Krok 1. Boki trójkąta $ABC$. Dla okręgów stycznych zewnętrznie odległość środków równa się sumie promieni:
$$|AB|=r+2r=3r,\qquad |BC|=2r+3r=5r,\qquad |CA|=3r+r=4r.$$
Ponieważ $(3r)^{2}+(4r)^{2}=(5r)^{2}$, trójkąt $ABC$ jest prostokątny, a kąt prosty leży przy wierzchołku $A$ (naprzeciw najdłuższego boku $BC$).
$$P_{ABC}=\frac12\cdot 3r\cdot 4r=6r^{2}.$$
Krok 2. Położenie punktów styczności. Punkt styczności leży na odcinku łączącym środki, w odległości promienia od każdego z nich:
$$|AK|=r,\ |KB|=2r;\qquad |BL|=2r,\ |LC|=3r;\qquad |CM|=3r,\ |MA|=r.$$
Krok 3. Funkcje trygonometryczne kątów.
$$\sin A=1,\qquad \sin B=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{4}{5},\qquad \sin C=\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{3}{5}.$$
Krok 4. Pola trójkątów narożnych. Korzystamy ze wzoru $P=\frac12ab\sin\gamma$:
$$P_{AKM}=\frac12\cdot r\cdot r\cdot 1=\frac{r^{2}}{2},$$
$$P_{BKL}=\frac12\cdot 2r\cdot 2r\cdot\frac45=\frac{8r^{2}}{5},$$
$$P_{CLM}=\frac12\cdot 3r\cdot 3r\cdot\frac35=\frac{27r^{2}}{10}.$$
Krok 5. Pole trójkąta $KLM$. Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
$$P_{AKM}+P_{BKL}+P_{CLM}=\frac{5r^{2}+16r^{2}+27r^{2}}{10}=\frac{48r^{2}}{10}=\frac{24r^{2}}{5}.$$
$$P_{KLM}=6r^{2}-\frac{24r^{2}}{5}=\frac{30r^{2}-24r^{2}}{5}=\frac{6r^{2}}{5}.$$
Krok 6. Szukany stosunek.
$$\frac{P_{KLM}}{P_{ABC}}=\frac{\frac{6r^{2}}{5}}{6r^{2}}=\frac{1}{5}.$$
Uwaga: wynik nie zależy od $r$ — wszystkie takie konfiguracje są podobne.
Odpowiedź: $\frac{P_{KLM}}{P_{ABC}}=\frac{1}{5}$