Działania na pierwiastkach

Szukamy liczb, których kwadraty dają dane wartości:

$$\sqrt{81}=9 \quad (\text{bo } 9^2=81)$$

$$\sqrt{144}=12 \quad (\text{bo } 12^2=144)$$

Odpowiedź: $9$ oraz $12$.

Szukamy największego kwadratu ukrytego w $200$:

$$200=100\cdot2$$

$$\sqrt{200}=\sqrt{100}\cdot\sqrt2=10\sqrt2$$

Odpowiedź: $10\sqrt2$.

Iloczyn pierwiastków to pierwiastek iloczynu:

$$\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4$$

Ciekawostka: mnożenie dwóch liczb niewymiernych dało liczbę wymierną.

Odpowiedź: D. $4$.

Wyrażenia z tym samym pierwiastkiem traktujemy jak wyrazy podobne:

$$(3+2-1)\sqrt5=4\sqrt5$$

Uwaga: $\sqrt5$ ma domyślny współczynnik $1$, więc odejmujemy $1$.

Odpowiedź: $4\sqrt5$.

Kolejność działań: najpierw mnożenie pierwiastków, potem dodawanie.

$$\sqrt9\cdot\sqrt4=3\cdot2=6$$

$$\sqrt{49}+6=7+6=13$$

Odpowiedź: $13$.

Szukamy sąsiednich kwadratów:

$$7^2=49\lt 50\lt 64=8^2$$

Zatem $7\lt \sqrt{50}\lt 8$, dokładniej $\sqrt{50}\approx7{,}07$.

Odpowiedź: C. $7$ i $8$.

Krok 1 — upraszczamy oba pierwiastki:

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$$

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

Krok 2 — odejmujemy (ten sam pierwiastek $\sqrt2$):

$$6\sqrt2-3\sqrt2=3\sqrt2$$

Kluczowe: pierwiastki trzeba najpierw uprościć — dopiero wtedy mają wspólny „czynnik” $\sqrt2$, który pozwala je odjąć.

Odpowiedź: $3\sqrt2$.

Krok 1 — bok kwadratu:

$$a=\sqrt{50}=5\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 2 — przekątna (wzór $d=a\sqrt2$):

$$d=5\sqrt2\cdot\sqrt2=5\cdot2=10\ \text{cm}$$

Ciekawostka: choć bok jest niewymierny, przekątna wychodzi równa dokładnie $10$ cm — iloczyn $\sqrt2\cdot\sqrt2$ daje $2$.

Odpowiedź: bok $5\sqrt2$ cm, przekątna $10$ cm.