Kula wpisana i opisana na wielościanie — gdzie szukać promienia

Zadania o kuli wpisanej i opisanej na wielościanie odstraszają, bo trzeba jednocześnie panować nad bryłą i nad kulą. Tymczasem klucz jest jeden: zrozumieć, czym dokładnie jest promień w każdym z tych przypadków, i sprowadzić problem do dobrze dobranego przekroju.

W tym tekście rozdzielę kulę wpisaną od opisanej, pokażę, gdzie leży środek każdej z nich, i wyjaśnię, jak z przekroju wyłuskać równanie na promień. To temat, w którym porządny rysunek jest wart więcej niż zapamiętane wzory.

Wpisana dotyka, opisana obejmuje

Kula wpisana w bryłę dotyka wszystkich jej ścian od wewnątrz — jej promień to odległość środka od ściany. Kula opisana na bryle przechodzi przez wszystkie wierzchołki — jej promień to odległość środka od wierzchołka. To dwie różne odległości i dwa różne promienie.

Rozróżnienie jest fundamentalne, bo od niego zależy, jaki odcinek w bryle jest Twoim promieniem. Pomylenie „dotyka ścian” z „przechodzi przez wierzchołki” prowadzi do wyznaczania zupełnie innej wielkości niż ta, o którą pyta zadanie.

Gdzie leży środek

W bryłach prawidłowych środek obu kul leży na osi symetrii bryły, czyli na jej wysokości. Dla kuli wpisanej środek jest w takiej odległości od podstawy, że równa jest ona odległości od ściany bocznej. Dla kuli opisanej środek jest równoodległy od wszystkich wierzchołków.

To położenie na osi symetrii bardzo upraszcza sprawę: zamiast myśleć w trzech wymiarach, wystarczy rozważyć przekrój przechodzący przez oś. W tym przekroju kula staje się okręgiem, a bryła — płaską figurą, w której łatwiej odnaleźć potrzebne odległości.

Przekrój osiowy jako narzędzie

Najskuteczniejsza metoda to narysować przekrój osiowy bryły wraz z okręgiem odpowiadającym kuli. Dla kuli wpisanej okrąg jest wpisany w przekrój i dotyka jego boków; dla opisanej — przechodzi przez wierzchołki przekroju. Promień kuli jest promieniem tego okręgu.

W takim przekroju wykorzystujesz zależności planimetrii: okrąg wpisany w trójkąt, okrąg opisany na trójkącie, podobieństwo trójkątów. Bardzo często promień wychodzi z porównania pól albo z prostego podobieństwa, bez sięgania po skomplikowane wzory przestrzenne.

Typowe pułapki

Pierwsza pułapka to założenie, że środek kuli wpisanej i opisanej to ten sam punkt. W wielu bryłach tak nie jest — leżą na tej samej osi, ale na różnych wysokościach. Zawsze wyznaczaj położenie środka osobno dla każdej kuli.

Druga pułapka to mylenie promienia kuli z apotemą albo z połową wysokości bryły. Promień wynika z konkretnego warunku (dotyka ścian albo przechodzi przez wierzchołki), więc trzeba go wyliczyć z przekroju, a nie „na oko” utożsamić z pierwszym pasującym odcinkiem.

Kula wpisana i opisana — jak podejść

Sprawdzony sposób na takie zadania:

• Ustal, czy kula dotyka ścian (wpisana), czy przechodzi przez wierzchołki (opisana).
• Znajdź środek kuli na osi symetrii bryły.
• Narysuj przekrój osiowy z okręgiem odpowiadającym kuli.
• Wykorzystaj planimetrię przekroju: okrąg wpisany, opisany, podobieństwo.
• Nie zakładaj, że oba środki to ten sam punkt.

Kula wpisana dotyka ścian, opisana obejmuje wierzchołki — a przekrój osiowy zamienia oba przypadki w zadanie z okręgu.