Wzory Viète’a — co odczytasz bez liczenia pierwiastków

Wzory Viète’a to sprytny skrót: pozwalają poznać sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego, nie wyliczając samych pierwiastków. Dla równania ax² + bx + c = 0 suma wynosi −b/a, a iloczyn c/a. Tyle wystarczy, by odpowiedzieć na zaskakująco wiele pytań.

W tym tekście pokażę, do czego naprawdę służą te wzory, jak dzięki nim badać znaki pierwiastków i o jakim warunku nie wolno zapomnieć, żeby nie wyciągnąć fałszywych wniosków.

Suma i iloczyn ze współczynników

Jeżeli równanie ax² + bx + c = 0 ma dwa pierwiastki x₁ i x₂, to ich suma to x₁ + x₂ = −b/a, a iloczyn x₁·x₂ = c/a. Zauważ, że nie musisz liczyć delty ani pierwiastkować — wystarczą same współczynniki. To ogromna oszczędność czasu, gdy pytanie dotyczy tylko sumy lub iloczynu.

Wzory te wynikają z porównania postaci ogólnej z postacią iloczynową a(x − x₁)(x − x₂). Po wymnożeniu nawiasów i przyrównaniu współczynników natychmiast wyskakują obie zależności. Nie trzeba ich wyprowadzać na klasówce, ale warto rozumieć, skąd się biorą.

Badanie znaków pierwiastków

Najczęstsze zastosowanie to pytania w rodzaju „dla jakiego parametru oba pierwiastki są dodatnie”. Iloczyn c/a mówi, czy pierwiastki mają ten sam znak: jeśli jest dodatni, znaki są zgodne, jeśli ujemny — różne. Suma −b/a rozstrzyga wtedy, czy zgodne znaki to dwa plusy, czy dwa minusy.

Na przykład dwa pierwiastki dodatnie to jednoczesny warunek: iloczyn dodatni i suma dodatnia. Dwa ujemne — iloczyn dodatni i suma ujemna. Różne znaki — iloczyn ujemny. Taki zestaw warunków zamienia trudne pytanie o parametr w prosty układ nierówności.

Nie zapomnij o delcie

Jest jeden warunek, o którym łatwo zapomnieć: wzory Viète’a mają sens tylko wtedy, gdy pierwiastki w ogóle istnieją. Zanim zaczniesz badać ich znaki, upewnij się, że delta jest nieujemna. Bez tego możesz „udowodnić” własności pierwiastków, których po prostu nie ma.

Dlatego w zadaniach z parametrem pełny zestaw warunków zwykle wygląda tak: najpierw Δ ≥ 0 (albo Δ > 0 dla dwóch różnych pierwiastków), a dopiero potem warunki na sumę i iloczyn. Pominięcie delty to klasyczny sposób na utratę punktów.

Szybkie sprawdzanie wyników

Wzory Viète’a świetnie nadają się do kontroli. Gdy policzysz pierwiastki deltą, sprawdź, czy ich suma daje −b/a, a iloczyn c/a. Jeśli któraś zależność nie pasuje, gdzieś jest błąd rachunkowy — najczęściej znak przy b albo pomyłka w dzieleniu przez a.

Ta kontrola jest szczególnie cenna, gdy współczynniki są ułamkami lub gdy a jest różne od jedynki. W takich równaniach łatwo o pomyłkę, a dwie proste zależności potrafią ją natychmiast ujawnić.

Viète — zastosowania w punktach

Gdzie te wzory najbardziej się przydają:

• Suma pierwiastków: x₁ + x₂ = −b/a.
• Iloczyn pierwiastków: x₁·x₂ = c/a.
• Znaki: iloczyn dodatni to zgodne znaki, ujemny to różne.
• Zawsze najpierw sprawdź warunek istnienia pierwiastków: Δ ≥ 0.
• Świetne do szybkiej kontroli wyników policzonych deltą.

Wzory Viète’a odsłaniają sumę i iloczyn pierwiastków ze współczynników — ale mają sens dopiero, gdy delta na to pozwala.