Oznaczmy $|AC|=|BC|=b$, $|AB|=c$ oraz $\alpha=\angle BAC=\angle ABC$ (kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe).

Krok 1. Rzut punktu $M$ na podstawę. Prosta $MS$ jest prostopadła do $AB$, więc w trójkącie prostokątnym $AMS$:

$$|AS|=|AM|\cdot\cos\alpha.$$

Krok 2. Rzut punktu $N$ na podstawę. Analogicznie, w trójkącie prostokątnym $BNT$ (kąt przy $B$ również wynosi $\alpha$):

$$|BT|=|NB|\cdot\cos\alpha.$$

Krok 3. Suma odcinków $|AM|$ i $|NB|$. Punkt $N$ leży na $BC$, a z założenia $|CN|=|AM|$, więc

$$|NB|=|BC|-|CN|=b-|AM|.$$

Stąd

$$|AM|+|NB|=|AM|+b-|AM|=b.$$

Krok 4. Suma rzutów.

$$|AS|+|BT|=\left(|AM|+|NB|\right)\cos\alpha=b\cos\alpha.$$

Krok 5. Wyznaczenie $b\cos\alpha$. W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona z $C$ pada w środek podstawy, więc w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $AC$:

$$\cos\alpha=\frac{\frac{c}{2}}{b}\ \Longrightarrow\ b\cos\alpha=\frac{c}{2}.$$

Krok 6. Zakończenie. Punkty $S$ i $T$ leżą na odcinku $AB$, a odcinek $ST$ jest tym, co zostaje po odjęciu obu rzutów:

$$|ST|=|AB|-|AS|-|BT|=c-\frac{c}{2}=\frac{c}{2}=\frac12|AB|. \qquad\blacksquare$$