Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale

Zadania o najmniejszej i największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale wyglądają na trudne, bo trzeba pogodzić dwie rzeczy: kształt paraboli i granice przedziału. W rzeczywistości wystarczy porównać trzy kandydatury — wierzchołek i dwa końce przedziału — i wybrać skrajne wartości.

W tym tekście pokażę schemat, który działa zawsze, oraz wyjaśnię, dlaczego nie można bezmyślnie powiedzieć, że minimum jest w wierzchołku. Wszystko zależy od tego, czy wierzchołek w ogóle mieści się w rozważanym przedziale.

Trzej kandydaci na ekstremum

Na przedziale domkniętym wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej może być przyjęta tylko w jednym z trzech miejsc: w wierzchołku paraboli albo na jednym z końców przedziału. To dlatego, że między tymi punktami funkcja zmienia się monotonicznie i nie ma tam żadnych „ukrytych” ekstremów.

Dlatego schemat jest prosty: policz wartość funkcji w obu końcach przedziału i — jeśli wierzchołek należy do przedziału — także w wierzchołku. Spośród tych wartości największa jest maksimum, a najmniejsza minimum. Cała trudność sprowadza się do sprawdzenia, czy wierzchołek jest „w grze”.

Kiedy wierzchołek się liczy

Współrzędna x wierzchołka to p = −b/(2a). Sprawdź, czy ta liczba należy do danego przedziału. Jeśli tak, wierzchołek jest jednym z kandydatów i zwykle to on daje ekstremum „wewnętrzne”: minimum dla ramion w górę, maksimum dla ramion w dół.

Jeśli natomiast p leży poza przedziałem, wierzchołek w ogóle nas nie obchodzi. Funkcja na całym przedziale jest wtedy monotoniczna, więc obie skrajne wartości przyjmuje na końcach. To najczęstsze źródło błędów: uczeń liczy wierzchołek, choć leży on poza przedziałem.

Rola kierunku ramion

Znak a decyduje, czy wierzchołek jest „dnem”, czy „szczytem”. Dla a > 0 wierzchołek daje wartość najmniejszą, a największej szukaj na końcach. Dla a < 0 jest odwrotnie: wierzchołek to maksimum, a minimum kryje się na jednym z końców przedziału.

Połączenie tych dwóch informacji — czy wierzchołek jest w przedziale i w którą stronę otwiera się parabola — od razu podpowiada, gdzie szukać której wartości. Krótki szkic paraboli nad przedziałem robi tu ogromną różnicę.

Warto naszkicować

Nawet jeśli liczysz wszystko rachunkowo, poświęć chwilę na szkic. Zaznacz przedział na osi, narysuj fragment paraboli i zobacz, gdzie funkcja jest najniżej, a gdzie najwyżej. Rysunek chroni przed absurdalnymi odpowiedziami, w których minimum wychodzi większe od maksimum.

Szkic pomaga też w zadaniach z parametrem, gdzie położenie wierzchołka względem przedziału zmienia się razem z parametrem. Wtedy trzeba rozważyć kilka przypadków, a obrazek porządkuje myślenie lepiej niż same wzory.

Ekstrema w przedziale — procedura

Powtarzalny schemat na każde takie zadanie:

• Policz współrzędną wierzchołka p = −b/(2a).
• Sprawdź, czy p należy do danego przedziału.
• Policz wartości funkcji na obu końcach przedziału.
• Jeśli wierzchołek jest w przedziale, policz też wartość w nim.
• Wybierz spośród kandydatów wartość największą i najmniejszą.

Na przedziale ekstremum kryje się w wierzchołku albo na końcu — ale wierzchołek liczy się tylko wtedy, gdy do przedziału należy.