Zadanie 4 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2022 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Kąt między danymi bokami.

Ze wzoru na pole trójkąta:

\(P=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\sin\gamma=12\)

\(\sin\gamma=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\)

Kąt \(\gamma\) w trójkącie ostrokątnym jest ostry, więc \(\cos\gamma\gt 0\):

\(\cos\gamma=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}\)

Krok 2. Twierdzenie cosinusów.

\(c^2=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot\frac{4}{5}\)

\(c^2=25+64-64=25\)

\(c=5\)

Uwaga: gdyby przyjąć \(\cos\gamma=-\frac{4}{5}\), otrzymalibyśmy \(c=\sqrt{153}\) — liczbę, której nie ma wśród odpowiedzi.

Odpowiedź: A.