Równoważność masy i energii

Jak to rozwiązać — relatywistyczny związek energii z prędkością

Krok 1. Energia całkowita: $E=E_{kin}+E_0$, a jednocześnie $E=\dfrac{E_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$ (bo $E=\dfrac{m c^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$ i $E_0=mc^2$).

Krok 2. Przyrównujemy i wyznaczamy pierwiastek:

$\dfrac{E_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=E_{kin}+E_0\;\Rightarrow\;\sqrt{1-\left(\tfrac{v}{c}\right)^2}=\dfrac{E_0}{E_{kin}+E_0}=\dfrac{0{,}511}{1{,}822}$

Krok 3. Stąd:

$\dfrac{v}{c}=\sqrt{1-\left(\dfrac{0{,}511}{1{,}822}\right)^2}=\sqrt{1-0{,}0787}\approx \mathbf{0{,}96}$

✔ Zgodne z kluczem: v/c ≈ 0,96.

Jak to rozwiązać — równoważność masy i energii

Zdanie 1 — PRAWDA. Rozpad zachodzi samorzutnie, więc jest energetycznie korzystny. Oznacza to, że masa jądra macierzystego jest większa od sumy mas produktów — pojawia się defekt masy Δm.

Zdanie 2 — PRAWDA. Ubytek masy zamienia się w energię ($E=\Delta m\,c^2$), która staje się energią kinetyczną produktów (jądro nie było w spoczynku po rozpadzie — z zasady zachowania pędu produkty się rozbiegają).

✔ Zgodne z kluczem: 1 — P, 2 — P.

W zadaniu wykorzystujemy relatywistyczny wzór na energię kinetyczną cząstki:

1. Obliczenie czynnika Lorentza $\gamma$ dla $v = \dfrac{1}{2}c$

   Podstawiamy $v = \dfrac{c}{2}$ do wzoru na czynnik Lorentza:

   $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left(\dfrac{c}{2}\right)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{\dfrac{3}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ $$\gamma = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx \frac{2}{1{,}7321} \approx 1{,}1547$$

2. Wyznaczenie energii spoczynkowej $E_0$ ze wzoru na energię kinetyczną

   Korzystamy ze wzoru $E_k = (\gamma - 1)E_0$, skąd:

   $$E_0 = \frac{E_k}{\gamma - 1}$$

   Obliczamy $\gamma - 1$:

   $$\gamma - 1 = \frac{2}{\sqrt{3}} - 1 = \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547 - 1 = 0{,}1547$$

3. Podstawienie wartości liczbowych

   $$E_0 = \frac{E_k}{\gamma - 1} = \frac{79{,}05 \text{ keV}}{0{,}1547}$$ $$E_0 = \frac{79{,}05}{0{,}1547} \text{ keV} \approx 511{,}0 \text{ keV}$$

4. Weryfikacja wyniku

   Wartość $E_0 \approx 511 \text{ keV}$ odpowiada dokładnie energii spoczynkowej elektronu (lub pozytonu), która wynosi $m_e c^2 = 511 \text{ keV}$. Wynik jest fizycznie sensowny.

Wynik końcowy:

Jak to rozwiązać — czynnik Lorentza

Energia całkowita: $E_B=\dfrac{E_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$. Prędkość względna $\dfrac{v}{c}=\dfrac{2{,}00\cdot10^8}{3{,}00\cdot10^8}=\dfrac{2}{3}$:

$\dfrac{E_B}{E_0}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2}{3}\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5/9}}=\dfrac{3}{\sqrt5}\approx \mathbf{1{,}34}$

✔ Zgodne z kluczem: E_B/E₀ ≈ 1,34.

Jak to rozwiązać — zasada zachowania energii (deficyt masy)

Krok 1. Jądro fluoru spoczywa, masę neutrina pomijamy. Zasada zachowania energii:

$m_F c^2=m_X c^2+m_\beta c^2+E_{kin}$

Krok 2. Energia kinetyczna z deficytu masy:

$E_{kin}=(m_F-m_X-m_\beta)c^2=(17{,}99600-17{,}99477-0{,}00055)\,u\cdot c^2$

Krok 3. Podstawiamy 1 u·c² = 931,5 MeV:

$E_{kin}=0{,}00068\,u\cdot c^2=0{,}00068\cdot931{,}5\ \text{MeV}\approx \mathbf{0{,}63\ MeV}$

✔ Zgodne z kluczem: E_kin ≈ 0,63 MeV.

Jak to rozwiązać — relatywistyczna energia całkowita

Energia całkowita $E=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$. Dla v = 0 mamy $E=mc^2$, a gdy v → c, energia rośnie nieograniczenie (asymptota pionowa przy v = c). Poprawny jest wykres, który startuje od mc² i ma pionową asymptotę przy v = c.

Odpowiedź: B.

✔ Zgodne z kluczem: B.

Jak to rozwiązać — z relatywistycznej energii całkowitej

Krok 1. Energia całkowita $E=E_{kin}+E_0=2E_0+E_0=3E_0$, a jednocześnie $E=\dfrac{E_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$. Zatem:

$\dfrac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=3$

Krok 2. Rozwiązujemy:

$1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2=\dfrac{1}{9}\;\Rightarrow\;\dfrac{v}{c}=\sqrt{\dfrac{8}{9}}\approx \mathbf{0{,}94}$

✔ Zgodne z kluczem: v/c ≈ 0,94.

Jak to rozwiązać — praca pola = energia kinetyczna

Praca siły pola równa się energii kinetycznej: $qU=E_{kin}=2E_0$. Ponieważ ładunek elektronu to e, a E₀ w eV:

$U=\dfrac{2E_0}{e}=2\cdot5{,}1\cdot10^5\ \text{V}=\mathbf{1{,}02\cdot10^{6}\ V}$

✔ Zgodne z kluczem: U ≈ 10,2·10⁵ V = 1,02·10⁶ V.

Jak to rozwiązać — energia wiązania = deficyt masy · c²

Krok 1. Jądro ²⁷⁷Cn ma Z = 112 protonów i N = 277 − 112 = 165 neutronów. Energia do rozbicia = energia wiązania:

$E=\Delta m\,c^2=(112\,m_p+165\,m_n-m_{Cn})\,c^2$

Krok 2. Podstawiamy ($m_p=1{,}67262\cdot10^{-27}$ kg, $m_n=1{,}67493\cdot10^{-27}$ kg):

$\Delta m=(112\cdot1{,}67262+165\cdot1{,}67493-460{,}138852)\cdot10^{-27}\approx 3{,}558\cdot10^{-27}\ \text{kg}$

Krok 3. Mnożymy przez $c^2\approx(2{,}998\cdot10^8)^2$:

$E\approx3{,}558\cdot10^{-27}\cdot8{,}988\cdot10^{16}\approx \mathbf{3{,}20\cdot10^{-10}\ J}\approx 2{,}00\ \text{GeV}$

✔ Zgodne z kluczem: E ≈ 3,20·10⁻¹⁰ J.

Energia kinetyczna (relatywistycznie): $E_{k}=eU=(\gamma-1)E_{0}$, więc $\gamma-1=\dfrac{eU}{E_{0}}=\dfrac{6,00\cdot 10^{5}}{5,11\cdot 10^{5}}\approx 1,17$, czyli $\gamma\approx 2,17$.

$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}\Rightarrow \dfrac{v}{c}=\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}=\sqrt{1-\dfrac{1}{2,17^{2}}}\approx 0,89$.

Rozwiązanie

W rozpadzie wydziela się energia (produkty uzyskują energię kinetyczną), co — zgodnie z $E=\Delta m c^2$ — oznacza ubytek masy. Zatem masa jądra Rn jest większa od sumy mas produktów.

Odpowiedź: B oraz 1.