Rozwiązanie zadania o dynamice wzrostu populacji bakterii.

1. Krok 1: Wyznaczenie wartości $N_0$

   Z treści zadania wynika, że w chwili $t = 0$ liczebność populacji wynosiła $10\,000$, zatem:

   $$N_0 = 10\,000$$
2. Krok 2: Ułożenie równania na podstawie danych

   Po dwóch godzinach ($t = 2$) liczebność populacji wynosiła $15\,625$. Podstawiamy do wzoru $N(t) = N_0 \cdot k^t$:

   $$N(2) = 10\,000 \cdot k^2 = 15\,625$$
3. Krok 3: Wyznaczenie stałej $k$

   Rozwiązujemy równanie:

   $$k^2 = \frac{15\,625}{10\,000} = \frac{25}{16}$$

   Ponieważ $k > 0$, wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obu stron:

   $$k = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} = 1{,}25$$
4. Krok 4: Interpretacja wyznaczonej wartości $k$

   Wartość $k = 1{,}25$ oznacza, że co godzinę liczebność populacji jest mnożona przez czynnik $1{,}25$. Oznacza to, że każda kolejna godzina przynosi wzrost o:

   $$1{,}25 - 1 = 0{,}25 = 25\%$$

   Możemy to sprawdzić: w ciągu jednej godziny $N$ wzrasta z pewnej wartości $N(t)$ do $N(t+1) = N(t) \cdot 1{,}25$, czyli o $25\%$ swojej wartości.

5. Krok 5: Weryfikacja

   Sprawdzamy, czy obliczone $k$ daje poprawny wynik dla $t = 2$:

   $$N(2) = 10\,000 \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^2 = 10\,000 \cdot \frac{25}{16} = \frac{250\,000}{16} = 15\,625 \checkmark$$

Odpowiedź: Liczebność populacji bakterii wzrastała o 25% w ciągu każdej godziny.