Model atomu Bohra

Rozwiązanie

1. Krok 1: Przypomnienie poziomów energetycznych atomu wodoru

   Energia elektronu na $n$-tym poziomie atomu wodoru wynosi:

   $$E_n = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{n^2}$$

   Obliczamy energie dla poziomów $n = 3$, $n = 4$ oraz $n = 5$:

   $$E_3 = -\frac{13{,}6}{9} \approx -1{,}511 \text{ eV}$$ $$E_4 = -\frac{13{,}6}{16} \approx -0{,}850 \text{ eV}$$ $$E_5 = -\frac{13{,}6}{25} \approx -0{,}544 \text{ eV}$$

2. Krok 2: Obliczenie energii emitowanych fotonów

   Energia fotonu emitowanego podczas przejścia między poziomami równa się różnicy energii tych poziomów:

   $$E_\text{fotonu} = E_\text{wyższy} - E_\text{niższy}$$

   Dla przejścia $5 \to 3$:

   $$E_{53} = E_5 - E_3 = (-0{,}544) - (-1{,}511) = 0{,}967 \text{ eV}$$

   Dla przejścia $4 \to 3$:

   $$E_{43} = E_4 - E_3 = (-0{,}850) - (-1{,}511) = 0{,}661 \text{ eV}$$

   Zatem:

   $$E_{53} \approx 0{,}967 \text{ eV} > E_{43} \approx 0{,}661 \text{ eV}$$

3. Krok 3: Wyznaczenie relacji między długościami fal

   Energia fotonu i długość fali są związane wzorem:

   $$E = \frac{hc}{\lambda} \implies \lambda = \frac{hc}{E}$$

   Długość fali jest odwrotnie proporcjonalna do energii fotonu. Skoro $E_{53} > E_{43}$, to:

   $$\lambda_{53} = \frac{hc}{E_{53}} \lt \frac{hc}{E_{43}} = \lambda_{43}$$

   Czyli $\lambda_{53} \lt \lambda_{43}$.

   Można to zrozumieć intuicyjnie: przejście $5 \to 3$ obejmuje większą „skocznię" energetyczną niż $4 \to 3$, więc emitowany foton ma większą energię i krótszą długość fali.

4. Krok 4: Ocena odpowiedzi

   Odpowiedzi dotyczące długości fali:

   • A. $\lambda_{53} > \lambda_{43}$ — błędna: większa energia fotonu oznacza krótszą, a nie dłuższą falę.
   • B. $\lambda_{53} \lt \lambda_{43}$ — poprawna: foton z przejścia $5 \to 3$ ma większą energię, więc ma krótszą długość fali.
   • C. $\lambda_{53} = \lambda_{43}$ — błędna: energie obu fotonów są różne, więc długości fal również muszą być różne.

   Odpowiedzi dotyczące energii:

   • 1. $E_{53} > E_{43}$ — poprawna: przejście z poziomu 5 do 3 odpowiada większej różnicy energii niż przejście z 4 do 3.
   • 2. $E_{53} \lt E_{43}$ — błędna: poziom $n=5$ leży wyżej niż $n=4$, więc różnica energii do poziomu $n=3$ jest większa dla przejścia $5\to3$.
   • 3. $E_{53} = E_{43}$ — błędna: $E_5 \neq E_4$, więc energie emitowanych fotonów są różne.

Wynik końcowy:

Poprawna odpowiedź to B oraz 1.

1. Krok 1: Wzór na energię poziomów atomu wodoru

   Z tablic maturalnych korzystamy ze wzoru na energię $n$-tego poziomu energetycznego atomu wodoru:

   $$E_n = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{n^2}$$

2. Krok 2: Obliczenie energii poziomów $n = 4$ oraz $n = 2$

   Energia poziomu czwartego:

   $$E_4 = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{4^2} = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{16} = -0{,}85 \text{ eV}$$

   Energia poziomu drugiego:

   $$E_2 = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{2^2} = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{4} = -3{,}40 \text{ eV}$$

3. Krok 3: Zastosowanie zasady zachowania energii

   Podczas przejścia elektronu z poziomu $n = 4$ na poziom $n = 2$ atom emituje foton. Ponieważ atom przed emisją spoczywał i pomijamy energię kinetyczną odrzutu, cała różnica energii poziomów zostaje przekazana fotonowi:

   $$E_{42} = E_4 - E_2$$

4. Krok 4: Obliczenie energii fotonu

   $$E_{42} = (-0{,}85 \text{ eV}) - (-3{,}40 \text{ eV}) = -0{,}85 \text{ eV} + 3{,}40 \text{ eV}$$ $$\boxed{E_{42} = 2{,}55 \text{ eV}}$$

Wynik końcowy: Energia fotonu emitowanego podczas przejścia $4 \to 2$ w atomie wodoru wynosi $E_{42} = 2{,}55 \text{ eV}$. Foton ten należy do serii Balmera i leży w zakresie widzialnym (linia czerwona).

Energie poziomów: $E_{n}=-\dfrac{13,6\ \mathrm{eV}}{n^{2}}$. $E_{1}=-13,6$ eV, $E_{3}=-\dfrac{13,6}{9}\approx -1,51$ eV.

Energia fotonu: $E_{f}=E_{3}-E_{1}=-1,51-(-13,6)=12,09$ eV $=1,94\cdot 10^{-18}$ J.

$\lambda_{31}=\dfrac{hc}{E_{f}}=\dfrac{6,63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{1,94\cdot 10^{-18}}\approx 1,03\cdot 10^{-7}\ \mathrm{m}=103\ \mathrm{nm}$.

Rozwiązanie

1. To samo przejście (co do energii) → P.
2. $4\to2$ ma większą energię niż $3\to2$, więc mniejszą długość fali ($486$ nm $\lt 656$ nm) → F.
3. Energia jonizacji ze stanu podstawowego $\approx13{,}6$ eV → P.

Odpowiedź: P, F, P.

Rozwiązanie

Przejście $4\to6$ to większy „skok" energetyczny niż $4\to5$, więc $E_{46}>E_{45}$. Ponieważ $f=\tfrac{E}{h}$, to $f_{45}\lt f_{46}$.

Odpowiedź: C oraz 3.

Rozwiązanie

1. $E_4=-\dfrac{13{,}6}{16}=-0{,}85$ eV.
2. $E_{foton}=E_4-E_b=2{,}55\Rightarrow E_b=-0{,}85-2{,}55=-3{,}40$ eV.
3. $-\dfrac{13{,}6}{b^2}=-3{,}40\Rightarrow b^2=4\Rightarrow b=2$.

Odpowiedź: elektron przeszedł na poziom $n=2$.

Rozwiązanie

Największa $\lambda$ = najmniejsza energia $\Delta E=13{,}6\left(\tfrac{1}{b^2}-\tfrac{1}{a^2}\right)$ eV. Obliczając: $3\to2\approx1{,}89$ eV; $7\to4\approx0{,}57$ eV; $4\to3\approx0{,}66$ eV; $4\to1\approx12{,}75$ eV. Najmniejsza energia (największa $\lambda$) to przejście $7\to4$.

Rozwiązanie

1. Energia przejścia A→D jest sumą energii pośrednich: $E_{AD}=E_{AB}+E_{BC}+E_{CD}$.
2. $E=\dfrac{hc}{\lambda}$, więc $\dfrac{1}{\lambda_{AD}}=\dfrac{1}{\lambda_{AB}}+\dfrac{1}{\lambda_{BC}}+\dfrac{1}{\lambda_{CD}}$.
3. $\lambda_{AD}=\dfrac{\lambda_{AB}\lambda_{BC}\lambda_{CD}}{\lambda_{BC}\lambda_{CD}+\lambda_{AB}\lambda_{CD}+\lambda_{AB}\lambda_{BC}}$.

Rozwiązanie

Obie cząstki poruszają się po torach hiperbolicznych, odchylając się od jądra (odpychanie kulombowskie). Cząstka przechodząca bliżej jądra odchyla się silniej (większy kąt), a przechodząca dalej — słabiej.

Rozwiązanie

Rzadkie, ale silne odchylenia świadczą o tym, że ładunek dodatni skupiony jest w bardzo małym jądrze (C), a ponieważ elektrony są tysiące razy lżejsze — masa jądra (ładunku dodatniego) jest dużo większa od masy ładunku ujemnego (1).

Odpowiedź: C oraz 1.

Rozwiązanie

Przy emisji wymuszonej atom oddaje energię jednego przejścia ($h f$), dając w efekcie dwa kwanty (padający + wyemitowany). Powstanie trzeciego kwantu wymagałoby oddania energii $2hf$ z jednego przejścia — łamie to zasadę zachowania energii.

Odpowiedź: C