Widmo fal elektromagnetycznych

Zadanie polega na narysowaniu wektora $\vec{E}_2$ po przejściu przez polaryzator $\mathcal{P}_2$, z zachowaniem poprawnego kierunku, zwrotu oraz długości proporcjonalnej do wartości amplitudy.

1. Krok 1: Wyznaczenie amplitudy pola elektrycznego po przejściu przez $\mathcal{P}_1$

   Natężenie światła jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy natężenia pola elektrycznego:

   $$I \propto E^2$$

   Po przejściu przez polaryzator $\mathcal{P}_1$ natężenie wynosi $I_1 = \dfrac{1}{2}I$, więc amplituda $E_1$ spełnia:

   $$E_1^2 \propto I_1 = \frac{1}{2}I$$

   Wektor $\vec{E}_1$ jest zorientowany wzdłuż osi polaryzacji $\mathcal{O}_1$ polaryzatora $\mathcal{P}_1$.

2. Krok 2: Zastosowanie prawa Malusa

   Światło padające na polaryzator $\mathcal{P}_2$ jest już spolaryzowane liniowo wzdłuż $\mathcal{O}_1$. Kąt między osią $\mathcal{O}_1$ a osią $\mathcal{O}_2$ wynosi $\alpha$. Zgodnie z prawem Malusa:

   $$I_2 = I_1 \cos^2\!\alpha = \frac{1}{2}I\cos^2\!\alpha$$

   Ponieważ $I \propto E^2$, amplituda po przejściu przez $\mathcal{P}_2$ wynosi:

   $$E_2 = E_1 \cos\alpha$$

   Jest to rzut wektora $\vec{E}_1$ na kierunek osi $\mathcal{O}_2$.

3. Krok 3: Określenie kierunku i zwrotu wektora $\vec{E}_2$

   Polaryzator $\mathcal{P}_2$ przepuszcza wyłącznie składową pola elektrycznego równoległą do swojej osi polaryzacji $\mathcal{O}_2$. Zatem:

   • Kierunek wektora $\vec{E}_2$: wzdłuż osi $\mathcal{O}_2$.
   • Zwrot: zgodny ze zwrotem rzutu $\vec{E}_1$ na oś $\mathcal{O}_2$ (tj. w tę stronę osi $\mathcal{O}_2$, po której leży rzut $\vec{E}_1$).
   • Długość: równa $E_1 \cos\alpha$, czyli krótsza od $E_1$ $\cos\alpha$ razy.
4. Krok 4: Opis rysunku wektora $\vec{E}_2$

   Na rysunku 2. należy:

   1. Zidentyfikować oś $\mathcal{O}_2$ (oś polaryzacji polaryzatora $\mathcal{P}_2$), nachyloną pod kątem $\alpha$ do osi $\mathcal{O}_1$.
   2. Poprowadzić z punktu przyłożenia wektora $\vec{E}_1$ prostopadłą na oś $\mathcal{O}_2$ — stopa tej prostopadłej wskazuje koniec wektora $\vec{E}_2$.
   3. Narysować wektor $\vec{E}_2$ wzdłuż osi $\mathcal{O}_2$, o długości $E_1\cos\alpha$, z grotem skierowanym zgodnie z rzutem $\vec{E}_1$.

   Geometrycznie: $\vec{E}_2$ jest rzutem ortogonalnym $\vec{E}_1$ na kierunek $\mathcal{O}_2$.

Wynik końcowy:

Wektor $\vec{E}_2$ należy narysować wzdłuż osi $\mathcal{O}_2$, z długością:

odpowiadającą rzutowi $\vec{E}_1$ na oś $\mathcal{O}_2$, ze zwrotem zgodnym z kierunkiem tego rzutu. Jest on krótszy od $\vec{E}_1$ $\cos\alpha$ razy i skierowany dokładnie wzdłuż osi polaryzacji $\mathcal{O}_2$ polaryzatora $\mathcal{P}_2$.

Zadanie dotyczy przechodzenia światła przez dwa polaryzatory ustawione pod kątem $\alpha = 45°$ względem siebie. Oznaczenia: $I$ – natężenie światła padającego (spolaryzowanego) na pierwszy polaryzator, $I_1$ – natężenie po przejściu przez pierwszy polaryzator, $I_2$ – natężenie po przejściu przez drugi polaryzator, $E_1$, $E_2$ – amplitudy pola elektrycznego odpowiednio po pierwszym i po drugim polaryzatorze.

1. Krok 1 – Prawo Malusa i związki między wielkościami

   Prawo Malusa opisuje zmianę natężenia światła spolaryzowanego liniowo po przejściu przez polaryzator:

   $$I_2 = I_1 \cos^2\alpha$$

   Dla $\alpha = 45°$, gdzie $\cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$:

   $$I_2 = I_1 \cdot \cos^2 45° = I_1 \cdot \frac{1}{2}$$

   Natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy pola elektrycznego:

   $$I \propto E^2$$

   Zatem $I_1 \propto E_1^2$ oraz $I_2 \propto E_2^2$.

2. Krok 2 – Ocena zależności: $E_1 = \sqrt{2}\, E_2$

   Ze związku $I_2 = \dfrac{1}{2} I_1$ oraz $I \propto E^2$ wynika:

   $$E_2^2 \propto I_2 = \frac{1}{2} I_1 \propto \frac{1}{2} E_1^2$$ $$E_2 = \frac{E_1}{\sqrt{2}}$$

   Przekształcając:

   $$E_1 = \sqrt{2}\, E_2$$

   Zależność jest PRAWDZIWA (P).

3. Krok 3 – Ocena zależności: $I_1 = 2I_2$

   Z prawa Malusa:

   $$I_2 = I_1 \cdot \cos^2 45° = I_1 \cdot \frac{1}{2}$$

   Stąd:

   $$I_1 = 2 I_2$$

   Zależność jest PRAWDZIWA (P).

4. Krok 4 – Ocena zależności: $I = 4I_2$

   Należy ustalić, jak $I_1$ ma się do natężenia $I$ światła padającego na układ polaryzatorów. Zależy to od tego, czy światło padające jest już spolaryzowane, czy niespolaryzowane.

   Kontekst zadania wskazuje, że $I$ to natężenie światła padającego na pierwszy polaryzator, a $I_1$ to natężenie po jego przejściu. Zgodnie z prawem Malusa (dla światła spolaryzowanego padającego na polaryzator o osi równoległej lub dla światła niespolaryzowanego), jeśli $I$ oznacza natężenie światła spolaryzowanego padającego na pierwszy polaryzator i przyjmujemy ogólną zależność $I_1 = I\cos^2\theta$ dla pewnego kąta $\theta$, to informacja o tym kącie nie jest podana.

   Najczęstszy kontekst tego zadania (układ dwóch polaryzatorów, gdzie $I$ to natężenie przed pierwszym polaryzatorem, a pierwszy polaryzator jest ustawiony tak, że $I_1 = I/2$, co odpowiada światłu niespolaryzowanemu) daje:

   $$I_1 = \frac{I}{2}$$

   Wówczas:

   $$I_2 = \frac{1}{2} I_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{I}{2} = \frac{I}{4}$$ $$I = 4I_2$$

   Zależność jest PRAWDZIWA (P).

Wynik końcowy:

• $E_1 = \sqrt{2}\, E_2$  →  P (Prawda), bo $I_1 = 2I_2$ i $I \propto E^2$, więc $E_1 = \sqrt{2}\,E_2$
• $I_1 = 2I_2$  →  P (Prawda), bo z prawa Malusa $I_2 = I_1\cos^2 45° = \tfrac{1}{2}I_1$
• $I = 4I_2$  →  P (Prawda), bo dla światła niespolaryzowanego $I_1 = \tfrac{I}{2}$, a $I_2 = \tfrac{I_1}{2} = \tfrac{I}{4}$

Jak to rozwiązać — postulat stałości prędkości światła

Prędkość fali elektromagnetycznej w próżni jest stała (równa c) i nie zależy od ruchu źródła ani obserwatora (podstawa szczególnej teorii względności). Ruch źródła zmienia jedynie częstotliwość i długość fali (efekt Dopplera), nie jej prędkość.

Odpowiedź: B1.

✔ Zgodne z kluczem: B1.

Jak to rozwiązać — źródło się oddala → niższa częstotliwość

Sonda się oddala, więc odbierana częstotliwość jest mniejsza od częstotliwości źródła o |Δf|:

$f_Z=f_{źr}-|\Delta f|=3{,}00000\ \text{GHz}-0{,}00075\ \text{GHz}=\mathbf{2{,}99925\ \text{GHz}}$

Odpowiedź: D.

✔ Zgodne z kluczem: D.

Jak to rozwiązać — przybliżony wzór Dopplera dla v ≪ c

Dla małych prędkości względne przesunięcie częstotliwości równa się v/c:

$\dfrac{|\Delta f|}{f_{źr}}\approx\dfrac{v}{c}\;\Rightarrow\;v\approx\dfrac{|\Delta f|}{f_{źr}}\cdot c$

$v\approx\dfrac{750\cdot10^3}{3\cdot10^9}\cdot3\cdot10^8=\mathbf{75\,000\ \tfrac{m}{s}}=75\ \tfrac{km}{s}$

✔ Zgodne z kluczem: v ≈ 75 000 m/s.