Zadanie 11 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2021 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Oznaczenia i liczba wszystkich rozsadzeń.

Niech \(n\) będzie liczbą wszystkich uczestników (\(n\ge 3\)). Wszystkich rozsadzeń jest:

\(|\Omega|=n!\)

Krok 2. Rozsadzenia sprzyjające.

Trzech sportowców traktujemy jako jeden blok. Mamy wtedy \(n-2\) obiekty do ustawienia, co daje \((n-2)!\) sposobów, a wewnątrz bloku sportowców można ustawić na \(3!\) sposobów:

\(|A|=(n-2)!\cdot 3!\)

Krok 3. Równanie.

\(\frac{(n-2)!\cdot 6}{n!}=\frac{1}{15}\)

Ponieważ \(n!=n(n-1)(n-2)!\):

\(\frac{6}{n(n-1)}=\frac{1}{15}\)

\(n(n-1)=90\)

\(n^2-n-90=0\)

\(\Delta=1+360=361\), \(\;\sqrt{\Delta}=19\)

\(n=\frac{1+19}{2}=10\) (rozwiązanie \(n=-9\) odrzucamy)

Krok 4. Liczba aktorów.

\(10-3=7\)

Odpowiedź: w programie bierze udział \(7\) aktorów.