Zadanie: Tworząca stożka ma długość $8$. Kąt rozwarcia stożka ma miarę $120°$. Oblicz objętość stożka.

1. Krok 1: Ustalenie danych i interpretacja kąta rozwarcia

   Tworząca stożka: $l = 8$.

   Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi leżącymi w tym samym przekroju osiowym, czyli kąt na wierzchołku trójkąta równoramiennego (przekroju osiowego). Ma on miarę $120°$.

   Oznacza to, że każda tworząca tworzy z osią stożka kąt:

   $$\alpha = \frac{120°}{2} = 60°$$

2. Krok 2: Obliczenie promienia podstawy

   Z trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątną jest tworząca $l = 8$, kąt między tworzącą a osią wynosi $60°$, promień $r$ jest przyprostokątną naprzeciwległą do tego kąta:

   $$\sin 60° = \frac{r}{l}$$ $$r = l \cdot \sin 60° = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

3. Krok 3: Obliczenie wysokości stożka

   Wysokość $h$ jest przyprostokątną przyległą do kąta $60°$:

   $$\cos 60° = \frac{h}{l}$$ $$h = l \cdot \cos 60° = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$

4. Krok 4: Obliczenie objętości stożka

   Korzystamy ze wzoru na objętość stożka:

   $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(4\sqrt{3}\right)^2 \cdot 4$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 48 \cdot 4$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot 192\pi$$ $$V = 64\pi$$

Odpowiedź: Objętość stożka wynosi $V = 64\pi$.