Promieniotwórczość — rozpady α, β, γ

Jak to rozwiązać — zasady zachowania w reakcji jądrowej

Krok 1. Zachowanie liczby masowej (górne wskaźniki): $23=A+0+0\Rightarrow A=23$.

Krok 2. Zachowanie ładunku (dolne wskaźniki; β⁻ ma ładunek −1): $10=Z+(-1)+0\Rightarrow Z=11$.

Krok 3. Pierwiastek o liczbie atomowej Z = 11 to sód (Na). Równanie rozpadu:

$^{23}_{10}\text{Ne}\rightarrow{}^{23}_{11}\text{Na}+\beta^-+\tilde\nu$

✔ Zgodne z kluczem: X = sód, ²³₁₁Na.

Jak to rozwiązać — logarytm prawa rozpadu daje prostą

Krok 1. Prawo rozpadu: $m(t)=m_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}$. Logarytmujemy stronami:

$\log_{10}m=\log_{10}m_0+\dfrac{t}{T}\,\log_{10}\tfrac{1}{2}$

To równanie prostej o współczynniku kierunkowym $A=\dfrac{\log_{10}(1/2)}{T}$.

Krok 2. Nachylenie z wykresu (dwa punkty (0; 1,4) i (3,3; −0,2)):

$A=\dfrac{-0{,}2-1{,}4}{3{,}3-0}=-0{,}485\ \tfrac{1}{\text{min}}$

Krok 3. Wyznaczamy T:

$T=\dfrac{\log_{10}(1/2)}{A}=\dfrac{-0{,}301}{-0{,}485}\approx \mathbf{0{,}62\ \text{min}}$

✔ Zgodne z kluczem: T ≈ 0,62 min (przedział 0,60–0,65 min).

Zadanie 12.1 – Rozpad alfa plutonu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$

1. Krok 1: Przypomnienie zasad zachowania w rozpadzie alfa

   Cząstka $\alpha$ jest jądrem helu ${}^{4}_{2}\text{He}$, czyli posiada:

   • liczbę masową $A_\alpha = 4$,
   • liczbę atomową (ładunek) $Z_\alpha = 2$.

   W każdej reakcji jądrowej obowiązują dwie zasady zachowania:

   • Zasada zachowania liczby masowej: suma liczb masowych przed i po rozpadzie musi być równa.
   • Zasada zachowania liczby atomowej: suma liczb atomowych przed i po rozpadzie musi być równa.

2. Krok 2: Wyznaczenie liczby masowej pierwiastka X

   Przed rozpadem: $A = 238$. Po rozpadzie: $A_X + 4 = 238$, zatem:

   $$A_X = 238 - 4 = 234$$

3. Krok 3: Wyznaczenie liczby atomowej pierwiastka X

   Przed rozpadem: $Z = 94$. Po rozpadzie: $Z_X + 2 = 94$, zatem:

   $$Z_X = 94 - 2 = 92$$

4. Krok 4: Identyfikacja pierwiastka X

   Pierwiastek o liczbie atomowej $Z = 92$ to uran (U).

5. Krok 5: Zapis kompletnego równania rozpadu

   $${}^{238}_{94}\text{Pu} \to {}^{234}_{92}\text{U} + {}^{4}_{2}\text{He}$$

   Sprawdzenie:

   • Liczby masowe: $238 = 234 + 4$ ✓
   • Liczby atomowe: $94 = 92 + 2$ ✓

Wynik końcowy:

Uzupełniony schemat rozpadu:

Liczba masowa pierwiastka X: $\boldsymbol{234}$

Liczba atomowa pierwiastka X: $\boldsymbol{92}$

Symbol pierwiastka X: U (uran)

Przed rozpadem jądro plutonu spoczywało, więc jego pęd wynosił zero. Na mocy zasady zachowania pędu suma pędów produktów rozpadu jest również równa zero.

1. Krok 1 – Zasada zachowania pędu

   Ponieważ jądro ${}^{238}_{94}\text{Pu}$ było nieruchome, łączny pęd układu przed rozpadem wynosi zero:

   $$\vec{p}_X + \vec{p}_\alpha = 0$$

   Stąd pędy obu produktów są równe co do wartości i przeciwnie skierowane:

   $$p_X = p_\alpha = p$$
2. Krok 2 – Energia kinetyczna wyrażona przez pęd

   Energię kinetyczną ciała można wyrazić poprzez jego pęd i masę:

   $$E_{kin} = \frac{p^2}{2m}$$

   Zatem dla jądra X oraz cząstki $\alpha$:

   $$E_{kin\,X} = \frac{p^2}{2m_X}, \qquad E_{kin\,\alpha} = \frac{p^2}{2m_\alpha}$$
3. Krok 3 – Obliczenie ilorazu energii kinetycznych

   Dzieląc obie energie przez siebie (pamiętając, że pęd $p$ jest taki sam dla obu produktów):

   $$\frac{E_{kin\,X}}{E_{kin\,\alpha}} = \frac{\dfrac{p^2}{2m_X}}{\dfrac{p^2}{2m_\alpha}} = \frac{m_\alpha}{m_X}$$
4. Krok 4 – Podstawienie danych

   Korzystając z podanego stosunku mas $\dfrac{m_X}{m_\alpha} \approx 58{,}5$:

   $$\frac{E_{kin\,X}}{E_{kin\,\alpha}} = \frac{m_\alpha}{m_X} = \frac{1}{\dfrac{m_X}{m_\alpha}} = \frac{1}{58{,}5} \approx 0{,}0171$$

Wynik końcowy:

Jądro produktu X (jądro uranu ${}^{234}_{92}\text{U}$) jest około 58,5 razy cięższe od cząstki $\alpha$, dlatego po rozpadzie porusza się znacznie wolniej i niesie około 58,5 razy mniej energii kinetycznej niż cząstka $\alpha$.

Dane: $P_0 = 100$ J/s, $P_t = 96{,}13$ J/s, $t = 5$ lat.

1. Krok 1 – Zależność mocy cieplnej od czasu

   Ponieważ moc cieplna jest wprost proporcjonalna do liczby jąder izotopu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$, a liczba jąder maleje wykładniczo, moc cieplna również maleje wykładniczo według wzoru:

   $$P(t) = P_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$$

   gdzie $T$ jest szukanym czasem połowicznego rozpadu.

2. Krok 2 – Podstawienie danych

   Podstawiamy znane wartości:

   $$96{,}13 = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{T}}$$

   Dzielimy obie strony przez $100$:

   $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{T}} = \frac{96{,}13}{100} = 0{,}9613$$
3. Krok 3 – Wyznaczenie wykładnika za pomocą logarytmu

   Korzystamy ze wskazówki: jeśli $a^c = b$, to $c = \log_a b$. Przyjmując $a = \tfrac{1}{2}$, $b = 0{,}9613$:

   $$\frac{5}{T} = \log_{\frac{1}{2}} 0{,}9613$$

   Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu:

   $$\log_{\frac{1}{2}} 0{,}9613 = \frac{\log_{10} 0{,}9613}{\log_{10} \frac{1}{2}} = \frac{\log_{10} 0{,}9613}{\log_{10} 0{,}5}$$

   Obliczamy wartości logarytmów:

   • $\log_{10} 0{,}9613 \approx -0{,}01736$
   • $\log_{10} 0{,}5 \approx -0{,}30103$

   Zatem:

   $$\frac{5}{T} = \frac{-0{,}01736}{-0{,}30103} \approx 0{,}05766$$
4. Krok 4 – Obliczenie czasu połowicznego rozpadu $T$

   Z równania $\dfrac{5}{T} = 0{,}05766$ wyznaczamy $T$:

   $$T = \frac{5}{0{,}05766} \approx 86{,}72 \text{ lat}$$

   Zaokrąglamy do dwóch cyfr znaczących:

   $$\boxed{T \approx 87 \text{ lat}}$$

Sprawdzenie: Rzeczywisty czas połowicznego rozpadu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$ wynosi ok. $87{,}7$ lat, co potwierdza poprawność obliczeń.

Wynik końcowy: Czas połowicznego rozpadu izotopu plutonu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$ wynosi $T \approx \mathbf{87 \text{ lat}}$.

Jak to rozwiązać — definicja czasu połowicznego rozpadu

Czas połowicznego rozpadu T to czas, po którym rozpadła się połowa jąder, czyli gdy N_r/N₀ = 0,5. Z wykresu odczytujemy, że N_r/N₀ = 0,5 odpowiada:

$T\approx \mathbf{110\ \text{min}}$

✔ Zgodne z kluczem: T ≈ 110 min.

Jak to rozwiązać — zasady zachowania w reakcji jądrowej

Krok 1. Zachowanie liczby masowej: $18=A+0\Rightarrow A=18$.

Krok 2. Zachowanie ładunku (β⁺ ma ładunek +1): $9=Z+1\Rightarrow Z=8$.

Krok 3. Pierwiastek o Z = 8 to tlen (O). Równanie rozpadu:

$^{18}_{9}\text{F}\rightarrow{}^{18}_{8}\text{O}+\beta^{+}\;(+\nu)$

✔ Zgodne z kluczem: X = tlen, ¹⁸₈O.

1. Fałsz. Fuzja jest egzoenergetyczna — masa maleje, a wyzwolona energia zwiększa energię kinetyczną produktów, więc suma energii kinetycznych produktów jest większa niż protonów.

2. Prawda. Pozyton $e^{+}$ powstaje przy przemianie jednego protonu w neutron (przemiana $\beta^{+}$): $p\to n+e^{+}+\nu_{e}$.

Odpowiedź: F, P.

Jak to rozwiązać — każdy rozpad α zmniejsza Z o 2, A o 4

Krok 1. Sześć rozpadów α zmniejsza liczbę atomową i masową:

$Z=112-6\cdot2=100,\qquad A=277-6\cdot4=253$

Krok 2. Pierwiastek o Z = 100 to ferm (fermium, Fm). Powstaje jądro ²⁵³₁₀₀Fm.

✔ Zgodne z kluczem: ferm (Fm), ²⁵³₁₀₀Fm.

Rozwiązanie

W rozpadzie $\beta^-$ liczba masowa się nie zmienia, a liczba atomowa rośnie o $1$: $^{214}_{82}\text{Pb}\rightarrow{}^{214}_{83}\text{Bi}+\beta^-$ (bizmut).

Rozwiązanie

Rozpad $\alpha$: $^{239}_{94}\text{Pu}\rightarrow{}^{4}_{2}\text{He}+{}^{235}_{92}\text{U}$. Jądro X to uran ($^{235}$U).

Rozwiązanie

W przemianie $\beta^-$ neutron zamienia się w proton ($n\to p+e^-+\bar\nu$).

1. Liczba neutronów maleje o $1$ → P.
2. Liczba masowa $A$ nie zmienia się → F.
3. Liczba protonów rośnie o $1$ → P.

Odpowiedź: P, F, P.

Rozwiązanie

1. W miarę oddalania odległość rośnie, więc siła kulombowska maleje → P.
2. Siły odpychania wykonują pracę dodatnią — jądra przyspieszają, prędkości rosną → P.
3. Brak sił zewnętrznych → całkowity pęd jest stały (równy $0$, bo Ra spoczywało) → P.

Odpowiedź: P, P, P.

Rozwiązanie

1. Z zasady zachowania pędu ($0$ początkowo): $p_{He}=p_{Rn}$ (co do wartości).
2. $E_k=\dfrac{p^2}{2m}$, więc $\dfrac{E_{k,He}}{E_{k,Rn}}=\dfrac{p^2/2m_{He}}{p^2/2m_{Rn}}=\dfrac{m_{Rn}}{m_{He}}=\dfrac{220}{4}=55$. $\blacksquare$

Rozwiązanie

$^{222}_{86}\text{Rn}\rightarrow{}^{218}_{84}\text{Po}+{}^{4}_{2}\text{He}$ (cząstka $\alpha$).