Suma średnicy i wysokości: $2r+h=10$, stąd $h=10-2r$.

Pole powierzchni bocznej walca: $P(r)=2\pi r\cdot h=2\pi r(10-2r)=20\pi r-4\pi r^{2}$.

Dziedzina: $r>0$ oraz $h=10-2r>0\Rightarrow r<5$, czyli $r\in(0,\,5)$.

Funkcja $P$ jest kwadratowa o ramionach w dół, więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku:

$r=\dfrac{-20\pi}{2\cdot(-4\pi)}=\dfrac{20\pi}{8\pi}=\dfrac{5}{2}=2{,}5$ (należy do dziedziny).

Pole powierzchni bocznej jest największe dla $r=\dfrac{5}{2}$.