a) Wyznaczenie $p$. Funkcja $f(x)=\log_{2}(x-p)$ ma asymptotę pionową o równaniu $x=p$. Z wykresu odczytujemy, że asymptota przechodzi przez $x=-4$, zatem

$$p=-4\qquad\text{i}\qquad f(x)=\log_{2}(x+4).$$

Kontrola z wykresu: $f(-3)=\log_{2}1=0$ ✓ oraz $f(0)=\log_{2}4=2$ ✓

b) Wykres $y=|f(x)|$. Dziedziną jest $x>-4$. Rozpatrujemy dwa przedziały:

• dla $x\ge-3$ mamy $x+4\ge1$, więc $\log_{2}(x+4)\ge0$ i wykres pozostaje bez zmian;

• dla $-4

Powstaje wykres w kształcie litery „V" z ramieniem rosnącym od $x=-3$ w prawo oraz ramieniem wznoszącym się do $+\infty$ przy $x\to-4^{+}$; najmniejsza wartość $0$ jest przyjmowana dla $x=-3$.

c) Warunek na $m$. Rozwiązujemy $|\log_{2}(x+4)|=m$. Dla $m>0$ otrzymujemy dwa równania:

$$\log_{2}(x+4)=m\ \Longrightarrow\ x_1=2^{m}-4,$$

$$\log_{2}(x+4)=-m\ \Longrightarrow\ x_2=2^{-m}-4.$$

Znak $x_2$: dla $m>0$ mamy $0<2^{-m}<1$, więc $x_2\in(-4,-3)$ — jest zawsze ujemny.

Znak $x_1$:

$$x_1>0\ \Longleftrightarrow\ 2^{m}>4\ \Longleftrightarrow\ m>2.$$

Dla $m=0$ równanie ma tylko jedno rozwiązanie ($x=-3$), a dla $m<0$ — żadnego.

Kontrola: dla $m=3$: $x_1=4>0$, $x_2=-3{,}875<0$ ✓; dla $m=2$: $x_1=0$ — zero nie ma znaku, więc warunek niespełniony ✓; dla $m=1$: $x_1=-2$ i $x_2=-3{,}5$ — oba ujemne ✓

Odpowiedź: a) $p=-4$;   c) $m\in(2,+\infty)$