Rozwiązanie zadania — trapez $ABCD$ z odcinkiem środkowym $EF$.
-
Krok 1: Wprowadzenie oznaczeń i przypomnienie wzoru na pole trapezu.
Niech $|AB| = a$, $|CD| = c$ oraz niech $h$ oznacza wysokość trapezu $ABCD$.
Pole trapezu o podstawach $p$, $q$ i wysokości $H$ wyraża się wzorem:
$$P = \frac{(p+q) \cdot H}{2}$$
-
Krok 2: Wyznaczenie długości odcinka środkowego $EF$.
Punkt $E$ jest środkiem ramienia $AD$, a punkt $F$ jest środkiem ramienia $BC$. Odcinek $EF$ jest odcinkiem środkowym trapezu $ABCD$, łączącym środki ramion. Z twierdzenia o odcinku środkowym trapezu jego długość wynosi:
$$|EF| = \frac{|AB| + |CD|}{2} = \frac{a + c}{2}$$
-
Krok 3: Wyznaczenie wysokości trapezów $ABFE$ i $EFCD$.
Odcinek $EF$ jest równoległy do podstaw $AB$ i $CD$ i dzieli trapez $ABCD$ na dwa trapezy: $ABFE$ (o podstawach $AB$ i $EF$) oraz $EFCD$ (o podstawach $EF$ i $CD$). Ponieważ $E$ i $F$ są środkami ramion, odcinek $EF$ przebiega dokładnie w połowie wysokości trapezu $ABCD$.
A zatem wysokość każdego z trapezów $ABFE$ i $EFCD$ wynosi $\dfrac{h}{2}$.
-
Krok 4: Obliczenie pól trapezów $ABFE$ i $EFCD$.
Pole trapezu $ABFE$ (podstawy $a$ i $\frac{a+c}{2}$, wysokość $\frac{h}{2}$):
$$P_{ABFE} = \frac{\left(a + \dfrac{a+c}{2}\right) \cdot \dfrac{h}{2}}{2} = \frac{\dfrac{3a+c}{2} \cdot \dfrac{h}{2}}{2} = \frac{(3a+c) \cdot h}{8}$$
Pole trapezu $EFCD$ (podstawy $\frac{a+c}{2}$ i $c$, wysokość $\frac{h}{2}$):
$$P_{EFCD} = \frac{\left(\dfrac{a+c}{2} + c\right) \cdot \dfrac{h}{2}}{2} = \frac{\dfrac{a+3c}{2} \cdot \dfrac{h}{2}}{2} = \frac{(a+3c) \cdot h}{8}$$
-
Krok 5: Skorzystanie z podanego warunku i rozwiązanie równania.
Z treści zadania:
$$\frac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \frac{1}{2}$$
Podstawiamy obliczone pola:
$$\frac{\dfrac{(a+3c)\cdot h}{8}}{\dfrac{(3a+c)\cdot h}{8}} = \frac{1}{2}$$
Czynnik $\dfrac{h}{8}$ skraca się:
$$\frac{a+3c}{3a+c} = \frac{1}{2}$$
Mnożymy obie strony przez $2(3a+c)$:
$$2(a+3c) = 3a+c$$
$$2a + 6c = 3a + c$$
$$6c - c = 3a - 2a$$
$$5c = a$$
-
Krok 6: Wyznaczenie szukanego stosunku.
Z równania $a = 5c$ otrzymujemy:
$$\frac{c}{a} = \frac{c}{5c} = \frac{1}{5}$$
Czyli:
$$\frac{|CD|}{|AB|} = \frac{c}{a} = \frac{1}{5}$$
Wniosek: Korzystając z warunku $\dfrac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \dfrac{1}{2}$ oraz własności odcinka środkowego trapezu, wykazaliśmy, że jedyną możliwością jest $a = 5c$, skąd:
$$\boxed{\dfrac{|CD|}{|AB|} = \dfrac{1}{5}}$$