Oznaczmy promień podstawy przez $r$, a wysokość przez $h$.

Krok 1. Warunek na pole powierzchni całkowitej. Walec ma dwie podstawy i powierzchnię boczną:

$$P=2\pi r^{2}+2\pi rh\ \Longrightarrow\ h=\frac{P-2\pi r^{2}}{2\pi r}.$$

Krok 2. Dziedzina. Musi być $r>0$ oraz $h>0$, czyli

$$P-2\pi r^{2}>0\ \Longrightarrow\ 0

Krok 3. Objętość jako funkcja $r$.

$$V=\pi r^{2}h=\pi r^{2}\cdot\frac{P-2\pi r^{2}}{2\pi r}=\frac{r\left(P-2\pi r^{2}\right)}{2}=\frac{Pr-2\pi r^{3}}{2}.$$

Krok 4. Poszukiwanie maksimum.

$$V^{\prime}(r)=\frac{P-6\pi r^{2}}{2}.$$

$$V^{\prime}(r)=0\ \Longleftrightarrow\ 6\pi r^{2}=P\ \Longleftrightarrow\ r=\sqrt{\frac{P}{6\pi}}.$$

Dla mniejszych $r$ pochodna jest dodatnia, dla większych ujemna, więc w tym punkcie funkcja osiąga maksimum. Punkt należy do dziedziny, bo $\sqrt{\frac{P}{6\pi}}<\sqrt{\frac{P}{2\pi}}$.

Krok 5. Wysokość. Z warunku $P=6\pi r^{2}$ podstawiamy do wzoru na $h$:

$$h=\frac{P-2\pi r^{2}}{2\pi r}=\frac{6\pi r^{2}-2\pi r^{2}}{2\pi r}=\frac{4\pi r^{2}}{2\pi r}=2r.$$

Otrzymujemy więc walec równoboczny — jego wysokość równa się średnicy podstawy.

$$h=2\sqrt{\frac{P}{6\pi}}.$$

Krok 6. Największa objętość.

$$V_{\max}=\pi r^{2}\cdot 2r=2\pi r^{3}=2\pi\cdot\frac{P}{6\pi}\cdot r=\frac{P}{3}\,r=\frac{P}{3}\sqrt{\frac{P}{6\pi}}.$$

Po usunięciu niewymierności z mianownika:

$$V_{\max}=\frac{P\sqrt{6\pi P}}{18\pi}.$$

Kontrola liczbowa: dla $P=6\pi$ mamy $r=1$, $h=2$ oraz $V=\pi\cdot1\cdot2=2\pi$; ze wzoru $V_{\max}=\frac{6\pi}{3}\cdot1=2\pi$ ✓

Odpowiedź: $r=\sqrt{\frac{P}{6\pi}}$, $\;h=2r=2\sqrt{\frac{P}{6\pi}}$, $\;V_{\max}=\frac{P}{3}\sqrt{\frac{P}{6\pi}}$