Zadanie 9 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2015 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Kąt przy wierzchołku \(B\).

Z sumy kątów w trójkącie \(ABC\):

\(|\angle ABC|=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ\)

Krok 2. Kąt \(DFE\) w okręgu \(o_1\).

Punkty \(A\), \(D\), \(F\), \(E\) leżą na okręgu \(o_1\), więc czworokąt \(ADFE\) jest wpisany w okrąg. Przeciwległe kąty sumują się do \(180^\circ\):

\(|\angle DFE|=180^\circ-|\angle DAE|=180^\circ-50^\circ=130^\circ\)

Krok 3. Kąt \(DFG\) w okręgu \(o_2\).

Punkty \(B\), \(D\), \(F\), \(G\) leżą na okręgu \(o_2\), więc czworokąt \(BDFG\) jest wpisany w okrąg:

\(|\angle DFG|=180^\circ-|\angle DBG|=180^\circ-70^\circ=110^\circ\)

Krok 4. Kąt \(EFG\).

Punkt \(F\) leży wewnątrz trójkąta, a półproste \(FD\), \(FE\), \(FG\) wychodzą z niego w trzech różnych kierunkach, więc kąty \(DFE\), \(DFG\) i \(EFG\) tworzą kąt pełny:

\(|\angle EFG|=360^\circ-130^\circ-110^\circ=120^\circ\)

Krok 5. Warunek wpisania czworokąta w okrąg.

W czworokącie \(CEFG\) kąty przy wierzchołkach \(C\) i \(F\) są przeciwległe:

\(|\angle ECG|+|\angle EFG|=60^\circ+120^\circ=180^\circ\)

Suma przeciwległych kątów jest równa \(180^\circ\), więc na czworokącie \(CEFG\) można opisać okrąg. \(\blacksquare\)