 · Matura 2022
Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji \(y=f(x)\).
W przedziale \((-4,6)\) równanie \(f(x)=-1\):
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma dokładnie trzy rozwiązania
Zapis \(f(x)=-1\) oznacza, że szukamy argumentów \(x\) dla których funkcja przyjmuje wartość \(-1\). Zerkamy więc na wykres funkcji (biorąc pod uwagę wskazany przedział) i szukamy miejsc, w których funkcja przyjmuje wartość \(-1\). Widzimy, że takie miejsca są dwa: pierwsze jest dla \(x\approx-3,5\), a drugie dla \(x=4,5\). Równanie \(f(x)=-1\) ma więc dwa rozwiązania.
Zadanie nr 31 · Matura 2022
Funkcja kwadratowa \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe \(2\). Ponadto \(f(0)=8\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli funkcja kwadratowa ma tylko jedno miejsce zerowe równe \(2\), a w dodatku \(f(0)=8\), to wykres funkcji musi wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:
Krok 2. Zapisanie równania w postaci kanonicznej.
Z analizy rysunku wynika, że współrzędne wierzchołka paraboli to \(p=2\) oraz \(q=0\). Znając współrzędne wierzchołka, możemy przystąpić do wyznaczenia wzoru funkcji w postaci kanonicznej, zatem:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
$$f(x)=a(x-2)^2+0$$
$$f(x)=a(x-2)^2$$
Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) i zapisanie wzoru funkcji.
Do pełnego wzoru brakuje nam tylko znajomości współczynnika kierunkowego \(a\). Aby poznać jego wartość, wystarczy do wyznaczonego wzoru \(f(x)=a(x-2)^2\) podstawić współrzędne jednego z punktów, który należy do wykresu - w naszym przypadku będzie to punkt o współrzędnych \((0;8)\), zatem:
$$8=a(0-2)^2$$
$$8=a\cdot(-2)^2$$
$$8=4a$$
$$a=2$$
To oznacza, że wzorem tej funkcji będzie \(f(x)=2\cdot(x-2)^2\) i taka też jest odpowiedź do tego zadania.
Tak na marginesie - nie jest to konieczne, ale możemy też zapisać sobie ten wzór w postaci ogólnej (treść zadania nie precyzuje tego w jakiej postaci ma być podany wzór). W tym celu należy wykonać potęgowanie nawiasu (pamiętając przy okazji o wzorach skróconego mnożenia). Wyglądałoby to w następujący sposób:
$$f(x)=2\cdot(x-2)^2$$
$$f(x)=2\cdot(x^2-4x+4)$$
$$f(x)=2x^2-8x+8$$
Zadanie nr 9 · Matura 2022
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Iloczyn \(f(-3)\cdot f(0)\cdot f(4)\) jest równy:
A\((-12)\)
B\((-8)\)
C\(0\)
D\(16\)
Z wykresu musimy odczytać wartości, jakie przyjmuje funkcja dla \(x=-3\), \(x=0\) oraz \(x=4\). Widzimy, że:
$$f(-3)=-2$$
$$f(0)=1$$
$$f(4)=4$$
Iloczyn ten będzie więc równy:
$$(-2)\cdot1\cdot4=-8$$
Zadanie nr 9 · Próbny 2021
Na wykresie przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Wskaż zdanie prawdziwe.
ADziedziną funkcji \(f\) jest przedział \((-4,5)\).
BFunkcja \(f\) ma dwa miejsca zerowe.
CFunkcja \(f\) dla argumentu \(1\) przyjmuje wartość \((-1)\).
DZbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((-4, 5\rangle\).
Sprawdźmy poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. - to nieprawda, gdyż dziedziną tej funkcji jest przedział \((-3,5\rangle\). Pamiętaj, że dziedzinę odczytujemy z osi \(OX\).
Odp. B. - to nieprawda, gdyż ta funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe i jest nim \(x=4\).
Odp. C. - to nieprawda, gdyż dla argumentu \(x=1\) funkcja przyjmuje wartość \(y=3\).
Odp. D. - to prawda, faktycznie zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \((-4, 5\rangle\).
Prawidłowa jest więc jedynie ostatnia odpowiedź.
Zadanie nr 10 · Próbny 2021
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{8x-7}{2x^2+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(1\) jest równa:
A\(\frac{1}{5}\)
B\(\frac{1}{3}\)
C\(1\)
D\(2\)
Chcemy sprawdzić jaka jest wartość tej funkcji dla argumentu \(x=1\), zatem musimy podstawić właśnie \(x=1\) do wzoru tej funkcji:
$$f(1)=\frac{8\cdot1-7}{2\cdot1^2+1}$$
$$f(1)=\frac{8-7}{2+1}$$
$$f(1)=\frac{1}{3}$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2021
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest:
A\((-4,-2)\cup(-2,3\rangle\)
B\((-4,3\rangle\)
C\((-3,1)\cup(1,9\rangle\)
D\(\langle-4,3\rangle\)
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(OY\). Widzimy, że mimo "przerw" funkcja przyjmuje wartości z przedziału \(\langle-4,3\rangle\).
Zadanie nr 15 · Próbny 2021
Zbiorem wartości funkcji, której wykres przedstawiono na rysunku, jest zbiór:
A\((-6,3)\)
B\((-6,6\rangle\)
C\(\langle-6,3)\)
D\(\langle-6,3\rangle\)
Zbiór wartości odczytujemy z osi \(OY\). Widzimy wyraźnie, że funkcja przyjmuje wartości od \(-6\), aż do \(3\). Ustalmy jeszcze tylko nawiasy. Tutaj największą pułapką jest niezamalowana kropka przy wartości \(-6\). Owszem, dla argumentu \(x=-2\) mamy niezamalowaną kropkę, ale ta funkcja jak najbardziej przyjmuje wartość chociażby dla \(x=-1\) czy też \(x=0\). Przy wartości równej \(3\) tego problemu już nie ma, tutaj nawias będzie otwarty. Z tego względu zbiorem wartości będzie przedział \(\langle-6, 3)\).
Zadanie nr 35 · Próbny 2021
Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_{1}=-2\frac{1}{2}\) i \(x_{2}=1\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A(-3,8)\). Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(f\).
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znamy dwa miejsca zerowe, więc możemy przystąpić do zapisania funkcji w postaci iloczynowej. Dla przypomnienia, postać iloczynowa wygląda następująco:
$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$
Podstawiając teraz podane miejsca zerowe otrzymamy:
$$y=a\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1)$$
$$8=a\cdot\left(-3+2\frac{1}{2}\right)(-3-1)$$
$$8=a\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-4)$$
$$8=2a$$
$$a=4$$
To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem:
$$y=4\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1)$$
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej.
Chcemy teraz zapisać wzór funkcji w postaci ogólnej (umożliwi nam to potem poznanie najmniejszej wartości funkcji). W tym celu musimy wymnożyć przez siebie nawiasy i uporządkować zapis:
$$y=4\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1)$$
$$y=(4x+10)(x-1)$$
$$y=4x^2-4x+10x-10$$
$$y=4x^2+6x-10$$
Krok 3. Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\).
Wykres naszej funkcji jest parabolą, która ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a=4\)). Skoro tak, to swoją najmniejszą wartość ta funkcja będzie przyjmować w wierzchołku:
Nas interesuje poznanie najmniejszej wartości, czyli szukamy wartości współrzędnej \(q\). Korzystając zatem ze wzoru na tą współrzędną możemy zapisać, że:
$$q=-\frac{\Delta}{4a}$$
$$q=-\frac{(b^2-4ac)}{4a}$$
$$q=-\frac{(6^2-4\cdot4\cdot(-10))}{4\cdot4}$$
$$q=-\frac{(36+160)}{16}$$
$$q=-\frac{196}{16}$$
$$q=-12\frac{1}{4}$$
Tak na marginesie, można też byłoby obliczyć wartość współrzędnej \(p\) (ją się wylicza nieco szybciej), a następnie można byłoby sprawdzić jaką wartość przyjmuje funkcja dla tego argumentu. Współrzędną \(p\) obliczylibyśmy w następujący sposób:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$p=\frac{-6}{2\cdot4}$$
$$p=\frac{-6}{8}$$
$$p=-\frac{3}{4}$$
I teraz podstawiając wartość \(x=-\frac{3}{4}\) do wzoru \(y=4x^2+6x-10\), otrzymalibyśmy:
$$q=4\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)^2+6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-10$$
$$q=4\cdot\frac{9}{16}+6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-10$$
$$q=\frac{9}{4}+\left(-\frac{18}{4}\right)-10$$
$$q=-\frac{9}{4}-10$$
$$q=-12\frac{1}{4}$$
Zadanie nr 9 · Matura 2021
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej w zbiorze \((-1,7)\).
Wskaż zdanie prawdziwe.
AFunkcja \(f\) ma trzy miejsca zerowe
BZbiorem wartości funkcji \(f\) jest \(\langle-1,1)\)
CFunkcja \(f\) osiąga wartość największą równą \(1\)
DFunkcja \(f\) osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru \((-1,0)\)
Przeanalizujmy po kolei każdą z proponowanych odpowiedzi.
Odp A. - to zdanie jest nieprawdą, gdyż nasza funkcja ma tylko dwa miejsca zerowe: \(x=1\) oraz \(x=4,5\). Gdyby ostatnia kropka była zamalowana, to wtedy miejscem zerowym byłoby jeszcze \(x=7\).
Odp. B - to zdanie jest nieprawdą, gdyż nie zgadza się tutaj nawias przy liczbie \(1\). Owszem, po lewej stronie wykresu kropka jest niezamalowana, co mogłoby sugerować że wartość równa \(1\) nie jest przyjmowana, ale przecież wartość równa \(1\) jest przyjmowana chociażby dla argumentów \(x=5\) czy \(x=6\). Zbiorem wartości będzie więc tutaj \(\langle-1, 1\rangle\)
Odp. C. - to zdanie jest prawdą, bowiem faktycznie największą wartością przyjmowaną przez tę funkcję jest \(1\) (ta wartość jest przyjmowana dla wszystkich argumentów od \(x=5\) aż do \(x=6\) włącznie).
Odp. D. - to zdanie jest nieprawdą, gdyż ujemne wartości są przyjmowane dla argumentów ze zbioru \((1;4,5)\)
Zadanie nr 10 · Matura 2021
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^2}{2x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\). Wtedy dla argumentu \(x=\sqrt{3}-1\) wartość funkcji \(f\) jest równa:
A\(\frac{1}{\sqrt{3}-1}\)
B\(-1\)
C\(1\)
D\(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\)
Podstawiając \(x=\sqrt{3}-1\) do podanego wzoru funkcji, otrzymamy:
$$f(\sqrt{3}-1)=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2\cdot(\sqrt{3}-1)-2}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}-2-2}=$$
$$=\frac{4-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-4}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-4+2\sqrt{3}}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-(4-2\sqrt{3})}=-1$$
Zadanie nr 7 · Matura 2020
Funkcje liniowe f i g określone wzorami \(f(x)=-4x+12\) i \(g(x)=-2x+k+3\) mają wspólne miejsce zerowe. Stąd wynika, że:
A\(k=-6\)
B\(k=-3\)
C\(k=3\)
D\(k=6\)
Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego.
Wiemy, że te dwie funkcje mają jednakowe miejsce zerowe. Możemy je wyliczyć, bazując na funkcji \(f(x)\). Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Możemy zatem zapisać, że:
$$-4x+12=0$$
$$-4x=-12$$
$$x=3$$
To oznacza, że miejscem zerowym funkcji \(f\) (a tym samym także funkcji \(g\)) będzie \(x=3\).
Krok 2. Obliczenie wartości parametru \(k\).
Wiemy już, że nasza funkcja \(g\) ma miejsce zerowe \(x=3\). Możemy zatem zapisać, że:
$$-2x+k+3=0$$
$$-2\cdot3+k+3=0$$
$$-6+k+3=0$$
$$k-3=0$$
$$k=3$$
Zadanie nr 32 · Próbny 2020
Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_{1}=-2\) i \(x_{2}=6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znając miejsca zerowe funkcji możemy zapisać ją w postaci iloczynowej:
$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$
$$f(x)=a(x-(-2))(x-6)$$
$$f(x)=a(x+2)(x-6)$$
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).
W postaci iloczynowej brakuje nam jeszcze tylko znajomości współczynnika kierunkowego \(a\). Obliczymy go podstawiając do wyznaczonej postaci współrzędne punktu \(A=(1,-5)\). Wtedy:
$$-5=a(1+2)(1-6)$$
$$-5=a\cdot3\cdot(-5)$$
$$-5=-15a$$
$$a=\frac{1}{3}$$
To oznacza, że nasza funkcja w postaci iloczynowej przyjmuje wzór: \(f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6)\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli (czyli współrzędnej \(p\)).
Nasza funkcja ma współczynnik kierunkowy równy \(a=\frac{1}{3}\), a to oznacza, że ramiona paraboli będą skierowane do góry. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że minimalną wartość funkcja osiągnie w swoim wierzchołku. Znając dwa miejsca zerowe możemy bez problemu wyznaczyć współrzędną iksową wierzchołka paraboli, bowiem wierzchołek jest zawsze pośrodku tych miejsc zerowych. Zatem:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$
$$p=\frac{-2+6}{2}$$
$$p=\frac{4}{2}$$
$$p=2$$
Krok 4. Obliczenie najmniejszej wartości funkcji.
Wiemy już, że funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku i wiemy że osiąga ten wierzchołek dla \(x=2\). W związku z tym możemy podstawić \(x=2\) do wzoru funkcji, który wyznaczyliśmy w drugim kroku i otrzymamy poszukiwaną najmniejszą wartość funkcji:
$$f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6)$$
$$f(2)=\frac{1}{3}(2+2)(2-6)$$
$$f(2)=\frac{1}{3}\cdot4\cdot(-4)$$
$$f(2)=\frac{1}{3}\cdot(-16)$$
$$f(2)=-\frac{16}{3}$$
Zadanie nr 11 · Próbny 2020
Wartości ujemnych nie przyjmuje funkcja \(f\) określona wzorem:
A\(f(x)=-x^2+1\)
B\(f(x)=x^2-1\)
C\(f(x)=-x^2-1\)
D\(f(x)=x^2+1\)
Powinniśmy kojarzyć, że funkcja \(f(x)=x^2\) przyjmuje tylko wartości dodatnie lub równe zero. Wynika to oczywiście z tego, że każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu przyjmuje wartość dodatnią lub równą zero.
Jeżeli przyjrzymy się podanym funkcjom, to zauważymy, że każda z nich jest pewnym przekształceniem funkcji \(f(x)=x^2\). Funkcją, która nie przyjmie wartości ujemnych będzie więc na pewno \(f(x)=x^2+1\), bowiem jest to nasza standardowa funkcja \(f(x)=x^2\), która jest jeszcze podniesiona o jedną jednostkę do góry. Ta funkcja będzie więc na pewno przyjmować jedynie wartości dodatnie.
Zadanie nr 10 · Matura 2020
Funkcja \(f\) każdej liczbie naturalnej \(n\ge1\) przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez \(4\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest:
A\(\{0,1,2,3\}\)
B\(\{1,2,3,4\}\)
C\(\{0,1,2,3,4\}\)
D\(\{0,2\}\)
Dzieląc liczbę naturalną przez \(4\) możemy otrzymać resztę równą \(0\), \(1\), \(2\) lub \(3\). Przykładowo:
$$20:4=5\;r.0$$
$$21:4=5\;r.1$$
$$22:4=5\;r.2$$
$$23:4=5\;r.3$$
To oznacza, że zbiorem wartości funkcji \(f\) jest \(\{0,1,2,3\}\).
Zadanie nr 12 · Próbny 2019
Funkcja liniowa \(f(x)=-3x+2b\) i funkcja liniowa \(g(x)=\frac{1}{2}x+2\) mają to samo miejsce zerowe. Wynika stąd, że:
A\(b=12\)
B\(b=-12\)
C\(b=6\)
D\(b=-6\)
Skoro te dwie funkcje mają to samo miejsce zerowe, to znaczy, że w tym punkcie się po prostu te dwie funkcje przecinają. Miejsce przecięcia się dwóch prostych wyznaczamy budując układ równań.
Trudność tego zadania polega na tym, że musimy policzyć nie tyle miejsce przecięcia się prostych, co brakujący współczynnik \(b\) pierwszej funkcji. Jakbyśmy zbudowali układ równań ze wzorów \(y=-3x+2b\) oraz \(y=\frac{1}{2}x+2\) to mielibyśmy aż trzy niewiadome. Takiego układu równań nie bylibyśmy w stanie rozwiązać. I tu z pomocą przechodzi nam właśnie informacja o tym, że te funkcje przecinają się w miejscu zerowym. To oznacza, że miejscem przecięcia się tych dwóch funkcji będzie punkt \(W=(x;0)\). Możemy zatem od razu podstawić \(y=0\), tworząc następujący układ równań:
\begin{cases} \frac{1}{2}x+2=0 \quad\bigg/\cdot2 \\ -3x+2b=0 \end{cases}
\begin{cases} x+4=0 \\ -3x+2b=0 \end{cases}
\begin{cases} x=-4 \\ -3x+2b=0 \end{cases}
Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$-3\cdot(-4)+2b=0$$
$$12+2b=0$$
$$2b=-12$$
$$b=-6$$
Zadanie nr 15 · Próbny 2019
Dany jest wykres funkcji \(y=f(x)\).
Zbiorem wartości funkcji \(f(x)\) jest przedział:
A\((-2,2\rangle\)
B\((-2,2)\)
C\(\langle-2,2\rangle\)
D\(\langle-2,2)\)
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Tutaj mamy klasyczną pułapkę związaną z odczytywaniem tych wartości, bowiem patrząc się na kropki mogłoby się wydawać, że zbiorem wartości funkcji jest przedział \((-2;2)\). Jednak jak się przypatrzymy tej funkcji nieco bliżej, to zauważymy, że dla argumentów większych od zera aż do jedynki wartość funkcji jest równa \(2\). To oznacza, że zbiorem wartości funkcji jest przedział \((-2,2\rangle\).
Zadanie nr 5 · Matura 2019
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(a+1)x+11\), gdzie \(a\) to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe \(x=\frac{3}{4}\). Stąd wynika, że:
A\(a=-\frac{41}{3}\)
B\(a=\frac{41}{3}\)
C\(a=-\frac{47}{3}\)
D\(a=\frac{47}{3}\)
Miejsce zerowe tej funkcji to \(x=\frac{3}{4}\). W związku z tym podstawiając tego iksa do wzoru funkcji, powinniśmy otrzymać wartość równą \(0\) (na tym właśnie polega istota miejsc zerowych, że po ich podstawieniu wartość funkcji przyjmuje wynik równy \(0\)). Musimy zatem rozwiązać proste równanie:
$$(a+1)\cdot\frac{3}{4}+11=0$$
$$\frac{3}{4}a+\frac{3}{4}+11=0$$
$$\frac{3}{4}a+11\frac{3}{4}=0$$
$$\frac{3}{4}a+\frac{47}{4}=0$$
$$\frac{3}{4}a=-\frac{47}{4} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3}$$
$$a=-\frac{47}{3}$$
Zadanie nr 8 · Matura 2019
Rysunek przedstawia wykres funkcji \(f\) zbudowany z \(6\) odcinków, przy czym punkty \(B=(2,-1)\) i \(C=(4,-1)\) należą do wykresu funkcji.
Równanie \(f(x)=-1\) ma:
Adokładnie jedno rozwiązanie
Bdokładnie dwa rozwiązania
Cdokładnie trzy rozwiązania
Dnieskończenie wiele rozwiązań
Naszym zadaniem jest tak naprawdę sprawdzenie dla jakich wartości \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(-1\). Z rysunku wynika, że ta wartość jest otrzymywana dla \(x=-2\), \(x=-\frac{1}{2}\) oraz dla \(x\in\langle2;4\rangle\). I to właśnie przez ten ostatni przedział mamy nieskończenie wiele rozwiązań równania \(f(x)=-1\), bo dla nieskończonej liczby argumentów nasza funkcja przyjmuje wartość równą \(1\).
Zadanie nr 8 · Matura 2019
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,-4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A\((-\infty,0\rangle\)
B\(\langle0,4\rangle\)
C\(\langle-4,+\infty)\)
D\(\langle4,+\infty)\)
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Najmniejszą wartością jest \(-4\) (wierzchołek paraboli), a największą wartością jest \(+\infty\). Zatem zbiorem wartości tej funkcji będzie przedział: \(\langle-4,+\infty)\).
Zadanie nr 9 · Matura 2019
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,-4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle1, 4\rangle\) jest równa:
A\(-3\)
B\(-4\)
C\(4\)
D\(0\)
Z rysunku wynika, że we wskazanym przedziale największą wartość funkcja osiąga dla argumentu \(x=4\) i jest to wartość równa \(0\) (jest to punkt na osi iksów).
Zadanie nr 10 · Matura 2019
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,-4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu:
A\(y=-4\)
B\(x=-4\)
C\(y=2\)
D\(x=2\)
Osią symetrii będzie prosta, która będzie przechodzić przez wierzchołek paraboli (między ramionami paraboli) i będzie to prosta o równaniu \(x=2\).
Zadanie nr 33 · Matura 2018
Ze zbioru \(A=\{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}\) losujemy liczbę \(a\), natomiast ze zbioru \(B=\{-1, 0, 1, 2\}\) losujemy liczbę \(b\). Te liczby są odpowiednio współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja \(f\) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Z pierwszego zbioru możemy wylosować jedną z sześciu liczb. Z drugiego zbioru możemy wylosować jedną z czterech liczb. W związku zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć:
$$|Ω|=6\cdot4=24$$
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Musimy teraz ustalić jaka para liczb będzie tworzyć zdarzenie sprzyjające, zatem musimy ustalić które liczby ze zbioru \(A\) oraz \(B\) pasują nam do warunków zadania. Aby funkcja była rosnąca, to współczynnik kierunkowy \(a\) musi być dodatni. To oznacza, że z pierwszego zbioru interesują nas tylko liczby \(1,2,3\).
Teraz musimy ustalić jakie liczby interesują nas ze zbioru \(B\), a wpływ na to mieć będzie informacja mówiąca o tym, iż funkcja ma mieć dodatnie miejsca zerowe. Co to oznacza, że miejsca zerowe są dodatnie? Jeżeli funkcja przecina oś iksów dla np. \(x=-2\), to znaczy że miejsce zerowe jest ujemne (taki przypadek nas nie interesuje). Jeżeli funkcja przecina oś iksów dla np. \(x=3\) to wtedy miejsce zerowe jest dodatnie. Jak więc ustalić kiedy funkcja osiąga dodatnie miejsce zerowe?
Aby funkcja liniowa (która jest rosnąca) miała dodatnie miejsce zerowe dodatnie, to musi przecinać oś igreków w ujemnej wartości (czyli pod osią iksów), nie ma innej możliwości. O miejscu przecięcia się z osią igreków informuje nas współczynnik \(b\) i już po tej prostej analizie wiemy, że musi on być ujemny. To by oznaczało, że ze zbioru \(B\) interesowałaby nas jedynie wartość \(-1\).
Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy tej własności, to możemy podejść do zagadnienia z innej strony. Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji (jakiekolwiek) to musimy przyrównać wzór funkcji do zera. Zatem:
$$ax+b=0$$
$$ax=-b$$
$$x=\frac{-b}{a}$$
My musimy mieć to miejsce zerowe większe od zera, czyli interesuje nas sytuacja w której:
$$\frac{-b}{a}\gt0$$
Skoro w naszym przypadku \(a\) jest dodatnie, to aby wyrażenie \(\frac{-b}{a}\) było większe od zera, to w liczniku musimy mieć także liczbę dodatnią. To oznacza, że \(b\) musi być liczbą ujemną. Z podanych liczb w zbiorze \(B\) tylko liczba \(-1\) spełnia ten warunek.
Skoro więc ze zbioru \(A\) interesują nas liczby \(1,2,3\), a ze zbioru \(B\) interesuje nas jedynie \(-1\), to zdarzeniami sprzyjającymi będą:
$$(1;-1), (2;-1), (3;-1)$$
Są to więc tylko trzy pary liczb, zatem \(|A|=3\).
Funkcja \(f\) przyjmuje największą wartość dla \(x\) równego:
A\(-3\)
B\(0\)
C\(3\)
D\(4\)
Z rysunku możemy odczytać, że największą wartość funkcja przyjmuje dla \(x=3\) i ta wartość jest równa \(y=4\). Przy okazji warto pamiętać, że niezamalowana kropka oznacza, że dany punkt nie należy do wykresu funkcji, a zamalowana oznacza, że punkt do tej funkcji należy.
Zadanie nr 9 · Matura 2018
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+2)^{-1}(x-3)^2\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq-2\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(2\) jest równa:
A\(-8\)
B\(-\frac{1}{2}\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(8\)
Aby dowiedzieć się jaką wartość funkcja przyjmuje dla argumentu \(2\), wystarczy podstawić do wzoru funkcji \(x=2\). Otrzymamy wtedy:
$$f(x)=-2(x+2)^{-1}\cdot(x-3)^2$$
$$f(2)=-2(2+2)^{-1}\cdot(2-3)^2$$
$$f(2)=-2\cdot4^{-1}\cdot(-1)^2$$
$$f(2)=-2\cdot\frac{1}{4}\cdot1$$
$$f(2)=-\frac{2}{4}$$
$$f(2)=-\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 32 · Matura 2017
Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_{1}=-2\) i \(x_{2}=6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znając miejsca zerowe funkcji możemy zapisać ją w postaci iloczynowej:
$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$
$$f(x)=a(x-(-2))(x-6)$$
$$f(x)=a(x+2)(x-6)$$
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).
W postaci iloczynowej brakuje nam jeszcze tylko znajomości współczynnika kierunkowego \(a\). Obliczymy go podstawiając do wyznaczonej postaci współrzędne punktu \(A=(1,-5)\). Wtedy:
$$-5=a(1+2)(1-6)$$
$$-5=a\cdot3\cdot(-5)$$
$$-5=-15a$$
$$a=\frac{1}{3}$$
To oznacza, że nasza funkcja w postaci iloczynowej przyjmuje wzór: \(f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6)\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli (czyli współrzędnej \(p\)).
Nasza funkcja ma współczynnik kierunkowy równy \(a=\frac{1}{3}\), a to oznacza, że ramiona paraboli będą skierowane do góry. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że minimalną wartość funkcja osiągnie w swoim wierzchołku. Znając dwa miejsca zerowe możemy bez problemu wyznaczyć współrzędną iksową wierzchołka paraboli, bowiem wierzchołek jest zawsze pośrodku tych miejsc zerowych. Zatem:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$
$$p=\frac{-2+6}{2}$$
$$p=\frac{4}{2}$$
$$p=2$$
Krok 4. Obliczenie najmniejszej wartości funkcji.
Wiemy już, że funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku i wiemy że osiąga ten wierzchołek dla \(x=2\). W związku z tym możemy podstawić \(x=2\) do wzoru funkcji, który wyznaczyliśmy w drugim kroku i otrzymamy poszukiwaną najmniejszą wartość funkcji:
$$f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6)$$
$$f(2)=\frac{1}{3}(2+2)(2-6)$$
$$f(2)=\frac{1}{3}\cdot4\cdot(-4)$$
$$f(2)=\frac{1}{3}\cdot(-16)$$
$$f(2)=-\frac{16}{3}$$
Zadanie nr 9 · Próbny 2017
Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) jest malejąca i ma ujemne miejsce zerowe. Dla takiej funkcji prawdziwa jest nierówność:
A\(a+b\gt0\)
B\(a+b\lt0\)
C\(ab=0\)
D\(ab\lt0\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie omawianą sytuację:
Krok 2. Odczytanie wartości współczynników \(a\) oraz \(b\)
Funkcja jest malejąca, zatem współczynnik \(a\) jest liczbą ujemną, czyli \(a\lt0\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o miejscu przecięcia się wykresu z osią igreków. Widzimy wyraźnie, że funkcja przecina oś igreków w ujemnej wartości, czyli \(b\lt0\).
Krok 3. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Wiemy już, że zarówno \(a\) jak i \(b\) są liczbami ujemnymi. Przeanalizujmy teraz każdą z odpowiedzi:
Odp. A. \(a+b\gt0\) - to nie może być prawda, bo suma dwóch liczb ujemnych na pewno będzie mniejsza od zera.
Odp. B. \(a+b\lt0\) - to prawda, bo suma dwóch liczb ujemnych na pewno będzie mniejsza od zera.
Odp. C. \(ab=0\) - to nie jest prawda, bo iloczyn dwóch liczb ujemnych da wynik dodatni.
Odp. D. \(ab\lt0\) - to nie jest prawda, bo iloczyn dwóch liczb ujemnych da wynik dodatni.
Zadanie nr 6 · Próbny 2017
Dana jest funkcja określona wzorem \(y=x^2-4\sqrt{3}x+12\). Trzecia potęga jedynego miejsca zerowego tej funkcji to liczba:
A\(8\sqrt{3}\)
B\(24\)
C\(24\sqrt{3}\)
D\(12\)
Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji.
Musimy znaleźć miejsce zerowe tej funkcji (przy okazji możemy wyczytać, że będzie tylko jedno takie miejsce), zatem musimy rozwiązać równanie:
$$x^2-4\sqrt{3}x+12=0$$
Teraz możemy przejść do obliczenia delty, choć jeśli jesteśmy spostrzegawczy to wyjątkowo tutaj liczenie delty możemy pominąć. Dlaczego? Skoro jest jedno miejsce zerowe, to delta na pewno wyjdzie równa \(0\) (wiemy to bez liczenia). Możemy więc od razu przejść do obliczenia miejsca zerowego ze wzoru \(x=\frac{-b}{2a}\). Jeżeli jednak tego nie dostrzegliśmy, to możemy to zadanie rozwiązać jak każde inne:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4\sqrt{3},\;c=12\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot12=16\cdot3-48=48-48=0$$
Otrzymaliśmy deltę równą \(0\) zatem mamy tylko jedno rozwiązanie równania kwadratowego:
$$x_{1}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4\sqrt{3})}{2\cdot1}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$
Krok 2. Podniesienie wyniku do potęgi trzeciej.
Zgodnie z treścią zadania to jeszcze nie jest koniec rozwiązania, bo proszą nas o podanie trzeciej potęgi obliczonej przed chwilą liczby, zatem:
$$(2\sqrt{3})^3=2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=8\cdot3\sqrt{3}=24\sqrt{3}$$
Zadanie nr 27 · Próbny 2017
Wyznacz współczynniki \(b,c\) we wzorze funkcji \(f(x)=x^2+bx+c\), jeśli wiesz, że miejsca zerowe tej funkcji są równe \((-4)\) i \(2\).
Krok 1. Zapisanie wzoru w postaci iloczynowej.
Podana w treści zadania funkcja jest przedstawiona w postaci ogólnej w której brakuje współczynników \(b\) oraz \(c\). Jedyne co wiemy z podanej postaci ogólnej, to że \(a=1\) (bo przed \(x^2\) nie stoi żadna inna liczba).
Dlatego też skorzystamy z informacji na temat miejsc zerowych i zapiszemy wzór tej funkcji w postaci iloczynowej:
$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$
$$f(x)=1\cdot(x-(-4))(x-2)$$
$$f(x)=1\cdot(x-(-4))(x-2)$$
$$f(x)=(x+4)(x-2)$$
Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci ogólnej.
Wymnażając teraz poszczególne nawiasy otrzymamy postać ogólną:
$$f(x)=x^2-2x+4x-8$$
$$f(x)=x^2+2x-8$$
Mając postać ogólną możemy teraz stwierdzić, że \(b=2\) oraz \(c=-8\).
Zadanie nr 12 · Matura 2017
Punkt \(A=(2017,0)\) należy do wykresu funkcji \(f\) określonej wzorem:
A\(f(x)=(x+2017)^2\)
B\(f(x)=x^2-2017\)
C\(f(x)=(x+2017)(x-2017)\)
D\(f(x)=x^2+2017\)
Skoro punkt \(A=(2017;0)\) należy do naszej funkcji, to podstawiając do wzoru funkcji \(x=2017\) powinniśmy otrzymać wynik \(y=0\). Wyraźnie widać, że w funkcji z pierwszej odpowiedzi tak się nie stanie, bo podstawiając \(x=2017\) otrzymamy olbrzymi wynik wynik typu \(4034^2\). Podobnie stanie się w funkcji z odpowiedzi B, tutaj otrzymamy wartość \(2017^2-2017\) i analogicznie będzie w funkcji z odpowiedzi D gdzie będziemy mieć \(2017^2+2017\). Jedynie w funkcji z odpowiedzi C otrzymamy wartość równą \(0\), a to dlatego że w drugim nawiasie będziemy mieć \(0\), a więc tam otrzymamy \(4034\cdot0=0\).
Zadanie nr 10 · Matura 2016
Jeśli funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+2x+3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba \(a\) spełnia warunek:
A\(a\lt-1\)
B\(-1\le a\lt0\)
C\(0\le a\lt\frac{1}{3}\)
D\(a\gt\frac{1}{3}\)
Skoro funkcja nie ma miejsc zerowych, to na pewno \(Δ\lt0\). Zanim skorzystamy z tej informacji to spróbujmy obliczyć tę deltę tak jak zazwyczaj robimy to przy równaniach i nierównościach kwadratowych:
Krok 2. Obliczenie wartości jakie przyjmuje parametr \(a\).
Skoro delta musi być mniejsza od zera, to obliczona przed chwilą wartość \(4-12a\) będzie mniejsza od zera. W ten oto sposób wyznaczymy przedział wartości parametru \(a\):
$$4-12a\lt0$$
$$-12a\lt-4$$
$$12a\gt4$$
$$a\gt\frac{1}{3}$$
(Podczas rozwiązywania tej nierówności pamiętaj o zmianie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną!)
Zadanie nr 9 · Próbny 2016
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Najmniejszą wartością funkcji \(g(x)=f(-x)\) w przedziale \(\langle-4,-1\rangle\) jest liczba:
A\(-2\)
B\(-1\)
C\(0\)
D\(2\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Funkcja \(f(-x)\) jest tak naprawdę odbiciem lustrzanym (względem osi igreków) funkcji \(f(x)\). Możemy więc sobie narysować taką funkcję i odczytywać z niej to co jest nam potrzebne:
Krok 2. Odczytanie najmniejszej wartości.
Wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Interesują nas jedynie wartości przyjmowane dla argumentów z przedziału \(\langle-4,-1\rangle\), a w nim funkcja przyjmuje najmniejszą wartość równą \(0\) (dla \(x=-4\)).
Zadanie nr 29 · Próbny 2016
Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe. Jednym z nich jest liczba \(-3\). Wierzchołek paraboli, będącej wykresem tej funkcji, znajduje się w punkcie \((-1,-8)\). Wyznacz wzór tej funkcji.
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
W naszym przypadku \(W=(-1,-8)\) zatem:
$$f(x)=a(x-(-1))^2+(-8)$$
$$f(x)=a(x+1)^2-8$$
Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\).
Do wyznaczenia współczynnika \(a\) wykorzystamy informację o miejscu zerowym tej funkcji. Skoro dla \(x=-3\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\) (bo \(x=-3\) jest miejscem zerowym), to znaczy że:
$$a\cdot(-3+1)^2-8=0$$
$$a\cdot(-2)^2-8=0$$
$$4a-8=0$$
$$4a=8$$
$$a=2$$
Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji.
W treści zadania nie mamy podanej informacji w jakiej postaci ma to być wzór. Niemalże od ręki jesteśmy w stanie podać ten wzór w postaci kanonicznej, bo przed chwilą obliczyliśmy że \(a=2\), zatem:
$$f(x)=2\cdot(x+1)^2-8$$
Gdybyśmy chcieli podać ten wzór w postaci ogólnej (czyli tej najpopularniejszej), to należałoby wykonać potęgowanie:
$$f(x)=2\cdot(x+1)^2-8$$
$$f(x)=2\cdot(x^2+2x+1)-8$$
$$f(x)=2x^2+4x+2-8$$
$$f(x)=2x^2+4x-6$$
Zadanie nr 9 · Matura 2016
Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy liczba \(f(-\sqrt{2})\) jest równa:
A\(-\frac{8}{5}\)
B\(-\frac{4\sqrt{2}}{3}\)
C\(-\frac{4\sqrt{2}}{5}\)
D\(-\frac{4}{3}\)
Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie do wzoru funkcji wartości \(x=-\sqrt{2}\) i sprawdzenie jaką wartość otrzymamy, zatem:
$$f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1}$$
$$f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-\sqrt{2})^3}{(-\sqrt{2})^4+1}$$
$$f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-2\sqrt{2})}{4+1}$$
$$f(-\sqrt{2})=\frac{-4\sqrt{2}}{5}=-\frac{4\sqrt{2}}{5}$$
Zadanie nr 10 · Matura 2016
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A\((-\infty;-2\rangle\)
B\(\langle-2;4\rangle\)
C\(\langle4;+\infty)\)
D\((-\infty;9\rangle\)
Funkcja ta dla argumentu \(x=1\) przyjmuje swoją najwyższą wartość równą \(9\). Ramiona paraboli są skierowane do dołu, a to oznacza, że wartości funkcji dążą do \(-\infty\). Zbiorem wartości tej funkcji jest więc przedział \((-\infty;9\rangle\).
Zadanie nr 11 · Matura 2016
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-1,2\rangle\) jest równa:
A\(2\)
B\(5\)
C\(8\)
D\(9\)
Analizując wykres widzimy, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą \(5\) dla \(x=-1\).
Zadanie nr 12 · Matura 2016
Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:
A\(-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\)
B\(-\frac{3}{5}\)
C\(\frac{3}{5}\)
D\(\frac{\sqrt[3]{3}}{2}\)
Aby rozwiązać to zadanie musimy do wzoru podstawić \(x=-\sqrt[3]{3}\), zatem:
$$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-\sqrt[3]{3})^3}{(-\sqrt[3]{3})^6+1}$$
$$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-3)}{(-3)^2+1}$$
$$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{9+1}$$
$$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{10}$$
$$f(-\sqrt[3]{3})=-\frac{3}{5}$$
Zadanie nr 10 · Matura 2015
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-8}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\). Wówczas wartość funkcji \(f(\sqrt{2})\) jest równa:
A\(2-4\sqrt{2}\)
B\(1-2\sqrt{2}\)
C\(1+2\sqrt{2}\)
D\(2+4\sqrt{2}\)
Aby obliczyć wartość \(f(\sqrt{2})\) wystarczy tak naprawdę podstawić \(x=\sqrt{2}\), zatem:
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}$$
Nie możemy skrócić ot tak pierwiastków, bo w liczniku mamy odejmowanie. Można za to pokusić się o np. usunięcie niewymierności z mianownika:
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{8}{\sqrt{2}}$$
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}-\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot2}{2}-\frac{8\sqrt{2}}{2}$$
$$f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}$$
Zadanie nr 9 · Matura 2015
Miejsce zerowe funkcji liniowej \(f(x)=x+3m\) jest większe od \(2\) dla każdej liczby \(m\) spełniającej warunek:
A\(m\lt-\frac{2}{3}\)
B\(-\frac{2}{3}\lt m\lt\frac{1}{3}\)
C\(\frac{1}{3}\lt m\lt1\)
D\(m\gt1\)
Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji.
Na początek sprawdźmy kiedy funkcja przyjmuje jakiekolwiek miejsca zerowe, czyli kiedy \(x+3m\) jest równe zero:
$$x+3m=0$$
$$x=-3m$$
Krok 2. Ustalenie kiedy miejsce zerowe jest większe od \(2\).
Teraz musimy sprawdzić kiedy argument funkcji dla którego przyjmowane jest to miejsce zerowe jest większy od \(2\), czyli:
$$-3m\gt2 \quad\bigg/\cdot-\frac{1}{3}$$
$$m\lt-\frac{2}{3}$$
Pamiętaj, że dzieląc lub mnożąc nierówność przez liczby ujemne zmieniamy znak nierówności.
Zadanie nr 8 · Matura 2015
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest:
A\((-2;2)\)
B\(\langle-2;2)\)
C\(\langle-2;2\rangle\)
D\((-2;2\rangle\)
To zadanie jest wbrew pozorom bardzo podchwytliwe. Patrząc na wykres odruchowo chcielibyśmy zaznaczyć przedział \((-2;2)\), bo mamy niezamalowane kropki, które sugerowałyby nawiasy otwarte. Niestety jest to błędna odpowiedź, a prawidłowym przedziałem jest \((-2;2\rangle\). Dlaczego, skoro kropka przy wartości \(y=2\) jest niezamalowana? A to dlatego, że funkcja owszem nie przyjmuje wartości \(y=2\) dla \(x=0\), ale przyjmuje wartość \(y=2\) dla np. \(x=1\) lub \(x=\frac{1}{2}\).
Zadanie nr 10 · Matura 2015
Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=2x+b\) ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa \(g(x)=-3x+4\). Stąd wynika, że:
A\(b=4\)
B\(b=-\frac{3}{2}\)
C\(b=-\frac{8}{3}\)
D\(b=\frac{4}{3}\)
Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(g(x)\).
Aby wyznaczyć miejsce zerowe musimy sprawdzić dla jakiego argumentu \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), czyli:
$$-3x+4=0$$
$$-3x=-4$$
$$x=\frac{4}{3}$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Skoro obydwie funkcje mają takie samo miejsce zerowe, to znaczy że po podstawieniu do funkcji \(f(x)\) argumentu \(x=\frac{4}{3}\) powinniśmy otrzymać wartość równą \(0\), zatem:
$$2x+b=0$$
$$2\cdot\frac{4}{3}+b=0$$
$$\frac{8}{3}+b=0$$
$$b=-\frac{8}{3}$$
Zadanie nr 29 · Matura 2015
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Funkcja \(h\) określona jest dla \(x\in\langle-3,5\rangle\) wzorem \(h(x)=f(x)+q\), gdzie \(q\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji \(h\) jest liczba \(x_{0}=-1\).
a) Wyznacz \(q\).
b) Podaj wszystkie pozostałe miejsca zerowe funkcji \(h\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie jak musi wyglądać nasza funkcja \(h(x)\) wiedząc, że jest ona przesuniętą postacią funkcji \(f(x)\) w taki sposób, że miejscem zerowym tej funkcji jest teraz \(x=-1\).
Krok 2. Określenie wartości \(q\).
Wykres funkcji \(h(x)\) trzeba było przesunąć o trzy jednostki do dołu, zatem:
$$h(x)=f(x)+q$$
$$h(x)=f(x)-3$$
$$\text{zatem:} q=-3$$
Krok 3. Odczytanie wszystkich miejsc zerowych.
Z rysunku możemy odczytać pozostałe miejsca zerowe tej funkcji. Oprócz \(x=-1\) miejscami zerowymi są także \(x=1\) oraz \(x=3\).
Zadanie nr 9 · Matura 2014
Największą wartością funkcji \(f\) jest:
A\(3\)
B\(0\)
C\(-3\)
D\(8\)
Zbiór wartości funkcji (a tym samym największą wartość funkcji) odczytujemy z osi \(y\). Krótko mówiąc - szukamy współrzędnej igrekowej punktu, który jest położony najwyżej na wykresie. Tą wartością będzie: \(y_{max}=3\).
Zadanie nr 12 · Matura 2014
Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że:
A\(a\gt0\) i \(b\gt0\)
B\(a\lt0\) i \(b\lt0\)
C\(a\lt0\) i \(b\gt0\)
D\(a\gt0\) i \(b\lt0\)
Skoro funkcja liniowa ma być rosnąca, to na pewno \(a\gt0\).
Wiemy też, że funkcja ta ma dodatnie miejsce zerowe, musi więc wyglądać mniej więcej w taki sposób:
Widzimy wyraźnie, że skoro funkcja ma dodatnie miejsce zerowe i jest jednocześnie rosnąca, to na pewno przecina oś \(Oy\) w wartości ujemnej, czyli pod osią \(Ox\). To oznacza, że współczynnik \(b\lt0\).
Prawidłowa jest zatem odpowiedź \(a\gt0\) i \(b\lt0\).
Zadanie nr 2 · Próbny 2014
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=\begin{cases} x^2-1\quad\text{ dla } x\in (-\infty,-2\rangle\\ -\frac{1}{3}x+1\quad\text{ dla } x\in(-2,3)\\ 2x-8\quad\text{ dla } x\in\langle3,+\infty) \end{cases}\).
Miejscem zerowym tej funkcji jest:
A\(-1\)
B\(1\)
C\(3\)
D\(4\)
Powyższa funkcja składa się tak jakby z trzech wzorów/części, które obowiązują dla trzech różnych przedziałów. Naszym zadaniem jest więc przyrównanie do zera każdej z części i sprawdzenie, czy otrzymany wynik mieści się w przedziale - jeśli tak, to będzie to miejsce zerowe funkcji.
Krok 1. Sprawdzenie pierwszej części wzoru.
$$x^2-1=0$$
$$x^2=1$$
$$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$
Wartości \(x=-1\) oraz \(x=1\) nie mieszczą się w przedziale \((-\infty,-2\rangle\), zatem nie są to miejsca zerowe naszej funkcji.
Krok 2. Sprawdzenie drugiej części wzoru.
$$-\frac{1}{3}x+1=0$$
$$-\frac{1}{3}x=-1$$
$$x=3$$
Wartość \(x=3\) nie mieści się w przedziale \((-2,3)\), zatem nie jest to miejsce zerowe naszej funkcji.
Krok 3. Sprawdzenie trzeciej części wzoru.
$$2x-8=0$$
$$2x=8$$
$$x=4$$
Wartość \(x=4\) mieści się w przedziale \(\langle3,+\infty)\), zatem jest to nasze miejsce zerowe.
Zadanie nr 2 · Próbny 2014
Ilość miejsc zerowych funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\begin{cases} 2x+4\quad \text{ dla } x\in (-\infty,-1 \rangle\\ x^2-1\quad \text{ dla } x\in (-1 ,3)\\ x+5\quad \text{ dla } x\in \langle 3,+\infty) \end{cases}\) wynosi:
A\(4\)
B\(3\)
C\(2\)
D\(1\)
Nasza funkcja składa się tak jakby z trzech wzorów, które obowiązują dla trzech różnych przedziałów. Musimy więc każdy z tych wzorów przyrównać do zera i sprawdzić, czy otrzymany wynik mieści się w przedziale - jeśli tak, to będzie to miejsce zerowe funkcji.
Krok 1. Sprawdzenie pierwszej części wzoru.
$$2x+4=0$$
$$2x=-4$$
$$x=-2$$
Ta wartosć mieści się w przedziale \((-\infty,-1\rangle\), zatem \(x=-2\) jest miejscem zerowym.
Krok 2. Sprawdzenie drugiej części wzoru.
$$x^2-1=0$$
$$x^2=1$$
$$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$
Wartość \(x=-1\) nie mieści się w przedziale \((-1,3)\), za to drugie rozwiązanie \(x=1\) się w tym przedziale mieści, czyli tylko \(x=1\) jest miejscem zerowym.
Krok 3. Sprawdzenie trzeciej części wzoru.
$$x+5=0$$
$$x=-5$$
Wartość \(x=-5\) nie mieści się w przedziale \(\langle3,+\infty)\), zatem nie jest ona miejscem zerowym.
Krok 4. Obliczenie liczby miejsc zerowych.
Z naszym obliczeń wynika zatem, że tylko \(x=-2\) oraz \(x=1\) są miejscami zerowymi, zatem ta funkcja ma dwa miejsca zerowe.
Zadanie nr 29 · Matura 2014
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\), który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem \(y=\frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\).
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji \(f\) są większe od \(0\).
b) Podaj miejsce zerowe funkcji \(g\) określonej wzorem \(g(x)=f(x-3)\).
Krok 1. Podanie pożądanego zbioru argumentów.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe od zera tylko dla \(x\in(2;3)\).
Krok 2. Podanie miejsca zerowego dla funkcji \(g(x)=f(x-3)\).
Nasza funkcja \(f(x)\) ma tylko jedno miejsce zerowe i jest to \(x=3\). Przesunięcie tej funkcji o trzy jednostki w prawo (a tak będzie wyglądać funkcja \(g(x)\)) sprawi, że miejsce zerowe nadal będzie jedno i tym razem będzie to \(x=6\).
Zadanie nr 5 · Matura 2013
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x}{x-1}\) dla \(x\neq1\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(x=2\) jest równa:
A\(2\)
B\(-4\)
C\(4\)
D\(-2\)
Zgodnie z treścią zadania musimy podstawić do wzoru wartość \(x=2\). W ten sposób wyznaczymy poszukiwaną wartość funkcji.
$$f(2)=\frac{2\cdot2}{2-1}$$
$$f(2)=\frac{4}{1}$$
$$f(2)=4$$
Zadanie nr 25 · Matura 2013
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(y=f(x)\).
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-1,1\rangle\) jest równa:
A\(4\)
B\(3\)
C\(2\)
D\(1\)
W tym zadaniu jest mała pułapka, bo musimy zwracać uwagę tylko i wyłącznie na przedział \(\langle-1,1\rangle\), a nie na cały wykres funkcji! Zbiór wartości i tym samym największą wartość funkcji odczytujemy z osi \(y\) (krótko mówiąc: będzie to najwyżej położony punkt). W naszym przypadku w przedziale \(\langle-1,1\rangle\) funkcja przyjmuje najwyższą wartość równą \(3\).
Zadanie nr 8 · Matura 2013
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A\(\langle-3;5\rangle\)
B\(\langle-6;7\rangle\)
C\(\langle0;6\rangle\)
D\(\langle-5;8\rangle\)
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(y\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości od \(-3\) do \(5\), zatem poszukiwanym przedziałem jest \(\langle-3;5\rangle\).
Zadanie nr 9 · Matura 2013
Przedziałem, w którym funkcja \(f\) przyjmuje tylko wartości ujemne, jest:
A\(\langle5;0\rangle\)
B\((5;7\rangle\)
C\(\langle0;7\rangle\)
D\(\langle-6;5\rangle\)
Szukamy takich argumentów, dla których wykres funkcji znalazł się pod osią \(Ox\). Wyraźnie widzimy, że funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne w przedziale \((5;7\rangle\).
A dlaczego przed wartością \(5\) znalazł się nawias otwarty, a nie domknięty? Jest tak dlatego, że dla \(x=5\) funkcja przyjmuje wartość równą zero, a nas interesują wartości ujemne. Stąd też za pomocą odpowiednich nawiasów musimy wykluczyć \(x=5\) z naszego przedziału.
Zadanie nr 10 · Matura 2013
Funkcja \(g\) jest określona wzorem:
A\(g(x)=f(x-1)\)
B\(g(x)=f(x)-1\)
C\(g(x)=f(x+1)\)
D\(g(x)=f(x)+1\)
Wykres funkcji \(g\) jest przesunięciem funkcji \(f\) o jedno miejsce w dół, zatem:
$$g(x)=f(x)-1$$
Zadanie nr 29 · Matura 2013
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji \(f(x)\) określonej dla \(x\in\langle-7;8\rangle\).
Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) największą wartość funkcji \(f\)
b) zbiór rozwiązań nierówności \(f(x)\lt0\)
Krok 1. Odczytanie największej wartości funkcji \(f\).
Najwyżej położonym punktem na wykresie jest ten o współrzędnych \((6;7)\) w związku z tym największą wartością funkcji jest \(7\).
Krok 2. Odczytanie zbioru rozwiązań nierówności \(f(x)\lt0\).
Interesuje nas teraz informacja dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli tak naprawdę kiedy funkcja znalazła się pod osią \(Ox\). Szukanym zbiorem rozwiązań jest więc \(x\in(-3;5)\).
Zadanie nr 31 · Matura 2012
Wykaż, że jeżeli \(c\lt0\), to trójmian kwadratowy \(y=x^2+bx+c\) ma dwa różne miejsca zerowe.
Krok 1. Obliczenie delty.
Najprościej to zadanie udowodnimy pomocą delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=b,\;c=c\)
$$Δ=b^2-4ac=b^2-4c$$
Krok 2. Analiza otrzymanej delty.
Wartość \(b^2\) jest zawsze dodatnia (lub równa zero), bo każda liczba podniesiona do kwadratu jest dodatnia (lub równa zero).
Wartość \(4c\) będzie zawsze ujemna, bo zakładamy \(c\lt0\).
W związku z tym mamy:
$$Δ=\text{(l. dodatnia)-(l. ujemna)=l. dodatnia}$$
Udało nam się w ten sposób udowodnić, że delta wyjdzie zawsze dodatnia, a to oznacza, że rzeczywiście ten trójmian będzie miał dwa różne miejsca zerowe.
Zadanie nr 11 · Próbny 2012
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji \(y=f(x)\).
Zbiorem wartości tej funkcji jest:
A\(\langle-4;3\rangle\)
B\(\langle-4;-1\rangle\bigcup\langle1;3\rangle\)
C\(\langle-4;-1\rangle\bigcup(1;3\rangle\)
D\(\langle-5;6\rangle\)
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(Y\). Widzimy wyraźnie, że nasz wykres składa się tak jakby z dwóch części, które są ciągłe:
- w pierwszej części ("górnej") funkcja przyjmuje wartości \((1;3\rangle\)
- w drugiej ("dolnej") przyjmuje wartości \(\langle-4;-1\rangle\).
Zbiór wartości tej funkcji jest więc sumą przedziałów: \(\langle-4;-1\rangle\bigcup(1;3\rangle\)
PS. Zwróć uwagę na nawiasy - punkt \((0,1)\) jest na rysunku przedstawiony w formie niezamalowanej kropki, dlatego nawias przy "jedynce" mamy otwarty.
Zadanie nr 23 · Próbny 2012
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-b}{x-9}\) dla \(x\neq9\). Ponadto wiemy, że \(f(4)=-1\). Oblicz współczynnik \(b\).
Aby obliczyć współczynnik \(b\) wystarczy poprawnie skorzystać z informacji \(f(4)=-1\). Wiemy, że funkcja dla argumentu \(x=4\) przyjmuje wartość \(-1\), więc podstawiając te dane do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(x)=\frac{2x-b}{x-9}$$
$$-1=\frac{2\cdot4-b}{4-9}$$
$$-1=\frac{8-b}{-5} \quad\bigg/\cdot(-5)$$
$$5=8-b$$
$$b=3$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2012
Miejscem zerowym funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\begin{cases} x^2-1\quad \text{ dla } x\in (-\infty,-4 \rangle\\ 5x+10\quad \text{ dla } x\in (-4 ,2)\\ x+4\quad \text{ dla } x\in \langle 2,+\infty) \end{cases}\) jest:
A\(-4\)
B\(-2\)
C\(-1\)
D\(1\)
Miejsce zerowe to taki argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Możemy sprawdzić każdą z odpowiedzi po kolei, podstawiając poszczególne liczby do wzorów funkcji (pamiętając jedynie o tym, by do dobrego wzoru podstawić poszczególne argumenty - tu musimy zobaczyć do jakiego przedziału należy nasz podstawiany \(x\)). Jeżeli tak będziemy chcieli podejść do tego zadania, to:
Dla \(x=-4\) mamy pierwszy wzór, czyli \((-4)^2-1=15\)
Dla \(x=-2\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot(-2)+10=0\)
Dla \(x=-1\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot(-1)+10=5\)
Dla \(x=1\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot1+10=15\)
W ten oto sposób obliczyliśmy, że wartość funkcji jest równa \(0\) dla argumentu \(x=-2\).
Jeżeli chcemy to miejsce zerowe wyliczyć samodzielnie, to musimy sprawdzić po kolei każdy z trzech wzorów, przyrównując każde z wyrażeń do zera.
Pierwsze wyrażenie:
\(x^2-1=0\)
\(x^2=1\)
\(x=1 \quad\lor\quad x=-1\)
Obydwa rozwiązania nie mieszczą się w przedziale \(x\in (-\infty,-4 \rangle\), zatem obydwa przypadki odrzucamy.
Drugie wyrażenie:
\(5x+10=0\)
\(5x=-10\)
\(x=-2\)
Rozwiązanie mieści się w przedziale \(x\in(-4,2)\), zatem \(x=-2\) jest miejscem zerowym funkcji.
Trzecie wyrażenie:
\(x+4=0\)
\(x=-4\)
Rozwiązanie nie mieści się w przedziale \(x\in(-4,2)\), zatem ten przypadek odrzucamy.
Zadanie nr 9 · Matura 2012
Wskaż wykres funkcji, która w przedziale \(\langle-4,4\rangle\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
A
B
C
D
Miejscem zerowym funkcji jest miejsce przecięcia się wykresu z osią \(Ox\) (czyli jest to taka wartość argumentu \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero). Prześledźmy każdy z wykresów:
Pierwsza funkcja ma dwa miejsca zerowe, bo w dwóch miejscach przecina oś \(Ox\).
Druga funkcja nie ma wcale miejsc zerowych.
Trzecia funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe i to jest interesujący nas przypadek.
Czwarta funkcja ma dwa miejsca zerowe, bo w dwóch miejscach przecina oś \(Ox\).
Zadanie nr 11 · Matura 2011
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji \(y=f(x)\).
Zbiorem wartości tej funkcji jest:
A\(\langle-4,3\rangle\)
B\(\langle-4,-1\rangle\cup\langle1,3\rangle\)
C\(\langle-4,-1\rangle\cup(1,3\rangle\)
D\(\langle-5,6\rangle\)
Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Funkcja ta przyjmuje wartości od \(-4\) do \(-1\) (dolny fragment wykresu) oraz wartości od \(1\) do \(3\) (góry fragment wykresu).
Musimy jeszcze tylko ustalić jakie nawiasy będziemy przy każdej z tych wartości granicznych. W przypadku dolnej części wykresu obydwa nawiasy muszą być domknięte, bo mamy zamalowane kropki. W przypadku górnej części wykresu okazuje się, że wartość równa \(1\) jest tak naprawdę przez naszą funkcję nieprzyjmowana, bo dla argumentu \(x=-2\) mamy kropkę niezamalowaną, dlatego tu pojawi się nawias otwarty. Wartość równa \(3\) jest przyjmowana przez funkcję, więc tutaj nawias też będzie domknięty. To oznacza, że zbiorem wartości tej funkcji jest:
$$y\in\langle-4,-1\rangle\cup(1,3\rangle$$
Zadanie nr 7 · Próbny 2010
Poniżej przedstawiono wykres funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest:
A\(\langle-2;5\rangle\)
B\(\langle-4;8\rangle\)
C\(\langle-1;4\rangle\)
D\(\langle5;8\rangle\)
Musimy sprawdzić współrzędną \(y\) dla dwóch punktów: najniżej i najwyżej położonego. Współrzędna \(y\) najniżej położonego punktu jest równa \(-2\), a najwyżej położonego punktu jest równa \(5\). W związku z tym zbiorem wartości jest przedział \(\langle-2;5\rangle\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2010
Poniżej przedstawiono wykres funkcji \(f\). Korzystając z tego wykresu, wskaż nierówność prawdziwą.
A\(f(-1)\lt f(1)\)
B\(f(1)\lt f(3)\)
C\(f(-1)\lt f(3)\)
D\(f(3)\lt f(0)\)
Przykładowo zapis \(f(-1)\) oznacza, że musimy odczytać wartość funkcji dla argumentu \(x=-1\). W naszym przypadku \(f(-1)\) jest równe niespełna \(3\). Musimy sprawdzić tak po kolei każdą z par i zweryfikować która nierówność jest prawdziwa:
Odp. A. \(f(-1)\lt f(1)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(-1)\) to niespełna \(3\), natomiast \(f(1)=-2\).
Odp. B. \(f(1)\lt f(3)\)
Komentarz: Ta nierówność jest prawdziwa, bo \(f(1)=-2\), natomiast \(f(3)=1\), a więc to \(f(1)\) jest mniejsze od \(f(3)\).
Odp. C. \(f(-1)\lt f(3)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(-1)\) to niespełna \(3\), natomiast \(f(3)=1\).
Odp. D. \(f(3)\lt f(0)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(3)=1\), natomiast \(f(1)=-2\).
Zadanie nr 6 · Próbny 2010
Funkcja liniowa \(f(x)=(m-1)x+5\) ma miejsce zerowe równe \(2\). Zatem:
A\(m=6\)
B\(m=-1,5\)
C\(m=1\)
D\(m=5\)
Miejsce zerowe równe \(2\) oznacza, że funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2;0)\). Aby sprawdzić jaki parametr \(m\) ma nasza prosta wystarczy podstawić do jej równania współrzędne tego miejsca zerowego, czyli podstawić \(x=2\) oraz \(y=0\).
$$f(x)=(m-1)x+5$$
$$0=(m-1)\cdot2+5$$
$$0=2m-2+5$$
$$0=2m+3$$
$$2m=-3$$
$$m=-1,5$$
Zadanie nr 7 · Próbny 2010
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji \(y=f(x)\).
Zbiór wartości tej funkcji to:
A\((-1,3)\)
B\(\langle-3,3)\)
C\(\langle-4,2\rangle\)
D\((-\infty,3)\)
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Tutaj pewną pułapką w zadaniu jest fakt, że nie podpisano nam na osi igreków wartości \(-4\), natomiast po kratkach możemy odczytać, że ta funkcja przyjmuje właśnie wartości od \(-4\) do \(2\). Ustalmy jeszcze jakie nawiasy powinny znaleźć się w zapisie. Dla wartości \(-4\) kropka jest zamalowana, więc nawias będzie domknięty. Dla wartości \(2\) nawias będzie także domknięty, bo funkcja jak najbardziej przyjmuje tę wartość (dla argumentu \(x=0)\). Stąd też możemy zapisać, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \(\langle-4,2\rangle\).
Zadanie nr 7 · Matura 2010
Poniżej przedstawiono wykres funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest:
A\(\langle-2;5\rangle\)
B\(\langle-4;8\rangle\)
C\(\langle-1;4\rangle\)
D\(\langle5;8\rangle\)
Musimy sprawdzić współrzędną \(y\) dla dwóch punktów: najniżej i najwyżej położonego. Współrzędna \(y\) najniżej położonego punktu jest równa \(-2\), a najwyżej położonego punktu jest równa \(5\). W związku z tym zbiorem wartości jest przedział \(\langle-2;5\rangle\).
Zadanie nr 8 · Matura 2010
Poniżej przedstawiono wykres funkcji \(f\). Korzystając z tego wykresu, wskaż nierówność prawdziwą.
A\(f(-1)\lt f(1)\)
B\(f(1)\lt f(3)\)
C\(f(-1)\lt f(3)\)
D\(f(3)\lt f(0)\)
Przykładowo zapis \(f(-1)\) oznacza, że musimy odczytać wartość funkcji dla argumentu \(x=-1\). W naszym przypadku \(f(-1)\) jest równe niespełna \(3\). Musimy sprawdzić tak po kolei każdą z par i zweryfikować która nierówność jest prawdziwa:
Odp. A. \(f(-1)\lt f(1)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(-1)\) to niespełna \(3\), natomiast \(f(1)=-2\).
Odp. B. \(f(1)\lt f(3)\)
Komentarz: Ta nierówność jest prawdziwa, bo \(f(1)=-2\), natomiast \(f(3)=1\), a więc to \(f(1)\) jest mniejsze od \(f(3)\).
Odp. C. \(f(-1)\lt f(3)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(-1)\) to niespełna \(3\), natomiast \(f(3)=1\).
Odp. D. \(f(3)\lt f(0)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(3)=1\), natomiast \(f(1)=-2\).
Zadanie nr 10 · Matura 2010
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji \(y=f(x)\).
Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?
A\(f(x)=0\)
B\(f(x)=1\)
C\(f(x)=2\)
D\(f(x)=3\)
Tak naprawdę naszym zadaniem jest sprawdzenie, która prosta (\(y=0\), \(y=1\), \(y=2\), czy \(y=3\)) przetnie wykres narysowanej funkcji w trzech miejscach. Taką prostą będzie oczywiście \(y=2\), stąd też prawidłowa jest odpowiedź trzecia.
Zadanie nr 9 · Próbny 2009
Do wykresu funkcji \(f(x)=x^2+x-2\) należy punkt:
A\((-1,-4)\)
B\((-1,1)\)
C\((-1,-1)\)
D\((-1,-2)\)
Zadanie możemy rozwiązać podstawiając współrzędne każdego z punktów do wzoru funkcji. Pierwszą współrzędną podstawiamy w miejsce \(x\), a drugą w miejsce \(f(x)\). Punktem należącym do wykresu będzie ten, który spełni powstałą równość (czyli tak naprawdę wtedy kiedy nie wyjdzie nam równanie sprzeczne).
Można jednak to zadanie zrobić nieco sprytniej, dostrzegając że we wszystkich odpowiedziach pierwszą współrzędną punktu jest \(x=-1\). To oznacza, że nie musimy podstawiać każdego z punktów pod wzór funkcji. Wystarczy tak naprawdę obliczyć wartość \(f(-1)\), zatem:
$$f(-1)=(-1)^2+(-1)-2$$
$$f(-1)=1-1-2$$
$$f(-1)=-2$$
To oznacza, że druga współrzędna to \(y=-2\), czyli prawidłowa jest ostatnia odpowiedź \((-1;-2)\).
Zadanie nr 25 · Matura
W kartezjańskim układzie w współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji: \(f, g, h, s\).
Zadanie 1.
Największą wartość dla argumentu \(x=2\) przyjmuje funkcja:
A. \(f\)
B. \(g\)
C. \(h\)
D. \(s\)
Zadanie 2. Dla argumentu \(x=3\) tę samą wartość przyjmują funkcje:
A. \(f\) i \(s\)
B. \(s\) i \(h\)
C. \(f\) i \(g\)
D. \(g\) i \(s\)
Zadanie 3. Zapisz maksymalny przedział, w którym prawdziwa jest nierówność \(g(x)\gt h(x)\).
Rozwiązanie 1.
Przyglądając się wykresom funkcji, widzimy, że dla argumentu \(x=2\) najwyższą wartość osiągnie funkcja \(f\) (możemy nawet dodać, że ta wartość to \(y=5\)).
Rozwiązanie 2.
Jeśli dwie funkcje przyjmują tą samą wartość dla danego argumentu, to z praktycznego punktu widzenia, wykresy tych funkcji po prostu się przetną. Widzimy więc, że tą samą wartość dla argumentu \(x=3\) przyjmie funkcja \(f\) i \(g\).
Rozwiązanie 3.
Zgodnie z zapisem \(g(x)\gt h(x)\), interesuje nas sytuacja, w której dla danego argumentu, funkcja \(g(x)\) przyjmuje większe wartości niż \(h(x)\). Mówiąc bardziej obrazowo, musimy przeanalizować kiedy wykres funkcji \(g(x)\) znajduje się nad wykresem funkcji \(h(x)\). Widzimy, że taka sytuacja ma miejsce od argumentu \(x=1\) aż do \(x=6\), czyli interesującym nas przedziałem byłby \(x\in(1,6)\). Tak na marginesie - nawiasy dajemy otwarte, bo dla tych skrajnych argumentów obydwie funkcje przyjmują jednakową wartość, a nas interesuje sytuacja, w której wartości funkcji \(g\) są większe od funkcji \(h\).
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
