Prawo rozpadu promieniotwórczego

Jak to rozwiązać — logarytm prawa rozpadu daje prostą

Krok 1. Prawo rozpadu: $m(t)=m_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}$. Logarytmujemy stronami:

$\log_{10}m=\log_{10}m_0+\dfrac{t}{T}\,\log_{10}\tfrac{1}{2}$

To równanie prostej o współczynniku kierunkowym $A=\dfrac{\log_{10}(1/2)}{T}$.

Krok 2. Nachylenie z wykresu (dwa punkty (0; 1,4) i (3,3; −0,2)):

$A=\dfrac{-0{,}2-1{,}4}{3{,}3-0}=-0{,}485\ \tfrac{1}{\text{min}}$

Krok 3. Wyznaczamy T:

$T=\dfrac{\log_{10}(1/2)}{A}=\dfrac{-0{,}301}{-0{,}485}\approx \mathbf{0{,}62\ \text{min}}$

✔ Zgodne z kluczem: T ≈ 0,62 min (przedział 0,60–0,65 min).

Dane: $P_0 = 100$ J/s, $P_t = 96{,}13$ J/s, $t = 5$ lat.

1. Krok 1 – Zależność mocy cieplnej od czasu

   Ponieważ moc cieplna jest wprost proporcjonalna do liczby jąder izotopu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$, a liczba jąder maleje wykładniczo, moc cieplna również maleje wykładniczo według wzoru:

   $$P(t) = P_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$$

   gdzie $T$ jest szukanym czasem połowicznego rozpadu.

2. Krok 2 – Podstawienie danych

   Podstawiamy znane wartości:

   $$96{,}13 = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{T}}$$

   Dzielimy obie strony przez $100$:

   $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{T}} = \frac{96{,}13}{100} = 0{,}9613$$
3. Krok 3 – Wyznaczenie wykładnika za pomocą logarytmu

   Korzystamy ze wskazówki: jeśli $a^c = b$, to $c = \log_a b$. Przyjmując $a = \tfrac{1}{2}$, $b = 0{,}9613$:

   $$\frac{5}{T} = \log_{\frac{1}{2}} 0{,}9613$$

   Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu:

   $$\log_{\frac{1}{2}} 0{,}9613 = \frac{\log_{10} 0{,}9613}{\log_{10} \frac{1}{2}} = \frac{\log_{10} 0{,}9613}{\log_{10} 0{,}5}$$

   Obliczamy wartości logarytmów:

   • $\log_{10} 0{,}9613 \approx -0{,}01736$
   • $\log_{10} 0{,}5 \approx -0{,}30103$

   Zatem:

   $$\frac{5}{T} = \frac{-0{,}01736}{-0{,}30103} \approx 0{,}05766$$
4. Krok 4 – Obliczenie czasu połowicznego rozpadu $T$

   Z równania $\dfrac{5}{T} = 0{,}05766$ wyznaczamy $T$:

   $$T = \frac{5}{0{,}05766} \approx 86{,}72 \text{ lat}$$

   Zaokrąglamy do dwóch cyfr znaczących:

   $$\boxed{T \approx 87 \text{ lat}}$$

Sprawdzenie: Rzeczywisty czas połowicznego rozpadu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$ wynosi ok. $87{,}7$ lat, co potwierdza poprawność obliczeń.

Wynik końcowy: Czas połowicznego rozpadu izotopu plutonu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$ wynosi $T \approx \mathbf{87 \text{ lat}}$.

Rozwiązanie

1. Łączna liczba zliczeń dąży do wartości granicznej $R_\infty\approx2000$ (tyle jąder ulega rozpadowi). Połowa jąder rozpadnie się, gdy $R=\tfrac{R_\infty}{2}=1000$.
2. Z wykresu (krzywa przez punkty) wartość $R=1000$ odpowiada $t\approx27$ min.

Odpowiedź: $T_{1/2}\approx27$ min.

Rozwiązanie

1. $\Delta N$ = przyrost $R$ w danym przedziale. $(120$–$160)$: $\Delta N=1966-1903=63$. $(0$–$40)$: $\Delta N=1275-0=1275$.
2. Przedziały czasu jednakowe ($40$ min), więc stosunek aktywności $=\dfrac{63}{1275}\approx0{,}049$.

Rozwiązanie

Liczba zliczeń przez $5$ dni praktycznie się nie zmienia (waha się w granicach niepewności), więc aktywność maleje bardzo wolno — czas połowicznego rozpadu jest wiele razy dłuższy niż 5 dni.

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

1. Całkowita liczba rozpadów w $5$ min: $\Delta N=1374\cdot16=21984$.
2. $A=\dfrac{\Delta N}{\Delta t}=\dfrac{21984}{5\cdot60\text{ s}}=\dfrac{21984}{300}\approx73$ Bq.

Rozwiązanie

1. Liczba połowicznych zaników: $n=\dfrac{13}{3{,}7}\approx3{,}5$.
2. $m_0=m\cdot2^{n}=0{,}75\cdot2^{3{,}5}\approx0{,}75\cdot11{,}4\approx8{,}6$ mg.

Odpowiedź: $m_0\approx8{,}6$ mg.