Przesunięcia paraboli — jak liczby p i q zmieniają wykres

Wykres każdej funkcji kwadratowej to przesunięta i rozciągnięta wersja podstawowej paraboli y = x². Gdy zrozumiesz, jak liczby p i q przesuwają ten wykres, przestaniesz uczyć się kształtów na pamięć — zaczniesz je wyprowadzać z jednego wzorca.

W tym tekście rozłożę przesunięcia na dwa niezależne ruchy: poziomy i pionowy. Wyjaśnię też pozorną zagadkę znaku, przez którą (x − 3) przesuwa parabolę w prawo, a nie w lewo.

Punkt wyjścia: y = x²

Podstawowa parabola y = x² ma wierzchołek w początku układu współrzędnych i ramiona skierowane w górę. Wszystkie inne parabole o współczynniku a = 1 powstają z niej przez przesunięcie. To wygodny punkt odniesienia, bo wystarczy wiedzieć, dokąd powędrował wierzchołek.

Gdy współczynnik a jest różny od jedynki, dochodzi jeszcze rozciągnięcie lub ściśnięcie w pionie, a dla a ujemnego — odbicie ramion w dół. Ale sam mechanizm przesuwania p i q działa tak samo, niezależnie od wartości a.

Przesunięcie w pionie: liczba q

Liczba q przesuwa cały wykres w pionie. Dodatnie q podnosi parabolę do góry, ujemne — opuszcza w dół. To najbardziej intuicyjna część, bo znak działa dokładnie tak, jak można się spodziewać: plus w górę, minus w dół.

W zapisie y = x² + q przesunięcie jest wyraźne. Wierzchołek z punktu (0, 0) przechodzi do (0, q). Reszta wykresu podąża za nim, zachowując kształt — zmienia się tylko wysokość, na jakiej leży parabola.

Przesunięcie w poziomie: liczba p

Liczba p przesuwa wykres w poziomie, ale tu pojawia się słynny „odwrócony” znak. W zapisie y = (x − p)² dodatnie p przesuwa parabolę w prawo, a ujemne — w lewo. Wygląda to wbrew intuicji, dopóki nie zobaczysz, skąd się bierze.

Powód jest prosty: żeby wyrażenie w nawiasie było zerem (czyli żeby trafić w wierzchołek), x musi być równe p. Jeśli p = 3, to zero nawiasu wypada dla x = 3 — i tam właśnie ląduje wierzchołek. Nawias „cofa” argument, dlatego minus w środku daje ruch w prawo.

Składanie obu ruchów

Pełny zapis y = a(x − p)² + q łączy oba przesunięcia. Wierzchołek podstawowej paraboli wędruje z (0, 0) do (p, q). Możesz to potraktować jak jeden ruch wektorem o współrzędnych [p, q]: najpierw w bok o p, potem w górę o q.

Taka interpretacja bardzo pomaga w zadaniach typu „opisz przekształcenie, które przeprowadza wykres jednej funkcji na drugą”. Zamiast liczyć punkty, porównujesz wierzchołki i odczytujesz wektor przesunięcia wprost z ich współrzędnych.

Przesunięcia paraboli — reguły

Krótki zestaw zasad, który wyjaśnia każdy taki wykres:

• Start zawsze od podstawowej paraboli y = x².
• q > 0 przesuwa w górę, q < 0 w dół.
• (x − p) z dodatnim p przesuwa w prawo, z ujemnym w lewo.
• Wierzchołek ląduje w punkcie (p, q).
• Całość to jeden ruch wektorem przesunięcia [p, q].

Każda parabola to przesunięte y = x²: q rusza wykresem w pionie, p w poziomie, a znak w nawiasie tylko wygląda na przewrotny.