Powtórzenie maturalne — funkcje i liczby — zbiór zadań (klasa 4 LO) — zadania z rozwiązaniami

Mianownik nie może być zerem: $x-5\neq0$, czyli $x\neq5$.

$$D=\mathbb{R}\setminus\{5\}$$

Odpowiedź: C.

Rozwiązujemy $f(x)=0$:

$$3x-12=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Odpowiedź: B. $4$.

Podstawiamy $x=-2$:

$$f(-2)=(-2)^2-3\cdot(-2)=4+6=10$$

Uwaga na znaki: $(-2)^2=4$ (dodatnie), a $-3\cdot(-2)=+6$.

Odpowiedź: $f(-2)=10$.

Kwadrat jest nieujemny, więc $x^2+3\ge3$. Wartość najmniejszą $3$ funkcja osiąga dla $x=0$.

$$ZW=\langle 3,\,+\infty)$$

Odpowiedź: A.

$$48=16\cdot3$$

$$\sqrt{48}=\sqrt{16}\cdot\sqrt3=4\sqrt3$$

Odpowiedź: $4\sqrt3$.

Na osi OY zawsze $x=0$:

$$f(0)=-2\cdot0+5=5$$

Punkt przecięcia to $(0,\,5)$ — to wprost wyraz wolny funkcji liniowej.

Odpowiedź: D. $(0,\,5)$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{5-(-1)}{2-0}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $(0,\,-1)$ jest na osi OY, więc $b=-1$.

$$y=3x-1$$

Odpowiedź: $y=3x-1$.

$$\log_2 8=3,\qquad \log_2 2=1$$

$$3+1=4$$

Sprawdzenie wzorem: $\log_2 8+\log_2 2=\log_2 16=4$ ✔

Odpowiedź: B. $4$.

Wyróżnik:

$$\Delta=25-24=1,\qquad \sqrt\Delta=1$$

Pierwiastki:

$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

Odpowiedź: $x=2$ i $x=3$.

Cena po podwyżce to $125\%$ ceny początkowej, więc dzielimy:

$$250:1{,}25=200\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $200\cdot1{,}25=250$ ✔

Pułapka: odjęcie $25\%$ od $250$ dałoby błędne $187{,}50$ zł.

Odpowiedź: A. $200$ zł.

W postaci kanonicznej $y=a(x-p)^2+q$ wartość najmniejsza (dla $a>0$) to $q$:

$$q=2$$

Osiągana jest dla $x=3$ (gdy nawias się zeruje).

Odpowiedź: C. $2$.

$$2x>6 \quad\Rightarrow\quad x>3$$

$$x\in(3,\,+\infty)$$

Nawias okrągły: nierówność ostra, więc $3$ nie należy.

Odpowiedź: $x\in(3,\,+\infty)$.

$$|AB|=\sqrt{(6-2)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Uwaga na podwójny minus: $2-(-1)=3$.

Odpowiedź: $|AB|=5$.

Funkcja wykładnicza $a^x$ dla podstawy $a>1$ jest rosnąca. Tutaj $a=2>1$.

Sprawdzenie: $f(0)=1$, $f(1)=2$, $f(2)=4$ — wartości rosną.

Odpowiedź: B. rosnąca.

$$S=\left(\frac{1+7}{2},\ \frac{3+9}{2}\right)=(4,\,6)$$

Odpowiedź: $S=(4,\,6)$.

Licznik to różnica kwadratów:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$$

Odpowiedź: D. $x+3$.

Współczynnik $a=-1\lt 0$, więc funkcja ma wartość największą w wierzchołku.

Krok 1 — argument wierzchołka:

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$$

Krok 2 — wartość:

$$f(2)=-4+8+1=5$$

Odpowiedź: wartość największa to $5$ (dla $x=2$).

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$16=2^4 \quad\Rightarrow\quad 2^{x+1}=2^4$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$x+1=4 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Sprawdzenie: $2^{3+1}=2^4=16$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy. Proste równoległe mają ten sam, więc $a=3$.

Krok 2 — wyraz wolny z podstawienia punktu $A$:

$$2=3\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=-1$$

$$y=3x-1$$

Sprawdzenie: $3\cdot1-1=2$ ✔

Odpowiedź: $y=3x-1$.

Krok 1 — kwota po dwóch latach (procent składany):

$$K_2=8000\cdot1{,}05^2=8000\cdot1{,}1025=8820\ \text{zł}$$

Krok 2 — odsetki to różnica względem kapitału początkowego:

$$8820-8000=820\ \text{zł}$$

Sprawdzenie krokami: po roku $8000\cdot1{,}05=8400$, po drugim $8400\cdot1{,}05=8820$ ✔

Odpowiedź: kwota końcowa $8820$ zł, odsetki $820$ zł.