Widma atomowe

Rozwiązanie

1. Krok 1: Przypomnienie poziomów energetycznych atomu wodoru

   Energia elektronu na $n$-tym poziomie atomu wodoru wynosi:

   $$E_n = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{n^2}$$

   Obliczamy energie dla poziomów $n = 3$, $n = 4$ oraz $n = 5$:

   $$E_3 = -\frac{13{,}6}{9} \approx -1{,}511 \text{ eV}$$ $$E_4 = -\frac{13{,}6}{16} \approx -0{,}850 \text{ eV}$$ $$E_5 = -\frac{13{,}6}{25} \approx -0{,}544 \text{ eV}$$

2. Krok 2: Obliczenie energii emitowanych fotonów

   Energia fotonu emitowanego podczas przejścia między poziomami równa się różnicy energii tych poziomów:

   $$E_\text{fotonu} = E_\text{wyższy} - E_\text{niższy}$$

   Dla przejścia $5 \to 3$:

   $$E_{53} = E_5 - E_3 = (-0{,}544) - (-1{,}511) = 0{,}967 \text{ eV}$$

   Dla przejścia $4 \to 3$:

   $$E_{43} = E_4 - E_3 = (-0{,}850) - (-1{,}511) = 0{,}661 \text{ eV}$$

   Zatem:

   $$E_{53} \approx 0{,}967 \text{ eV} > E_{43} \approx 0{,}661 \text{ eV}$$

3. Krok 3: Wyznaczenie relacji między długościami fal

   Energia fotonu i długość fali są związane wzorem:

   $$E = \frac{hc}{\lambda} \implies \lambda = \frac{hc}{E}$$

   Długość fali jest odwrotnie proporcjonalna do energii fotonu. Skoro $E_{53} > E_{43}$, to:

   $$\lambda_{53} = \frac{hc}{E_{53}} \lt \frac{hc}{E_{43}} = \lambda_{43}$$

   Czyli $\lambda_{53} \lt \lambda_{43}$.

   Można to zrozumieć intuicyjnie: przejście $5 \to 3$ obejmuje większą „skocznię" energetyczną niż $4 \to 3$, więc emitowany foton ma większą energię i krótszą długość fali.

4. Krok 4: Ocena odpowiedzi

   Odpowiedzi dotyczące długości fali:

   • A. $\lambda_{53} > \lambda_{43}$ — błędna: większa energia fotonu oznacza krótszą, a nie dłuższą falę.
   • B. $\lambda_{53} \lt \lambda_{43}$ — poprawna: foton z przejścia $5 \to 3$ ma większą energię, więc ma krótszą długość fali.
   • C. $\lambda_{53} = \lambda_{43}$ — błędna: energie obu fotonów są różne, więc długości fal również muszą być różne.

   Odpowiedzi dotyczące energii:

   • 1. $E_{53} > E_{43}$ — poprawna: przejście z poziomu 5 do 3 odpowiada większej różnicy energii niż przejście z 4 do 3.
   • 2. $E_{53} \lt E_{43}$ — błędna: poziom $n=5$ leży wyżej niż $n=4$, więc różnica energii do poziomu $n=3$ jest większa dla przejścia $5\to3$.
   • 3. $E_{53} = E_{43}$ — błędna: $E_5 \neq E_4$, więc energie emitowanych fotonów są różne.

Wynik końcowy:

Poprawna odpowiedź to B oraz 1.

1. Krok 1: Wzór na energię poziomów atomu wodoru

   Z tablic maturalnych korzystamy ze wzoru na energię $n$-tego poziomu energetycznego atomu wodoru:

   $$E_n = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{n^2}$$

2. Krok 2: Obliczenie energii poziomów $n = 4$ oraz $n = 2$

   Energia poziomu czwartego:

   $$E_4 = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{4^2} = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{16} = -0{,}85 \text{ eV}$$

   Energia poziomu drugiego:

   $$E_2 = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{2^2} = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{4} = -3{,}40 \text{ eV}$$

3. Krok 3: Zastosowanie zasady zachowania energii

   Podczas przejścia elektronu z poziomu $n = 4$ na poziom $n = 2$ atom emituje foton. Ponieważ atom przed emisją spoczywał i pomijamy energię kinetyczną odrzutu, cała różnica energii poziomów zostaje przekazana fotonowi:

   $$E_{42} = E_4 - E_2$$

4. Krok 4: Obliczenie energii fotonu

   $$E_{42} = (-0{,}85 \text{ eV}) - (-3{,}40 \text{ eV}) = -0{,}85 \text{ eV} + 3{,}40 \text{ eV}$$ $$\boxed{E_{42} = 2{,}55 \text{ eV}}$$

Wynik końcowy: Energia fotonu emitowanego podczas przejścia $4 \to 2$ w atomie wodoru wynosi $E_{42} = 2{,}55 \text{ eV}$. Foton ten należy do serii Balmera i leży w zakresie widzialnym (linia czerwona).

1. Prawda. Przejścia $a\to 1$ (seria Lymana) leżą w nadfiolecie — $\lambda\lt 400$ nm.

2. Prawda. $E_{3\to 1}=E_{3}-E_{1}$ jest większa od $E_{4\to 2}=E_{4}-E_{2}$ (większa różnica energii), a $f\propto E$.

3. Fałsz. Jonizacja atomu ze stanu podstawowego wymaga $13,6$ eV (nadfiolet, $\lambda\approx 91$ nm); foton fioletowy ($\approx 3,1$ eV) ma zbyt małą energię.

Odpowiedź: P, P, F.

Przejściu $3\to 2$ odpowiada foton o najmniejszej energii spośród serii Balmera (najmniejsza różnica energii), a więc o największej długości fali — linia L32 $\approx 656$ nm (czerwona).

Przejściu $4\to 2$ odpowiada foton o większej energii (mniejsza długość fali) — linia L42 $\approx 486$ nm (niebiesko-zielona).

Rozwiązanie

1. Przejście $3\to2$: $\Delta E=13{,}61\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}\right)=13{,}61\cdot\dfrac{5}{36}\approx1{,}89$ eV $=3{,}03\cdot10^{-19}$ J.
2. $\lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}\cdot2{,}998\cdot10^8}{3{,}03\cdot10^{-19}}\approx6{,}56\cdot10^{-7}$ m $=656$ nm.
3. Linia wodoru leży przy $\lambda\approx656$ nm (czerwona). (Pozostałe: $486$, $434$, $410$ nm.)

Rozwiązanie

Spójną, monochromatyczną i jednokierunkową wiązkę (emisja wymuszona) wytwarza laser.

Odpowiedź: B