$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{10\cdot6}{2}=30\ \text{cm}^2$$

Pułapka: pominięcie dzielenia przez $2$ daje $60$ — to pole prostokąta o tych wymiarach.

Odpowiedź: B. $30$ cm$^2$.

$$P=a\cdot h=9\cdot4=36\ \text{cm}^2$$

Uwaga: we wzorze występuje wysokość, a nie długość drugiego boku — bok jest zawsze dłuższy od wysokości.

Odpowiedź: $36$ cm$^2$.

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(8+12)\cdot5}{2}=\frac{100}{2}=50\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $50$ cm$^2$.

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Skąd ten wzór: romb mieści się dokładnie w prostokącie o bokach równych przekątnym i zajmuje jego połowę.

Odpowiedź: C. $24$ cm$^2$.

Z wzoru $P=\frac{a h}{2}$ wyznaczamy wysokość:

$$h=\frac{2P}{a}=\frac{56}{8}=7\ \text{cm}$$

Uwaga na dwójkę: to najczęściej gubiony element przy zadaniu odwrotnym.

Odpowiedź: $7$ cm.

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne pełnią rolę podstawy i wysokości:

$$P=\frac{5\cdot12}{2}=30\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: A. $30$ cm$^2$.

Z wzoru $P=a\cdot h$:

$$a=54:6=9\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $9\cdot6=54$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: $9$ cm.

Krok 1 — z wzoru wyznaczamy sumę podstaw:

$$a+b=\frac{2P}{h}=\frac{90}{6}=15\ \text{cm}$$

Krok 2 — druga podstawa:

$$b=15-9=6\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{(9+6)\cdot6}{2}=45$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: $6$ cm.

Wzór $P=\frac{a h}{2}$ zależy wyłącznie od podstawy i wysokości. Trójkąt może być ostrokątny albo rozwartokątny — pole będzie takie samo.

Odpowiedź: D. są równe.

Krok 1 — pole w metrach kwadratowych:

$$P=\frac{(30+20)\cdot16}{2}=\frac{800}{2}=400\ \text{m}^2$$

Krok 2 — zamiana na ary ($1$ ar $=100$ m$^2$):

$$400:100=4\ \text{ary}$$

Odpowiedź: $4$ ary.

Romb jest równoległobokiem, więc działa wzór $P=a\cdot h$:

$$P=5\cdot4=20\ \text{cm}^2$$

Uwaga: wzór $\frac{e f}{2}$ stosujemy, gdy dane są przekątne. Tutaj podano bok i wysokość, więc korzystamy z pierwszego wzoru.

Odpowiedź: B. $20$ cm$^2$.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=10\cdot6=60\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P_2=\frac{10\cdot4}{2}=20\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — suma:

$$P=60+20=80\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $80$ cm$^2$.

Z wzoru $P=\frac{e f}{2}$ wyznaczamy drugą przekątną:

$$f=\frac{2P}{e}=\frac{72}{9}=8\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{9\cdot8}{2}=36$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: $8$ cm.

$$P=\frac{(7+13)\cdot4}{2}=\frac{80}{2}=40\ \text{cm}^2$$

Uwaga: odpowiedź A powstaje przez pominięcie dzielenia przez $2$.

Odpowiedź: C. $40$ cm$^2$.

Krok 1 — powierzchnia:

$$P=25\cdot12=300\ \text{m}^2$$

Krok 2 — koszt:

$$300\cdot3=900\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $900$ zł.

Powstałe trójkąty mają wspólną przekątną i takie same pozostałe boki — są przystające, więc ich pola są równe. Każdy ma pole równe połowie pola równoległoboku.

To wyjaśnia wzór na pole trójkąta: $\frac{a h}{2}$ to dokładnie połowa pola równoległoboku $a\cdot h$.

Odpowiedź: A. dwa trójkąty o równych polach.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=12\cdot8=96\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P_2=\frac{12\cdot8}{2}=48\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — różnica:

$$96-48=48\ \text{cm}^2$$

Obserwacja: trójkąt o podstawie i wysokości równych bokom prostokąta zajmuje dokładnie połowę jego pola — dlatego obie części są równe.

Odpowiedź: $48$ cm$^2$.

Krok 1 — pole trapezu:

$$P_1=\frac{(14+6)\cdot5}{2}=\frac{100}{2}=50\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole trójkąta o podstawie $20$ cm i wysokości $5$ cm:

$$P_2=\frac{20\cdot5}{2}=50\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — porównanie. Pola są równe.

Dlaczego tak wyszło: oba wzory sprowadzają się do tego samego rachunku $\frac{(a+b)h}{2}$ — trapez o podstawach $a$ i $b$ ma takie samo pole jak trójkąt o podstawie $a+b$ i tej samej wysokości.

Odpowiedź: oba pola wynoszą $50$ cm$^2$.

Krok 1 — pole całej działki:

$$P=30\cdot30=900\ \text{m}^2$$

Krok 2 — każda część. Przekątna dzieli kwadrat na dwa przystające trójkąty:

$$900:2=450\ \text{m}^2$$

Krok 3 — koszty:

$$\text{trawa: } 450\cdot2=900\ \text{zł}$$

$$\text{kostka: } 450\cdot85=38\,250\ \text{zł}$$

Krok 4 — razem:

$$900+38\,250=39\,150\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $39\,150$ zł.

Krok 1 — pole trapezu:

$$P_1=\frac{(16+10)\cdot8}{2}=\frac{208}{2}=104\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole rombu:

$$P_2=\frac{6\cdot4}{2}=12\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — różnica:

$$P=104-12=92\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $92$ cm$^2$.