Zadanie 14 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2021 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Twierdzenie cosinusów w trójkącie \(ABD\).

Niech \(|AB|=a\), wtedy \(|AD|=2a\). Kąt \(ADB\) leży naprzeciw boku \(AB\):

\(a^2=(2a)^2+6^2-2\cdot 2a\cdot 6\cdot\frac{7}{8}\)

\(a^2=4a^2+36-21a\)

\(3a^2-21a+36=0\)

\(a^2-7a+12=0\)

\(\Delta=49-48=1\), \(\;a=3\) lub \(a=4\)

Z warunku \(|AB|\gt\sqrt{15}\approx 3{,}87\) wynika, że \(a=4\), czyli:

\(|AB|=4\), \(\;|AD|=8\)

Krok 2. Warunek opisania czworokąta na okręgu.

W czworokącie opisanym na okręgu sumy długości przeciwległych boków są równe:

\(|AB|+|CD|=|BC|+|AD|\)

\(4+|CD|=|BC|+8\)

\(|CD|=|BC|+4\)

Krok 3. Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie \(BCD\).

Kąt \(BCD\) jest prosty, a \(|BD|=6\):

\(|BC|^2+|CD|^2=36\)

\(|BC|^2+\left(|BC|+4\right)^2=36\)

\(2|BC|^2+8|BC|+16=36\)

\(|BC|^2+4|BC|-10=0\)

\(\Delta=16+40=56\), \(\;\sqrt{\Delta}=2\sqrt{14}\)

\(|BC|=\frac{-4+2\sqrt{14}}{2}=\sqrt{14}-2\) (drugie rozwiązanie jest ujemne)

Sprawdzenie: \(|CD|=\sqrt{14}+2\); \(\;\left(\sqrt{14}-2\right)^2+\left(\sqrt{14}+2\right)^2=2(14+4)=36\) ✓

Odpowiedź: \(|BC|=\sqrt{14}-2\)