Zadanie 21 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2023 — zadania z rozwiązaniami

Z twierdzenia o stycznej i siecznej poprowadzonych z punktu \(D\):

\(|DA|^2=|DC|\cdot|DB|\)

gdzie \(|DB|=|DC|+|CB|=3+4=7\), zatem:

\(|DA|^2=3\cdot 7=21\), czyli \(|DA|=\sqrt{21}\)

Styczna jest prostopadła do średnicy w punkcie styczności, więc kąt \(DAB\) jest prosty. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(DAB\):

\(|AB|^2=|DB|^2-|DA|^2=49-21=28\), czyli \(|AB|=2\sqrt{7}\)

Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) to wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną \(DB\):

\(h=\frac{|DA|\cdot|AB|}{|DB|}=\frac{\sqrt{21}\cdot 2\sqrt{7}}{7}=\frac{2\sqrt{147}}{7}=\frac{2\cdot 7\sqrt{3}}{7}=2\sqrt{3}=\sqrt{12}\)

Odpowiedź: C.