Kąt między przekątną a płaszczyzną w prostopadłościanie

Kąt między przekątną prostopadłościanu a płaszczyzną podstawy łączy dwa wcześniejsze tematy: przekątną bryły i definicję kąta między prostą a płaszczyzną. To zadanie, które wygląda na trudne, a sprowadza się do jednego dobrze dobranego trójkąta prostokątnego ukrytego w bryle.

W tym tekście pokażę, jak poprawnie wskazać ten kąt, jak znaleźć rzut przekątnej na podstawę i jak z powstałego trójkąta odczytać funkcje trygonometryczne. Kluczem jest, jak zwykle w stereometrii, zobaczenie właściwego trójkąta.

Rzutem przekątnej bryły jest przekątna podstawy

Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Dla przekątnej prostopadłościanu rzutem na podstawę jest przekątna podstawy — to ona łączy rzuty obu końców przekątnej bryły. Zrozumienie tego wskazuje właściwy trójkąt.

Przekątna bryły, przekątna podstawy i pionowa krawędź boczna tworzą razem trójkąt prostokątny. Kąt prosty jest tam, gdzie krawędź boczna spotyka podstawę. Szukany kąt to ten między przekątną bryły a przekątną podstawy — leży przy podstawie tego trójkąta.

Zbuduj właściwy trójkąt

W tym trójkącie przekątna bryły jest przeciwprostokątną, a przyprostokątnymi są przekątna podstawy i wysokość prostopadłościanu. To wygodne, bo obie przyprostokątne zwykle łatwo policzyć: przekątną podstawy z twierdzenia Pitagorasa dla prostokąta podstawy, a wysokość masz zwykle daną.

Zanim zaczniesz liczyć kąt, warto wyznaczyć długości boków tego trójkąta. Przekątna podstawy wynika z wymiarów podstawy, wysokość jest krawędzią bryły, a przekątną bryły — jeśli potrzebna — liczysz podwójnym Pitagorasem. Mając boki, kąt to już czysta trygonometria.

Dobierz funkcję trygonometryczną

Wybór sinusa, cosinusa albo tangensa zależy od tego, które boki znasz. Tangens szukanego kąta to wysokość podzielona przez przekątną podstawy — obie przyprostokątne. Sinus wiąże wysokość z przekątną bryły, a cosinus przekątną podstawy z przekątną bryły.

Najczęściej najwygodniejszy jest tangens, bo przekątną podstawy i wysokość policzysz bezpośrednio z danych, bez wyznaczania przekątnej bryły. Jak zawsze, zapisz zależność słowami przed podstawieniem liczb, żeby nie odwrócić ułamka — to najczęstszy błąd rachunkowy w tym temacie.

Czego nie pomylić

Najczęstsza pomyłka to wzięcie za rzut nie przekątnej podstawy, lecz krawędzi podstawy. Rzutem przekątnej bryły jest zawsze przekątna podstawy, bo to ona łączy rzuty obu jej końców. Wskazanie krawędzi zamiast przekątnej daje inny, błędny kąt.

Druga pułapka to mylenie kąta przekątnej z podstawą z kątem przekątnej ze ścianą boczną. To różne kąty, oparte na różnych rzutach i różnych trójkątach. Zawsze wracaj do definicji: kąt liczysz z rzutem na tę konkretną płaszczyznę, o którą pyta zadanie.

Kąt przekątnej z podstawą — schemat

Jak rozwiązać takie zadanie bez błędu:

• Rzutem przekątnej bryły na podstawę jest przekątna podstawy.
• Zbuduj trójkąt: przekątna bryły, przekątna podstawy, wysokość.
• Policz przekątną podstawy z Pitagorasa dla prostokąta podstawy.
• Użyj tangensa: wysokość przez przekątną podstawy.
• Nie myl rzutu z krawędzią podstawy ani kąta z podstawą z kątem ze ścianą.

Kąt między przekątną prostopadłościanu a podstawą mierzy się z przekątną podstawy — to ona jest rzutem, nie krawędź.