Krok 1. Struktura liczby. Liczba ma $10$ cyfr, z których dokładnie trzy to jedynki. Pozostałe siedem pozycji zajmują cyfry $2$ lub $3$.
Uwaga: nie trzeba tu osobno wykluczać zera na początku, bo wśród dozwolonych cyfr $1$, $2$, $3$ zera w ogóle nie ma — każda taka liczba jest automatycznie dziesięciocyfrowa.
Krok 2. Wybór pozycji dla jedynek. Spośród $10$ miejsc wybieramy $3$, na których stanie cyfra $1$. Kolejność wyboru nie ma znaczenia, więc liczba sposobów to kombinacja:
$$\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120.$$
Krok 3. Wypełnienie pozostałych pozycji. Na każdym z $7$ wolnych miejsc niezależnie wybieramy jedną z dwóch cyfr ($2$ albo $3$):
$$2^{7}=128.$$
Krok 4. Reguła mnożenia.
$$120\cdot 128=15\,360,$$
co należało uzasadnić. $\blacksquare$