Uwaga na częste nieporozumienie. Ułamek $\frac{22}{7}$ bywa używany jako przybliżenie liczby $\pi$, ale to dwie różne liczby: jedna wymierna, druga nie.
Odpowiedź: wymierne są $\sqrt{49}$ oraz $\frac{22}{7}$.
Zadanie nr 17
Usuń niewymierność z mianownika: $\dfrac{4}{\sqrt7-\sqrt3}$.
Krok 1 — mnożymy przez wyrażenie sprzężone $\sqrt7+\sqrt3$:
Kontrola liczbowa: $\sqrt7\approx2{,}646$ i $\sqrt3\approx1{,}732$, więc wynik to około $4{,}378$. Wyrażenie wyjściowe: $\frac{4}{0{,}914}\approx4{,}38$ ✔
Odpowiedź: $\sqrt7+\sqrt3$.
Zadanie nr 18
Zamień $2{,}1(3)$ na ułamek zwykły.
Krok 1 — oznaczamy:
$$x=2{,}1333\ldots$$
Krok 2 — przesuwamy przecinek przed okres. Przed okresem stoi jedna cyfra, więc mnożymy przez $10$:
$$10x=21{,}333\ldots$$
Krok 3 — przesuwamy o cały okres. Okres ma jedną cyfrę, więc mnożymy przez $100$:
$$100x=213{,}333\ldots$$
Krok 4 — odejmujemy stronami:
$$100x-10x=213-21 \quad\Rightarrow\quad 90x=192$$
Krok 5 — skracamy przez $6$:
$$x=\frac{192}{90}=\frac{32}{15}$$
Sprawdzenie: $32:15=2{,}1333\ldots$ ✔
Odpowiedź: $\frac{32}{15}$.
Zadanie nr 19
Podaj przykład dwóch liczb niewymiernych, których suma jest wymierna, oraz dwóch, których suma jest niewymierna.
Suma wymierna. Bierzemy liczby przeciwne:
$$\sqrt2+\left(-\sqrt2\right)=0$$
Inny przykład: $\left(3+\sqrt5\right)+\left(3-\sqrt5\right)=6$ — obie składowe są niewymierne, a suma naturalna.
Suma niewymierna:
$$\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2\approx2{,}83$$
Wniosek metodyczny. Zbiór liczb niewymiernych nie jest zamknięty na dodawanie — w odróżnieniu od zbioru liczb wymiernych, gdzie suma dwóch elementów zawsze pozostaje w zbiorze.
Odpowiedź: np. $\sqrt2$ i $-\sqrt2$ (suma $0$) oraz $\sqrt2$ i $\sqrt2$ (suma $2\sqrt2$).
Zadanie nr 1
Liczba dzieli się przez $3$, gdy:
Aostatnia cyfra jest parzysta
Bsuma cyfr dzieli się przez $3$
Ckończy się na $0$
Djest nieparzysta
Cecha podzielności przez $3$: suma cyfr liczby musi być podzielna przez $3$.
Przykład: $531$ — suma cyfr $5+3+1=9$, dzieli się przez $3$ ✔
Odpowiedź: B. suma cyfr dzieli się przez $3$.
Zadanie nr 2
Sprawdź, czy liczba $4128$ dzieli się przez $4$.
Cecha podzielności przez $4$: dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $4$:
$$28:4=7$$
Skoro $28$ dzieli się przez $4$, to cała liczba $4128$ też.
Odpowiedź: tak, dzieli się przez $4$.
Zadanie nr 6
Czy liczba $2520$ dzieli się przez $9$?
Suma cyfr:
$$2+5+2+0=9$$
Skoro $9$ dzieli się przez $9$, to liczba $2520$ też.
Odpowiedź: tak, dzieli się przez $9$.
Zadanie nr 7
Zamień ułamek okresowy $0{,}(7)$ na ułamek zwykły.
Wniosek. Zatem $0{,}(9)=1$ — to nie przybliżenie, lecz dokładna równość. $\qquad ∎$
Interpretacja. Ta sama liczba może mieć dwa zapisy dziesiętne: $1{,}000\ldots$ oraz $0{,}999\ldots$ To słynny, zaskakujący wynik, ale w pełni poprawny.
Zadanie nr 19
Dla jakiej cyfry $c$ liczba $\overline{4c2}$ (trzycyfrowa) dzieli się przez $3$? Podaj wszystkie możliwości.
Krok 1 — cecha podzielności przez $3$. Suma cyfr:
$$4+c+2=6+c$$
Krok 2 — warunek. $6+c$ musi dzielić się przez $3$. Ponieważ $6$ już się dzieli, $c$ też musi być podzielne przez $3$:
$$c\in\{0,\ 3,\ 6,\ 9\}$$
Krok 3 — sprawdzenie. Np. $c=3$: liczba $432$, suma cyfr $9$ ✔; $c=6$: $462$, suma $12$ ✔
Odpowiedź: $c\in\{0,\ 3,\ 6,\ 9\}$.
Zadanie nr 20
Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $3$, korzystając z cechy podzielności lub algebry.
Sposób algebraiczny. Trzy kolejne liczby to $n$, $n+1$, $n+2$. Ich suma:
$$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$$
Suma jest iloczynem $3$ i liczby naturalnej, więc dzieli się przez $3$. $\qquad ∎$
Wniosek dodatkowy. Iloraz to $n+1$ — środkowa z trzech liczb. Suma trzech kolejnych liczb to zawsze potrojona liczba środkowa.
Sprawdzenie: $10+11+12=33=3\cdot11$, a $11$ to liczba środkowa ✔
Zadanie nr PP05.1
Dla każdej liczby całkowitej $k$ liczbą nieparzystą jest
A$2k+1$
B$2k$
C$k+1$
D$4k$
$2k$ jest parzysta, więc $2k+1$ jest nieparzysta dla każdego $k$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? C — dla $k=1$ daje $2$ (parzystą).
Zadanie nr PP05.2
Dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n(n+1)$ jest
Anieparzysta
Bparzysta
Cpodzielna przez $3$
Dkwadratem liczby całkowitej
Wśród dwóch kolejnych liczb całkowitych jedna jest parzysta, więc ich iloczyn jest parzysty.
Odpowiedź:B
Dlaczego nie pozostałe? C — np. $1\cdot2=2$ nie dzieli się przez $3$.
Zadanie nr PP05.3
Liczba $3n+7$, gdzie $n$ jest liczbą naturalną, przy dzieleniu przez $3$ daje resztę
A$0$
B$2$
C$1$
Dzależną od $n$
$3n+7=3n+6+1=3(n+2)+1$, a $n+2$ jest liczbą całkowitą.
Reszta wynosi $1$.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? A — pomylone „$3n$” z całą liczbą; reszty z $7$ nie wolno pominąć.
Zadanie nr PP05.4
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n^2+n$ jest parzysta.
Dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $n^2+1$ jest nieparzysta.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
1. $n^2+n=n(n+1)$ — iloczyn kolejnych liczb, zawsze parzysty — prawda.
2. Dla $n=1$: $1^2+1=2$ — liczba parzysta, więc zdanie jest fałszywe (wystarczy jeden kontrprzykład).
Odpowiedź: P, F
Wskazówka: Aby obalić zdanie „dla każdego”, wystarczy jeden kontrprzykład.
Zadanie nr PP05.5
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $(n+3)^2-(n-3)^2$ jest podzielna przez $12$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 5 · Matura 2026
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Liczba naturalna \(4^{12}\cdot5^{24}\) jest podzielna przez \(20\).
P
F
Liczba naturalna \(4^{12}\cdot5^{24}\) jest w zapisie dziesiętnym liczbą \(25\)-cyfrową.
P
F
Krok 1. Przekształcenie wyrażenia.
Korzystając z działań na potęgach, możemy rozpisać naszą liczbę w następujący sposób:
$$4^{12}\cdot5^{24}=(2^2)^{12}\cdot5^{24}=2^{24}\cdot5^{24}=(2\cdot5)^{24}=10^{24}$$
Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego stwierdzenia.
Liczba \(10^{24}\) to jedynka i \(24\) zera. Możemy ją zapisać jako:
$$10^{24}=100\cdot10^{22}=20\cdot5\cdot10^{22}$$
Liczba ta jest wielokrotnością \(20\), więc jest przez nią podzielna. Zdanie jest więc prawdą.
Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego stwierdzenia.
Liczba \(10^{24}\) składa się z cyfry jedynki oraz \(24\) zer, co łącznie daje \(25\) cyfr. Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie nr 7 · Matura 2026
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \(7n^2+21n\) jest podzielna przez \(14\).
Krok 2. Analiza podzielności.
Aby liczba była podzielna przez \(14\), musi być podzielna przez \(7\) oraz przez \(2\). Z postaci \(7n(n+3)\) od razu widać, że liczba ta jest wielokrotnością \(7\), więc dzieli się przez \(7\). Musimy jeszcze wykazać, że wyrażenie \(n(n+3)\) jest parzyste (podzielne przez \(2\)).
Rozpatrzmy dwa przypadki dla liczby całkowitej \(n\):
· jeśli \(n\) jest liczbą parzystą, to iloczyn \(n(n+3)\) jest parzysty, ponieważ mnożenie liczby parzystej przez dowolną liczbę całkowitą daje wynik parzysty.
· jeśli \(n\) jest liczbą nieparzystą, to liczba \((n+3)\) jest parzysta (suma dwóch liczb nieparzystych daje liczbę parzystą). Wtedy iloczyn \(n(n+3)\) również jest parzysty.
W obu przypadkach iloczyn \(n(n+3)\) jest liczbą parzystą, co oznacza, że można go zapisać jako \(2k\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą całkowitą. W takim razie całe wyrażenie przyjmuje postać:
$$7\cdot2k=14k$$
To kończy dowód, ponieważ liczba zapisana w postaci \(14k\) jest podzielna przez \(14\).
Zadanie nr 5 · Matura 2025
Wykaż, że liczba \(8^{50}-2^{145}\) jest podzielna przez \(31\).
Otrzymana liczba jest iloczynem liczby naturalnej \(2^{145}\) i liczby \(31\), a więc jest podzielna przez \(31\). \(\blacksquare\)
Zadanie nr 5 · Matura 2025
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(a\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(1\), i dla każdej liczby całkowitej \(b\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(4\), liczba \(a^2-b^2\) jest podzielna przez \(5\).
Z założeń możemy zapisać obie liczby w postaci:
\(a=5k+1\) oraz \(b=5m+4\), gdzie \(k\) i \(m\) są liczbami całkowitymi.
Obliczamy kwadraty:
\(a^2=(5k+1)^2=25k^2+10k+1\)
\(b^2=(5m+4)^2=25m^2+40m+16\)
Wyznaczamy różnicę:
\(a^2-b^2=25k^2+10k+1-25m^2-40m-16\)
\(a^2-b^2=25k^2+10k-25m^2-40m-15\)
Wyłączamy \(5\) przed nawias:
\(a^2-b^2=5\left(5k^2+2k-5m^2-8m-3\right)\)
Liczby \(k\) i \(m\) są całkowite, więc wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą. Otrzymana liczba jest iloczynem liczby \(5\) i liczby całkowitej, zatem jest podzielna przez \(5\). \(\blacksquare\)
Zadanie nr 3 · Matura 2024
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \(n^2+(n+1)^2+(n+2)^2\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), możemy rozpisać naszą liczbę w następujący sposób:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=$$
$$=n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=$$
$$=3n^2+6n+5$$
Teraz kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że liczbę \(5\) można rozbić na sumę \(3+2\), otrzymując:
$$3n^2+6n+3+2=$$
$$=3\cdot(n^2+2n+1)+2=$$
$$=3\cdot(n+1)^2+2$$
\((n+1)^2\) jest na pewno dodatnią liczbą całkowitą. Otrzymany wynik oznacza więc, że liczba jest podzielna przez \(3\), a stojące na końcu \(+2\) pokazuje nam, że reszta z tego dzielenia będzie równa właśnie \(2\), co należało udowodnić.
Zadanie nr 3 · Matura 2024
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\) liczba \((2n+5)^2+3\) jest podzielna przez \(4\).
Rozwijamy kwadrat sumy:
\((2n+5)^2+3=4n^2+20n+25+3=4n^2+20n+28\)
Wyłączamy \(4\) przed nawias:
\(4n^2+20n+28=4\left(n^2+5n+7\right)\)
Liczba \(n\) jest naturalna, więc \(n^2+5n+7\) jest liczbą całkowitą.
Otrzymana liczba jest iloczynem liczby \(4\) i liczby całkowitej, zatem jest podzielna przez \(4\). \(\blacksquare\)
Zadanie nr 5 · Matura 2024
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\) liczba \(5n^3-5n\) jest podzielna przez \(30\).
Wyłączamy wspólny czynnik i stosujemy wzór na różnicę kwadratów:
Liczby \(n-1\), \(n\), \(n+1\) to trzy kolejne liczby całkowite.
Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest parzysta, więc ich iloczyn dzieli się przez \(2\). Ponadto dokładnie jedna z nich jest podzielna przez \(3\), więc iloczyn dzieli się także przez \(3\).
Liczby \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, zatem iloczyn \((n-1)n(n+1)\) jest podzielny przez \(6\), czyli:
\((n-1)n(n+1)=6k\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\)
Stąd:
\(5n^3-5n=5\cdot 6k=30k\)
Otrzymana liczba jest iloczynem liczby \(30\) i liczby całkowitej, więc jest podzielna przez \(30\). \(\blacksquare\)
Zadanie nr 3 · Matura 2023
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, liczbę z treści zadania możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1=$$
$$=4n^2+4n=4n(n+1)$$
Nasz zapis moglibyśmy dla lepszego zobrazowania przedstawić nawet jako \(4\cdot n\cdot(n+1)\). W tym zapisie \(n\) oraz \(n+1\) to kolejne liczby naturalne, a wiemy, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze podzielny przez \(2\). Dodatkowo wyciągając czwórkę przed nawias udowodniliśmy, że liczba jest podzielna przez \(4\). Skoro zatem liczba da się rozłożyć na czynniki równe \(2\) oraz \(4\), to będzie też podzielna przez \(8\), co należało udowodnić.
Zadanie nr 4 · Matura 2023
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\) liczba \(3n^3+18n^2+15n\) jest podzielna przez \(6\).
Wyłączamy wspólny czynnik \(3n\) przed nawias:
\(3n^3+18n^2+15n=3n\left(n^2+6n+5\right)\)
Rozkładamy trójmian na czynniki (jego pierwiastki to \(-1\) i \(-5\)):
\(n^2+6n+5=(n+1)(n+5)\)
Zatem:
\(3n^3+18n^2+15n=3n(n+1)(n+5)\)
Liczby \(n\) i \(n+1\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc jedna z nich jest parzysta — iloczyn \(n(n+1)\) jest podzielny przez \(2\), czyli \(n(n+1)=2k\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\).
Stąd:
\(3n(n+1)(n+5)=3\cdot 2k\cdot(n+5)=6k(n+5)\)
Otrzymana liczba jest iloczynem liczby \(6\) i liczby całkowitej, więc jest podzielna przez \(6\). \(\blacksquare\)
Zadanie nr 10 · Próbny 2023
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge2\) liczba \(8^n-2^n\) jest podzielna przez \(12\).
Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, możemy naszą liczbę rozpisać w następujący sposób:
$$8^n-2^n=2^{n}\cdot(4^{n}-1)$$
Teraz powinniśmy dostrzec, że wyrażenie w nawiasie da się rozpisać wykorzystując wzór skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Dzięki temu otrzymamy taką oto sytuację:
$$2^{n}\cdot(2^{n}-1)\cdot(2^{n}+1)$$
Jeśli się dobrze przyjrzymy, to zauważymy, że liczby \(2^{n}-1\), \(2^{n}\) oraz \(2^{n}+1\) to po prostu trzy kolejne liczby naturalne. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że jedna z tych liczb jest podzielna przez \(3\).
Dodatkowo z treści zadania wiemy, że \(n\ge2\), a to by oznaczało, że liczba \(2^n\) jest na pewno liczbą parzystą i to taką, która jest podzielna przez \(4\).
To oznacza, że nasza liczba jest podzielna przez \(3\) i przez \(4\) jednocześnie, więc jest tym samym podzielna przez \(12\), co należało udowodnić.
Zadanie nr 3 · Matura 2023
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) reszta z dzielenia liczby \(49k^2+7k-2\) przez \(7\) jest równa \(5\).
Przekształcamy dane wyrażenie tak, aby wyodrębnić składnik podzielny przez \(7\) oraz resztę.
\(49k^2+7k-2 = 49k^2+7k-7+5\)
Wyłączamy \(7\) przed nawias z pierwszych trzech składników:
\(49k^2+7k-7+5 = 7\left(7k^2+k-1\right)+5\)
Liczba \(k\) jest całkowita, więc \(7k^2+k-1\) również jest liczbą całkowitą. Ponadto \(0 \le 5 \lt 7\).
Oznacza to, że przy dzieleniu liczby \(49k^2+7k-2\) przez \(7\) otrzymujemy resztę \(5\), co kończy dowód. \(\blacksquare\)
Zadanie nr 3 · Matura 2023
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, liczbę z treści zadania możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1=$$
$$=4n^2+4n=4n(n+1)$$
Nasz zapis moglibyśmy dla lepszego zobrazowania przedstawić nawet jako \(4\cdot n\cdot(n+1)\). W tym zapisie \(n\) oraz \(n+1\) to kolejne liczby naturalne, a wiemy, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze podzielny przez \(2\). Dodatkowo wyciągając czwórkę przed nawias udowodniliśmy, że liczba jest podzielna przez \(4\). Skoro liczba jest jednocześnie podzielna przez \(2\) oraz \(4\), to będzie też podzielna przez \(8\), co należało udowodnić.
Zadanie nr 9 · Próbny 2022
Liczba wszystkich dodatnich dzielników liczby \(60\) jest równa:
A\(12\)
B\(11\)
C\(10\)
D\(9\)
Dodatnimi dzielnikami liczby \(60\) są:
$$1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$$
Takich dzielników mamy więc \(12\).
Zadanie nr 29 · Próbny 2022
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \(64^n-4^n\) jest podzielna przez \(12\).
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie zauważyć, że:
$$64^n-4^n=4^{n}\cdot(16^{n}-1)$$
Wartość \(16^{n}-1\) znajdującą się w nawiasie możemy jeszcze rozpisać zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) jako \((4^{n}-1)(4^{n}+1)\). Otrzymamy wtedy:
$$4^{n}\cdot(16^{n}-1)=4^{n}\cdot(4^{n}-1)(4^{n}+1)$$
Powinniśmy teraz dostrzec, że otrzymaliśmy mnożenie trzech kolejnych liczb naturalnych. Będzie to dobrze widać, gdy zamienimy wyrazy miejscami:
$$(4^{n}-1)\cdot4^{n}\cdot(4^{n}+1)$$
Skoro są to trzy kolejne liczby naturalne, to któraś z nich jest na pewno podzielna przez \(3\). Dodatkowo widzimy, że \(4^{n}\) jest podzielne przez \(4\). Skoro więc ten nasz iloczyn dzieli się przez \(3\) i \(4\), to będzie także podzielny przez iloczyn tych wartości, czyli przez \(12\), co należało właśnie udowodnić.
Zadanie nr 27 · Matura 2022
Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez \(5\) jest:
A\(9\cdot8\cdot7\cdot2\)
B\(9\cdot10\cdot10\cdot1\)
C\(9\cdot10\cdot10\cdot2\)
D\(9\cdot9\cdot8\cdot1\)
Sprawdźmy, na ile możliwości możemy uzupełnić każdą z cyfr liczby czterocyfrowej, tak aby spełniała ona warunki zadania
· cyfrą tysięcy może być każda z cyfr od \(1\) do \(9\), zatem mamy tutaj \(9\) różnych możliwości
· cyfrą setek może być każda z cyfr od \(0\) do \(9\), zatem mamy tutaj \(10\) różnych możliwości
· cyfrą dziesiątek może być każda z cyfr od \(0\) do \(9\), zatem mamy tutaj \(10\) różnych możliwości
· cyfrą jedności może być tylko cyfra \(5\), bo tylko wtedy liczba będzie podzielna przez \(5\) i jednocześnie będzie nieparzysta, zatem mamy tutaj \(1\) możliwość
To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, pasujących liczb będziemy mieć:
$$9\cdot10\cdot10\cdot1$$
Zadanie nr 30 · Próbny 2021
Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej \(n\) liczba \(4^{n+1}-3^{n+2}+4^{n}-3^{n}\) jest podzielna przez \(5\).
Aby udowodnić, że ta liczba jest podzielna przez \(5\), musimy cały zapis do postaci w której będziemy mieć \(5\) pomnożone przez jakąś liczbę całkowitą. W tym celu trzeba przekształcić zapis wyłączając wspólne czynniki przed nawias np. w taki oto sposób:
$$4^{n+1}-3^{n+2}+4^{n}-3^{n}=$$
$$=4^{n}\cdot(4^1+1)-3^{n}\cdot(3^2+1)=$$
$$=4^{n}\cdot5-3^{n}\cdot10=$$
$$=5\cdot(4^{n}-3^{n}\cdot2)$$
Wiedząc, że \(n\) jest liczbą naturalną możemy być pewni, że zapis \(4^{n}-3^{n}\cdot2\) jest liczbą całkowitą. To oznacza, że podana liczba dzieli się przez \(5\), a wynikiem tego dzielenia będzie to, co znalazło się w nawiasie, czyli \(4^{n}-3^{n}\cdot2\).
Zadanie nr 6 · Próbny 2019
Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od \(1\) jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Który zapis jest fałszywy?
A\(f(22)\gt f(28)\)
B\(f(21)=f(28)\)
C\(f(25)\lt10\)
D\(f(28)\gt9\)
Krok 1. Wypisanie największych dzielników (będących liczbami pierwszymi) liczb, które znalazły się w odpowiedziach.
Patrząc się na odpowiedzi musimy ustalić jakie są największe dzielniki (będące liczbami pierwszymi) liczb \(21,22,25\) oraz \(28\).
Największym dzielnikiem liczby \(21\), który jest liczbą pierwszą, będzie \(7\).
Największym dzielnikiem liczby \(22\), który jest liczbą pierwszą, będzie \(11\).
Największym dzielnikiem liczby \(25\), który jest liczbą pierwszą, będzie \(5\).
Największym dzielnikiem liczby \(28\), który jest liczbą pierwszą, będzie \(7\).
Możemy więc zapisać, że:
$$f(21)=7$$
$$f(22)=11$$
$$f(25)=5$$
$$f(28)=7$$
Krok 2. Weryfikacja poprawności odpowiedzi.
Przeanalizujmy teraz każdą z odpowiedzi:
Odp. A. To prawda, bo \(f(22)=11\) oraz \(f(28)=7\).
Odp. B. To prawda, bo \(f(21)=7\) oraz \(f(28)=7\).
Odp. C. To prawda, bo \(f(25)=5\).
Odp. D. To nieprawda, bo \(f(28)=7\)
Szukaliśmy fałszywego zapisu, zatem poprawna jest ostatnia odpowiedź.
Zadanie nr 21 · Matura 2019
Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) jest:
A\(60\)
B\(45\)
C\(30\)
D\(15\)
Tak prawdę mówiąc, to można tutaj wskazać prawidłową odpowiedź bez żadnych większych obliczeń. Patrząc się na to zadanie tak analitycznie, to podzielna przez \(6\) jest co szósta liczba. Liczb dwucyfrowych jest \(90\). W takim razie nie ma szans by liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) było aż \(30\), \(45\), czy \(60\). Spodziewamy się, że tych liczb jest około \(15\), bo \(90:6=15\). Co prawda takie liczenie może być czasem złudne i trzeba byłoby się zastanowić czy tych liczb jest dokładnie \(15\) (bo mogą się one różnie ułożyć), ale na tym wstępnym etapie rozwiązywania jesteśmy w stanie powiedzieć, że tych liczb jest \(15\), może \(14\), może \(16\).
Ta prosta analiza umożliwiała zaznaczenie poprawnej odpowiedzi dosłownie w kilka sekund. Gdyby jednak pojawiły się tutaj inne liczby lub nieco inne odpowiedzi, to trzeba byłoby podejść do tego w sposób bardziej matematyczny, korzystając z wiadomości na temat ciągów arytmetycznych.
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Liczby podzielne przez \(6\) tworzą ciąg arytmetyczny w którym \(r=6\). Musimy się jeszcze tylko zastanowić jaki jest pierwszy wyraz naszego ciągu. Skoro mają to być liczby dwucyfrowe, to najmniejszą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(6\) jest \(12\). Zatem możemy przyjąć, że \(a_{1}=12\).
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie nierówności.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). Za pomocą tego wzoru spróbujemy określić ile wyrazów naszego ciągu jest mniejszych od \(100\). Musimy zatem rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{1}+(n-1)r\lt100$$
Podstawiając \(a_{1}=12\) oraz \(r=6\) otrzymamy:
$$12+(n-1)\cdot6\lt100$$
$$12+6n-6\lt100$$
$$6n+6\lt100$$
$$6n\lt94$$
$$n\lt15\frac{2}{3}$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W ciągach nasze \(n\) jest zawsze liczbą naturalną, zatem moglibyśmy zapisać, że nasza nierówność spełniania jest przez \(n\in\{1,2,3,...,13,14,15\}\). To oznacza, że mamy \(15\) liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(6\).
Zadanie nr 28 · Matura 2018
Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez \(8\) jest równa \(6\).
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Ustalmy na początek co to znaczy, że liczba podzielna przez \(8\) daje resztę równą \(6\). To oznacza, że całą liczbę da się zapisać w postaci typu \(8\cdot k+6\), gdzie \(k\) będzie jakimś wyrażeniem składającym się z liczb naturalnych. Wtedy jak podzielimy wyrażenie \(8k+6\) przez \(8\) to otrzymamy wynik równy \(k\) i reszta \(6\).
Skoro interesują nas tylko liczby naturalne, to możemy zapisać, że czterema kolejnymi liczbami naturalnymi są: \(n, n+1, n+2, n+3\). Teraz zgodnie z treścią polecenia będziemy chcieli obliczyć sumę kwadratów tych czterech liczb, czyli będziemy chcieli obliczyć:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2$$
I z takiej postaci też dojdziemy do końcowego rozwiązania, ale będzie ono dość żmudne i długie. Tutaj powinniśmy wpaść na pomysł, żeby za kolejne liczby naturalne przyjąć: \(n-1, n, n+1, n+2\). Co nam da takie zapisanie? Teraz po prostu więcej rzeczy (zwłaszcza z pary \(n-1\) oraz \(n+1\)) zacznie nam się skracać, co znacznie uprości obliczenia.
Krok 2. Obliczenie sumy kwadratu czterech kolejnych liczb.
Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami możemy zapisać, że:
$$(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=$$
$$=n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=$$
$$=4n^2+4n+6=$$
$$=4n(n+1)+6$$
Krok 3. Analiza otrzymanego wyniku i zakończenie dowodzenia.
Musimy teraz udowodnić, że \(4n(n+1)\) jest liczbą podzielną przez \(8\). Póki co to wiemy, że jest na pewno podzielne przez \(4\), bo przed nawiasem mamy właśnie czwórkę. Jeżeli to udowodnimy, to zadanie można uznać za skończone, bo liczba podzielna przez \(8\) powiększona o \(6\), da nam rzeczywiście resztę równą \(6\) po dzieleniu przez \(8\).
Zauważmy, że \(n(n+1)\) jest to jest po prostu mnożenie dwóch kolejnych liczb naturalnych \(n\cdot(n+1)\). Skoro tak jedna z tych liczb (\(n\) lub \(n+1)\) jest nieparzysta, a jedna (\(n\) lub \(n+1)\) jest parzysta. Iloczyn liczby nieparzystej i parzystej da wynik parzysty. W związku z tym iloczyn \(n(n+1)\) jest podzielny przez \(2\), czyli możemy zapisać, że:
$$n(n+1)=2\cdot k$$
Wracając teraz do naszego wyniku, jeżeli podstawimy pod \(n(n+1)\) wartość \(2k\), to otrzymamy:
$$4n(n+1)+6=4\cdot2k+6=8k+6$$
Udało nam się w ten sposób udowodnić, że ta liczba po podzieleniu przez \(8\) daje wynik równy \(k\) i reszta \(6\).
Zadanie nr 24 · Matura 2018
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od \(2018\) i podzielnych przez \(5\)?
A\(402\)
B\(403\)
C\(203\)
D\(204\)
Krok 1. Zapisanie ciągu arytmetycznego.
Możemy zauważyć, że liczby mniejsze od \(2018\) i podzielne przez \(5\) tworzą następujący ciąg arytmetyczny:
$$1000, 1005, 1010,...,2010, 2015$$
O tym ciągu możemy powiedzieć, że:
$$a_{1}=1000$$
$$a_{n}=2015$$
$$r=5$$
Krok 2. Obliczenie ilości wyrazów ciągu arytmetycznego.
Musimy ustalić ile jest jest wyrazów w naszym ciągu, czyli musimy obliczyć \(n\). W związku z tym korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$2015=1000+(n-1)\cdot5$$
$$2015=1000+5n-5$$
$$5n=1020$$
$$n=204$$
Zadanie nr 6 · Próbny 2017
Funkcja \(f\) każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez \(3\). Zbiór wartości tej funkcji to:
A\(\{0,1\}\)
B\(\{0,2\}\)
C\(\{1,2\}\)
D\(\{0,1,2\}\)
Reszta z dzielenia przez \(3\) może być równa \(0\), \(1\) lub też \(2\). Przykładowo:
$$6:3=2\;r.0$$
$$7:3=2\;r.1$$
$$8:3=2\;r.2$$
$$9:3=3\;r.0$$
To oznacza, że zbiorem wartości tej funkcji są liczby \(\{0,1,2\}\).
Zadanie nr 26 · Próbny 2017
Do kwadratu różnicy dwóch dowolnych liczb parzystych dodano różnicę kwadratów tych liczb. Udowodnij, że otrzymana liczba jest podzielna przez \(8\).
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Przyjmijmy, że \(a\) oraz \(b\) to liczby parzyste, które są bohaterami naszego zadania. Zazwyczaj liczby parzyste opisujemy jednomianem \(2n\), ale tutaj skoro mogą to być dwie różne liczby, to możemy zapisać sobie, że \(a=2n\) oraz \(b=2m\), gdzie \(n\) oraz \(m\) są liczbami całkowitymi.
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Zgodnie z treścią zadania interesuje nas następujące działanie:
$$(a-b)^2+a^2-b^2=$$
$$=a^2-2ab+b^2+a^2-b^2=$$
$$=2a^2-2ab$$
Podstawiając teraz \(a=2n\) oraz \(b=2m\) otrzymamy:
$$2\cdot(2n)^2-2ab=2\cdot4n^2-2\cdot2n\cdot2m=8n^2-8nm=8n\cdot(n-m)$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Powiedzieliśmy sobie, że \(n\) oraz \(m\) to liczby całkowite. Różnica liczb całkowitych \(n-m\) jest liczbą całkowitą. Jeżeli tą całkowitą liczbę pomnożymy jeszcze przez \(n\) stojące przed nawiasem, to cały czas będziemy mieć całkowity wynik. W związku z tym, że na początku wyrażenia znalazła się jeszcze ósemka, a cała reszta jest liczbą całkowitą, to mamy dowód, że otrzymana liczba jest podzielna przez \(8\).
Zadanie nr 3 · Próbny 2017
Reszta z dzielenia liczby naturalnej \(x\) przez \(9\) jest równa \(7\). Reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez \(9\) jest równa:
A\(2\)
B\(4\)
C\(6\)
D\(8\)
Krok 1. Zapisanie liczby \(x\) w postaci wyrażenia algebraicznego.
Zastanówmy się co to znaczy, że po podzieleniu liczby \(x\) przez \(9\) mamy resztę równa \(7\). Przykładowo takimi liczbami mogą być \(16\), \(25\) lub też \(34\). Mielibyśmy wtedy taką sytuację:
$$16=9\cdot1+7$$
$$25=9\cdot2+7$$
$$34=9\cdot3+7$$
To oznacza, że taką liczbę \(x\) możemy zapisać jako:
$$x=9\cdot k+7 \quad (k\in N)$$
Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(x^2\).
Teraz naszym zadaniem jest odpowiedzenie na pytanie jaką resztę otrzymamy kiedy to podzielimy \(x^2\) przez \(9\). Obliczmy zatem najpierw ile jest równe to nasze \(x^2\), a z pomocą przyjdą nam tutaj wzory skróconego mnożenia.
$$x^2=(9k+7)^2$$
$$x^2=81k^2+126k+49$$
Krok 3. Obliczenie reszty z dzielenia \(x^2\) przez \(9\).
Wiemy już ile jest równe nasze \(x^2\) i teraz musimy odpowiedzieć na pytanie jaka jest reszta z dzielenia \(81k^2+126k+49\) przez \(9\). Musimy więc zapisać tę naszą liczbę w taki sposób, by przed nawias wyłączyć dziewiątkę, a za nawiasem by mieć jakąś konkretną liczbę naturalną (która będzie resztą z takiego dzielenia). \(81\) oraz \(126\) są podzielne przez \(9\), natomiast \(49\) podzielne przez \(9\) nie jest. Z tego też względu będziemy musieli rozbić to \(49\) na np. \(45+4\). Całość wyglądać będzie następująco:
$$x^2=81k^2+126k+49$$
$$x^2=81k^2+126k+45+4$$
$$x^2=9\cdot(9k^2+14k+5)+4$$
To oznacza, że liczba \(x^2\) podzielona przez \(9\) daje wynik \(9k^2+14k+5\) i resztę równą \(4\).
Zadanie nr 25 · Matura 2017
Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od \(1\) do \(24\) losujemy jedną liczbę. Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem \(24\). Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe:
A\(\frac{1}{4}\)
B\(\frac{1}{3}\)
C\(\frac{1}{8}\)
D\(\frac{1}{6}\)
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro losujemy jedną z dwudziestu czterech liczb, to wszystkich zdarzeń elementarnych mamy: \(|Ω|=24\).
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym będzie trafienie na liczbę, która jest dzielnikiem liczby \(24\). Wypiszmy więc jakie dzielniki ma liczba \(24\):
$$D_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$$
Widzimy wyraźnie, że jest to osiem różnych dzielników, zatem: \(|A|=8\).
Wykaż, że liczba \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) jest podzielna przez \(17\).
Aby wykazać, że dana liczba jest podzielna przez \(17\) to dobrze byłoby zamienić to dodawanie na iloczyn liczb (wyłączając przed nawias odpowiednie wartości) i to w taki sposób by jednym z czynników była albo liczba \(17\) albo jej wielokrotność. Na początku warto wyciągnąć przed nawias wartość \(4^{2017}\):
$$4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}=$$
$$=4^{2017}\cdot(1+4^1+4^2+4^3)=$$
$$=4^{2017}\cdot(1+4+16+64)=$$
$$=4^{2017}\cdot85=$$
$$=4^{2017}\cdot17\cdot5$$
Doprowadzenie równania do tej postaci kończy nasz dowód, bo skoro jednym z czynników równania jest liczba \(17\), to całe działanie jest także podzielne przez \(17\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2016
Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej \(n\) największy wspólny dzielnik liczb \(n\) oraz \(n+10\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa:
A\(2\)
B\(5\)
C\(10\)
D\(20\)
W tym zadaniu zbyt wiele nie policzymy, musimy tylko przeanalizować całą sytuację. Zobaczmy jak ta funkcja zachowuje się dla kilku przykładowych \(n\):
Gdy \(n=4\), to musimy obliczyć NWD liczb \(4\) oraz \(14\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(2\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=2\).
Gdy \(n=10\), to musimy obliczyć NWD liczb \(10\) oraz \(20\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(10\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=10\).
Gdy \(n=20\), to musimy obliczyć NWD liczb \(20\) oraz \(30\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(10\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=10\).
Gdy \(n=30\), to musimy obliczyć NWD liczb \(30\) oraz \(40\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(10\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=10\).
Jakbyśmy do tego zadania nie podchodzili, to nie uda nam się otrzymać NWD większego od \(10\).
Gdyby jednak to zadanie było zadaniem dowodowym, to jak matematycznie udowodnić, że na pewno nie otrzymamy nigdzie \(NWD=20\)? Załóżmy, że nasza pierwsza liczba dzieli się przez \(20\) (tylko wtedy byłaby szansa, że NWD jest równe \(20\)), czyli że \(n=20\cdot k\), gdzie \(k\) jest dodatnią liczbą całkowitą. W takiej sytuacji druga liczba będzie równa \(20k+10\). Jeżeli teraz w drugiej liczbie wyłączymy przed nawias wartość \(20\), to otrzymamy \(20\cdot(k+\frac{1}{2})\). Skoro \(k\) było dodatnią liczbą całkowitą, to przez ułamek \(\frac{1}{2}\) wartość w nawiasie wyszła nam niecałkowita. To oznacza, że jeżeli pierwsza liczba jest podzielna przez \(20\), to druga (ta większa od \(10\)) nie będzie podzielna przez \(20\), bo zawsze dzieląc ją przez \(20\) otrzymamy wynik z "połówką". Np.:
Jeżeli \(n=20\), to mamy liczby \(20\) oraz \(30\). Dzieląc obydwie liczby przez \(20\) otrzymamy \(20:20=1\) oraz \(30:20=1,5\).
Jeżeli \(n=200\), to mamy liczby \(200\) oraz \(210\). Dzieląc obydwie liczby przez \(20\) otrzymamy \(200:20=10\) oraz \(210:20=10,5\).
Zadanie nr 27 · Próbny 2016
Udowodnij, że różnica kwadratów dowolnej liczby pierwszej \(p\gt2\) i liczby o dwa od niej mniejszej jest podzielna przez \(8\).
Krok 1. Zapisanie wyrażenia na podstawie treści zadania.
Jeżeli przyjmiemy, że \(p\) jest dowolną liczbą pierwszą, to liczbą o dwa od niej mniejszą będzie liczba \(p-2\). W związku z tym skoro interesuje nas różnica kwadratów tych dwóch liczb, to musimy sprawdzić wartość wyrażenia:
$$p^2-(p-2)^2$$
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy powyższe wyrażenie rozpisać jako:
$$p^2-(p^2-4p+4)=p^2-p^2+4p-4=4p-4=4\cdot(p-1)$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Skoro liczba \(p\) jest tak zwaną liczbą pierwszą i \(p\gt2\) (bo tak wynika z treści zadania), to na pewno jest to liczba nieparzysta (bo wszystkie liczby pierwsze oprócz dwójki są nieparzyste). Skoro tak, to liczba \(p-1\) (która znalazła się w nawiasie naszego przekształconego wyrażenia) będzie liczbą parzystą. Na matematyce liczby parzyste zapisujemy jako \(2n\), gdzie \(n\) jest liczbą nieparzystą. Nasze wyrażenie moglibyśmy więc zapisać jako:
$$4\cdot2n=8n$$
Otrzymany w ten sposób wynik dowodzi, że ta liczba musi być podzielna przez \(8\).
Zadanie nr 24 · Matura 2015
Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) i niepodzielnych przez \(9\)?
A\(6\)
B\(10\)
C\(12\)
D\(15\)
Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby.
I sposób - wypisując sobie poszczególne liczby.
Moglibyśmy wypisać sobie wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez \(6\) i zostawić na niej tylko te niepodzielne przez \(9\). Tych liczb nie będzie tak wiele, więc jesteśmy w stanie zrobić to ręcznie:
$$\require{cancel}
12,\cancel{18},24,30,\cancel{36},42,48$$
$$\cancel{54},60,66,\cancel{72},78,84,\cancel{90},96$$
Zostało nam \(10\) liczb i taka jest też nasza odpowiedź.
II sposób - korzystając z własności ciągów arytmetycznych.
Krok 1. Obliczenie ilości liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(6\).
Gdyby to zadanie obejmowało jeszcze liczby trzycyfrowe, to dobrze byłoby wykonać to wszystko nieco bardziej matematycznie, bo wypisywanie ręczne byłoby bardzo czasochłonne. W takiej sytuacji z pomocą przyjdzie nam ciąg arytmetyczny, którego \(a_{1}=12\) oraz \(r=6\). Dobrze byłoby też wyznaczyć sobie największą liczbę dwucyfrową podzielną przez \(6\), a jest nią \(96\), zatem \(a_{n}=96\). Teraz w prosty sposób możemy obliczyć ile wyrazów zawiera ten ciąg arytmetyczny:
$$a_{1}+(n-1)r=a_{n}$$
$$12+(n-1)\cdot6=96$$
$$(n-1)\cdot6=84$$
$$n-1=14$$
$$n=15$$
To oznacza, że mamy \(15\) liczb podzielnych przez \(6\).
Krok 2. Obliczenie ile z tych liczb jest niepodzielnych przez \(9\).
Najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) liczb \(6\) i \(9\) jest \(18\). To oznacza, że każda liczba podzielna przez \(18\) będzie podzielna i przez \(6\) i przez \(9\). Liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(18\) jest pieć: \(18,36,54,72,90\).
Skoro nas interesują te niepodzielne przez \(9\), więc ze zbioru \(n=15\) musimy odrzucić te pięć liczb, które obliczyliśmy sobie przed chwilą i zostaje nam \(10\) dwucyfrowych liczb, które są podzielne przez \(6\) i niepodzielne przez \(9\).
Zadanie nr 4 · Matura 2015
Liczba \(17^3+m^3\) jest podzielna przez \(19\) dla:
A\(m=-8\)
B\(m=-2\)
C\(m=2\)
D\(m=8\)
Najprościej (i chyba w tym przypadku najlepiej) jest po prostu sprawdzić dla którego \(m\) otrzymamy liczbę podzielną przez \(19\). Podstawiając po kolei każdą z odpowiedzi otrzymamy:
Odp. A. \(17^3+(-8)^3=4913+(-512)=4913-512=4401\)
\(4401:19=231,63...\)
Odp. B. \(17^3+(-2)^3=4913+(-8)=4913-8=4905\)
\(4905:19=258,15...\)
Odp. C. \(17^3+2^3=4913+8=4921\)
\(4921:19=259\)
Odp. D. \(17^3+8^3=4913+512=5425\)
\(5425:19=285,52...\)
W ten oto sposób widzimy wyraźnie, że liczba stała się podzielna przez \(19\) tylko w sytuacji, gdy \(m=2\).
Gdybyśmy jednak chcieli to zadanie rozwiązać nieco bardziej matematycznie, to należałoby całość rozpisać korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$17^3+m^3=(17+m)(17^2-17m+m^2)$$
Z tak otrzymanej postaci widzimy, że liczba będzie podzielna przez \(19\), gdy wartość w jednym z nawiasów będzie podzielna przez \(19\). Patrząc się przykładowo na pierwszy nawias możemy powiedzieć, że \(17+m\) będzie podzielne przez \(19\) właśnie dla \(m=2\), bo otrzymamy wtedy \(17+2\), czyli \(19\).
Zadanie nr 28 · Matura 2014
Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \(24\).
Krok 1. Zapisanie liczb naturalnych parzystych za pomocą wyrażeń algebraicznych.
Każdą liczbę naturalną możemy zapisać jako \(n\).
Każdą liczbę naturalną parzystą możemy zapisać jako \(2n\).
W związku z tym trzema kolejnymi liczbami naturalnymi będą:
$$2n;\quad2n+2;\quad2n+4$$
Krok 2. Obliczenie sześcianu każdej z kolejnych liczb.
Skorzystamy tutaj (i to dwukrotnie) ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy liczb:
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$
Zgodnie z treścią zadania każda liczba musi być podniesiona do potęgi trzeciej, zatem:
$$(2n)^3=8n^3$$
$$(2n+2)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot2+3\cdot2n\cdot2^2+2^3=$$
$$=8n^3+24n^2+24n+8$$
$$(2n+4)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot4+3\cdot2n\cdot4^2+4^3=$$
$$=8n^3+48n^2+96n+64$$
Krok 3. Zsumowanie trzech wyników i wyłączenie całości przed nawias.
Suma tych wszystkich trzech wyrażeń będzie więc równa:
$$8n^3+8n^3+24n^2+24n+8+8n^3+48n^2+96n+64=$$
$$=24n^3+72n^2+120n+72=$$
$$=24(n^3+3n^2+5n+3)$$
Wyłączając przed nawias liczbę \(24\) udowodniliśmy, że suma tych trzech liczb jest podzielna przez \(24\).
Zadanie nr 28 · Próbny 2014
Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez \(3\), to jej kwadrat przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\).
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(n\) - liczba naturalna
\(3n\) - liczba naturalna podzielna przez \(3\)
\(3n+1\) - liczba naturalna niepodzielna przez \(3\) (daje resztę równą \(1\))
\(3n+2\) - liczba naturalna niepodzielna przez \(3\) (daje resztę równą \(2\))
Musimy udowodnić, że liczby niepodzielne przez \(3\) (czyli \(3n+1\) oraz \(3n+2\)) podniesione do kwadratu dają resztę z dzielenia przez \(3\) równą \(1\).
Krok 2. Podniesienie do kwadratu liczb niepodzielnych przez \(3\).
Musimy zweryfikować obydwa warianty.
$$(3n+1)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1$$
$$(3n+2)^2=9n^2+12n+4=9n^2+12n+3+1=3(3n^2+4n+1)+1$$
W obydwu przykładach aby udowodnić, że liczba po podzieleniu przez \(3\) daje resztę równą \(1\) wyciągnęliśmy przed nawias trójkę. Skoro wolnym wyrazem który został nam na końcu tego wyniku jest jedynka, to dowód możemy uznać za zakończony, bo to będzie właśnie nasza reszta z dzielenia.
Zadanie nr 28 · Matura 2014
Udowodnij, że każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \(3k^2\) przez \(7\) jest równa \(5\).
Jeżeli liczba \(k\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\) to możemy ją zapisać w postaci \(k=7n+2\). Podstawiając tę postać do liczby \(3k^2\) otrzymamy:
$$3k^2=3\cdot(7n+2)^2=3\cdot(49n^2+28n+4)=147n^2+84n+12$$
Teraz musimy udowodnić, że ta liczba którą otrzymaliśmy dzieli się przez \(7\) i daje resztę \(5\). Dobrze byłoby więc wyłączyć siódemkę przed nawias, ale przeszkadza nam w tym liczba \(12\). Rozbijmy więc ją sobie na działanie \(7+5\) i tak oto:
$$147n^2+84n+7+5=7\cdot(21n^2+12n+1)+5$$
W ten oto sposób pokazaliśmy, że dzieląc to wyrażenie przez \(7\) otrzymamy jakąś liczbę całkowitą (opisaną jako \(21n^2+12n+1\)) i jeszcze zostanie nam \(5\) reszty. Dowodzenie można więc uznać za zakończone.
Zadanie nr 23 · Próbny 2013
Ze zbioru liczb \(\{1,2,3,4,6,8,12,14,15\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że wybierzemy liczbę, której dzielnikiem jest liczba \(3\), wynosi:
A\(\frac{5}{9}\)
B\(\frac{4}{9}\)
C\(\frac{1}{3}\)
D\(\frac{2}{3}\)
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli wszystkich liczb w tym zbiorze) jest \(9\), czyli \(|Ω|=9\).
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wybór liczby podzielnej przez \(3\). Takimi liczbami z naszego zbioru są: \(3,6,12,15\). Są to więc \(4\) liczby, czyli \(|A|=4\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{9}$$
Zadanie nr 30 · Matura 2013
Wykaż, że liczba \((1+2013^2)(1+2013^4)\) jest dzielnikiem liczby:
Najprościej jest to zadanie udowodnić wyłączając wartość \((1+2013)\). Całość obliczeń wygląda następująco:
$$1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7=$$
$$=1\cdot(1+2013)+2013^2\cdot(1+2013)+2013^4\cdot(1+2013)+2013^6\cdot(1+2013)=$$
$$=(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot(1+2013)=$$
$$(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot2014$$
To oznacza, że nasza liczba jest jak najbardziej podzielna przez \((1+2013^2)(1+2013^4)\), a wynikiem tego dzielenia będzie \(2014\).
Zadanie nr 31 · Matura 2013
Wykaż, że liczba \(6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}\) jest podzielna przez \(17\).
Aby móc udowodnić, że wskazana liczba jest podzielna przez \(17\) najlepiej byłoby z całego zapisu wyłączyć liczbę \(17\) (lub jej wielokrotność) i właśnie w ten sposób udowodnimy wskazaną tezę.
Krok 1. Wyłączenie przed nawias wartości \(6^{98}\).
$$6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}=$$
$$=6^{98}\cdot(6^2-2\cdot6+10)=$$
$$=6^{98}\cdot(36-12+10)=$$
$$=6^{98}\cdot34=6^{98}\cdot2\cdot17$$
Krok 2. Interpretacja obliczeń i zakończenie dowodzenia.
Liczbę \(6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}\) przedstawiliśmy w formie mnożenia \(6^{98}\cdot2\cdot17\), którego jeden z czynników jest równy \(17\). To znaczy, że cała liczba jest podzielna przez \(17\), a wynikiem tego dzielenia byłoby \(6^{98}\cdot2\).
Zadanie nr 27 · Próbny 2012
Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(n\) liczba \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\) jest wielokrotnością liczby \(10\).
Nasze zadanie tak naprawdę sprowadza się do znalezienia sposobu na wyłączenie przed nawias dziesiątki (lub jej wielokrotności), co ostatecznie udowodniłoby fakt, że ta liczba będzie wielokrotnością \(10\). Całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$$
$$3^{n+2}+3^n-2^{n+2}-2^n$$
$$3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1)$$
$$3^n\cdot10-2^n\cdot5$$
$$3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot2\cdot5$$
$$3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10$$
$$10\cdot(3^n-2^{n-1})$$
Zadanie nr 29 · Matura 2012
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).
\(n\) - pierwsza liczba
\(n+1\) - druga liczba
\(n+2\) - trzecia liczba
Każdą z liczb podniesiemy teraz do kwadratu (zgodnie z treścią zadania) i spróbujemy całość doprowadzić do takiej sytuacji, by wyłączyć trójkę lub jej wielokrotność przed nawias, zatem:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=$$
$$=n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=$$
$$=3n^2+6n+5=$$
$$=3(n^2+2n+1)+2$$
Doprowadzenie równania do takiej postaci kończy nasze dowodzenie, bowiem dwójka stojąca na samym końcu jest właśnie resztą z dzielenia.
Zadanie nr 25 · Matura 2011
Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od \(1\) do \(16\), czyli \(1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot16\), jest podzielny przez \(2^{15}\).
W tym zadaniu należało zauważyć, że wszystkie liczby parzyste można zapisać używając dwójki w pewnej potędze:
$$2=2^1$$
$$4=2^2$$
$$6=2^1\cdot3$$
$$8=2^3$$
$$10=2^1\cdot5$$
$$12=2^2\cdot3$$
$$14=2^1\cdot7$$
$$16=2^4$$
Gdybyśmy teraz pomnożyli przez siebie te wszystkie liczby parzyste to otrzymalibyśmy:
$$2^1\cdot2^2\cdot2^1\cdot3\cdot2^3\cdot2^1\cdot5\cdot2^2\cdot3\cdot2^1\cdot7\cdot2^4=$$
$$=2^{1+2+1+3+1+2+1+4}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7=$$
$$2^{15}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7$$
Udało nam się udowodnić, że mnożąc przez siebie wszystkie parzyste liczby wynik jest na pewno podzielny przez \(2^{15}\). To oznacza, że możemy teraz mnożyć to działanie przez cokolwiek (np. przez liczby nieparzyste, które pominęliśmy), a wynik nadal będzie podzielny przez \(2^{15}\), co należało udowodnić.
Zadanie nr 27 · Matura 2011
Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(n\) liczba \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\) jest wielokrotnością liczby \(10\).
Nasze zadanie tak naprawdę sprowadza się do znalezienia sposobu na wyłączenie przed nawias dziesiątki (lub jej wielokrotności), co ostatecznie udowodniłoby fakt, że ta liczba będzie wielokrotnością \(10\). Całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$$
$$3^{n+2}+3^n-2^{n+2}-2^n$$
$$3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1)$$
$$3^n\cdot10-2^n\cdot5$$
$$3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot2\cdot5$$
$$3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10$$
$$10\cdot(3^n-2^{n-1})$$
Zadanie nr 10 · Matura
Reszta z dzielenia liczby \(55\) przez \(8\) jest równa:
A\(4\)
B\(5\)
C\(6\)
D\(7\)
Skoro \(6\cdot8=48\), to reszta z dzielenia liczby \(55\) przez \(8\) jest równa \(55-48=7\).
Zadanie nr 11 · Matura
Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od \(1\) jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb: \(f(42\)), \(f(44)\), \(f(45)\), \(f(48)\) największa to:
Krok 2. Wybór największego dzielnika każdej z liczb będącego liczbą pierwszą.
Liczba pierwsza to taka, która dzieli się tylko przez jedynkę oraz przez samą siebie.
Największymi dzielnikiem będącym liczbą pierwszą jest:
Dla \(42\) - liczba \(7\)
Dla \(44\) - liczba \(11\)
Dla \(45\) - liczba \(5\)
Dla \(48\) - liczba \(3\)
Zadanie nr 28 · Matura
Uzasadnij, że liczba \(4^{12}+4^{13}+4^{14}\) jest podzielna przez \(42\).
Aby udowodnić, że ta liczba jest podzielna przez \(42\) musimy zapisać to dodawanie w postaci mnożenia, wyłączając przed nawias odpowiednie czynniki. Jeśli uda nam się doprowadzić do sytuacji, w której jednym z czynników będzie liczba \(42\) lub jej wielokrotność, to dowód będziemy mogli uznać za zakończony.
Wyłączając przed nawias wartość \(4^{11}\) otrzymamy:
$$4^{12}+4^{13}+4^{14}=4^{11}\cdot(4+4^{2}+4^{3})=$$
$$=4^{11}\cdot(4+16+64)=4^{11}\cdot84=4^{11}\cdot2\cdot42$$
Doprowadzając liczbę do takiej postaci możemy uznać dowód za zakończony.
Zadanie nr 1 · Matura
Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez \(3\).
Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
\(n\) - pierwsza liczba całkowita
\(n+1\) - druga liczba całkowita
\(n+2\) - trzecia liczba całkowita
W ten sposób opisaliśmy trzy kolejne liczby całkowite, które musimy teraz dodać, zatem:
$$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$$
Dzięki wyłączeniu trójki przed nawias, możemy stwierdzić, że ta suma jak najbardziej dzieli się przez \(3\), dając wynik równy \(n+1\). Dowodzenie można uznać za zakończone.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.