Całkowite wewnętrzne odbicie

Jak to rozwiązać — kąt graniczny i geometria trójkątów

Krok 1. Światło wychodzi z kuli tylko tam, gdzie kąt padania na wewnętrzną powierzchnię jest mniejszy od kąta granicznego. Brzegi jasnego łuku (punkty A i B) odpowiadają dokładnie kątowi granicznemu: kąt ∠SBD (= ∠DAS) = α_g.

Krok 2. Kąt graniczny dla przejścia szkło → powietrze:

$\sin\alpha_g=\dfrac{n_p}{n_{sz}}=\dfrac{1}{1{,}5}=\dfrac{2}{3}\;\Rightarrow\;\alpha_g=\arcsin\tfrac{2}{3}\approx 41{,}8^\circ$

Krok 3. Geometria. Trójkąty SBD i ASD są równoramienne (SD = SB = SA = promień kuli), więc kąty przy D są równe α_g. Kąt ∠BDA jest ich sumą:

$\varphi=\angle BDA=2\alpha_g\approx 2\cdot41{,}8^\circ\approx \mathbf{83{,}6^\circ}$

✔ Zgodne z kluczem: φ ≈ 83,6° (≈ 84°).

Jak to rozwiązać — jak ośrodek zewnętrzny wpływa na kąt graniczny

Krok 1. Kąt graniczny: $\sin\alpha_g=\dfrac{n_{zewn}}{n_{sz}}$. Woda ma większy współczynnik załamania niż powietrze ($n_w=1{,}33 > n_p=1{,}00$), więc $\sin\alpha_g$ jest większy, a zatem kąt graniczny jest większy (B).

Krok 2. Większy kąt graniczny oznacza, że przez powierzchnię kuli może wyjść światło padające pod większym zakresem kątów, więc pole, przez które wychodzi światło, się zwiększy (2).

Odpowiedź: B2.

✔ Zgodne z kluczem: B2.

Sprawdzamy prawo załamania Snella: $\sin\beta=\dfrac{n_{1}\sin\alpha}{n_{2}}=\dfrac{1,83\cdot\sin 60^{\circ}}{1,50}=\dfrac{1,83\cdot 0,866}{1,50}\approx 1,06>1$ — brak rozwiązania, więc załamanie jest niemożliwe.

Kąt graniczny: $\sin\alpha_{gr}=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}=\dfrac{1,50}{1,83}\approx 0,82$, czyli $\alpha_{gr}\approx 55^{\circ}$. Ponieważ $\alpha=60^{\circ}>\alpha_{gr}$, zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie.

Promień odbija się od granicy — kąt odbicia równy kątowi padania ($60^{\circ}$), pozostając w ośrodku 1.

Aby ustalić dalszy bieg wiązki ultradźwięków na granicy powietrze–woda, należy zastosować prawo Snella dla fal akustycznych.

1. Krok 1: Dane i prędkości dźwięku w obu ośrodkach

   Kąt padania wiązki (mierzony od normalnej do powierzchni): $$\alpha_p = 45°$$

   Prędkości dźwięku w obu ośrodkach (wartości standardowe):

   • w powietrzu: $v_1 = 340 \text{ m/s}$
   • w wodzie: $v_2 = 1480 \text{ m/s}$

   Ponieważ $v_2 > v_1$, woda jest ośrodkiem optycznie (akustycznie) gęstszym — prędkość fali jest w niej większa.

2. Krok 2: Zastosowanie prawa Snella

   Prawo załamania fal (prawo Snella) dla fal akustycznych:

   $$\frac{\sin \alpha_p}{\sin \alpha_z} = \frac{v_1}{v_2}$$

   gdzie $\alpha_z$ jest kątem załamania (mierzonym od normalnej do powierzchni po stronie wody).

3. Krok 3: Obliczenie kąta załamania $$\sin \alpha_z = \frac{v_2}{v_1} \cdot \sin \alpha_p = \frac{1480}{340} \cdot \sin 45°$$ $$\sin \alpha_z = \frac{1480}{340} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 4{,}353 \cdot 0{,}7071 \approx 3{,}08$$

   Ponieważ $\sin \alpha_z \approx 3{,}08 > 1$, uzyskana wartość jest niemożliwa matematycznie — funkcja sinus nie może przyjąć wartości większej od 1.

4. Krok 4: Interpretacja fizyczna — zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia (analogy: kąt graniczny)

   Wynik $\sin \alpha_z > 1$ oznacza, że nie dochodzi do załamania wiązki w wodzie. Zjawisko to nosi nazwę całkowitego odbicia. Możliwe jest ono, gdy fala przechodzi z ośrodka o mniejszej prędkości do ośrodka o większej prędkości, a kąt padania przekracza kąt graniczny $\alpha_g$.

   Kąt graniczny wyznaczamy z warunku $\sin \alpha_z = 1$:

   $$\sin \alpha_g = \frac{v_1}{v_2} = \frac{340}{1480} \approx 0{,}230$$ $$\alpha_g = \arcsin(0{,}230) \approx 13{,}3°$$

   Kąt padania $\alpha_p = 45° > \alpha_g \approx 13{,}3°$, więc warunek całkowitego odbicia jest spełniony.

5. Krok 5: Ustalenie dalszego biegu wiązki

   Wiązka ultradźwięków nie wnika do wody — ulega całkowitemu odbiciu od tafli wody z powrotem do powietrza. Zgodnie z prawem odbicia kąt odbicia jest równy kątowi padania:

   $$\alpha_{odbicia} = \alpha_p = 45°$$

   Wiązka odbita leży po tej samej stronie granicy (w powietrzu), symetrycznie względem normalnej do powierzchni.

• Rysunek B — POPRAWNY: Przedstawia całkowite odbicie wiązki w powietrzu pod kątem $45°$ od normalnej, bez wnikania do wody. Jest to jedyna fizycznie prawidłowa sytuacja.
• Rysunek A — BŁĘDNY: Przedstawia załamanie wiązki ku normalnej (zmniejszenie kąta), co odpowiadałoby przejściu do ośrodka o mniejszej prędkości. Tu jest odwrotnie — woda ma większą prędkość dźwięku, a w ogóle załamanie nie zachodzi.
• Rysunek C — BŁĘDNY: Przedstawia załamanie wiązki od normalnej (zwiększenie kąta), co choć co do kierunku odpowiada przejściu do ośrodka o większej prędkości, to jednak nie uwzględnia faktu, że kąt padania przekracza kąt graniczny i załamanie jest w ogóle niemożliwe.

Wynik końcowy:

Ponieważ $\alpha_p = 45° > \alpha_g \approx 13{,}3°$, wiązka ultradźwięków ulega całkowitemu odbiciu od tafli wody i wraca do powietrza pod kątem $45°$ od normalnej. Prawidłowy rysunek to:

Odpowiedź: B

Jak to rozwiązać — prawo odbicia, załamania i symetria krążka

Relacja 1: γ_pad = γ_odb. Prawo odbicia — kąt padania równy kątowi odbicia.

Relacja 2: γ_pad < γ_zał. W D światło przechodzi ze szkła do powietrza (ośrodek rzadszy), więc załamuje się od normalnej — kąt załamania większy od kąta padania.

Relacja 3: γ_zał = α. Trójkąt OAD jest równoramienny (OA = OD = promień), więc γ_pad = β. Z prawa załamania w A: $\sin\alpha=n\sin\beta$, a w D: $n\sin\gamma_{pad}=\sin\gamma_{zał}$. Ponieważ γ_pad = β, wychodzi $\sin\gamma_{zał}=\sin\alpha$, czyli γ_zał = α.

✔ Zgodne z kluczem: =, <, =.

Jak to rozwiązać — prawo załamania przez stosunki boków

Krok 1. Prawo załamania: $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{c}{v}$. AB jest średnicą, więc trójkąty ABC i ABD są prostokątne (kąt oparty na średnicy = 90°). Stąd:

$\sin\alpha=\dfrac{|CB|}{|AB|},\qquad \sin\beta=\dfrac{|BD|}{|AB|}$

Krok 2. Wyznaczamy v (|AB| się skraca):

$v=\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot c=\dfrac{|BD|}{|CB|}\cdot c=\dfrac{4{,}8}{7{,}8}\cdot3{,}0\cdot10^8\approx \mathbf{1{,}8\cdot10^{8}\ \tfrac{m}{s}}$

✔ Zgodne z kluczem: v ≈ 1,8·10⁸ m/s.

Rozwiązanie

Granice obszaru cienia (całkowitego) wyznaczają promienie od obu źródeł styczne do przeszkody. Prowadząc proste przez odpowiednie krawędzie obszaru cienia i półcienia na ekranie oraz brzegi przeszkody P i przedłużając je w lewo, otrzymujemy w punktach ich przecięcia położenia obu źródeł: górna granica półcienia + brzeg przeszkody wyznacza jedno źródło, dolna — drugie. Punkty przecięcia par promieni po lewej stronie to szukane położenia źródeł.