Rozwiązanie równania: $3\cos^2 x + \sqrt{3}\sin(2x) - 3\sin^2 x = 0$ w przedziale $[-\pi, \pi]$

1. Krok 1: Przekształcenie wyrażenia $3\cos^2 x - 3\sin^2 x$

   Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

   $$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$

   Zatem:

   $$3\cos^2 x - 3\sin^2 x = 3(\cos^2 x - \sin^2 x) = 3\cos(2x)$$

2. Krok 2: Przekształcenie wyrażenia $\sqrt{3}\sin(2x)$

   Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta:

   $$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$$

   Wyrażenie $\sqrt{3}\sin(2x)$ pozostawiamy w tej postaci — jest już zapisane za pomocą funkcji podwojonego kąta.

3. Krok 3: Podstawienie do równania

   Równanie przyjmuje postać:

   $$3\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0$$

4. Krok 4: Wyłączenie czynnika i uproszczenie

   Dzielimy obie strony przez $\cos(2x)$ — ale najpierw sprawdzamy, kiedy $\cos(2x) = 0$. Jeśli $\cos(2x) = 0$, to $3\cos(2x) = 0$, a równanie wymagałoby $\sqrt{3}\sin(2x) = 0$, co razem z $\cos(2x) = 0$ jest niemożliwe (bo $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$). Zatem $\cos(2x) \neq 0$ i możemy podzielić:

   $$\frac{3\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x)}{\cos(2x)} = 0$$ $$3 + \sqrt{3}\tan(2x) = 0$$ $$\tan(2x) = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$$

5. Krok 5: Rozwiązanie równania $\tan(2x) = -\sqrt{3}$

   Wiemy, że $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$, zatem:

   $$\tan(2x) = -\sqrt{3} \implies 2x = -\frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

6. Krok 6: Wyznaczenie rozwiązań należących do przedziału $[-\pi, \pi]$

   Podstawiamy kolejne wartości $k$:

   • $k = -2$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{-2\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6} \notin [-\pi, \pi]$ — poza przedziałem
   • $k = -1$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{4\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3} \in [-\pi, \pi]$ ✓
   • $k = 0$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} \in [-\pi, \pi]$ ✓
   • $k = 1$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \in [-\pi, \pi]$ ✓
   • $k = 2$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \in [-\pi, \pi]$ ✓
   • $k = 3$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2} = \frac{4\pi}{3} \notin [-\pi, \pi]$ — poza przedziałem

Odpowiedź końcowa:

Rozwiązaniami równania w przedziale $[-\pi, \pi]$ są: