Zadanie 1 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2008 – arkusz z rozwiązaniami

1) Wyznaczenie wzoru wielomianu \(f\). Z wykresu odczytujemy trzy miejsca zerowe: \(-6,\ -5,\ -3\). Wielomian stopnia trzeciego o takich pierwiastkach ma postać

\(f(x)=a(x+6)(x+5)(x+3)\).

Z warunku \(f(0)=90\):

\(a\cdot6\cdot5\cdot3=90\), czyli \(90a=90\), skąd \(a=1\).

Zatem \(f(x)=(x+6)(x+5)(x+3)\).

2) Obliczenie \(-f(-x)\).

\(-f(-x)=-(-x+6)(-x+5)(-x+3)=-(-1)^3(x-6)(x-5)(x-3)=(x-6)(x-5)(x-3)\).

3) Porównanie. Wymnażamy:

\((x-6)(x-5)=x^2-11x+30\),

\((x^2-11x+30)(x-3)=x^3-3x^2-11x^2+33x+30x-90=x^3-14x^2+63x-90=g(x)\).

Zatem \(g(x)=-f(-x)\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). \(\blacksquare\)