Rozwiązujemy zadanie krok po kroku, korzystając z informacji o ostrosłupie $ABCDS$ z podstawą kwadratową $ABCD$, gdzie $SA$ jest wysokością ostrosłupa.

1. Ustalamy układ i oznaczenia

   Ponieważ krawędź boczna $SA$ jest wysokością ostrosłupa, wierzchołek $S$ rzutuje się prostopadle na wierzchołek $A$ podstawy. Przyjmijmy długość krawędzi podstawy $a = 3\sqrt{34}$ i wysokość ostrosłupa $h = SA$.

   Umieszczamy układ współrzędnych: $A = (0, 0, 0)$, $B = (a, 0, 0)$, $C = (a, a, 0)$, $D = (0, a, 0)$, $S = (0, 0, h)$.

2. Wyznaczamy normalne do ścian bocznych $CDS$ i $BCS$

   Kąt $\beta$ jest kątem dwuściennym między ścianami $CDS$ i $BCS$ wzdłuż wspólnej krawędzi $CS$.

   Ściana $CDS$ zawiera punkty $C = (a, a, 0)$, $D = (0, a, 0)$, $S = (0, 0, h)$.

   Wyznaczamy dwa wektory w tej płaszczyźnie:

   $$\vec{DC} = (a, 0, 0), \quad \vec{DS} = (0, -a, h)$$

   Normalna do $CDS$:

   $$\vec{n_1} = \vec{DC} \times \vec{DS} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & -a & h \end{vmatrix} = (0\cdot h - 0\cdot(-a),\ 0\cdot 0 - a\cdot h,\ a\cdot(-a) - 0\cdot 0)$$ $$\vec{n_1} = (0,\ -ah,\ -a^2)$$

   Ściana $BCS$ zawiera punkty $B = (a, 0, 0)$, $C = (a, a, 0)$, $S = (0, 0, h)$.

   Wyznaczamy dwa wektory:

   $$\vec{CB} = (0, -a, 0), \quad \vec{CS} = (-a, -a, h)$$

   Normalna do $BCS$:

   $$\vec{n_2} = \vec{CB} \times \vec{CS} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -a & 0 \\ -a & -a & h \end{vmatrix} = ((-a)\cdot h - 0\cdot(-a),\ 0\cdot(-a) - 0\cdot h,\ 0\cdot(-a) - (-a)(-a))$$ $$\vec{n_2} = (-ah,\ 0,\ -a^2)$$

3. Obliczamy cosinus kąta między płaszczyznami

   $$\cos\beta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$$

   Iloczyn skalarny:

   $$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(-ah) + (-ah)(0) + (-a^2)(-a^2) = a^4$$

   Długości normalnnych:

   $$|\vec{n_1}| = \sqrt{0 + a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$$ $$|\vec{n_2}| = \sqrt{a^2h^2 + 0 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$$

   Zatem:

   $$\cos\beta = \frac{a^4}{a^2(h^2+a^2)} = \frac{a^2}{h^2+a^2}$$

   Kąt między płaszczyznami wyznaczony przez normalne może odpowiadać kątowi wewnętrznemu lub zewnętrznemu. Ponieważ $\cos\beta = -\dfrac{9}{25} < 0$, normalne wskazują „na zewnątrz" bryły, więc kąt dwuścienny (mierzony wewnątrz) spełnia:

   $$\cos\beta = -\frac{a^2}{h^2+a^2} = -\frac{9}{25}$$

4. Wyznaczamy wysokość $h$

   Z równania:

   $$\frac{a^2}{h^2+a^2} = \frac{9}{25}$$ $$25a^2 = 9(h^2 + a^2)$$ $$25a^2 - 9a^2 = 9h^2$$ $$16a^2 = 9h^2$$ $$h^2 = \frac{16a^2}{9}$$ $$h = \frac{4a}{3}$$

   Podstawiamy $a = 3\sqrt{34}$:

   $$h = \frac{4 \cdot 3\sqrt{34}}{3} = 4\sqrt{34}$$

5. Obliczamy pola trójkątnych ścian bocznych

   Ostrosłup ma cztery ściany boczne: $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SAD$. Ponieważ $SA \perp$ podstawy, ściana $SAB$ i $SAD$ mają krawędź $SA$ prostopadłą do podstawy.

   Ściana $SAB$ (trójkąt prostokątny, bo $SA \perp AB$):

   $SA = h = 4\sqrt{34}$, $AB = a = 3\sqrt{34}$.

   $$P_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{34} \cdot 3\sqrt{34} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 34 = 204$$

   Ściana $SAD$ (trójkąt prostokątny, bo $SA \perp AD$):

   $SA = 4\sqrt{34}$, $AD = a = 3\sqrt{34}$.

   $$P_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{34} \cdot 3\sqrt{34} = 204$$

   Ściana $SCD$ — obliczamy długość $SD$:

   $$SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(4\sqrt{34})^2 + (3\sqrt{34})^2} = \sqrt{16\cdot34 + 9\cdot34} = \sqrt{25\cdot34} = 5\sqrt{34}$$

   Ściana $SCD$: podstawa $CD = a = 3\sqrt{34}$, obydwa ramiona $SD = SC = 5\sqrt{34}$ (sprawdzamy $SC$: $SC = \sqrt{SA^2 + AB^2 + BC^2}$... — wyznaczamy wprost).

   $SC = \sqrt{(0-a)^2 + (0-a)^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2}$

   $$SC = \sqrt{2\cdot9\cdot34 + 16\cdot34} = \sqrt{34(18+16)} = \sqrt{34\cdot34} = 34$$

   Wysokość trójkąta $SCD$ z wierzchołka $S$ na $CD$: $M$ — środek $CD = \left(\frac{a}{2}, a, 0\right)$.

   $$SM = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + h^2} = \sqrt{\frac{9\cdot34}{4} + 9\cdot34 + 16\cdot34}$$ $$= \sqrt{34\left(\frac{9}{4} + 9 + 16\right)} = \sqrt{34 \cdot \frac{9 + 36 + 64}{4}} = \sqrt{34 \cdot \frac{109}{4}} = \frac{\sqrt{34\cdot109}}{2}$$

   Hmm — sprawdźmy inaczej. Ściana $SCD$ jest trójkątem o bokach $SD = 5\sqrt{34}$, $SC = 34$, $CD = 3\sqrt{34}$.

   Pole metodą przez wektor:

   $$\vec{DS} = (0,0,h)-(0,a,0) = (0,-a,h) = (0,-3\sqrt{34}, 4\sqrt{34})$$ $$\vec{DC} = (a,0,0) = (3\sqrt{34},0,0)$$ $$\vec{DS}\times\vec{DC} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\0&-3\sqrt{34}&4\sqrt{34}\\3\sqrt{34}&0&0\end{vmatrix}$$ $$= \vec{i}((-3\sqrt{34})\cdot0 - 4\sqrt{34}\cdot0) - \vec{j}(0\cdot0 - 4\sqrt{34}\cdot3\sqrt{34}) + \vec{k}(0\cdot0-(-3\sqrt{34})\cdot3\sqrt{34})$$ $$= \vec{i}(0) - \vec{j}(-12\cdot34) + \vec{k}(9\cdot34) = (0,\ 408,\ 306)$$ $$|\vec{DS}\times\vec{DC}| = \sqrt{0 + 408^2 + 306^2} = \sqrt{166464 + 93636} = \sqrt{260100} = 510$$ $$P_{SCD} = \frac{510}{2} = 255$$

   Ściana $SBC$: wektory $\vec{BC} = (0,a,0)$, $\vec{BS} = (-a,0,h)$.

   $$\